TO DYNAMIC ANALYSIS OF STEADY MOTION OF AN OUTPUT ELEMENT IN WAVE RACK AND PINION DRIVE

Full Text

Волновая реечная передача (ВРП) с роликовой рейкой [1] основана на взаимодействии многокулачкового вала с толкателями, контактирующими с выходным звеном - рейкой на линейных участках диаграмм их относительного движения. Количество толкателей в механизме преобразования движения выбирается таким, чтобы в зацеплении с роликами рейки одновременно находилось не менее двух толкателей. Это теоретически обеспечивает линейность функции положения выходного звена, малые изменения характеристики приведенной жесткости и равномерное распределение движущих сил по промежуточным звеньям. Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Вместе с тем известно, что работа кулачковых механизмов сопряжена с возникновением переменных ускорений на участках разгона и выбега при удалении и приближении толкателей. Переменные ускорения создают переменные силы инерции и динамическая система привода становится нелинейной. Одновременно с переменными ускорениями в системе возникают переменные аналоги скоростей центров масс звеньев, что вызывает переменность работы сил сопротивлений при их движении в механизме. В приводах с подобными механизмами возникает внутренняя виброактивность, снижающая их динамическое качество. Динамический анализ привода при взаимодействии с механической системой, имеющей переменные параметры (содержащей шарнирно-рычажные и кулачковые механизмы), методом последовательного приближения разработан М. З. Коловским и подробно освещен в научной и учебной литературе [2; 3]. Волновая реечная передача является своеобразным многокулачковым механизмом, в котором исполнительный орган - рейка - перемещается с постоянной скоростью подобно гайке в винтовом механизме. Приводной вал содержит Z кулачков, установленных с фазовым разворотом друг относительно друга на угол ф = 2л / Z . Промежуточные приводные звенья - толкатели - перемещаются в корпусе механизма в соответствии с диаграммами (рис. 1) [1], взаимодействуя с роликами рейки на ее линейных участках, с фазовым сдвигом. Перемещение толкателей на остальных участках диаграммы происходит без взаимодействия с роликами рейки. стикой двигателя. В этом случае задача сводится к отысканию периодического решения уравнения Jun (q) q + 0,5 • Jпр (q) dq (q) = 0,м(u, q)+Tcq q), (1) где J^ (q) - переменный приведенный момент инерции машинного агрегата; QRyi (u, q) - идеальная характеристика движущего момента, зависящая от напряжения и и скорости ротора q; Tc (q, q) - приведенный момент активных сил сопротивления. Рис. 1. Диаграмма относительного движения толкателей с участками: 1-2 - нижнего выстоя; 2-3 - разгона; 3-4 - линейного движения; 4-5 - выбега; Pp, P 'p- шаг рейки и расчетный шаг. Участки приближения толкателя симметричны участкам его удаления Рассмотрим принципиальную схему ВРП (рис. 2). За один оборот кулачкового вала толкатели последовательно войдут в контакт с роликами рейки и каждый переместит ее на величину AP = Pp / Z . Приводной управляемый электродвигатель соединен непосредственно с кулачковым валом через муфту. Исследование установившегося движения агрегата выполним, воспользовавшись статической характери Рис. 2. Схема взаимодействия в ВРП кинематических элементов: 1 - вал кулачковый; 2 - толкатель с клиньями, перемещающийся в направляющих корпуса; 3 - рейка с вращающимися роликами (цевками) Приведенный момент инерции агрегата определим по зависимости Z Jпр(q) = J + jк.в + mpV2.р-10~б+тт -10~6£v2.т, (2) к=1 где JR, JKli - моменты инерции ротора двигателя и кулачкового вала; m тт - массы рабочего органа и толкателя; V с.р, Vс т - аналоги скорости рейки с рабочим органом и скорости толкателя, мм/рад. При анализе динамики ВРП следует учитывать две ее особенности. Первая особенность заключается в симметричности значений аналогов скорости толкателя на участках удаления и приближения за один оборот кулачкового вала (рис. 3). Vc (ф) \ 0 45 90 135 180 \225 270 315 т (ре зво Рис. 3. Аналог скорости толкателя 45 Математика, механика, информатика В соответствии с этой особенностью, а также учитывая возведение в квадрат аналога скорости V ст в зависимости (2), последнее слагаемое можно записать в виде укороченной суммы Z/2 ./пр.т = 2тт -10-6LV2.т . (3) к=1 Второй особенностью ВРП является циклическое изменение инерционных характеристик механизма, связанное со входом в зацепление очередного толкателя. Аналоги скорости соседних зацепляющихся толкателей сдвинуты по фазе. На рис. 3 утолщенными линиями показаны начальные положения аналогов скоростей толкателей, сдвинутых по фазе относительно первого толкателя, находящегося в начальном положении. Это позволяет при расчете приведенного момента инерции толкателей по зависимости (3) рассматривать значения аналогов их скоростей лишь на угловом участке поворота кулачкового вала Фр = 2л / Z , т. е. до момента входа в зацепление очередного толкателя. В связи с этим привод с ВРП можно рассматривать как передаточный механизм, в котором используется мультипликатор с передаточным отношением i = Z /1: за один оборот вала электродвигателя рабочий вал с кулачковым механизмом как бы вращается в Z раз быстрее. При этом приведенный момент инерции рейки с рабочим органом является величиной постоянной, так как рейка движется с постоянной скоростью, взаимодействуя с толкателями с коэффициентом перекрытия єар = 2,33 . Аналог скорости рейки V с.р связан с аналогом скорости толкателя V ст на линейном участке его движения зависимостью Vc p = Vc, - tg(ap), (4) где ар - угол клина на толкателе. Для ВРП приведенный момент активных сил сопротивления Tc (q, q) в зависимости (1) также следует рассматривать как величину постоянную. Рассмотрим пример расчета неравномерности движения агрегата с ВРП, у которого число толкателей Z = 8, шаг роликов рейки Рр = 20 мм. ВРП обеспечивает тяговое усилие 1 300 Н, скорость перемещения рейки при номинальной частоте вращения ротора электродвигателя пн = 1 000 мин1 - 0,33 м/с. Масса перемещаемого рабочего органа тр = 100 кг. Привод ной электродвигатель - ДК1-5,2-1ХХ-АТ с параметрами: мощность W = 0,54 кВт, напряжение U = 110 В, ток при номинальном режиме J„ = 6,5 A, ток холостого хода Jx = 0,8A, сопротивление обмоток якоря R = 2,1 Ом, момент инерции ротора Ja = 4,16E - 3 кгм2, номинальный крутящий момент Тн = 5,2 Нм. Конструктивные параметры ВРП: полный ход толкателей кт = 12,06 мм, ход толкателей при взаимодействии с роликами рейки (активный ход) ha = 8,32 мм, диаметр роликов й?р = 5,5 мм, масса толкателя тт = 0,093 кг, момент инерции кулачкового вала Jl^в = 1,б -10 4 кгм2. Расчетные значения аналогов скоростей толкателей для десяти положений на участке поворота кулачкового вала фрасч = 2л /Z = 45° приведены в табл. 1. Значения приведенного момента инерции толкателей, рассчитанные по выражению (3), приведены в табл. 2 Значение приведенного момента инерции рабочего органа с рейкой, кгм2: Jnpp (q) = тр V с2.р -10б = 0,001013. Суммарный приведенный момент инерции привода машинного агрегата с ВРП представим в виде ряда Фурье, принимая за условный период время поворота кулачкового вала на угол фрасч: J^ (q)=J0 +2 J* S, (5) п=1 10 где J0 - постоянная составляющая; J - переменная составляющая, определенная как сумма двух гармоник (Jic - гармоника по косинусу; Jis - гармоника по синусу), вычисленных по формулам т 1-10 “ ,2лп лп J1c = 5 L Jпр (—)cos(—^ 5 n=1 5 5 1Д “ 2 ли . лп J1s = 5 L Jпр(—)sin(—); 5 п=1 5 5 1-^ ^ (2лп) (2лп) J2c = 5 L Jпр (—) cos(—); 5 п=1 5 5 1-^ ^ (2лп) . (2лп) J2s = 5 L Jпр (“Г") Sin(—) . 5 п=1 5 5 Построим при помощи MathCad графики рассчитанных J^ и dJ^ (q)/ dq (рис. 4). Таблица 1 Аналоги скоростей толкателей, мм/рад № толкателя Угловые положения толкателей 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 1 0 0 0,145 0,564 1,212 2,018 2,892 3,739 4,466 4,992 2 5,261 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 3 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 4 5,297 5,297 5,234 4,871 4,212 3,345 2,385 1,460 0,182 0 46 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Суммарные приведенные моменты инерции толкателей, кгм2 Таблица 2 1 J /10б 1 1 ^пр.т/1и 1 15,5 | ,9 ТТ ,5 ,6 13,8 1 13,1 1 13,0 | 13,4 | 14,2 1 15,0 | Рис. 4. Характеристики приведенного момента инерции Уравнение движения машинного агрегата, учитывая постоянство приведенного момента активных сил сопротивления Tc(q, q) в зависимости (1), запишем в форме .. ■ = .. 0,5J (q) . 2 J0 V- Тд (q) - Tc = J (q) ■ q--(q)2, (б) где у - динамическая ошибка углового положения ротора; Тд (q) - движущий момент, Нм. Представим движущий момент в виде статической характеристики, рассчитанной по данным двигателя: ■ К Тд(q) =—1(U -К2 ■ 30■ю / л) = R = 40,875 - 0,3405■ю tg(aр) + ^ ^ = 3/ (7) Т = F ■V c тяг с.т щающего момента і(юср, t) с использованием коэффициентов разложения в ряд Фурье J^ (q): (8) LC + l£ > L(ut) = 2 [L/ cos(/ut +1 a/], i=1 где I - порядок гармоники; Lt =-yj Llc = -0,5 ■ JJv2 , Lb = -0,5 ■ JJv2 ; Jic, J/s - коэффициенты разложения в ряд Фурье функции J^q); и = юе-Z. Угол а/ определяется с учетом знака sin a/ =- — и cos a/ =-—. Поскольку значения Li производной Jпр (q) dq Li на три порядка меньше значе- = 5,297 ■ 10-3 (1300 ■ tg(ap) +175) = 5,06, где Tc - приведенный момент сил сопротивления на рабочем органе и ведущих толкателях, Нм; F^ - тяговое усилие на рейке, H; F^ - аналог скорости толкателя; F^ = 175 Н - сила трения на ведущих толкателях; К1 = 0,78, К2 = 0,096 - конструктивные параметры; коэффициент при угловой скорости ю представляет собой крутизну s = 0,340 5 статической характеристики двигателя. Из уравнения (б), полагая в нулевом приближении его правую часть равной нулю, а также что у = 0 и знаки момента сил сопротивления и движущего момента противоположны, определим среднюю скорость вращения ротора двигателя, с-1: ю = (40875-506) = 105 8. ф 0,430 5 Динамическую ошибку | у |<< ю определим из (6), представив его правую часть в виде возму ния коэффициентов разложения в ряд Фурье функции J (q) (рис. 4), ее учитывать не будем. Динамическую ошибку скорости в первом приближении определим по выражению [4] у = L I Lisin(/ut + ai + 5i I=1 ■J12 u2 + s2 (9) где 5/ = arctg(-) + л. J0/u Рассчитанная ошибка скорости вала электродвигателя, а также рабочего органа ВРП представлена графиком на рис. 5. По максимальному и минимальному значениям ошибки скорости определен коэффициент неравномерности движения рабочего органа ВРП: 5 = 0,052 + 0,045 Vmax -У min _ ю,, 105,2 *0,001. Итак, предложена методика расчетной оценки неравномерности движения выходного звена волновой реечной передачи - рейки с рабочим органом - 47 Математика, механика, информатика В приведенном значении момента инерции передачи следует учитывать его изменение в связи с цикличностью входа в зацепление очередного толкателя, а также частоту возмущающего воздействия от переменного момента инерции - в Z раз превышающую частоту вращения кулачкового вала, где Z - количество кулачковых механизмов в передаче.

About the authors

G. N. Limarenko

Email: lim-gerold@yandex.ru

M. V. Shevchugov

Email: absolutes@mail.ru

A. N. Schepin

Email: stepler8@yandex.ru

References

Supplementary files