Algorithm for calculation of wave numbers in a chiral metamaterial based on composite spiral elements

全文:

Введение

В настоящее время актуальным направлением является исследование электродинамических свойств метаматериалов СВЧ-диапазона, которые представляют собой композиционные искусственные структуры, обладающие ярко выраженными частотно-селективными свойствами [1–5].

Метаматериалы – это искусственные структуры с подобранными метаатомами в субволновых масштабах, позволяющие по желанию управлять электромагнитными волнами. Обычно метаматериалы описываются параметрами эффективной среды (например, показателем преломления, диэлектрической проницаемостью) из-за субволновой природы метаатомов. Когда метаатом сопоставим с длиной волны, описание эффективной среды иногда все еще остается в силе, но параметры эффективной среды становятся зависимыми от волнового вектора, т. е. нелокальными. Уникальные свойства метаматериалов обусловлены их пространственной структурой и свойствами компонентов (микрочастиц), из которых они состоят. Метаматериал представляет собой композицию контейнера из материала со свойствами А, в котором размещены компоненты со свойствами Б. Компоненты Б могут размещаться упорядоченно или смешиваться с несущим материалом А.

Перспективным классом метаструктур является киральный метаматериал (КММ), который создается из компонентов Б, обладающих зеркально асимметричной пространственной конфигурацией [4–9].

Киральная метаструктура включает однородный диэлектрический контейнер (несущая среда А) с относительной диэлектрической проницаемостью e_c и относительной магнитной проницаемостью m_c (рис. 1). В несущей среде равномерно размещаются и хаотически ориентируются зеркально-асимметричные компоненты Б. Расстояние между соседними компонентами обозначим через l; размер области, занятой одним киральным компонентом – через d. Таким образом, КММ представляет собой совокупность несущей среды, с помещенной в нее матрицей из киральных компонентов Б с периодом решетки l.

 

Рис. 1. Общая структура кирального метаматериала

Fig. 1.General structure of chiral metamaterial

 

Киральные компоненты представляют собой микроскопические электромагнитные частицы, соизмеримые с длиной волны СВЧ-поля, и являются переизлучателями электромагнитного поля (ЭМП). Зеркально-асимметричные элементы проводящие [10–15].

Определения коэффициентов отражения и прохождения при падении плоской электромагнитной волны на планарный слой кирального метаматериала

Для описания КММ в целом вводятся эффективные диэлектрическая и магнитная проницаемости, которые зависят от соответствующих проницаемостей контейнера и киральных элементов:

$\mathrm{\epsilon } = \mathrm{\epsilon }({\mathrm{\epsilon }}_c,{\mathrm{\epsilon }}_s) ; \mathrm{\mu } = \mathrm{\mu }({\mathrm{\mu }}_c,{\mathrm{\mu }}_s).$                                                                                                   (1)

Таким образом, любой киральный метаматериал описывается набором из трех материальных параметров (1) – эффективными диэлектрической проницаемостью e, эффективной магнитной проницаемостью m и параметром киральности c.

Материальные уравнения для киральной среды, согласно формализму Линделла – Сиволы, имеют следующий вид:

$\overrightarrow{\mathbf{D}}=\mathrm{\mu }\overrightarrow{\mathbf{E}} \pm \mathrm{i\chi }\overrightarrow{\mathbf{ }\mathbf{H}} , \overrightarrow{\mathbf{B}}=\mathrm{\mu }\overrightarrow{\mathbf{H}}\pm \mathrm{i\chi }\overrightarrow{\mathbf{E}\mathbf{.}}$                                                                                                 (2)

В соотношениях (2) верхние знаки соответствуют КММ на основе зеркально-асимметричных компонентов с правой закруткой (правых форм компонентов), а нижние знаки – КММ на основе зеркально-асимметричных компонентов с левой закруткой (левых форм компонентов).

Рассмотрим задачу об определении коэффициентов отражения и прохождения при падении плоской электромагнитной волны на планарный слой кирального метаматериала, который является бесконечно протяженным вдоль оси Oz. Геометрия задачи приведена на рис. 2.

 

Рис. 2. Геометрия планарного кирального метаматериала

Fig. 2.Geometry of the planar chiral metamaterial

 

Рассмотрим случай падения плоской электромагнитной волны с линейной перпендикулярной поляризацией на киральный метаматериал.

На рис. 2 имеется три области: диэлектрик 1, киральный метаматериал и диэлектрик 2. Они обладают следующими параметрами: e₁, m₁ – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости первой области; q = q₁ – углы падения и отражения электромагнитной волны (ЭМВ) от границы раздела «диэлектрик 1 – киральный метаматериал»; e₂, m₂, c₂ – относительные диэлектрическая, магнитная проницаемость и параметр киральности области 2; q_R2,q_L2 – углы преломления волн ПКП и ЛКП в область 2; e₃, m₃ – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости третьей области; q₃ – угол прохождения ЭМВ из киральной среды в область 3; r_ee, r_eh – коэффициенты отражения для основной и кроссполяризованной компоненты ЭМП в области 1; $T_{R2}^{(-)}$, $T_{L2}^{(-)}$ – коэффициенты прохождения для волн ПКП и ЛКП; $T_{R2}^{(+)}$, $T_{L2}^{(+)}$ – коэффициенты отражения от границы раздела «киральная среда – область 3» для волн ПКП и ЛКП; t_ee, t_eh – коэффициенты прохождения для основной и кросс-поляризованной компоненты ЭМП в области 3.

Коэффициенты отражения основной и кросс-поляризованной компоненты для случая падения волны E-поляризации определяются из решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений вида

${\mathbf{B}}_{\mathbf{E}}{\overrightarrow{\mathbf{R}}}_{\mathrm{E}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\overrightarrow{\mathbf{A}}}_{\mathbf{E}}$,                                                                                                                                (3)

Где

${\stackrel{}{\mathbf{B}}}_{\text{E}}=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& -1& 0& 0& 0\\ \frac{\mathrm{i}}{{\mathrm{\eta }}_2}& \frac{\mathrm{i}}{{\mathrm{\eta }}_2}& -\frac{\mathrm{i}}{{\mathrm{\eta }}_2}& -\frac{\mathrm{i}}{{\mathrm{\eta }}_2}& 0& -1& 0& 0\\ -{\mathrm{icos\theta }}_{\text{R}}& {\mathrm{icos\theta }}_{\text{R}}& {\mathrm{icos\theta }}_{\text{L}}& -{\mathrm{icos\theta }}_{\text{L}}& 0& -{\mathrm{\eta }}_1\mathrm{cos\theta }& 0& 0\\ \frac{{\mathrm{cos\theta }}_{\text{R}}}{{\mathrm{\eta }}_2}& -\frac{{\mathrm{cos\theta }}_{\text{R}}}{{\mathrm{\eta }}_2}& \frac{{\mathrm{cos\theta }}_{\text{L}}}{{\mathrm{\eta }}_2}& -\frac{{\mathrm{cos\theta }}_{\text{L}}}{{\mathrm{\eta }}_2}& \frac{\mathrm{cos\theta }}{{\mathrm{\eta }}_1}& 0& 0& 0\\ {\text{e}}^{-{\mathrm{i\beta }}_{\text{R}}}& {\text{e}}^{{\mathrm{i\beta }}_{\text{R}}}& {\text{e}}^{-{\mathrm{i\beta }}_{\text{L}}}& {\text{e}}^{{\mathrm{i\beta }}_{\text{L}}}& 0& 0& -{\text{e}}^{-{\mathrm{ik}}_3{\mathrm{hcos\theta }}_3}& 0\\ \frac{\mathrm{i}}{{\mathrm{\eta }}_2}{\text{e}}^{-{\mathrm{i\beta }}_{\text{L}}}& \frac{\mathrm{i}}{{\mathrm{\eta }}_2}{\text{e}}^{{\mathrm{i\beta }}_{\text{R}}}& \frac{\mathrm{i}}{{\mathrm{\eta }}_2}{\text{e}}^{-{\mathrm{i\beta }}_{\text{L}}}& \frac{\mathrm{i}}{{\mathrm{\eta }}_2}{\text{e}}^{{\mathrm{i\beta }}_{\text{L}}}& 0& 0& 0& -{\text{e}}^{-{\mathrm{i\beta }}_3}\\ -{\mathrm{icos\theta }}_{\text{R}}{\text{e}}^{{\mathrm{i\beta }}_{\text{R}}}& {\mathrm{icos\theta }}_{\text{R}}{\text{e}}^{{\mathrm{i\beta }}_{\text{R}}}& {\mathrm{icos\theta }}_{\text{L}}{\text{e}}^{{\mathrm{i\beta }}_{\text{L}}}& -{\mathrm{icos\theta }}_{\text{L}}{\text{e}}^{{\mathrm{i\beta }}_{\text{L}}}& 0& 0& 0& {\mathrm{\eta }}_3{\mathrm{cos\theta }}_3{\text{e}}^{-{\mathrm{i\beta }}_3}\\ -\frac{{\mathrm{cos\theta }}_{\text{R}}}{{\mathrm{\eta }}_2}{\text{e}}^{-{\mathrm{i\beta }}_{\text{R}}}& \frac{{\mathrm{cos\theta }}_{\text{L}}}{{\mathrm{\eta }}_2}{\text{e}}^{-{\mathrm{i\beta }}_{\text{L}}}& \frac{{\mathrm{cos\theta }}_{\text{L}}}{{\mathrm{\eta }}_2}{\text{e}}^{-{\mathrm{i\beta }}_{\text{L}}}& -\frac{{\mathrm{cos\theta }}_{\text{L}}}{{\mathrm{\eta }}_2}{\text{e}}^{{\mathrm{i\beta }}_{\text{L}}}& 0& 0& -\frac{{\mathrm{cos\theta }}_3}{{\mathrm{\eta }}_3}{\text{e}}^{-{\mathrm{i\beta }}_3}& 0\end{array}\right);$

 

${\overrightarrow{\mathbf{R}}}_{\mathbf{E}}\mathbf{ }= {[{\mathrm{T}}_{\text{R}}^{(-)},{\mathrm{T}}_{\text{R}}^{(+)},{\mathrm{T}}_{\text{L}}^{(-)},{\mathrm{T}}_{\text{L}}^{(+)},{\mathrm{r}}_{\text{ee}},{\mathrm{r}}_{\text{eh}},{\mathrm{t}}_{\text{ee}},{\mathrm{t}}_{\text{eh}}]}^{\text{T}}$;  ${\overrightarrow{\mathbf{A}}}_{\mathbf{E}}\mathbf{ }= {[1,0,0,\frac{\mathrm{cos\theta }}{{\mathrm{\eta }}_1},0,0]}^{\text{T}}$;

 

${\eta }_2=\sqrt{{\epsilon }_2/{\mu }_2}$;  ${\alpha }_{\text{R,L}}=\sqrt{1-\frac{{\epsilon }_1{\mu }_1{\sin }^2\theta }{{\left(\sqrt{{\epsilon }_2{\mu }_2}\pm {\chi }_2\right)}^2}}$;

$k_{\text{R,L}}=k_0\left(\sqrt{{\epsilon }_2{\mu }_2}\pm {\chi }_2\right)$;  ${\eta }_1=\sqrt{{\mu }^{\left(1\right)}/{\epsilon }^{\left(1\right)}}$; 

${\eta }_3=\sqrt{{\mu }^{\left(3\right)}/{\epsilon }^{\left(3\right)}, }{\mathrm{\beta }}_{\text{R,L}}=k_{\text{R,L}}h\cos {\theta }_{\text{R,L}}, {\mathrm{\beta }}_{\text{3}}=k_{\text{3}}h\cos {\theta }_{\text{3}}$.

Для определения параметров кирального метаматериала на основе составных спиральных элементов, рассмотрим построение частной математической модели составного элемента на основе произвольного числа спиральных элементов в пространственной конфигурации, а также метаматериала на основе матрицы таких элементов. Для упрощения на рис. 3 различными типами линий показаны три спирали в структуре составного компонента.

 

 

Рис. 3. Геометрия элемента и метаматериала

Fig. 3.Geometry of the element and metamaterial

 

Спиральные компоненты внутри пространственного составного элемента различаются между собой геометрическими размерами. При этом при создании КММ на их основе все компоненты должны быть тождественными. Геометрические размеры i-го кирального компонента в составном киральном элементе: N_i – число витков; R_i – радиус витка спирали; h_i – шаг спирали; p_i – длина спирали в расправленном состоянии; r_i – радиус проволоки; a_i – угол накрутки спирали.

Алгоритм вычисления постоянных распространения волн с круговыми поляризациями

Алгоритм вычисления волновых чисел в киральном метаматериале на основе составных спиральных элементов волн с право- и левокруговыми поляризациями включает следующие шаги.

Шаг. 1. Расчет резонансной частоты для составного элемента производится на основании формулы Томсона

${\text{ω}}_0=1/\sqrt{LC}$,                                                                                                                             (4)

где L – общая индуктивность составного кирального компонента; C – емкость составного кирального компонента.

Шаг. 2. Расчет индуктивности и емкости составного кирального компонента:

$C=\sum _{i=1}^N{C}_i$;   $L=\prod _{i=1}^N{L}_i{\left(\sum _{i=1}^N{L}_i\right)}^{-1}$,                                                                                (5)

где L_i – индуктивность i-го спирального компонента в пространственной структуре составного спирального элемента; C_i – емкость i-го спирального компонента в пространственной структуре составного спирального элемента $(i=\overline{\mathrm{1,}N})$; N – полное количество спиралей в составном спиральном элементе.

Шаг. 3. Расчет емкости i-й спирали в составном элементе:

$C_i={\text{ε}}_{с2}\left[\begin{array}{l}\frac{l_i}{18\ln \left(\frac{2l_i}{r_i}\right)-1}\cdot {10}^{-11}+\\ +\frac{\text{π}\left[{\left(R_i+2r_i\right)}^2-R_i^2\right]\left(N_i-1\right)}{h_i}+\frac{1}{d}\frac{N_i\left(R_i+r_i\right)}{\cos {\text{α}}_i}{r}_i\end{array}\right]$.                                                               (6)

Шаг. 4. Расчет индуктивности i-й спирали в составном элементе:

$L_i={\text{μ}}_{с2}\frac{\text{π}{N}_i^2{R}_i^2}{l_i}$.                                                                                                                            (7)

Шаг. 5. Расчет резонансной частоты составного спирального элемента:

${\text{ω}}_0={\left[\prod _{i=1}^N{L}_i{\left(\sum _{i=1}^N{L}_i\right)}^{-1}\sum _{i=1}^N{C}_i\right]}^{-1/2}$.                                                                               (8)

Шаг. 6. Расчет волновых чисел волн с право и левокруговыми поляризациями в киральном метаматериале:

$k_{\text{R.L}}=k_0\left(\sqrt{{\text{ε}}_{с2}\frac{1+2{\text{αε}}_{\text{x2}}}{1-{\text{αε}}_{\text{x2}}}}\pm \frac{A{\text{β}}_0^2\text{ω}}{c\left({\text{ω}}_0^2-{\text{ω}}^2\right)}\right)$.                                                                                        (9)

При анализе численных характеристик основной интерес представлял расчет частотных зависимостей отраженной (101g|r_ee|² и 101g|r_eh|²) и прошедшей (101g|t_ee|² и 101g|t_eh|²) мощностей (в дБ). Контейнер моделировался на основе пенополистирола С-35 с относительной диэлектрической проницаемостью e_c2 = 1,5.

На рис. 4 представлены частотные зависимости отраженной и прошедшей мощностей основной и кросс-поляризованной компоненты поля в диапазоне от 1 до 10 ГГц [16–19]. Штриховыми кривыми показаны зависимости прошедшей мощности основной компоненты (101g|t_ee|²); сплошными линиями – отраженной мощности основной компоненты (101g|r_ee|²). Падение волны на метаструктуру считалось нормальным. Расчет был выполнен при следующих значениях параметров структуры: R_1,2 = 0,01 м, N_1,2 = 3, r_1,2 = 0,002 м, H_1,2 = 0,05 м, d_1,2 = 0,05 м. В этом случае обе спирали, входящие в структуру объединенного элемента, являются тождественными.

 

Рис. 4. Частотные зависимости прошедшей и отраженной мощностей для случая идентичных спиралей в объединенном элементе

Fig. 4. Frequency dependences of transmitted and reflected powers for the case of identical spirals in a combined element

 

Уровень отражения и прохождения кросс-поляризованных компонентов поля не превышает при нормально падении –25 дБ и на графиках не представлен.

На частоте 1,18 ГГц наблюдается резкое локальное уменьшение уровня прошедшей мощности через исследуемый метаматериал, т. е. преимущественно происходит боковое рассеяние нормально падающей электромагнитной энергии. На этой частоте метаструктура может выполнять роль частотно селективного защитного экрана. На других частотах метаструктура является полностью прозрачной и падающее излучение через неё проходит практически без ослабления (вблизи 0 дБ) [20; 21].

Рассмотрим теперь случай различных по значениям геометрических параметров спиралей в структуре объединенного элемента.

На рис. 5 приведены зависимости отраженной и прошедшей мощностей основной и кросс-поляризованной компоненты поля от частоты ЭМП в диапазоне от 1 до 10 ГГц [22–27]. Штриховыми линиями на рис. 5 представлены частотные зависимости уровней прошедшей мощности основной компоненты ЭМП (101g|t_ee|²); сплошными линиями – уровни отраженной мощности основной компоненты ЭМП (101g|r_ee|²). Волна падала на слой КММ по нормали.

 

Рис. 5. Зависимости уровней прошедшей и отраженной мощностей от частоты

Fig. 5. The dependence of the levels of transmitted and reflected power on the frequency

 

При численном моделировании использовались следующие значения параметров:

R₁ = 2R₂ = 0,01 м, N_1,2 = 3, r₁ = 2r₂ = 0,002 м, H₁ = 2H₂ = 0,05 м, d₁ = 2d₂ = 0,05 м.

Как видно из рис. 5, когда составной спиральный элемент состоит из двух спиралей с разными геометрическими размерами, то наблюдается ряд дискретных минимумов коэффициента прохождения. На этих частотах ЭМВ через слой КММ практически не проходит. В этом режиме большая часть энергии падающей волны преобразуется в боковое рассеяние в слое КММ.

Структура приобретает функционал частотно селективного концентратора СВЧ-энергии. Также на резонансных частотах слой КММ представляет собой частотно селективный защитный экран СВЧ.

С ростом частоты средний уровень коэффициента прохождения уменьшается, что объясняется ростом кросс-поляризационных эффектов [28–31].

Также здесь уместно отметить, что при учете гетерогенности и дисперсии КММ в модели возникает явление кросс-поляризации даже при нормальном падении, что не наблюдается при использовании классической модели КММ на основе материальных уравнений Линделла – Сиволы.

Доказано, что резонансные длины волны, соответствующие минимумам коэффициента прохождения, удовлетворяют условию Вульфа – Брэгга:

$2d\sqrt{\left({\epsilon }_2{\mu }_2-{\chi }_2^2\right)-{\cos }^2\theta }=v\lambda$,

где v – порядок резонанса; l – длина волны; q – угол падения волны.

Далее была рассмотрена структура на основе составного элемента, состоящего из 3-х тонкопроволочных спиралей. Толщина слоя метаматериала 0,05 м. Материал контейнера имеет относительную диэлектрическую проницаемость e_с2 = 1,5. Параметры двух тонкопроволочных спиралей в составном элементе были идентичными: R_1,2 = 0,01 м, N_1,2 = 3, r_1,2 = 0,002 м, H_1,2 = 0,05 м, d_1,2 = 0,05 м; третья спираль отличалась от первых двух числом витков: R₃ = 0,01 м, N₃ = 2, r₃ = 0,002 м, H₃ = 0,05 м, d₃ = 0,05 м. Области 1 и 3 представляли собой вакуум с e_1,3 = m_1,3 = 1. Падение волны на метаструктуру происходило по нормали: q = 0.

На рис. 6 представлены частотные зависимости модулей коэффициентов отражения основной (|r_ee| – сплошная линия) и кросс-поляризованной компоненты (|r_eh| – штриховая линия), а также коэффициентов прохождения основной (|t_ee| – сплошная линия) и кросс-поляризованной компоненты (|t_eh| – штрихпунктирная линия) для метаматериала на основе составных элементов из 3-х спиралей.

 

Рис. 6. Частотные зависимости модулей коэффициентов отражения и прохождения для метаматериала на основе составных элементов из 3-х спиралей

Fig. 6. Frequency dependences of modules of reflection and transmission coefficients for a metamaterial based on composite elements of 3 spirals

 

Как видно из рис. 6, уровень прохождения основной компоненты поля уменьшается с ростом частоты; уровни отражения и прохождения кросс-поляризованной компоненты практически не изменяются во всем частотном интервале исследования. На частотах 3,8 и 6,9 ГГц имеются резкие минимумы модуля коэффициента прохождения основной компоненты.

На рис. 7 представлены частотные зависимости отраженной мощности основной (101g|r_ee|² – сплошная линия) и кросс-поляризованной компоненты (101g|r_eh|² – штриховая линия), а также прошедшей мощности основной (101g|t_ee|² – сплошная линия) и кросс-поляризованной компоненты (101g|t_eh|² – штрихпунктирная линия) для метаматериала на основе составных элементов из 3-х спиралей.

 

Рис. 7. Частотные зависимости прошедшей и отраженной мощностей для метаматериала на основе составных элементов из 3-х спиралей

Fig. 7. Frequency dependences of transmitted and reflected powers for a metamaterial based on composite elements from 3 spirals

 

Как видно из рис. 7, на частоте 6,9 ГГц структура не пропускает основную (падающую) компоненту электромагнитного поля при низких уровнях отражения основной компоненты, а также отражения и прохождения кросс-поляризованной компоненты. Такая ситуация соответствуют преобразованию нормально падающего СВЧ-излучения в азимутальное рассеяние. Также можно заметить, что практически на всем частотном интервале исследования уровни отражения основной и прохождения кросс-поляризованной компоненты практически одинаковые, что связано с ярко выраженными поляризационно-селективными свойствами кирального метаматериала. На частоте 4,2 ГГц имеет место небольшой локальный максимум отражения кросс-поляризованной компоненты поля, а также ее прохождения.

Заключение.

Таким образом, как и для случая составного элемента из двух взаимоортогональных спиралей, доказано, что существуют дискретные частоты, на которых происходит преобразование нормально падающего СВЧ-излучения линейной поляризации в азимутальное рассеяние. Как показали дополнительные исследования, для возникновения подобных эффектов необходимо, чтобы либо число спиралей в составном элементе было нечетным, либо при четном числе спиралей они отличались друг от друга геометрическими параметрами.

Благодарность

Статья подготовлена при финансовой поддержке гранта Президента России (проект НШ-1357.2022.6 «Модели, методы и средства получения и обработки информации о космических объектах в широком спектральном диапазоне электромагнитных волн»).

Acknowledgements

The work was prepared with the financial support of a grant from the President of Russia (Project NSH-1357.2022.6 “Models, methods and meansof obtaining and processing information about space objects in a wide spectral range of electromagnetic waves”).

作者简介

Andrey Dementiev

MIREA – Russian Technological University

编辑信件的主要联系方式.
Email: dementev@mirea.ru

Dr. Sc., Senior Researcher

俄罗斯联邦, 78, Vernadskogo Av., Moscow, 119454

Alexander Kurkin

Department of the Ministry of Defense of the Russian Federation

Email: 02102005@mail.ru

заместитель начальника отдела

俄罗斯联邦, 19, Znamenka St., Moscow, 119160

Sergey Smirnov

MIREA – Russian Technological University

Email: smirnov_s@mirea.ru

Cand. Sc.

俄罗斯联邦, 78, Vernadskogo Av., Moscow, 119454

Konstantin Arseniev

MIREA – Russian Technological University

Email: arsenyev@mirea.ru

специалист

俄罗斯联邦, 78, Vernadskogo Av., Moscow, 119454

Aleksandr Zhukov

Analytical Center; Institute of Astronomy of the Russian Academy of Sciences

Email: aozhukov@mail.ru

Dr. Sc., Senior Researcher, professor, deputyscientific director, “Analytical Center”, leading researcher

俄罗斯联邦, 33, Building 4, Talalikhina Str., Moscow, 109316; 48, Pyatnitskaya St., Moscow, 119017

参考

补充文件