О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУППАХ ШУНКОВА, НАСЫЩЕННЫХ ПРОСТЫМИ ТРЕХМЕРНЫМИ УНИТАРНЫМИ ГРУППАМИ

Аннотация

Доказано, что периодическая группа Шункова, насыщенная множеством R всех простых трёхмерных унитарных групп размерности три U 3 (q), локально конечна и изоморфна U 3 (Q) для некоторого локального конечного поля Q .

Полный текст

Пусть ЭТ - множество всех простых трёхмерных унитарных групп U3 (q) над конечными полями. Доказана следующая теорема. Теорема 1. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами из ЭТ, локально конечна и изоморфна U3 (Q) для некоторого локального конечного поля Q. Для доказательства данной теоремы используем следующие результаты. Предложение 1. Пусть D = (d)X(i) - конечный полудиэдр, d4n = i2 = 1, di = d2n-1. Тогда: 1) z = d2n - центральная инволюция. Если n = 1, то D = (d) x (i) - абелева группа порядка 8; 2) пусть f є(d). Элементы вида fi имеет порядок либо 4 и f = dk, где k -нечетное число, (fi)2 = z; либо 2 и f = dk, где k - четное число; 3) имеет место разложение D = ((v)x(h))x(i), где V = (v} - циклическая 2-группа, H = {h} - циклическая группа нечетного порядка. В частности, подгруппа HX (i} является конечным диэдром, а подгруппа VX(i) - конечным полудиэдром; 4) если n Ф1, то центр Z группы D содержится в (d), при этом, если n - нечетное число, то центр Z = (dn)- подгруппа порядка 4, если n- нечетное, то Z = {Zj; 5) любая циклическая подгруппа из D , порядок которой больше четырех, лежит в (d); 6) пусть A - абелева подгруппа группы D порядка > 4 . Тогда A либо циклическая, либо элементарная абелева группа (z) x (i} порядка 4, либо, в случае когда n - нечетное, абелева подгруппа (dn)x(i) порядка 8; 7) пусть D1 и D2 - полудиэдральные группы. |d2| Вложение D, < D2 возможно, только если т-т - не- 1 2 Dil четное число. В частности, полудиэдральная 2-группа не содержит собственных полудиэдров [1]. Пусть 5 - переменная, принимающая значения + или -. Через Z3(pn) обозначается группа L3(pn), если 5 = + и группа U3 (pn), если 5 = - . Предложение 2. Пусть периодическая группа G насыщена группами из M = |L3' (p)| i = 1,2,..., m} . Тогда группа G изоморфна группе 1L3 (pi) для некоторого 1 < j < m [2]. Предложение 3. Пусть q нечетно. Если q +1 не делится на 4, то силовская 2-подгруппа группы U = U3 (q) изоморфна полудиэдральной группе лШ + 1 '•) '•) і . лШ SD(m) = {a,b | a = b = 1, a = a }, где 2 делит q -1, 2m+1 не делит q -1. Если (q +1) делится на 4, то силовская 2-подгруппа из U изоморфна спле- 2п 2m 2 тенной группе Wr (m) = {a1, a2, b | a1 = a2 = b = 1, a1, a2 = a2 a1, ab = a2, ab2 = a1}, где 2m делит q +1, 2m+1 не делит q +1 . В любом случае U содержит элемент порядка 8 и любая 2-подгруппа из U порядка > 32 содержит элемент порядка 8 [3]. Доказательство. Доказательством теоремы 1 служат непосредственные вычисления. Пусть G - противоречащий пример. Тогда по предложению 2, | Р n S |>| D | - бесконечное множество. Пусть ЭТ^) - множество тех групп, которые изоморфны подгруппам из G . Лемма 1. Возможны только следующие ситуации: 1) ЭТ^) < {U3 (q) | q четно}; 2) ЭТ^) < {U3(q)| q нечётно и q +1 не делится на 4}; 3) ЭТ^) < {U3 (q) | q нечётно и q +1 делится на 4}. Доказательство. Если ЭТ^) содержит группу U3 (q), где q нечётно и q +1 не делится на 4, то в соответствующей подгруппе из G силовская 2-подгруппа S является полудиэдральной (предложения 1 и 2). Легко понять, что S - силовская 2-подгруппа в G (в противном случае S - собственная подгруппа в полудиэдральной или сплетённой 2-подгруппе, что невозможно). Так как S конечна, то все силов-ские 2-подгруппы из G сопряжены с S и по предложению 3 мы попадаем в ситуацию 2. Можно считать, что ЭТ^) состоит из групп U3 (q), q чётно или q +1 делится на 4. Предположим, что есть и другие. Пусть подгруппы S , T и G выбраны так, что силовская 2-подгруппа в U < G, T - силовская 2-подгруппа в V < G , U и U3(2n), V и U3(q), q нечётно. Поскольку ситуация 1 уже рассматривалась в [1], дальнейший анализ распадается на оставшиеся две ситуации из леммы 1. Ситуация 2. G насыщена группами U3(q), где q +1 не делится на 4. Ситуация 3. G насыщена группами U3 (q), где q нечётно, q +1 делится на 4. Поскольку S периода 4, то по предложению 3 | S n T |< 32. Выбираем S и T так, чтобы порядок D = S n T был наибольшим из возможных. Ясно, что S Ф D Ф T . Пусть aD - инволюция в S / D, bD -инволюция в T / D . Подгруппа F = (a, b, D) конечна и поэтому содержится в H и U3(r). Предположим, что r чётно. Тогда (b, D)< Р, где Р - силовская группа 2-подгруппа в H и | Р n T >| D |, что противоречит выбору. Точно так же, если r нечётно, то (a, D) < Р , и | Р n S |>| D |. Лемма доказана. Лемма 2. Группа Шункова, в которой все конечные подгруппы коммутативны, обладает абелевой периодической частью. Доказательство. Действительно, пусть a - произвольный элемент конечного порядка из G. Предположим что | a | - простое число. Тогда < a, ag > -конечная абелева группа для любого g є G. Следовательно, < ag > - абелева нормальная подгруппа группы G . В силу произвольного выбора a как элемента простого порядка, получаем, что все элементы простых порядков из G порождают абелеву нормальную подгруппу N1 группы G . Далее по индукции. Лемма доказана. Лемма 3. Все элементы порядка 4 в G сопряжены. Если f - элемент порядка 4 из G, то в случае А -CG (f) является абелевой счётной группой, а в случае В - CG (f) содержит подгруппу F = (f) x (f), где f - элемент порядка 4 и CG (F) - коммутативная счётная группа. Далее, NG (F) / CG (F) - S3 и NG (F) содержит силовскую 2-подгруппу из G . В частности, Ng (F) локально конечна. Доказательство. Пусть a ,b є G | a |=| b |= 4. Так s'* 2 -1/2 как все инволюции в G сопряжены, то a = g b g для некоторого g є G . Так как G - группа Шункова, то (a, bg) - конечная группа. По условию насыщенности, (a, b9)с L — U3(q), а в U3(q) все элементы порядка 4 сопряжены. Следовательно, a = bg для некоторого g є L . Рассмотрим СG (f). Случай 2: пусть a, b є CG (f) и ab Ф ba . Предположим, что | a | - простое число. Тогда конечная группа f a,..., ab) с L — U3 (q). Следовательно, (a) = (ctf и в силу леммы 2 этот случай доказан. Случай 3: очевидно, такое f1 найдётся. Предположим, что F = (f) x (f ) , элементы a, b є CG (F), конечная группа (f,a,ab) <L — L3 (q). Следовательно, (Oj = {af и по лемме 2 этот случай доказан. Далее, существует такое K , что и K — S3 и, следовательно, NG (F) = CG (F). Лемма доказана. Лемма 4. Если f из леммы 3, то Cg (f2) - расширение L и SL2 (Q) посредством локально циклической группы и CG (L) - подгруппа индекса 2 в CG(f2). Здесь Q - некоторое локально конечное поле нечётной характеристики. Доказательство. Пусть K - конечная подгруппа CG (f2). По условию насыщенности, K, f2) с L — SL2 (q) • (b), где b - группа порядка q +1, получаем утверждение леммы. Несложно показать, что все b образуют локально циклическую подгруппу B в CG (f2). Фактор-группа CG (f2) / B насыщена SL2 (q) и по [3] изоморфна SL2 (Q) для подходящего локально конечного поля Q . Отсюда вытекает следующая факторизация: Cg (f2) = B x SL2 (Q). Лемма доказана. Лемма 5. В G есть подгруппа H , пересекающаяся с CG (f2) по подгруппе индекса 3 в H и содержащая CG (f2) (соответственно CG (f)). Доказательство. Проводится аналогицно доказательству для конечного множества ЭТ [1]. Теперь с помощью башни конечных подгрупп в CG (f2), объединение которой совпадает с Cg (f2), и этой подгруппы H строим башню подгрупп, каждая из которых изоморфна элементу из ЭТ , такую, что объединение U этой башни содержит Cg (f 2). Понятно, что тогда U = G . Теорема доказана.