COMPUTER MODELING OF FINITE TWO-GENERATOR GROUPS OF EXPONENT 5

Abstract

Let B 0 (2,5, k) be the largest finite, provided by two, Burnside group ofperiod of the 5 th step of nilpotency k, and {a 1, a 2} be generators of this group. In this article the growth functions of the groups B 0(2,5, k) relative to A = {a 1, a- 1, a 2, a- 1}, are calculated for cases k = 1, 2, 3, 4, 5.

Full Text

Пусть B0(2,5, k) - максимальная конечная двупо-рожденная бернсайдова группа периода 5 ступени нильпотентности k. В данном классе групп наибольшей является группа В0 (2,5,12), порядок которой равен 534 [1]. Положим, что {aj, a2} - порождающие элементы В0 (2,5, k). Авторами вычислены функции роста указанных групп для порождающего множества A = {a1, af1, a2, a-1} при k < 5 . Функция роста группы B0(2,5,6) относительно А получена Ч. Симсом в работе [2]. На множестве А введем отношение порядка х (меньше): a1 х a-1 х a2 х a-1. Для получения функции роста и диаметра Кэли относительно А необходимо перечислить все элементы группы в формате минимальных слов [2], а после определения количества слов на каждой длине можно будет найти функцию роста группы, при этом максимально возможная длина минимальных слов будет являться диаметром Кэли группы. Отметим, что для случаев k = 2, 3, 4, 5 были использованы компьютерные вычисления, основанные на алгоритме перечисления элементов группы. Алгоритм перечисления элементов группы. Пусть p - простое число, а G - конечная группа экспоненты p. Это значит, что gp = 1 для всех g е G. Так как группа G нильпотентна, то мы можем найти цепочку подгрупп Gi (1 < i < n), обладающих следующими свойствами: - G = G1 3 G2 3 ...3 Gn 3 Gn+1 = e; - Gi нормальны в G; - факторы Gi / Gi+1 имеют порядок p и лежат в центре G / GM. Пусть для 1 < i < n элемент ai е Gi, но ai g Gi+. Тогда каждый элемент группы g е G однозначным образом записывается в виде g = <a22...aln, 0 < Yi < p. (1) Такое представление элементов группы (pc-представление) можно получить при помощи алгоритма, известного как P-Quotient Algorithm [3]. Он реализован в системах компьютерной алгебры GAP и Magma. Если А - порождающее множество группы G, то любой ее элемент, записанный в виде слова a1a2 ...as, где ai е A , можно преобразовать к виду (1): pq a1a2 ...as ^a/1 a^^.al". (2) Процедура (2) дает возможность решить проблему равенства слов в G. На ее основе мы можем перечислить элементы G в формате минимальных слов. Обозначим через Ks (G) множество всех минимальных слов группы G, не превосходящих по длине s, через множество Qs (G) - элементы Ks (G), записанные в виде правой части (2), через e - пустое слово - единицу группы. Пусть s0 е N - минимальное число, для которого выполняется равенство Ks0(G) = Ks0 +1(G). В этом случае s0 будет являться диаметром Кэли группы G. Опишем алгоритм, вычисляющий Ks. Шаг 1: s = 0, K0 = {e}, Q0 = {e}, T = K0. Шаг 2: s = s +1, Ks = K^, Qs = Qs_x, V = xT u yT , T = 0 , i = 1. Шаг 3. Для vi е V v = f (vi). Если v g Qs, то Ks = Ks uv , Qs = Qs uv, T = Tuv . Шаг 4. Если i < |V|, то i = i +1 и переход на шаг 3; если i = | V|, то переход на шаг 5. Шаг 5. Если T ^0, то переход на шаг 2; если T = 0, то переход на шаг 6. Шаг 6. Если диаметр G равен s -1, то тогда Ks-1(G) - множество всех минимальных слов группы. Шаг 7. Завершение работы алгоритма. Таблица 1 Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов 0 1 2 8 4 4 1 4 3 8 - - B0(2, 5,1)| = 52 = 25 Таблица 2 Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов 0 1 2 12 4 62 6 2 1 4 3 32 5 12 - - |B0(2,5,2)| = 53 = 125 Группа В0(2,5,1). Данная группа представляет собой элементарную абелеву группу, порядок которой равен 52 . Нетрудно вычислить функцию роста данной группы и диаметр Кэли (табл. 1). Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Относительно порождающего множества А группа B0 (2,5,1) имеет диаметр Кэли, равный 4, а функция ее роста задана табл. 1. Доказательство теоремы очевидно. Группа В0(2,5,2). Любой элемент группы B0 (2, 5, 2) может быть представлен в виде нормального коммутаторного слова [1]: g = ai2 al3, уг. е Z5. т -14 -14 Здесь и далее a1 = a1 и a2 = a2 . Для умножения элементов будем использовать полиномы Холла, полученные в [4]. Пусть aX a^ a33 и a1y ay2 ayy - два произвольных элемента в группе B0 (2,5,2), записанных в коммутаторном виде. Тогда их произведение aXa2?aX3 ■ ay a?,2с,3 = aZa22aZ3, где zi е Z5, и X = X1 + УJ, z2 = X2 + y2 , Z3 = X3 + y3 + X2 У1. Применив алгоритм перечисления элементов группы, получим функцию роста группы B0 (2,5,2) (табл. 2). Имеет место следующая теорема. Теорема 2. Относительно порождающего множества А группа B0 (2, 5, 2) имеет диаметр Кэли, равный 6, а функция ее роста задана табл. 2. Доказательство теоремы следует из вычислений функции роста группы B0 (2,5,2) по алгоритму перечисления элементов группы. Группа В0 (2,5,3). Каждый элемент группы B0 (2,5,3) может быть представлен в виде нормального коммутаторного слова g = a! a22 aj3 a{4 aj5, yi ■Z5. Пусть aXa2aX3a^4a5X5 и a/1 a2 2ay3 ayA4a5y5 - два произвольных элемента в группе B0 (2,5,3), записанных в коммутаторном виде. Тогда их произведение aX aX2 aX3 aX4 a^5 ■ ay a22 a3,3 ayA4 ay = где z е Z5 = aX a2,2 a3 a^4 a5 X = X + УJ, z2 = X2 + y2 , z3 = X3 + y3 + X2 y ' y Z4 = X4 + y4 + X2 + X3 y Z5 = X5 + y5 + X2 y y2 + ^ 2 I y + X3 y2 . Здесь и далее n! биномиальный r !(n - r)! коэффициент. Используя алгоритм перечисления элементов группы, вычислим функцию роста группы B0 (2,5,3) (табл. 3). Справедлива следующая теорема. Теорема 3. Относительно порождающего множества А группа B0 (2,5,3) имеет диаметр Кэли, равный 10, а функция ее роста задана табл. 3. Доказательство теоремы следует из вычислений функции роста группы B0 (2,5,3) по алгоритму перечисления элементов группы. 60 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Группа В0 (2,5,4). Каждый элемент группы B0 (2, 5, 4) может быть представлен в виде нормального коммутаторного слова: g = a/1 a~2 a]3 a\4 aj5 a^6 a]1 a'88, yi е Z5. Пусть aX a2 aj^3 a^4 a5l5 aX6 a]1 a^X8 и с!”1 a”2 a33 aУ4 ay5 a”6 a]1 a”8 - два произвольных элемента в группе B0 (2,5,4), записанных в коммутаторном виде. Тогда их произведение CjXj aX2 a^3 aX4 a^ a^6 a]?7 a^X8 ■ a”1 a”2 c”3 a;”4 ay 5 a^”6 a:”7 a;”8 = = a1j a^2 a33 a^4 a.15 a<16 a-17 a^8 , где zt е Z5, и zi = Xj + УJ, z2 = X2 + У2 , z3 = X3 + У3 + X2 УJ, I yj 1 z4 = X4 + У4 + X2 I 2 1 + X3 У1: Z5 = X5 + У5 + X2У1У2 +^ 2 |У1 + X3У2 . Z6 = X6 + У6 + X2 !y3JJ+ X3 I y I + X4У/ Z7 = X7 + y7 +| ^ 11 У2 I + + X2 ! yj I У2 + X3 У/ У2 + X4 У2 + X5 yj, Z8 = X8 + У8 +| X I У1 +1 X2 | У1У2 + + X2 yj | -У2 J + X3 | У22 J + X5 y2 , Применив алгоритм перечисления элементов группы, найдем функцию роста группы B0 (2, 5, 4) (табл. 4). Имеет место следующая теорема. Теорема 4. Относительно порождающего множества А группа B0 (2,5,4) имеет диаметр Кэли, равный 19, а функция ее роста задана табл. 4. Доказательство теоремы следует из вычислений функции роста группы B0 (2,5,4) по алгоритму перечисления элементов группы. Таблица 3 Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов 0 1 3 32 6 572 9 178 1 4 4 88 7 1 068 10 16 2 12 5 236 8 918 - - |B0(2,5,3)| = 55 = 3125 Таблица 4 Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов 0 1 5 236 10 24 380 15 29 304 1 4 6 632 11 49 056 16 3 168 2 12 7 1 660 12 83 204 17 198 3 32 8 4 220 13 102 930 18 40 4 88 9 10 512 14 80 944 18 4 |B0(2,5,4)| = 58 = 390 6 25 Таблица 5 Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов 0 1 6 632 12 215 242 18 259 624 1 4 7 1 688 13 546 024 19 4 752 2 12 8 4 476 14 1 266 612 20 92 3 32 9 11 896 15 2 438 246 - - 4 88 10 31 368 16 3 112 570 - - 5 236 11 82 356 17 1 789 674 - - |B0(2,5,5)| = 510 = 9 765 625 61 Математика, механика, информатика Таблица 6 Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов 0 1 8 4 476 16 10 401 496 24 1 000 867 498 1 4 9 11 896 17 26 831 306 25 130 718 312 2 12 10 31 528 18 68 290 046 26 1 353 842 3 32 11 83 508 19 169 729 186 27 3 454 4 88 12 221 108 20 403 331 722 28 714 5 236 13 582 828 21 873 779 504 29 146 6 632 14 1 529 508 22 1 558 150 656 30 12 7 1 688 15 3 998 452 23 1 853 591 734 - - |B0(2,5,6)| = 514 = 6 103 515 625 Группа B0(2,5,5). Аналогичным образом вычислим функцию роста группы B0(2,5,5) (табл. 5). Справедлива следующая теорема. Теорема 5. В алфавите А группа B0(2,5,5) имеет диаметр Кэли, равный 20, а функция ее роста задана табл. 5. Доказательство теоремы следует из вычислений функции роста группы В0 (2,5,5) по алгоритму перечисления элементов группы. Группа B0(2,5,6). Функция роста группы В0(2,5,6) вычислена в работе [2] (табл. 6).