ABOUT CAYLEY DIAMETER OF ONE SUBGROUPE OF THE GROUPE B 0 (2,5)

Abstract

Let {x, y} be generators of the largest finite group of exponent 5 and h 1 = xy, h 2 = yx. The growth function and Cayley diameter are calculated for the subgroup H = ‹h 1, h 2››.

Full Text

Свободной бернсайдовой группой периода n с m образующим называется группа B (m, n) = Fm / Fm , где Fm - свободная группа ранга m и Fm - ее подгруппа, порожденная всеми n-ми степенями элементов из Fm . Проблема Бернсайда для пары (m, n) звучит так: является ли группа B (m, n) конечной? Как показали П. С. Новиков и С. И. Адян [1], ответ отрицательный, если m > 2 и 663 < n - достаточно большое нечетное число. Также С. В. Иванов [2] и И. Г. Лысёнок [3] показали, что B (m, n) бесконечна, если n > 248 и n делится на 29 и n = 16k > 8 000. Однако для небольших нечетных n (5 < n < 663) и четных n, не удовлетворяющих условиям С. В. Иванова и И. Г. Лысёнока, проблема Бернсайда остается нерешенной. Пусть B0 (m, n) = Fm / U (m, n), где U (m, n) - пересечение всех нормальных подгрупп N < Fm , для которых Fm / N - конечная группа периода n. Как показал А. И. Кострикин, B0 (m, n) конечна, если n - простое число [4]. Эту теорему А. И. Кострикина Е. И. Зельманов обобщил для случая, когда n - степень простого числа [5]. Отсюда и из результатов Ф. Холла и Г. Хигмэна с использованием классификации конечных простых групп вытекает существование B0 (m, n) для произвольных m и n [6]. Поскольку B (2,5) является наименьшей из бернсайдовых групп, для которых решен вопрос об их конечности, любые сведения о ней и, в частности, о B0 (2,5), интересны. Так, А. И. Кострикин установил границы для порядка группы B0 (2,5): 531 < |В0 (2,5)| < 534 [4]. В 1974 г. Хавас, Уолл и Уэмсли [7] при помощи компьютерных вычислений нашли определяющие соотношения, определили точный порядок группы B0 (2,5) который равен 534, и ступень нильпотентности данной группы, равную 12. Рассмотрим в B0 (2,5 ) = (х, у) подгруппу H0 = (hj,h2), где hj = xy, h2 = ух. Как отмечалось выше, сравнение групп B (2,5) и B0 (2,5) затруднено из-за большого порядка группы B0 (2,5). Приводимая ниже теорема позволяет проводить сравнение группы H0 , имеющей порядок существенно меньше, чем 534, с ее аналогом H в группе B0 (2,5). Теорема. Диаметр Кэли группы Н0 относительно порождающих {h1, h2} равен 45. Доказательство. Непосредственные вычисления проводились на кластере института космических и информационных технологий Сибирского федерального университета. Для работы было выделено 125 однородных вычислительных узлов в режиме непрерывного доступа. Каждый узел снабжен процессором с тактовой частотой 3 ГГц и ОЗУ 4 ГБ. В качестве программного инструмента была взята система компьютерной алгебры MATLAB 7.7.0. Ниже приведена вычисленная функция роста элементов группы Н0 (см. таблицу), а также ее график (рис. 1). Часть элементов максимальной длины 45 группы H0 в формате минимальных слов приведена на рис. 2. Функция роста элементов группы Н0 Длина Элементы Длина Элементы Длина Элементы 0 1 16 37254 32 561801464 1 2 17 70751 33 779044350 2 4 18 134224 34 936055279 3 8 19 254321 35 954336955 4 16 20 481252 36 831332170 5 30 21 909349 37 618248452 6 58 22 1714866 38 367604796 7 112 23 3226931 39 151894200 8 214 24 6055431 40 34898104 9 410 25 11319139 41 3181218 234 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Продолжение таблицы Длина Элементы Длина Элементы Длина Элементы 10 784 26 21039700 42 69158 11 1495 27 38795471 43 800 12 2847 28 70686385 44 316 13 5417 29 126432849 45 158 14 10303 30 219647100 Всего 6103515625 15 19602 31 364201879 1Е+09 90000000 80000000 70000000 60000000 50000000 40000000 30000000 20000000 10000000 о > ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ * ♦ ♦ < >- 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Рис. 1 1 000010001001110001010000111100111001101010011 2 000010001001011100001101111000100110100011011 3 000010000100110011000101011100110001001110111 4 000010000101010110100110010101110001011000111 5 000010000101110001011110011010001101100010011 6 000010000101110011010010001111010100011001011 7 000010000101010011100111011001100001010010111 8 000010000101001011000100110101100111001100111 9 000010000100011011100101110011000110011010011 0 000010000101110000100101101111011000110000111 11 000010000100100101100100111100110100011011011 12 000010000100100101011110111011000110100100011 13 000010000101000011101001000110111011110010011 14 000010000101000100001110101110110101011000111 15 000010001001101000101110110100111100100010011 16 000010001001100101100111001001110001000110111 17 000010001001110001101010010011010001110111001 18 000010000110100011101011011110010010001011001 19 000010000110000111010110100011010111001100101 20 000010000111101011100100010100101100001011011