SOLUTION OF THE VARIATIONAL PROBLEM FOR THE OPTIMAL COMPRESS ROD SHAPE

Abstract

The paper provides the solution of the problem of choosing the law of change of cross section of a rod, providing for sensing the maximum compressive force for a given volume of material.

Full Text

Осесимметричные пространственные фермы, составленные из прямолинейных стержней, нашли широкое применение в качестве адаптеров полезной нагрузки. Расчет таких конструкций проводится в предположении, что стержни фермы соединены шарнирно, а основным видом разрушения стержня является потеря устойчивости при действии на него сжимающей силы. Стержни фермы в большинстве конструкций имеют постоянное по длине поперечное сечение. Однако использование в ферме стержней с переменным поперечным сечением позволяет создавать более эффективные конструкции [1; 2]. Рассмотрим шарнирно опертый стержень длиной l, нагруженный сжимающей силой P. Пусть стержень имеет круглое поперечное сечение, радиус которого r зависит от продольной координаты x. Длина стержня l и его объем V0 являются заданными величинами. Необходимо подобрать закон изменения радиуса поперечного сечения, который обеспечивает максимум критической силы P при известном объеме стержня V0. Сформулируем условие этой задачи как задачи вариационного исчисления. Объем стержня V0 определяется функционалом V 0 - J n[r (x)] 2dx, (1) где r(x) - зависимость радиуса стержня от продольной координаты. Уравнение устойчивости стержня имеет вид Pw w H-- EJ (x) - 0, (2) 28 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева где w(x) - прогиб стержня; E - модуль упругости; J(x) - момент инерции поперечного сечения. На краях стержня выполняются следующие граничные условия: w(0) - 0, w(l) - 0. (3) Момент инерции круглого поперечного сечения будет J (x) - n[r (x)] 4 Подставляя (4) в (2), получим 2 Г / ч-|4 Д w [r (xX ---> wxx где 2 4P (1 = —. nE 2 Подстановка [r (x)] из (5) и параметра д из (6) в функционал (1) дает v 0%/E 2JkP hh ~~dx • '' wx Объем V0 в уравнении (7) является постоянным. Поэтому минимум функционала I -u- - 0 V wx dx обеспечивает максимум критической силы P. Уравнение Эйлера сформулированной вариационной задачи будет следующим: w -wxx. |--— + wxx w 3~ wxx w - 0. С помощью замены wx wx Умножим обе части уравнения (13) на 2wx: 2wxwxx - -2wxw -1/3 Интегрируя уравнение (14), получим wx -'13л1 a2-i 2/3 Разделяя переменные и интегрируя уравнение (15) омощью замены w = интеграл уравнения (9): с помощью замены w = u3, dw = 3u2du, найдем общий s J u 2du l~2 \a -u r + C. (16) Выполняя интегрирование в (16), получим общее решение дифференциального уравнения (9): (4) (5) (6) л/3 x ~ a arcsin + C, (17) где a и C - постоянные краевой задачи, которые находятся из граничных условий (3): a - 2 С = 0. (18) Подстановка wxx из соотношения (13) в (5) дает следующее выражение для r(x): (7) (8) (9) (10) (12) (13) (14) (15) 3 r - \[^w . (19) С учетом (18) и (19) общее решение дифференциального уравнения (9) можно записать в виде x - - l . r r arcsin---. 1 - V'0 У где r0 -■ 16l 2P 3n3E (20) (21) На основе решения дифференциального уравнения (20) получено следующее трансцендентное уравнение для определения оптимального закона r(x): arcsinу-у/ 1 -y2 -n-s - 0, где дифференциальное уравнение (9) приводится к виду (vxw - vwx )x - 0. (11) Интегрируя уравнение (11) с учетом граничных условий (3) и того, что v(0) = 0, запишем его решение: rx y-r0; s -1' (22) (23) где c - постоянная интегрирования. Форма потери устойчивости стержня определяется с точностью до произвольного множителя c, для удобства принятого равным единице: 1 Для того чтобы уравнение (22) имело вещественные корни, достаточно, чтобы значения параметра s изменялись в следующих пределах: 0 < s < 0,5. (24) Численное решение уравнения (22) было выполнено в приложении MATLAB. Для 100 значений параметра s (начальное значение параметра равно 0, шаг изменения параметра = 0,05) из промежутка (24) было найдено значение корня у (см. таблицу). Полученные результаты были аппроксимированы методами регрессионного анализа с помощью приложения Curve Expert (рис. 1). Аппроксимирующая функция имеет следующий вид: у-. ab + c - s b + sd (25) где a = 4,683 938-10-3; b = 4,683 938-10-3; c = 1,401 818; d = 5,531 21510-1. w v - - w w-- 29 Математика, механика, информатика Значения корня у для некоторых значений параметра s s 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 Y 0,592 751 0,726 609 0,810 933 0,870 672 0,914 770 s 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 Y 0,947 521 0,971 293 0,987 481 0,996 904 1,000 000 Учитывая (23), получим Г - r0 f (x) , где f (x) - ab + c| j b+If (26) (27) Рис. 1. График аппроксимирующей функции Подставляя выражение для r(x) из (26) в (1), для заданного объема V0 имеем V0 n J f 2( x)dx (28) Из уравнения (21) следует выражение для максимальной критической силы: 3nE4 (29) P - Подставляя (28) в уравнение (29) для максимальной критической силы P, получаем P - 3п3 E 16l2 V0 nJ f 2( x)dx (30) Так как объем материала постоянный, то V - 4n.Il2, где I - момент инерции стержня, имеющего постоянное поперечное сечение. (31) Подставляя (31) в выражение для максимальной критической силы (30), получим P-Jv^^-P- (32) - J f 2(x)dx где Pc - максимальная критическая сила для стержня постоянного поперечного сечения. Интеграл в выражении (32) определялся численно с помощью приложения MATLAB: J f 2(x)dx - 0,749 292-1. Подставим (33) в (32): Ф* 1,36. (33) (34) Рис. 2. Сравнение различных форм стержня Анализ различных форм стержня показывает, что при заданном объеме V0 использование переменного поперечного сечения, является оптимальным, повышает на 36 % критическую силу по сравнению с критической силой стержня, имеющего постоянное поперечное сечение (рис. 2).