On the bottom layer in groups

Full Text

Введение

Нижним слоем группы  называется множество её элементов простых порядков. По нижнему слою группы иногда можно полностью однозначно распознать группу, иногда можно установить свойства группы с данным нижним слоем.

Группа называется распознаваемой по нижнему слою при дополнительных условиях, если она однозначно восстанавливается по нижнему слою при этих условиях. Группа G называется почти распознаваемой по нижнему слою при дополнительных условиях, если существует конечное число попарно неизоморфных групп, удовлетворяющих этим условиям, с одинаковым нижним слоем таким же, как у группы G. Группа G называется нераспознаваемой по нижнему слою при дополнительных условиях, если существует бесконечное число попарно неизоморфных групп, удовлетворяющих этим условиям, с одинаковым нижним слоем таким же, как у группы G. Понятие распознаваемости группы по нижнему слою введено по аналогии с активно исследуемой в последние тридцать лет распознаваемостью групп по спектру, т. е. по множеству порядков элементов группы.

Примером группы, распознаваемой по своему нижнему слою, является группа, нижний слой которой состоит из элементов порядка 2 и в группе нет неединичных элементов других порядков. В этом случае группа однозначно распознается по своему нижнему слою (это элементарная абелева 2-группа, получаемая добавлением к нижнему слою единичного элемента).

Группы в следующем примере являются почти распознаваемыми группами по нижнему слою в классе бесконечных слойно-конечных групп. В. П. Шунков доказал [1], что если нижний слой в бесконечной слойно-конечной группе состоит из одного элемента порядка 2, то группа G является либо квазициклической, либо бесконечной обобщенной группой кватернионов. Группы из результата В. П. Шункова почти распознаваемы по нижнему слою в классе бесконечных слойно-конечных групп.

Пример нераспознаваемости по нижнему слою в классе бесконечных слойно конечных групп дает следующая бесконечная серия групп: в группах $C_{p^{\infty }} \times C_q, C_{p^{\infty }} \times C_{q^2} , C_{p^{\infty }} \times C_{q^3} , ........$ одинаковый нижний слой, состоящий из p-1 элемента порядка p и q-1 элемента порядка q.
В данном примере группы нераспознаваемы по нижнему слою при этих условиях.

Здесь мы рассмотрим группы, без единичного элемента совпадающие со своим нижним слоем. Такие группы, очевидно, однозначно распознаются по своему нижнему слою.

Автором ранее получены результаты по распознаванию конечных и бесконечных групп по нижнему слою [2–11].

Результаты работы могут быть применены при кодировании информации в космической связи.

Основные результаты

Автором был доказан ряд результатов по распознаваемости групп в некоторых подклассах класса слойно конечных групп [2–10].

Периодические полные абелевы группы не обязательно должны быть слойно конечными. Следующая теорема устанавливает распознаваемость группы по нижнему слою в этом классе групп: группа G распознаваема по нижнему слою среди периодических полных абелевых
групп [11].

Получен еще один результат по распознаваемости группы по нижнему слою. Группа G распознаваема по нижнему слою среди периодических радикально полных групп, удовлетворяющих нормализаторному условию [11].

Доказано также, что все простые неабелевы группы распознаются одновременно по нижнему слою и спектру [11]. В статье [12] установлено, что среди конечных простых неабелевых групп, кроме групп $S_6\left(2\right)$ и $O_8^{\left(2\right)}$, имеется еще только одна пара нераспознаваемых по спектру групп $O_7\left(3\right)$ и $O_8^{+\left(3\right)}$. В [11] доказана теорема: все конечные простые неабелевы группы одновременно распознаваемы по спектру и нижнему слою в классе конечных простых неабелевых групп.

Рассмотрим группы, без единичного элемента совпадающие со своим нижним слоем. Это периодические группы, в которых нет элементов составных порядков.

К таким группам относятся все элементарные абелевы примарные группы, некоторые группы Фробениуса, группы Ольшанского.

Мы имеем в виду группы Ольшанского, все неединичные элементы которых имеют один и тот же простой порядок, а вся группа порождается любыми своими двумя элементами простого порядка.

Поскольку появление групп типа монстров Ольшанского вполне возможно в будущем, то список групп, совпадающих со своим нижним слоем в классе периодических групп, нельзя считать исчерпывающим. Поэтому ограничим наше рассмотрение только конечными группами, без единичного элемента совпадающими со своим нижним слоем.

Среди абелевых групп такими, очевидно, являются только элементарные абелевы примарные группы.

Рассмотрим, какие возможны конечные группы Фробениуса с таким условием:

По теореме J. G. Томпсона [13], ядро конечной группы Фробениуса нильпотентно. Поскольку нильпотентная группа обладает нетривиальным центром, то ядро группы Фробениуса обладает, по крайней мере, одним элементом простого порядка p, который находится в его центре. Отсутствие элементов составного порядка в группе сразу влечет отсутствие элементов простого порядка, отличного от p, в ядре группы Фробениуса. Следовательно, ядро является конечной примарной группой, все нетривиальные элементы которой составляют ее нижний слой.

Если неинвариантный множитель группы Фробениуса содержит элемент порядка два, то ядро группы Фробениуса абелево (см., например, [14]). Отсюда вытекает, что если в конечной группе Фробениуса, все нетривиальные элементы которой составляют ее нижний слой, неинвариантный множитель содержит элемент порядка два, то, во-первых, сам неинвариантный множитель, как показано выше, является циклической группой второго порядка и, во-вторых, ядро по также замеченному ранее является примарной абелевой группой без элементов составного порядка, т. е. элементарной абелевой примарной группой.

По теореме 1.3 из [15] разрешимый неинвариантный множитель группы Фробениуса является группой одного из следующих типов:

1. $H$ – циклическая группа;
2. , все элементы простых порядков из лежат в центре $H$;
3. $H = H_1\lambda Q$, где $H_{\mathit{1}}$ – группа нечетного порядка одного из типов 1, 2 теоремы, $Q$ – (обобщенная) группа кватернионов с инволюцией t, причем t лежит в центре $H$;
4. $H = H_{\mathit{1}}\lambda Q$, где $H_1$ – группа нечетного порядка одного из типов 1, 2 теоремы, $Q$ – группа кватернионов восьмого порядка;
5. $H$ содержит подгруппу индекса 2 типа 4 теоремы, и силовская 2-подгруппа из $H$ есть обобщенная группа кватернионов порядка шестнадцать.

Рассматривая возможное строение разрешимого неинвариантного множителя группы Фробениуса в группе, без единичного элемента совпадающей со своим нижним слоем, видим, что случаи 3, 4, 5 упомянутой теоремы 1.3 невозможны, так как содержат 2-элементы порядков больших двух. Во втором случае в циклических группах ,  найдутся два перестановочных элемента различных простых порядков, произведение которых является элементом составного порядка, что ведет к нарушению условия совпадения группы со своим нижним слоем. Остается единственная возможность для разрешимого множителя группы Фробениуса в нашем случае: быть циклической группой. Причем, ввиду отсутствия в группе G элементов составного порядка, эта циклическая группа является группой простого порядка.

По теореме 1.4 из [15], неразрешимый неинвариантный множитель H группы Фробениуса содержит в качестве подгруппы индекса, не превышающего двух, подгруппу K = L × H₁, где  L = SL(2,5), H₁ – группа одного из типов 1, 2 предыдущей теоремы 1.3, порядок которой взаимно прост с тридцатью.

Рассматривая возможное строение неразрешимого неинвариантного множителя группы Фробениуса в группе, без единичного элемента совпадающей со своим нижним слоем, видим, что неразрешимый неинвариантный множитель должен содержать некоторый элемент простого порядка из группы L = SL(2,5) , а это элементы второго, третьего и пятого порядков. В то же время, группа H₁ элементов таких порядков не содержит, так как ее порядок взаимно прост с тридцатью. Ввиду отсутствия в группе G элементов составного порядка, получаем противоречие с только что установленным наличием в неразрешимом неинвариантном множителе двух перестановочных элементов различных простых порядков.

Таким образом, мы установили, что неинвариантный множитель группы Фробениуса в группе, без единичного элемента совпадающей со своим нижним слоем, является циклической группой простого порядка.

Заключение

В работе приведены результаты по распознаваемости групп по нижнему слою в различных классах групп и рассмотрены группы, без единичного элемента совпадающие со своим нижним слоем, а также установлены свойства таких групп.

Благодарности

Работа выполнена в рамках госзадания ИВМ СО РАН (базовый проект № 0287-2021-0002).
Работа выполнена при поддержке Красноярского математического центра и финансировании
Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках создания и развития региональных научно-образовательных центров математики (Соглашение № 075-02-2021-1388).

Acknowledgements

The work was performed in the framework of the state assignment of ICM SB RAS, project no. 0287-2021-0002. The work was supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center and financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation as part of the creation and development of regional scientific and educational centers of mathematics (Agreement No. 075-02-2021-1388).

About the authors

Vladimir I. Senashov

Author for correspondence.
Email: sen1112home@mail.ru

Dr. Sc., professor, leader researcher, professor of algebra and logic department  Siberian Federal University

References

Supplementary files