ABOUT SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH TWO CHARACTERISTICS

Abstract

The author shows that the system m (m> 2) of quasi-linear differential equations, derived from two variables and having two characteristics, is reduced to a system of two quasilinear equations and m-2 linear equation system.

Full Text

Рассмотрим систему дифференциальных квазилинейных уравнений первого порядка ajj (u)dxuJ + bjj (u)dyuJ = 0, i, j = 1,..., m, (1) где u = (и1,..., um). Пусть система (1) имеет только две характеристики d-L = Ad), ± = ВЙ, dx dx а также m инвариантов Римана t1,..., tm. В этом случае система (1) может быть записана в виде + A(t\...,tm) = 0, dx dy + B(t\...,tm) = 0, dx dy + C(t\..., lm) = 0, i = 3,..., m, dx dy где С равно либо А, либо В. Для простоты рассмотрим случай m = 4, который часто встречается, например, в теории пластичности. Имеем + A(t\..., t4) = 0, dy ^+в^1, dx dtj dx + AG1, dx + B(t\ , t4) ^=0, dy ,t4) = 0, dy , 54) ^=0. (2) dy Умножим первое уравнение системы на dt? dy а третье на —— и сложим их. В результате получим dy dt3 dt dt dt = 0. dy dx dy dx Это означает, что якобиан преобразования j=dM)=0. d( x, y) Следовательно, t3 есть некоторая функция от t1. Аналогично из второго и третьего уравнений получаем, что t4 есть некоторая функция от Е2. Поэтому Act1,..., t4) = A(t, t2), B(t',..., t4) = B(t1, t2). 104 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Отсюда получаем, что система уравнений дЬ1 2= 0, dy дЫ+5(Ь\;2) дИ = 0, 5x dy ^+A(;1, ;2) 5Ы = 0, dx dy +B(;1,;2) дЬ! = 0. x y В результате получаем следующее утверждение: система m уравнений с двумя характеристиками сводится к двум квазилинейным уравнениям и к m - 2 линейным уравнениям. Первые два уравнения можно решить, используя законы сохранения, как это описано, например, в [1]. Остальные уравнения решаются традиционными методами. В качестве примера рассмотрим уравнения идеальной пластичности — - 2ks (— cos 20+ — sin 20) = 0, 5х 5х 5у 5ст . д0 --2ks (—sin20--cos20) = 0, (3) ду 5х ду 5u 5v 5х ду / \ ^ где с - гидростатическое давление; 0 = (1, x)—, где v 7 4 (1, x) - угол между главным направлением тензора напряжений и осью ox; u, v - компоненты вектора скорости. Система уравнений (3) имеет две характеристики и четыре соотношения на них: ^=tg 0, iy dx dx du du — = - tg 0, — dv dv ■ = - ctg 0, d ct + 2kd 0 = 0, - = ctg 0. 5u 5v „ • = tg20, — + — = 0, 5u + 5v 5x ду ду 5x В результате преобразований система приводится к известному виду. Здесь мы использовали тот факт, что инварианты Римана Е3, Ь4 зависят от Ь, п, а, следовательно, от них зависят и компоненты вектора скорости. Так получены два последних уравнения дЬ дЬ 5п 5п — + — tg 0 = 0, —---- ctg 0 = 0, 5x ду 5x ду 5u 5u 5v --1--tg 0 = 0,---ctg 0 = 0, дГ 5п 5п где Ь = ct + 2ks 0, п = ст - 2ks 0. Рассмотренный пример показывает, что можно выписать линейную систему уравнений, даже если не удается проинтегрировать два последних соотношений на характеристиках.