DETERMINATION OF VIBRATIONS DOMINANT MODE OF AN ORTHOTROPIC PLATE FASTENED TO THE BEDDING ANGLES

Abstract

The problem of determination of the fundamental frequency of vibration of a rectangular orthotropic plate, fastened to bedding angles, is solved by the generalized Galerkin method.

Full Text

Прямоугольные ортотропные пластины, испытывающие динамическое воздействие в составе ракетных и космических конструкций, обладают различными способами крепления к соседним частям этих конструкций. Как правило, закрепление прямоугольной пластины осуществляется по ее краям. Края пластины могут быть жестко защемлены, шарнирно закреплены или оперты на упругие ребра. Динамическое поведение как изотропных, так и ортотропных пластин с такими способами закрепления краев подробно изучено. Вместе с тем крепление ортотропных пластин, помимо реализуемого на краях, может осуществляться в точках. Определенный практический интерес представляет задача вычисления частот колебаний пластины, закрепленной в четырех углах. Если речь идет о нахождении нескольких частот колебаний такой пластины, то для решения этой задачи наиболее прагматичным будет использование численного метода, например метода конечных элементов. Однако определение основной частоты изгибных колебаний пластины, закрепленной в углах, может быть выполнено без привлечения методов, требующих значительных вычислительных ресурсов. Необходимо отметить, что основная частота колебаний является удобной оценкой весовой эффективности ортотропной пластины при ее проектировании. Это обусловлено тем, что основная частота колебаний учитывает взаимное влияние изгибной жесткости и погонной массы ортотропной пластины. * Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки РФ, соглашение 14.В37.21.0405 «Моделирование композитных элементов крупногабаритных трансформируемых механических систем космических аппаратов связи и телекоммуникаций». 80 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Рассмотрим прямоугольную ортотропную пластину, отнесенную к системе декартовых координат xy (рис. 1). Размеры пластины по осям x и y обозначим a и b соответственно. Пластина закреплена в угловых точках таким образом, что в них отсутствует прогиб. 12 S = J (Т - U )dt, D11 ( Я 2 12 d w dx2 5 2 w d 2 w 12 dx2 dy2 + D2 (я 2 12 d w dy2 + 4D3 ( Я2 12 d w ox5y dxdy, T = Tmax cos ю, U = Umax sln2 Ю, где Tmax - максимальная кинетическая энергия движения пластины; Umax - максимальная потенциальная энергия изгиба пластины. Величины Tmax и Umax определяются следующим образом: ^ a b Tmax = 2“2Bp JJw2dxdy, Umax ' 0 0 (я 2 12 d w 3x‘ v ил j 52 w 52 w 12 dx2 dy2 + D. (я 2 12 d w 22 dy2 + 4 D. ( Я2 12 d w 33 dxdy (5) dxdy, Рис. 1 Получим вариационное уравнение изгибных колебаний пластины. Воспользуемся для этого принципом Гамильтона. Рассмотрим интеграл действия Гамильтона [1]: где Bp - инерциальный параметр. Пусть интервал времени, в течение которого рассматривается движение пластины, равен периоду колебаний. В этом случае имеет место следующее равенство: t1 t2 = 2я ю (6) (1) Подставляя (4) в (1) и учитывая соотношение (6), будем иметь 2я/ 2я/ где t - время; t2 - t, интервал времени, в течение которого происходит движение пластины; T - кинетическая энергия движения пластины; U - потенциальная энергия изгиба пластины. Кинетическая энергия и потенциальная энергия изгиба ортотропной пластины определяются следующим образом [2]: I b / л. N 2 dw S = Tmax J cos2 atdt - Umax J si^ atdt = (7) = —(t - U ) max max Ю Интегрируя по времени, найдем S = —T - U ) V max max / • (8) В соответствии с принципом Гамильтона в промежутке времени 2п/ю, интеграл действия S для действительного движения ортотропной пластины имеет стационарное значение, т. е. (2) 5S = 0, (9) где 5 - знак вариации. С учетом равенства (8) из условия (9) будем иметь 8(Tmax - Umax ) = °. (10) где w = w(x, y, t) - прогиб пластины; D1b D12, D22, D33 - изгибные жесткости ортотропной пластины. Рассматривая свободные колебания пластины, представим ее прогиб в следующем виде: w( x, y, t) = w( x, y)sin rot, (3) где ю - круговая частота колебаний; w(x,y) - функция формы пластины при поперечных колебаниях. Подставляя (3) в (2), получим Подставляя (5) в (10) и выполняя варьирование, получим a b (4) JJL( x, y)bwdxdy + J 00 0 b -J[Vx(x, y)8w]dy +J 0 0 - J\Vy (x,y)§w]b dx + 2 [Mxy (x, y)5w] dy dx - (11) = 0. 81 Математика, механика, информатика Здесь d4 w d 4 w L( x, У) — Du — + 2 (2 + 2 D33 ))TT + dx dx ду я 4 д w 2 + D22 -".--ВрЮ w, 22 ду4 p д2 w д2w Mx (x, y) — D11 —— + D12 ——, ^ 11 dx2 dy2 д3 w , . „ 4 д3 w (12) Vx (x, y) — D11— + (D12 + 4 D33) Cx' дxдy д2 w „ д2 w My (x, y) — D12 2 + D22 2 cx cy д3 w д 3w Vy (X, y) — D22 + (D12 + 4D33 ) )2 cy > Mxy (X, y) — 2D33 д2 w dxdy 5. . . • пугп . nx . пу 5w — sin—5A + sin—SB + sin—sin—SC, dw Л п п^^ n nx . nyc^ SI — I — — cos—SA +— cos—sin—SC, (14) dx J a a a a b ( dw 1 п пу п . ^ пу SI — I — — cos—SB +— sin—cos—SC. V dy J b a b a b Подставляя (14), (13) в (11), (12) и выполняя интегрирование, получим, учитывая произвольность вариаций SA, 5B, 5C однородную систему линейных алгебраических уравнений .3 ( и2 Л C п4 п2 4п 2 Du—~ A + 16D^4-t B + -4-— 11 4 12 2. 2 2.2 a a b a b D11 2 + D12 v a J В равенствах (12) функции Mx, My соответствуют изгибающим моментам, Vx, Vy соответствуют обобщенным перерезывающим силам, Mxy соответствует крутящему моменту. Уравнение (11) представляет собой основное вариационное уравнение, которому должны удовлетворять собственные формы колебаний w(x,y) ортотроп-ной пластины. Представим прогиб пластины (рис. 2). - Bpю2 I 2A +16B + -C I — 0, п2 п п" п4 4п3 ( a2 16D12 2,2 A + 2D22"TTB + D22 72 + D12 a b b a b . b2 2 C p I ^2' п - B„ ю2 116 A + 2B+-C I— 0, (15) 4п3 2 \ D11 2 + D12 v a2 , 2 A + 4п3 2i2 a b 2 a D22 ,2 + D12 V b J B + 2 D11 2 + 2 (D12 + 2D33 )+ D22 , 2 a b - Bp ю2 | - A + - B + C | — 0. п п C - Преобразуем уравнения (15) таким образом, чтобы коэффициенты при неизвестных A, B, C стали безразмерными. Для этого разделим каждое из уравнений (15) на ■yjD11D22. В результате преобразований полу- Рис. 2 Выбранная аппроксимация . . п^ „ . пу . пx . пу w — A sin--+ Bsin—— + Csin—sin——, (13) a b a b где А, В и С - неизвестные числа, не удовлетворяет статическим граничным условиям на свободных краях пластины. Вместе с тем представление прогиба в виде (13) позволяет вполне успешно определить основную частоту колебаний закрепленной в углах ор-тотропной пластины, если для решения этой задачи использовать обобщенный метод Галеркина. Исходным уравнением для обобщенного метода Галеркина является вариационное уравнение (11). Это уравнение автоматически обеспечивает приближенное выполнение статических граничных условий на свободных краях пластины. Вариации функции прогиба (13) и ее первых производных определяются следующим образом: чим 2п4о4 + 16п2р12B + 4п3 (a + Р12 ) C - -П( 2 A + 16 B + -C1 — 0, п п 16п2р12 A + 2п4 — B + 4п3 (— + Р12| C -a Va J -П( Щт A + 2B +-C j—0, 4п3 (a + P12 )A + 4п3 (— + P12 J B + + п4 a + 2 (P12 + 2P33) + — _ a Здесь (16) C-n( - A + - B + C | — 0. Vп п a —JDTLP12 — A- \/D11D2 P33 — D33 ■\ID11D22 + a 82 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Величины а, р12, р33 - безразмерные геометрические и жесткостные параметры ортотропной пластины. Величина п в уравнениях (16) определяется равенством П = Bp ю2 a2b2 VD1!а2 (17) Это безразмерный частотный параметр. Таким образом, задача определения основной частоты изгиб-ных колебаний ортотропной пластины, закрепленной в углах, сведена к нахождению параметра п, при котором однородная система (16) будет иметь решение, отличное от нуля. Вычисление частотного параметра п может быть выполнено несколькими способами. Представим уравнения (16) в следующем матричном виде: HX - nGX = 0. (18) Здесь н = 2я4а 16я2р12 16я2р12 2я4 — a 3 (a + Pl2 ) 3 я 4 —+Р12 1а ) 4 я ( О 16 4 > 2 я2 я G = 16 я2 2 4 я , 4 4 1 ) 1 я я 4я3 (a + Pj2 ) 4я3 (--+ Pl2 a + 2 (Pl2 + 2Р33 )+_ X = ( A ^ B \/DnD2: Bp где £ = д/л. В качестве примера определим частотный параметр для изотропной пластины, толщина которой равна h. Упругими характеристиками изотропного материала являются модуль упругости E и коэффициент Пуассона V. Плотность материала обозначим как р. Изгибные жесткости и инерциальный параметр для изотропной пластины определяются следующим образом: — h D11 = D22 = E 12 3 D12 = E——, 12 2 12 D12 = Ev Bp = Ph, 12 (19) где E = - E 1 - v С учетом равенств (19) безразмерные параметры а, р12, Р33 примут значения = 1 R = Я _1 -V a = 2 , в12 =V, Р33 = ~ : с 2 (20) где с = a/b - отношение сторон пластины. Частота колебаний изотропной пластины определяется по формуле При традиционном способе величина п определяется как наименьший корень кубического уравнения, которое получено из условия det(H - nG) = 0. В данной работе параметр п находится как наименьшее собственное число обобщенной задачи на собственные значения (18). Из анализа коэффициентов (16) следует, что величина частотного параметра п зависит от безразмерных параметров а, р12, р33. Значения этих параметров определяются жесткостными и геометрическими характеристиками ортотропной пластины. Когда частотный параметр п найден, основная частота колебаний может быть получена из формулы (17), т. е. Из равенств (20) следует, что частотный параметр £ для изотропной пластины, при заданном коэффициенте Пуассона V, зависит только от отношения с. Полагая V = 0,3, исследуем влияние отношения сторон с, изменяющегося от 1 до 2,5, на величину частотного параметра £. Приведем результаты вычисления частотного параметра с£ для некоторых значений с (см. таблицу). В справочнике [3] можно найти аналогичные результаты, полученные с помощью метода конечных разностей. Из сравнения данных следует, что величины с£, найденные двумя способами, отличаются не более чем на 1,5 %. Это дает основание заключить, что предложенный в статье подход дает вполне приемлемые значения частотного параметра. Вычисление частотного параметра с с£ 1 7,22 1,5 9,05 1,0 9,10 2,5 9,49 Таким образом, с помощью обобщенного метода Галеркина решена задача определения основной частоты колебаний прямоугольной ортотропной пластины, которая закреплена от прогиба в угловых точках. Для аппроксимации прогиба пластины была использована комбинация тригонометрических функций. Показано, что рассматриваемая задача сводится к определению безразмерного частотного параметра, величина которого равна наименьшему собственному числу соответствующей однородной системы уравнений третьего порядка. 83 Математика, механика, информатика В качестве примера определен частотный коэффициент для изотропной пластины. Выполнено сравнение с результатами, полученными численным методом. Это сравнение позволило сделать вывод о том, что представленные в статье формулы позволяют с высокой точностью и минимальными вычислительными затратами определять основные частоты колебаний пластин, закрепленных углах.