BOUT THE PERIODIC PART OF THE SHUNKOV’S GROUP, SATURATED WITH L 2( p n)

Аннотация

Let I be a set of indices, К α — a finite field for any αϵI, M={L 2 (К α )|αϵI} and N={SL 2 (К α)|αϵI}. The authors established that the Shunkov’s group, saturated with groups from the set M (consequently N), has a periodic part T (G), isomorphic part L 2 (P) (consequently SL 2 (P)), for a suitable local finite field P.

Толық мәтін

Группа G насыщена группами из множества групп Ш, если любая конечная подгруппа из G содержится в подгруппе, изоморфной некоторой группе из Ш[1]. Напомним определение группы Шункова. Группа называется группой Шункова, если в каждом ее сечении по конечной подгруппе, включая единичную, любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу. В данной работе I означает множество индексов, Ка - конечное поле для любого а е I, M ={L2 (К а )|а е I} и N = rSL2 (Ка )|а е I} . Отме тим, что для различных а и в характеристики полей К а и Кр могут быть различными. В [2] доказано, что произвольная периодическая группа G , насыщенная группами из множества M (соответственно N), изомофна L2 (P) (соответственно SL2 (P)) для подходящего локально конечного поля P. В данной работе этот результат переносится на группы Шункова без предположения о их периодичности. Доказываются следующие теоремы. Теорема 1. Группа Шункова G, насыщенная группами из множества M , обладает периодической 67 Математика, механика, информатика частью T (G), изоморфной простой группе L2 (P) над подходящим локально конечным полем P . Теорема 2. Группа Шункова G , насыщенная группами из множества N , обладает периодической частью T (G), изоморфной группе SL2 (P) над подходящим локально конечным полем P. Доказательство теоремы 1. Пусть G - контрпример к теореме 1. Обозначим через S силовскую 2-подгруппу группы G . Лемма 1. Если в периодической группе G некоторая силовская 2-подгруппа конечна, то все силовские 2-подгруппы из G конечны и сопряжены. Доказательство. Обозначим через S конечную силовскую 2-подгруппу группы G и пусть |S = 2k . Воспользуемся индукцией по k. При k = 1, |S = 2 , S = (s), где s2 = 1. Возьмем другую силовскую 2-подгруппу S1 из G со свойством S1 Ф S. Для любой инволюции у е S1, группа D = ( y,s} = (d) Х( s} = (d) Х( y) - конечный диэдр. Так как S является силовской 2-подгруппой в G, то таковой она будет и в D , следовательно, (d) - подгруппа нечетного порядка и для некоторого x е s = yx е S1x . Последнее означает, что S с S1y , а так как S - силовская 2-подгруппа в G, то S = S1y. Итак, для k = 1 утверждение леммы доказано. Рассмотрим случай k > 1. Пусть, как и выше, S1 - некоторая силовская 2-подгруппа в G и S1 Ф S. Пусть s е Z (S), |s| = 2 и x - произвольная инволюция из S1. Группа P = (x,s) = d%(s} - конечная группа диэдра и либо s = xy для некоторого x е(d) и S n S1y Ф 1, либо (d) содержит инволюцию и е CG (s) n CG (у). В фактор-группе CG (s) / (s} все силовские 2-подгруппы конечны и сопряжены (индуктивное предположение), и, следовательно, можно считать, что и е S, для некоторого y е G . Пусть S2 силовская 2-подгруппа, содержащая (U х(x} . Очевидно, и е S2 n S . Если S2 = (Sy)g для некоторого g е G, то, очевидно, и е S1 n Syg ф 1. Если же для любого g е G выполняется неравенство S2 Ф (Sy)g , то возьмем в качестве S1 группу S2. Таким образом, можно считать, что в множестве всех несопряженных с S силовских 2-подгрупп найдется такая, мы ее обозначим через S1, что S1 n S ф 1. Более того, используя конечность S , можно считать, что пересечение D = S1 n S - максимально возможное по порядку для любой другой силовской 2-подгруппы X, несопряженной с S |X n S| < |D|. Из всех пересечений указанного вида выберем максимальное по порядку, т. е. D = S n S1y и для любого у е g|sn S1y | < Dl. Используя нормализаторное условие в 2-группах, выбираем элементы x1 е S (S n S1) и у1 е S1 \ (S n S1) со свойством x12 е D , y12 е D (x1 ,y^ е N (D). Группа L = (D, x1, y1 ^ конечна и в ней силовские 2-подгруппы сопряжены. Пусть (D, с S2 с Syl2L, (Д с S3 с Syl2L. Поскольку |(D, x^| > Dl, то для некоторого D справедливо включение S2 g с S . Так как L конечна, то S2 = S3h для некоторого h е L . Отсюда S3hg с S и S3 с Sg h , т. е. (D, y^ с Sg h-1 n S1 или (D, y-^h с S n S1hg , но |(D, y^|hy > D|. Последнее означает, что S и S1hg сопряжены, а значит, S и S1 также сопряжены. Противоречие с выбором S1 . Лемма доказана. Лемма 2. Группа Шункова, насыщенная группами диэдра, обладает периодической частью, которая является (локально) конечным диэдром. Доказательство. Возьмем 1 Ф b е G и |b| = p > 2, где p простое число. Конечная группа (b, bx^ лежит в конечном диэдре из G и (b} = (b^. Следовательно, все элементы из G, имеющие простой порядок Ф 2, образуют в G нормальную (локально) циклическую подгруппу N1. Фактор-группа G1 = G / N1 является группой Шункова и насыщена группами диэдра. Относительно группы G1 повторим рассуждения, проведенные выше для G . Подгруппу из G1 , порожденную всеми элементами простых порядков Ф 2, обозначим N2 . Она локально циклическая и нормальна в G1. Положим, что G2 = G1 / N2 - группа Шункова и насыщена группами диэдра. Действуя индуктивно, строим цепочку подгрупп N1 с N2 с ... с Nk с ..., где Nk - полный прообраз Nk в G . Положим N = uNk . Фактор-группа G = G / N является группой Шункова. Так как N локально конечна, то G насыщена группами диэдра и состоит из 2-элементов и элементов бесконечного порядка. Положим G = G . Пусть b е G , |b| = 4 , a е (b} и a2 = 1. Для произвольной инволюции x е G(x,a} = =d Ч x) = (d) a} - конечный диэдр. Если |(d) > 2, то (b,d1) - конечна, ( е(d), Щ = 4) и яв 68 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева ляется подгруппой конечного диэдра из G, что невозможно, так как (d^ = 4. Итак, |d| = 2 , что означает перестановочность a и x , в частности, перестановочны a и ag для любого g е G . Из последнего вытекает конечность ^b,bG^ (свойство группы Шункова). По условию насыщенности {b,bG^j лежит в конечном диэдре из G , что возможно только в случае b = (bgSj . Таким образом, b < G . Пусть теперь (b1>Ф (b2> и Ы = |b2| = 4 . По только что доказанному h) < g и (b2) < G . Следовательно, (b^{'b2) - конечная нормальная подгруппа в G, которая по условию насыщенности является подгруппой конечного диэдра из G, т. е. = (b2), что противоречит нашему предположению. Итак, G содержит единственную подгруппу порядка 4 . Возьмем инволюцию t е G / N . Пусть x е G и tx Ф t и группа T = (t,tx^ - конечный диэдр. Группа M = NT локально конечна и насыщена группами диэдра. Следовательно, M = LX (t) = LX^tx ^. Последнее означает, что в фактор-группе G = G / N инволюции t и tx перестановочны. Этим доказано, что G обладает периодической частью T , которая является 2-группой. По теореме Шмидта ее полный прообраз T является периодической частью группы G . Лемма доказана. Лемма 3. Все инволюции из G сопряжены. Доказательство. Пусть x, y - две различные инволюции из G . По условию насыщенности (x,y) с L с G , где L = L2 (Ка). Хорошо известно, что в L2 (Ка) все инволюции сопряжены [2]. Следовательно, для некоторого g е L, x = yg . Лемма доказана. Лемма 4. Если S - конечная группа, то все силовские 2-подгруппы из G сопряжены и S - одного из следующих типов: 1) S - группа диэдра; 2) S - элементарная абелева группа и |S| > 4. Доказательство. То, что все силовские 2-подгруппы группы G конечны и сопряжены, вытекает из [4]. По условию насыщенности S с L с G и L = L2 (Ка). По [3, с. 9-10], S либо типа 1, либо типа 2. Лемма доказана. Лемма 5. Если S - бесконечная группа, то все си-ловские 2-подгруппы из G сопряжены и S - одного из следующих типов: 1) S = Sk(t}, где S - квазициклическая 2-группа, t2 = 1 и st = s 1 для любого s е S ; 2) S - бесконечная элементарная абелева группа. Доказательство. Предположим вначале, что в G нет элементов порядка 4. Тогда в G любая 2-подгруппа, в частности S , элементарная абелева. Пусть S1 - другая силовская 2-подгруппа группы G . Возьмем инволюцию x е S и инволюцию y е S1. По условию насыщенности {x, y) с R = L2 (Ка ) . Следовательно, x = yg для некоторого g е R и x е S n S1g . Пусть S Ф S1g . Возьмем инволюцию v е S \ S n S1g и инволюцию S е Sg \S n S1g . По условию насыщенности конечная группа (x, v, w) с L = L2 (Кр) и (x, v, w) с CL (x). Рассмотрим случай, когда Кр - конечное поле нечетной характеристики. Тогда К1 = (x} х(v) и К2 = ^Wj являются си-ловскими 2-подгруппами группы L и сопряжены в ней при помощи некоторого элемента b е L, К16 = К2. Таким образом, | S n S1gb |> 4 . Предположим, что S Ф Sf-1. Для любых инволюций t е S\S n S1gb и z е S1gb \ S n S1gb группа (К1, t, z) конечна и по условию насыщенности группа (К1, t, ^ с N = L2 (Ку). Так как К1 ^^ - элементарная абелева группа порядка 8, то Ку - конечное поле характеристики 2. Но тогда (К1, t, z) с M е Syl2N, M - элементарная абелева группа и инволюции t,z перестановочны. Последнее означает поэлементную перестановочность групп S и S1gb . Так как обе они являются силовскими 2-подгруппами из G , то S = SS1gb = S1gb . Рассмотрим случай, когда Кр имеет характеристику 2. Здесь, рассуждая, как и для группы N , снова получаем поэлементную перестановочность групп S и S1g , что влечет равенство S = S1g . Итак, если G не содержит элементов порядка 4, то S типа 4 и все силовские 2-подгруппы из G сопряжены. Предположим теперь, что G содержит элемент порядка 4. Покажем, что в этом случае S так же содержит элемент порядка 4. Предположим обратное. Пусть a - фиксированная инволюция из S и a е (d) S , где | d|= 4 (лемма 3). По условию насыщенности, конечная группа (d, z), где z - произвольная инволюция из S , отличная от a , лежит в некоторой L = L2 (Ка), где Ка - конечное поле нечетной характеристики (|d| = 4). По [3] (a) - конечная группа диэдра. Но тогда dz = d 1 и группа (d}S является 2-группой. Так как S - силовская 2-подгруппа группы G, то {d^jS = S, т. е. (d) с S. Противоречие с выбором d . 69 Математика, механика, информатика Итак, без ограничения общности можно считать, что (d) с S. В этом случае S насыщена группами диэдра, Z(S) = (a} и, по [5, лемма 15], S = SX(^, где S - квазициклическая 2-группа, t2 = 1 и для любого s е S, st = s-1. Докажем сопряженность силовских 2-подгрупп для нашего случая. Пусть S1, S2 е Syl2G. По доказанному выше, S1 = SX(v) , S2 = SX(W, где S1, S2 - ква-зициклические 2-группы, v2 = w2 = 1 и Sg = S1-1, SW = S-1 для любых S1 е S1 и S2 е S2 . Пусть i, j -инволюции из S1 и S2 соответственно. Так как (i, j) с К с G и К = L2 (Ка), то для некоторого x е К , i = jx и, следовательно, 1Ф i е S1 n S2. Но тогда S n S2. Положим Я = S n S^ . Тогда S1 = HX( v), S2x = HX( w, силовская 2-подгруппа в N = Ng (Н)/ Н конечна и имеет порядок 2. Следовательно, для некоторого g е N , (wH)g = tH . Пусть g = gH , тогда очевидно S2xg" = S1 и лемма доказана. Лемма 6. Если CG (a) содержит конечное число элементов конечного порядка, теорема 1 верна. Доказательство. Если CG (a) содержит конечное число элементов конечного порядка, то, по теореме Дицмана, CG (a) обладает периодической частью T (CG (a))= Ta и либ0 Ta = b X (0 , либ0 Ta = S0 - элементарная абелева группа, где S0 типа 2 из леммы 4. В этой ситуации G так же содержит конечное число элементов конечного порядка. Так как в противном случае, по теореме А. К. Шлёпкина, в G есть бесконечная локально конечная подгруппа M такая, что \L\ > m, где m - произвольное число. Ясно, что в этом случае |Ta| так же может быть сколь угодно большим, чем |(b) х(t)| и |S0|. Лемма доказана. Лемма 7. Если CG (a) содержит бесконечное число элементов конечного порядка, теорема 1 верна. Доказательство. Пусть К - конечная подгруппа из C . По условию насыщенности, К с L ^ L2 (Ка ) и К с CL (a). В данном случае либо все CL (К) - конечные группы диэдра, либо элементарные абелевы 2-группы (леммы 4, 5). В этом случае периодическая часть Ta является либо локально конечным диэдром, либо бесконечной элементарной абелевой 2-группой. Обе эти структуры не могут существовать одновременно и G обладает периодической частью, изо морфной L2 (Q) для подходящего локально конечного поля Q . Лемма доказана. Лемма 8. G обладает локально конечной простой подгруппой L такой, что CG (a) с L и L = L2 (P), где P - локально конечное поле нечетной характеристики p . Доказательство. Как следует из леммы 6, CG (a) представима в виде объединения возрастающей цепочки конечных подгрупп диэдра D с... сDn с..., (1) причем без ограничения общности можно считать, что ^n |> 4 и каждая из подгрупп Dn совпадает с централизатором инволюции a в некоторой простой подгруппе Ln из G, где Ln = L2 (Ка), причем Ка -конечное поле нечетной характеристики. Таким образом, Dn с Ln , Dn с CLn (a) и цепочке (1) поставлена в соответствие последовательность A,..., Ln,... (2) конечных простых подгрупп из G . Далее, Dn = CnX (t), где Cn - циклическая группа. По [3, с. 9-10], инволюции a и t сопряжены в Ln, в частности, подгруппа CLn (a) = Dn сопряжена в Ln с подгруппой Tn = CLn (t). По лемме 6, подгруппа Cn в CG (a) однозначно определена своим порядком mn =|Cn|; то же самое верно для подгруппы Vn, где Vn - однозначно определяемая циклическая подгруппа порядка mn > 2 из Tn = VnX(a) с Cg (t). Ввиду сопряженности инволюций a и t в G и однозначной определимости циклической подгруппы Vn в G своим порядком M n (лемма 6), подгруппы Tn так же, как и подгруппы Dn , составляют цепочку T1 с ...Tn с.... (3) В силу [3, с. 9-10], имеем Ln = (Tn,Dn). Из (1), (3) вытекает, что последовательность (2) на самом деле составляет цепочку L с... Ln с.... (4) a Пусть L = U Ln . По построению CG (a)с L . n=1 По [6], L - локально конечная простая группа, изоморфная L2 (P), где P - локально конечное поле характеристики p . Лемма доказана. Лемма 9. Пусть L - подгруппа из формулировки предыдущей леммы 5. Тогда периодическая часть T (G) = L. Доказательство. Предположим, что L Ф G . Покажем, что L - сильно вложенная подгруппа в G . 70 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Для этого достаточно показать, что для любого g е G\L подгруппа LnLg не содержит инволюций. Пусть w - инволюция из L n Lg , где w = vg , причем v е L. Все инволюции в L сопряжены [3, с. 9-10], поэтому vgb = v для некоторого элемента b е L . Тогда gb е CG (v), и так как по леммам 5, 6 CG (v) с L , то и g е L , вопреки выбору элемента g . Значит, для любого элемента g е G\L подгруппа LnLg не содержит инволюций, Ng (L) = L, L сильно вложена в G. По [1], G - простая группа. Следовательно, в G\L найдется инволюция v. Пусть w - произвольная инволюция из L . Так как G - периодическая группа, то группа К = (v, w^ конечна и по условию насыщенности K с M с G, где M = L2 (Ka) и Ка - конечное поле нечетной характеристики. Положим Н = M n L и пусть z - произвольная инволюция из Н , а g е M . Как показано выше, из z следует, что g е Н . Следовательно, подгруппа Н сильно вложена в M. Тогда, по теореме Бендера (4.24, [7]), M -простая группа Шевалле характеристики 2 лиева ранга 1. Что возможно только в случае M = L2 (22) = L2 (5), Н совпадает с нормализатором силовской 2-подгруппы из M и имеет порядок 12. Другими словами Н = А4. Пусть теперь d - элемент порядка три из Н , x -инволюция из M]^, инвертирующая d,у - инволюция из L\M, инвертирующая d [3, с. 9-10]. Так как G - периодическая группа, то группа R = (d, x, у^ конечна и по условию насыщенности R с M1 с G , где M1 = L2 (Ка) и Ка - конечное поле нечетной характеристики. Положим Н1 = M1 n L . Так как у е Н1, то Н1 - сильно вложенная подгруппа в M1 = L2 (5) = L2 (22) и Н1 = А4. Последнее невозможно, так как в этом случае А4 содержит инволюцию, инвертирующую элемент порядка три. Противоречие со строением А4. Итак, G\L не содержит инволюций, что эквивалентно (при условии L Ф G) существованию нетривиального нормального делителя группы G . Однако G , как отмечалось выше, простая группа. Противоречие. Теорема доказана. Доказательство теоремы 2. Если R содержит только SL2 (Ка) и Ка - конечное поле характеристики 2, то все доказано в силу теоремы 1, так как в этом случае SL2 (Ка) = L2 (Ка). Следовательно, R содержит SL2 (Кр), Кр - конечное поле нечетной характеристики и | Ка |> 5 . Обозначим через z инволюцию из SL2 (Кр). Для любого g е D группа d(z, zg ''j конечна. По условию насыщенности D с К с G, и либо К = SL2 (Ку) и Ку - конечное поле нечетной характеристики, либо К = SL2 (К5) и К5 - конечное поле характеристики 2. Покажем, что ситуация К = SL2 (К5) невозможна. Действительно, в этом случае в К найдется инволюция v Ф z и vz = zv . Так как G - группа Шункова, то подгруппа {h, v) конечна, здесь h - такой элемент из SL2 (Кр), что h2 = z и (h, v) е CG (z). По условию насыщенности, (h, v} с СК (z) с К е R, что невозможно по [3, с. 9-10]. Итак, G содержит единственную инволюцию z и Z (G) = (z) . Нетрудно видеть, что фактор-группа (5 = G / (z} - группа Шункова и удовлетворяет всем требованиям теоремы 1. Следовательно T(G) — L2 (P) для подходящего локально конечного поля P . Пусть P с... с Pn с... - цепочка вложенных друг в друга конечных подполей из P таких, что а P = У Pn; T(G1) с... с T(Gn) с... - цепочка вло- n=1 женных друг в друга конечных подгрупп групп G таких, что T(Gn) — L2 (Pn), где n = 1, 2, .... Обозначим через T(Gn) полный прообраз T(Gn) в G . Из условия насыщенности вытекает, что T (Gn) — SL2 (Pn). а Так как T(G1) с... с T(Gn) с... и T(G) = У T(Gn), то n=1 T(G) — SL2 (P). Теорема доказана.