ESTIMATION OF INTENSIVELY-DEFORM STATE OF BLENDING OF THREADS OF TRIANGULAR AND BUCKLED PROFILES

Abstract

In the article the authors consider a mathematical model of intensively-deform state of screw joint of wind stick, which has a buckled thread profile, and a nut, with triangular profile.

Full Text

В современной технике имеется большое количество задач, в которых требуется применение высокоточных линейных приводов. Одной из важнейших составляющих линейного привода является линейная передача, обеспечивающая преобразование вращательного движения вала двигателя в поступательное движение выходного звена. На сегодняшний день запатентовано много различных линейных передач, преобразование движения в которых осуществляется за счет резьбового сопряжения. Одной из актуальных задач при проектировании резьбы является обеспечение заданной нагрузочной способности и жесткости. Предложен теоретический расчет напряженно-деформированного состояния резьбового сопряжения винта, имеющего выпуклый профиль резьбы, и гайки, имеющей треугольный профиль (рис. 1). Все расчеты проведены в системе СИ. Основные параметры резьбы: шаг S; количество витков N; диаметр вершин профиля резьбы d; угол профиля резьбы а; радиус профиля резьбы винта R; высота исходного профиля резьбы h' = - S 2tga высота рабочего профиля резьбы h = S 2tga - 0,05S; угол 14 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева подъема резьбы у = arctg—; коэффициент трения f; nd осевое усилие P. Рис. 1. Резьбовое сопряжение гайки с треугольным профилем резьбы и винта с выпуклым профилем резьбы Исходя из того, что гайка имеет в качестве образующей профиля резьбы линию, а винт - дугу радиусом R, примем в качестве модели их сопряжения модель контакта цилиндра и плоскости, результатом взаимного сжатия которых является прямоугольная площадка, полуширина которой b определяется по формуле b = 1,131 PR l 1 2Л 2 Л 1 Р-1 + 1 Р-2 Ел Е2 где P - усилие поджатия цилиндра к плоскости; R - радиус цилиндра; l - длина линии контакта; ц1? ц 2 - коэффициенты Пуассона для материалов цилиндра и плоскости; Е1, Е2 - модули упругости для материалов цилиндра и плоскости [1]. Полная ширина прямоугольной площадки a, при сопряжении гайки с треугольным профилем резьбы и винта с выпуклым профилем радиусом R, определится по формуле a = 2 • 1,131 2,262 PR cos a cos у vWs 2 +П2 d2 2 Ws 2 +n2 d2 = Pf = Pf Г j—' 7 F a • l P sin a sin y- f 2,262 PR cos a cos у VWs2 +n2 d2 2 WS 2 +n2 d 2 где F = a • l - площадь площадки контакта двух резьб. Рис. 2. Схема распределения осевого усилия на выпуклом профиле резьбы Определим изгибные напряжения в резьбе винта (рис. 3): M аизг = ■ W bh 2 где W =--момент сопротивления сечения. 6 = 2,262 где l = N^S2 +п2d2 - длина линии контакта. Усилия в месте контакта (рис. 2) вычисляются по формулам Pn = Pcos a cos у, PT = Psin a sin y. Получим зависимости для определения нормальных и касательных напряжений в месте контакта двух резьб: P P ^ = n = n = °конт ~ ~ -1 F a • I Pcos a cos у Рис. 3. Схема для расчета изгибных напряжений в выпуклой резьбе Запишем выражение = 3 P max ^ 7—г , 2F где F - площадь поперечного сечения [1]. 15 Математика, механика, информатика Так как момент сопротивления является функцией Определим изгибные напряжения в треугольной высоты профиля резьбы, определим закон ее измене- резьбе гайки (рис. 4). ния. Принимая за начало координат центр основания профиля резьбы, получим: (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 [2] - уравнение окружности, где x0, y0 - координаты центра окружности; g(x) = 2(д/R2 -(x-x0)2 + y0) -уравнение профиля выпуклой резьбы винта; W (x) = l • g (x) 6 Найдем центр окружности: h R • x0 =--R sin a = - S 4tg a ■-R sin a, S R y0 = — - R cos a, Рис. 4. Схема для расчета изгибных напряжений в треугольной резьбе g (x) = 2 R2 - (x - (—S--Rsina))2 + S -Rcosa 4tga 4 S где х изменяется от 0 до 4tga Таким образом, закон изменения момента сопротивления определится выражением W( ч 2NVS2 +п2d2 W (x) =-х R2 - (x - (—S--R sin a))2 + S - R cos a 4tga 4 3 Изгибные нормальные напряжения также превращается в функцию высоты профиля резьбы: M (x) = P • x, где х изменяется от 0 до Запишем S 4tga 3Px 2 N f V S 2 +n2 d 2 У R2 - (x - (—S--R sin a))2 + S - R cos a 4tga 4 Изгибные касательные напряжения также являются функцией высоты профиля резьбы: 3 P Tmax (x) = 3 4 N VS2 +n2d2 f 2 l • g (x) P R2 - (x - (—S--R sin a))2 + S - R cos a v, 4tga 4 y Определим уравнение профиля треугольной резьбы гайки. Принимая за начало координат центр основания профиля резьбы, получим уравнение профиля треугольной резьбы гайки: g(x) = -2tga • x + S, а также W (x) = l • (-2x tg a + S) N •4 S2 +n2 d 2 • (-2 x tg a + S )2 6 S где х изменяется от 0 до 4tga Изгибные нормальные напряжения в треугольной резьбе определятся формулой СТизг (x) = 6M ( x) Ws2 +п2 d2 (-2x tg a + S)2 6 Px 2 +n2d2 (-2x tg a + S)2 Анализируя данную зависимость, можно сделать вывод о том, что при равных параметрах резьбы и при одинаковых нагрузках треугольная резьба обладает большей несущей способностью, чем выпуклая, ввиду возникновения меньших нормальных напряжений. Изгибные касательные напряжения в треугольной резьбе также являются функцией высоты профиля резьбы: т (x)=3 p = ^_p_ max 21 • g(x) 2 N ^ S2 +n2 d2 • (-2 x tg a + S) Анализируя данную зависимость, можно сделать вывод о незначительном различии в величине касательных изгибных напряжениях между треугольной и выпуклой резьбами. Используя полученные математические зависимости, можно на стадии проектирования винта и гайки х 16 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева рассчитать контактные и изгибные напряжения, возникающие в процессе нагружения в резьбе. Кроме того, варьируя шагом, диаметром, углом профиля, радиусом выпуклости резьбы, можно подобрать такую резьбу, которая бы отвечала заданным требованиям по жесткости и нагрузочной способности.