DISCRIMINATION OF OSCILLATE AND TREND COMPONENTS ON THE BASIS OF CRITERIA MODIFICATION OF SINGULAR ANALYSIS

Resumo

The authors consider a technique of discrimination of oscillating and trend components in the analysis of complex non-stationary processes in real complex systems.

Texto integral

Одним из интенсивно развивающихся теоретических подходов к моделированию сложных процессов является использование непараметрических моделей динамических систем в виде набора элементарных характеристик (временных выборок), позволяющих по экспериментальным данным входа-выхода выявить динамические свойства и оценить состояние исследуемой системы. В этой связи особо актуальными становятся исследования, посвященные анализу факторов, влияющих на состоятельность практических рекомендаций в области идентификации и синтеза цифровых непараметрических моделей систем, в ко торых протекают процессы с ярко выраженными нестационарными свойствами. Примерами таких систем являются современные электроэнергетические системы и системы товарных и фондовых рынков. В настоящее время существует несколько подходов к решению проблем, связанных с анализом нестационарной динамики. Один из этих подходов основан на методах, заимствованных из нелинейной динамики [1-5]. Однако данный подход является ограниченным, так как он подразумевает постоянство оператора эволюции системы, в силу чего нестационарность, вызванная 27 Математика, механика, информатика изменением структурного и количественного состава элементов системы и их связей, не может быть адекватно исследована и определена. Альтернативным подходом к анализу нестационарной динамики является разделение временных выборок, характеризующих данную динамику, на ква-зистационарные участки с последующей их классификацией. В этом случае целью анализа является отслеживание состояния выделенных участков. Само состояние квазистационарных участков может быть определено: - с помощью оценки спектрального состава на базе оконного преобразования Фурье [6; 7]. Однако применительно к анализу нестационарного поведения системы такая оценка также является ограниченной в силу чувствительности преобразования Фурье к локальным скачкам и пикам функции. Поэтому применение этого преобразования является неэффективным для процессов, которые могут быть представлены функциями, являющимися суммами периодических компонент с эволюционирующими во времени частотой и амплитудой. Кроме того, преобразование Фурье является взаимно однозначным преобразованием, в связи с чем вся случайная составляющая, которая содержится в гладкой функции, переходит в спектр. Для уменьшения случайности выполняют переход к спектральной плотности и используют спектральные окна. При этом возникают сложности с интерпретацией спектров в случае детерминированной функции, так как трудно заранее определить долю случайности в исследуемом процессе; - с помощью специальных статистических тестов, основанных на анализе характера распределений выделяемых участков [1; 8; 9]. Однако такой анализ может привести к неконтролируемой ошибке [10]. Еще одним существенным недостатком статистической классификации является неопределенность взаимодействия отдельных осциллирующих составляющих модели, связанная с трудностями учета относительных фазовых сдвигов комплексных выборок компонент. Очевидно, что в силу указанных ограничений использование любого из этих подходов будет недостаточно эффективным для обоснованного анализа нестационарной системы, характеризующейся интенсивными и значительными изменениями показателей, а также непостоянством составляющих движения. Таким образом, задачу непараметрического моделирования сложных динамических систем нельзя считать решенной и необходим поиск новых эффективных методов, позволяющих сформировать оценку динамического состояния системы в определенном режиме ее работы. Аппарат сингулярного разложения. В последнее время активно развиваются новые спектральные методы анализа, с помощью которых можно получать более полную информацию о нестационарном временном ряде. Так, вейвлет-преобразование благодаря подвижным частотно-временным окнам одинаково хорошо выявляет как низкочастотные, так и высокочастотные характеристики. При этом можно выделить как определенную пространственную (временную) частоту, так и ее локализацию в физическом пространстве (времени). Перспективным направлением в области исследования процессов, обладающих сложной структурой, также является метод, основанный на сингулярном разложении временного ряда на простейшие аддитивные составляющие, который позволяет исследовать структуры временных рядов [11; 12]. Суть этого метода заключается в преобразовании одномерной выборки нестационарного процесса в матрицу развертки с помощью однопараметрической процедуры элементов ряда и сингулярного разложения этой матрицы на основании фундаментального соотношения A = U х W х VT, (1) где U - унитарная матрица размером M*M; V - унитарная матрица размером N*N; W - матрица размером M*N, на главной диагонали которой находятся сингулярные неотрицательные числа, расположенные в порядке убывания, а все недиагональные элементы равны нулю. Из полученного набора главных сингулярных чисел, лежащих на диагонали матрицы W в соотношении (1), по условию значимости (убыванию модуля) выбирается такое их количество, по которому может быть восстановлена совокупность аддитивных составляющих, сумма которых с допустимой ошибкой совпадает с выборкой исходного процесса. Более подробно аппарат сингулярного разложения описан в [11-15]. Анализ, выполненный в [13], показал следующие преимущества сингулярного разложения перед другими известными дискретными методами спектрального анализа: - набор функций разложения порождается самой исследуемой функцией процесса f (t) и длиной окна M; - длина строки (окна) сингулярной матрицы развертки M позволяет легко варьировать качество и состав выделяемых составляющих; - существует возможность управляемого восстановления исходного процесса по интерпретируемым компонентам, в отличие от практически однозначных компонент фурье- и вейвлет-преобразований; - для реальных временных рядов отсутствует граничный эффект по параметру сдвига, определяемого, например, жесткой фиксацией набора вейвлет-функций; - представление отдельной собственной сингулярной функции в виде линейного фильтра показывает, что он обладает не комплексной, как в случае преобразования Фурье, а действительной частотной характеристикой, что снимает проблемы, связанные с моделированием фазовых сдвигов между составляющими. Таким образом, несмотря на достаточную простоту реализации, метод сингулярного разложения матрицы развертки (СРМР) имеет ряд важных свойств, позволяющих применять его для исследования сложны динамических процессов. 28 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева u4 u5 а б Рис. 1. Графики, образованные парами собственных векторов: а - высокое качество соответствия идеальному гармоническому сигналу; б - низкое качество соответствия идеальному гармоническому сигналу Формирование графических критериев качества выделения составляющих. Для оценки большинства сложных систем необходим отбор колебательных составляющих из полученной в результате сингулярного анализа системы компонентов разложения, так как они характеризуют физическую природу происходящих в системе волновых процессов, откуда возникает задача отбора осциллирующих составляющих. Для решения данной задачи на основе анализа фигур, образуемых в пространстве собственных векторов сингулярной матрицы развертки (рис. 1), была выполнена формализация графического критерия для определения соответствия выделяемых сингулярных компонент идеальному гармоническому сигналу. Следует отметить, что степень близости фигур к кругу (рис. 1, а), определяемая по эллипсоидному движению точки в пространстве собственных векторов и по отношению сторон ограничивающего прямоугольника, характеризует уровень соответствия компонент идеальному гармоническому сигналу. При этом для оценки близости выделяемых компонент к идеальному гармоническому сигналу можно использовать критерий уровня отклонения колебаний С: С = max (ДА-): i = 1, l -1, (1) где ДА;- - приращение между двумя соседними колебаниями (рис. 2); l - количество колебаний. Помимо определения осциллирующих компонент важное значение для оценки развития сложной системы имеет выделение компонент, характеризующих плавные тренды, которые косвенно могут оценивать: - наличие в системе процессов, характерный временной масштаб которых больше длительности интервала наблюдения; - влияние внешних факторов воздействия; - дрейф параметров системы. Для выделения плавных трендов при анализе сингулярного разложения предложен критерий уровня гладкости H, который характеризует угол приращения в, т. е. изменение значения производной в i-й точке анализируемой выборки (рис. 3): H = max (в;): i = 1, n-1. (2) Рис. 2. Определение базовых параметров для критерия уровня отклонения колебаний Этот критерий позволяет выявлять плавную трендовую динамику в исследуемом процессе исходя из заданного значения р. Рис. 3. Определение базовых параметров для критерия уровня гладкости Методика критериальной модификации сингулярного разложения. Представленные на рис. 1-3 графические критерии позволяют автоматизировать отбор выделяемых сингулярных составляющих, близ 29 Математика, механика, информатика ких к гармоническим и нелинейным плавным сигналам. Это обстоятельство было положено в основу модифицированной методики сингулярного разложения, с помощью которой можно оптимальным образом разделять исходный процесс до заданного уровня случайных составляющих и избегать получения искаженных составляющих движения. Алгоритм модифицированной методики сингулярного анализа с использованием графических критериев качества представлен ниже (рис. 4). Применение стандартного метода сингулярного анализа предполагает, что параметр M должен быть зафиксирован [14; 15]. В то же время для выделения осциллирующих составляющих такое требование является неоптимальным, поскольку выделение конкретных гармонических составляющих зависит от параметра M, который должен быть кратен периоду колебаний [14; 15]. Поэтому для применения предложенных графических критериев качества целесообразно производить выделение гармонических компонент при изменении параметра M. В этом случае формируется множество трендовых и осциллирующих компонент и возникает задача построения различных моделей комбинаторных конфигураций для определения вероятности присутствия выделенных свойств у исходного процесса, которая в данной статье не рассматривается, но предпосылки для ее решения можно найти в работе [16]. Пример 1. Рассмотрим процесс изменения напряжения U(t) на Жигулевской гидроэнергостанции (рис. 5), который характеризуется сложной нестационарной динамикой, что может объясняться многосвязностью и многомерностью сложной электроэнергетической системы. При этом диапазон рабочих режимов функционирования этой системы значительно расширяется. Так, в результате применения графических критериев качества для выделения осциллирующих составляющих при задании конкретного уровня отклонения колебаний С и параметра метода сингулярного разложения M = 100 для представленного на рис. 1 процесса были получены следующие результаты (табл. 1). Результаты модифицированного сингулярного анализа с использованием графических критериев качества для рассматриваемого в примере 1 процесса (см. рис. 5) представлены в табл. 2. По данным табл. 2 можно сделать вывод о том, что применение модифицированной критериальной методики сингулярного разложения позволяет повысить качество выделения гармонических компонент для сложных реальных электроэнергетических процессов и, следовательно, качество оценок динамического состояния современных электроэнергетических систем. Пример 2. В табл. 3 представлены результаты модифицированного сингулярного анализа с использованием графических критериев качества для процессов, протекающих на фондовом рынке. ' Начало _І_ Определение колебательных составляющих при анализе всех сингулярных составляющих: Ct < Сф У~ Конец Рис. 4. Блок-схема методики модифицированного сингулярного анализа 30 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева U Рис. 5. Процесс изменения напряжения на Жигулевской ГЭС (200 значений) по состоянию на 12 января 2007 г. Таблица 1 Результаты применения метода стандартного сингулярного анализа для выделения гармонических компонент Уровень отклонения колебаний С, % 20 30 40 50 60 Число гармонических компонент 0 0 0 2 5 Уровень от сигнала, % 0 0 0 3,51 6,11 Таблица 2 Результаты применения методики модифицированного сингулярного анализа для выделения гармонических компонент Уровень отклонения колебаний С, % 20 30 40 50 60 Число гармонических компонент 0 2 6 16 82 Уровень от сигнала, % 0 3,26 8,30 7,09 10,99 Таблица 3 Исследование структурного состава процесса изменения валютного курса Eur/USD Интервал времени Трендовые составляющие Гармонические составляющие Случайная составляющая Коли чество Уровень, % Средний уровень критерия H Коли чество Уровень, % Средний уровень критерия K Уровень, % С 5 июня 2005 г. по 29 мая 2007 г. 5 66,16 22,4 42 24,24 38,33 9,57 С 4 января 2007 г. по 30 мая 2007 г. 2 74,67 16,5 97 16,06 38,64 10,51 С 23 июня 2007 г. по 30 июня 2007 г. 1 14,04 29 33 74,55 38,11 11,41 Анализ данных табл. 3 показывает, что на долгосрочном и среднесрочном интервалах преобладает трендовая динамика, на краткосрочном интервале возрастает роль периодических и случайных факто ров, что отражает структурный состав выделяемых сингулярных компонент. Таким образом, более стабильный и предсказуемый характер имеют макроэкономические процессы на долгосрочном и среднесроч 31 Математика, механика, информатика ном интервалах. Этот вывод согласуется с теоретическими положениями, сформулированными специалистами в области макроэкономических систем. Таким образом, расширение и модификация классического алгоритма сингулярного разложения позволяют создать новую, достаточно перспективную методику анализа динамической нестационарности, с помощью которой можно получать оптимальный состав компонент, характеризующихся осциллирующими и трендовыми составляющими движения, имеющими предсказуемый характер и простое математическое описание. В частности, применение предложенной методики повышает качество выделения свободных колебательных составляющих в процессах, протекающих в сложных электроэнергетических системах, и помогает оценить состояние макроэкономических процессов на разных интервалах времени.