STABILITY OF PULSE-WIDTH MODULATION STABILIZER IN MODE OF INTERMITTENT CURRENTS

Abstract

In its article, on the basis of the offered by the author new approach to analysis and synthesis of pulse-duration systems, the dynamics of pulse-width modulation stabilizer of tension in the most complex run of pulsating currents is investigated.

Full Text

В работе [1] предложен метод исследования, позволяющий успешно решать задачи анализа устойчивости и синтеза систем с широтно-импульсной модуляцией. Предложенная методика может быть распространена на случай, когда в широтно-импульсной системе имеется дополнительная существенная нелинейность. Импульсный стабилизатор напряжения (ИСН) состоит из транзисторного ключа, управляемого широтно-импульсным модулятором (ШИМ), первичного источника напряжения Е и источника опорного напряжения иоп, LC-фильтра (r - активное сопротивление дросселя), сопротивления нагрузки R и диода, включающегося в работу при закрытии транзисторного ключа (рис. 1). В процессе работы сопротивление нагрузки и напряжение источника изменяются. Система в этом случае может работать в двух режимах: при непрерывном и прерывистом изменении тока дросселя фильтра I2. Анализу устойчивости системы в первом случае посвящено достаточно большое количество работ, в частности [1], и методика решения этой задачи известна. Второй, более сложный случай, в литературе рассмотрен только с энергетических позиций. Динамические характеристики этого режима практически не исследованы. U1 L питания. ШИП генерирует ЭДС ЕШИП, равную Е при открытом ключе и нулю при закрытом. U1 L U 2 —> \ I2 E rpTTT-v |U оп =с Г ш"" (J ^)<-шип <-05— R C R Рис. 1 В данной статье на основе предложенного в [1] подхода к анализу устойчивости систем с широтноимпульсной модуляцией рассматривается устойчивость ИСН в режиме прерывистых токов дросселя I2. Постановка задачи. Схему, изображенную на рис. 1, можно представить в виде гипотетической схемы (рис. 2), в которой широтно-импульсный преобразователь (ШИП) совмещает в себе действия ШИМ, транзисторного ключа и первичного источника Рис. 2 В этой схеме (см. рис. 2) так же, как и в исходной, напряжение на входе фильтра при условии идеальности характеристик диода в режиме прерывистых токов дросселя U = Е, когда транзисторный ключ открыт; Uj = 0 при закрытом ключе и I2 Ф 0; U = U2 при I2 = 0. Используем далее схему рис. 2. Разложим напряжение ЕШИП в ряд Фурье, ограничившись членами ряда, определяющими постоянную составляющую и первую гармонику. При этом для упрощения выражений без потери достоверности получаемых результатов считаем, что ось ординат проходит посередине импульса. Тогда функция, характеризующая заданную последовательность импульсов, является четной и при разложении в ряд Фурье bK = 0 [2]. Следовательно, в нашем случае надо найти коэффициенты а0 и а1: 1 nT -т/ 2 a0 = T I Edt = EY, -т/ 2 nT -т/ 2 2 Г ^ 2п , 2E . 1 = — I E cos—tdt =— sin лу Т J Т тт T -т 2 T 2E . п где т - время открытого состояния ключа на периоде следования импульсов; Т - период следования импульсов; у = т/Т - относительная длительность импульса. Поскольку т в процессе работы стабилизатора изменяется во времени, то можно принять, что x(t) и y(t) являются функцией времени. r *Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках государственного задания (проект 7.55.16.2011). 71 Математика, механика, информатика ШИП FIT] Е„ Е и 7р coso^t Wu(p) W1(p) I2 / ч F[I2] F /1 I2 W2(p) U2 иО Рис. 3 С учетом вышеизложенного система дифференциальных уравнений, описывающая процессы в стабилизаторе, примет вид Д>(0 = Еу (t) + 2Е sin(ny (t))cos {T t j - - U2(t)-rl2(t)-F[I2(f)], (1) CU2 (t) = 12 (t) - YU2 (t) , y(t) = *(Uоп - U2 (t)), где Y = 1/R; k - коэффициент передачи модулятора, который в данном случае принят астатическим. На основании (1) строим структурную схему (рис. 3), где передаточные функции W,(p) = 1/(Lp + r), W2(p) = 1/(Cp + Y), WM(p) = k/p, нелинейная функция F[I2(t)] определяет нелинейность диодного типа с коэффициентами k1 в открытом состоянии диода, когда 2Е I2 > 0, и k2 - в закрытом, F[y] = — sin (ny(t)). п Задача исследования устойчивости системы заключается в определении условий возникновения автоколебаний при наличии постоянной составляющей и вынужденных колебаний ю,. Вынужденные высокочастотные колебания не оказывают воздействия на переменную у, так как значительно ослабляются фильтром и самим модулятором. Решение ищем в виде I2 = Ir2 +121 +I2*, U 2 = U 20 + U 2! + U 2,, У = У 0 +у^ где 120,U20,у0 - постоянные составляющие; I21,U21, Yj - переменные составляющие, характеризующие автоколебательный режим; 12* ,U2* - переменные, характеризующие вынужденные колебания в системе. Метод решения. Так как частота автоколебаний много меньше частоты вынужденных колебаний, уравнение для определения вынужденных колебаний в системе принимает вид Q (p )I2* + R (p )F [ I2 ] = R (p )F [y] cos Юв? , (2) где Q(p)= LCp2 +(LY + Cr) p +1 + rY, R (p) = Cp + Y . Решение (2) ищем в виде 12* = Л sm (<V + Ф), где юв = 2л/Г; Ав - амплитуда вынужденных колебаний. Изобразим нелинейность F[I2] (рис. 4). Нелинейность F[I2] после гармонической линеаризации определится равенством F [12] = F0 [ Ав, I20 +121 ] + ? (в, I20 + I2J ) ). (3) Коэффициент q(Ав, I21 + I2J) = 0, так как нелинейность F[I2] однозначна. Обозначим I° + I2J = I20. Выражения для F0 и q имеют вид, представленный на рис. 4 [3]: F0 Kj + K2 Т + Kj - K2 F =—-—I20 +- 120arcsin A+AJ1 - "A20 л (4) K, + K2 K, - K2 q = —-- + —-2 arcsin— + — .11 -: 20 A Ay Ав2 В уравнение (2) подставляем второе слагаемое из (3), где q определяется из второго уравнения (4). Параметры Ав и ф вынужденного автоколебательного режима определяются из равенств У 72 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева 4 — F [у]2 _|R (>в )|2_ \Q (4)+q (120,4 )R ('И )2 (5) Ф = - - arg [Q (jrnB) + R (jrnB) q (I20, Ab ) + + arg [R ('Ив ). Выражения (5) определены с учетом F [y]cos Ивt = F [y]sin ^t + -2 j = = F [Y] Ab п sin I Ф-- П I I 2, cosФ| Ф— I-----1 2) ro„ 12*. ний; = 5Fj0 dI 20 3F0 H-2 =- ■0 ,0 [y] 5F[y] I200, F0[y] I200, F0[Y] Нелинейность F[y] можно представить через коэффициенты гармонической линеаризации относительно автоколебаний в системе: Тогда Y = Y0 +Yi = Y0 + Ay sin rot. F0 [Y] = Ф? (,Y0), A1 = qy(Ay, y0)Y1, где параметры автоколебательного режима определяются формулами 2п Ф10 (, Y0) = J 2EE sin (0 + Ay sin v))dV , 1 2п 2E I \ qY (■A, Y0) = -41 "Л" sin (п IY0 + Ay sin y)) sin yd y Проведя интегрирование в (8), получим Ф 2E sin ny J0 (у) 4E sin пу пАу •J1 (у) где J0 (пАу), J1 (пАу) - функции Бесселя первого рода соответственно нулевого и первого порядка. C учетом (6) и (7) уравнение для определения параметров автоколебательного режима примет вид N (p)+Ц2 qy (Ау, y0 ) = 0, (9) где В результате решения (5) можно определить зависимость F°(I20, Ав) от F[y], т. е. F10 (20,F[у]), которая в дальнейшем используется для определения автоколебательного режима и решения уравнения для постоянных составляющих. Для этого F^ (20, F [у]) представим в виде F10 (I20, F [у]) = Ф0 (120, F0 [у]) + )121 + Ц2А1, (6) где 100, F0 [у] - постоянные составляющие; А1 - амплитуда первой гармоники вынужденных автоколеба- N (p) = E + kp [1 + Y (ц1 + r ) + + k [ LY + C ( + r )] p 2 + kLCp3. Уравнение для постоянных составляющих: Ey0 - Uоп (1 + rY) - Ф0 [I20, Ф0 (, у0 )] = 0 . (10) Из (9) определяются параметры автоколебательного режима: И К — LC -E • k [ LY + C ( + r )]( H"2 (11) Следует отметить, что вместо F^ (20,F[у]), решая (5) и (10) совместно, можно определить нелинейную зависимость F20 (I20, у). Тогда, применив к ней разложение в ряд Тейлора и ограничившись первыми членами, можно найти F20 (120, Y) = Ф0 (I20, Y0 ) + П1121 + П2Y1, (12) F [y] = Ф0 (А,, Y0 ) + qy!, Y0 ) Y1 . (7) где П = dF0 дР, dF0 П2 = - J0 Y0 12> у dy 10 Y0 I2 , Y В (7) предполагается, что решение задачи определения автоколебательного режима в системе ищется в виде В этом случае уравнения, аналогичные (10) и (11) примут вид Eу0 - Uоп (1 + rY)- Ф2 (120, у0 ) — 0, 1 + Y (П1 + r ) ИК — ■ LC (13) (14) П2 = E - k [LY + C (гц + r )]ИК . Преобразованием (12) проведена обычая линеаризация нелинейности F[y]. Это можно делать только при значении у, близком к нулю или единице. Провести же аналитически гармоническую линеаризацию ^1° (I20, y) затруднительно. Кроме того, как показывают исследования, характеристика F8)(I20, F [У]) в широком диапазоне изменения I20 и F [y] близка к линейной. Так что погрешность от преобразования (6) гораздо меньше, чем (12). Но при малых и больших значениях у можно пользоваться уравнениями (12)—(14). q 73 Математика, механика, информатика Нахождение граничных значений параметров фильтра, определяющих области устойчивости, производилось по уравнениям (11). Зависимости относительного значения постоянной времени выходного фильтра 4lC / Т приведены на рис. 5 и 6, где Т -период частоты преобразования, от относительного изменения напряжения на источнике U,jU,^, где U^M = 1,5 -U,^. Линии 1, отражающие границы устойчивости для режима непрерывных токов дросселя, определялись по линеаризованной системе уравнений (1), линии 2 по (11). Линии 3 отражают значения относительной постоянной времени фильтра, обеспечивающего заданный коэффициент пульсации. T Ф/т \э / \ ■-- -1 2 у 4 1 С = 10-2Ф С = 10-2Ф Е н 1,25 1,5 Рис. 5 1,75 Таким образом, графики показывают, что режим прерывистых токов дросселя фильтра расширяет область устойчивости. С возрастанием емкости выходного конденсатора и уменьшением сопротивления нагрузки увеличивается граничное значение постоянной времени фильтра. Однако даже при достаточно большом значении С и номинальной нагрузке затруднительно обеспечить низкий уровень пульсации выходного напряжения и одновременно добиться устойчивости стабилизатора при астатическом управлении.