Algorithm for simulation of vibration effects during track tests of aircraft and missile technology

Full Text

Введение

Одной из наиболее значимых проблем при трековых испытаниях авиационной и ракетной техники является вибрация элементов подвижной трековой ракетной каретки и трудно прогнозируемая вибрация объекта испытания. Целью настоящей работы является разработка методологии расчетного прогнозирования вибрационного поля при высокоскоростных трековых испытаниях и, кроме того, в условиях больших ускорений до 50–70 g из-за ограниченной длины рельсового пути.

Любое изделие, обладающее массой и упругостью, нагруженное объемными силами и моментами является динамической колебательной системой с бесконечно большим числом степеней свободы. Для анализа колебаний такой системы часто применяют метод Даламбера, при котором в дифференциальные уравнения, описывающие равновесие системы вместо объемных сил, применяют эквивалентные силы инерции. Таким образом, получаются дифференциальные уравнения свободных колебаний упругого тела. Решение этих уравнений представляют в виде произведения функций координат на функции времени, изменяющиеся по гармоническому закону [1–6]. В этом случае функции координат являются модами свободных колебаний, а временные зависимости описывают движение, как главные координаты. Тогда собственные колебания динамической системы моделируются в виде суммы произведений различных форм собственных колебаний на главные координаты. Для исследования форм свободных колебаний формулируется краевая задача в виде системы дифференциальных уравнений с нулевыми правыми частями и однородными граничными условиями, где не известной является частота собственных колебаний системы. В некоторых случаях оказывается предпочтительным применение уравнений Лагранжа второго рода или метода интегральных уравнений [2–7].

При формировании расчетной модели конструкция каретки представляется системой взаимосвязанных упругих балок с эквивалентной массой и жесткостью. Балки (стержни) с переменными по длине инерционными и упругими свойствами соединены сосредоточенными жесткими связями со своей упругостью (либо в виде вязкоупругой связи), нагружены изменяющимися внешними силами и моментами. Ракетные двигатели твердого топлива (РДТТ) представляются блоком с распределенной по длине массой, переменной по времени, вязко-упруго или жестко закрепленной на каретке. Упруго закрепленные массы представляют собой осцилляторы. Связи элементов каретки, препятствующие перемещениям балок, моделируются соответствующими опорами. Для оценок собственных частот, форм колебаний и их производных, единичных нагрузок в различных сечениях по длине балок, приведенных масс используются известные методы расчета, такие как метод конечных элементов, начальных параметров, конечно-разностный метод и др. [5–14]. При создании модели учитывалось превышение собственного спектра частот по отношению к спектру внешних воздействий на 100 %. Для задания нагрузок применяется метод прямого интегрирования дифференциальных уравнений движения модели. Диссипативные силы учитываются через логарифмические декременты колебаний. Дискретно-массовая модель позволяет определить усилия и моменты в связях между элементами, виброускорения, перемещения и углы поворота. Для отдельных элементов напряжения, перемещения, деформации внутри них определяются через перемещения связей методом конечных элементов.

Упруго-массовая схема трековой каретки с изделием

В качестве расчетной схемы применяется связанная система балок в виде стержней, пластин, труб и др., обладающих жесткостью на изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях и на кручение. Делаем предположение о том, что все деформации являются малыми, тогда применима теория изгиба и кручения балок с неравномерно распределенной массой и переменной жесткостью в линейной постановке [1–8]. Дополнительно вводится вектор углов поворота элементов конструкции, тогда суммарный поворот не зависит от порядка последовательных элементарных вращений относительно осей координат, т. е. выполняется свойство коммутативности. Каждый элемент трековой каретки связан с местной системой координат, относительно которой определяются силы и моменты, действующие в его сечениях, а также вычисляются линейные и угловые перемещения и упругие деформации. Местная система координат размещена в начале каждого элемента конструкции в месте стыка с другими частями каретки таким образом, что ось Х ориентирована по оси жесткости в сторону свободного конца элемента конструкции. Поле перемещений определяется векторами перемещений точек на оси жесткости вдоль осей X, Y (вертикальная координата), Z (горизонтальная координата)

$\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ ,                                                                                                                                             (1)

где x, y, z – положение элемента каретки, м, и углов поворота сечений, вокруг этих осей

$\left(\begin{array}{l}\text{α}\\ \text{β}\\ \text{γ}\end{array}\right)$ ,                                                                                                                                             (2)

где α, β, γ – ориентация элемента каретки в пространстве, град.

Перерезывающие силы, действующие в сечениях элементов конструкции, представлены в виде

 $\left(\begin{array}{l}{F}_{\text{x\_кон}}\\ F_{\text{y\_кон}}\\ F_{\text{z\_кон}}\end{array}\right)$,                                                                                                                                        (3)

где F_x, F_y, F_z – упругие силы в контакте между элементами тележки, Н.

В свою очередь

$\left(\begin{array}{l}{M}_{\text{x\_k\_izg}}\\ M_{\text{y\_k\_izg}}\\ M_{\text{z\_k\_izgг}}\end{array}\right)$ ,                                                                                                                                     (4)

где M_{x_k_izg}, M_{y_ k_izg}, M_{z_k_izg} – изгибающие моменты в контакте между элементами тележки, Н·м и крутящие моменты

$\left(\begin{array}{l}{M}_{\text{x\_k\_kr}}\\ M_{\text{y\_k\_kr}}\\ M_{\text{z\_k\_kr}}\end{array}\right)$ ,                                                                                                                                        (5)

M_{x_k_kr}, M_{y_k_kr}, M_{z_k_kr} – в контакте между элементами тележки, Н·м.

Силы и перемещения положительно направлены в стороны положительных направлений осей координат. Положительные повороты для моментов и углов вокруг осей представлены в правой системе координат.

Каждый элемент конструкции, представляемой балкой, задан геометрическими размерами и разбивается на n сечений, в которых задаются массовые и упругие свойства:

$\left(\begin{array}{l}{I}_{\text{xx}}{I}_{\text{xy}}{I}_{\text{xz}}\\ I_{\text{xy}}{I}_{\text{yy}}{I}_{\text{yz}}\\ I_{\text{xz}}{I}_{\text{yz}}{I}_{\text{zz}}\end{array}\right)$ ,                                                                                                                                        (6)

I – тензор инерции элемента каретки, кг·м²,

$\left(\begin{array}{l}E{I}_{\text{xx}}^{izg}E{I}_{\text{xy}}E{I}_{\text{xz}}\\ E{I}_{\text{xy}}E{I}_{\text{yy}}^{izg}E{I}_{\text{yz}}\\ E{I}_{\text{xz}}E{I}_{\text{yz}}E{I}_{\text{zz}}^{kr}\end{array}\right)$ ,                                                                                                                                  (7)

EI – тензор жесткости элемента каретки, кг·м².

В общем случае рассматриваются совместные изгибные и крутильные колебания, возникающие из-за смещения оси центра масс и оси жесткости элемента балки [11; 13–14]. Задается вектор положения центра масс относительно оси жесткости. Соединение составных частей каретки (сварка, болтовые крепления с затяжкой) полагаются упругой заделкой и представляются матрицей податливости в местной системе координат, связанной с соответствующей балкой. Соединяемые элементы каретки получают упругие перемещения относительно сечения заделки, которые представляются в виде векторов линейных и угловых перемещений начала каждой балки.

$\left(\begin{array}{l}{F}_{\text{x\_k}}\\ F_{\text{y\_k}}\\ F_{\text{z\_k}}\end{array}\right)={\left[M\right]}_{\text{per}}k\left(\begin{array}{l}\Delta l_{\text{x}}\\ \Delta l_{\text{y}}\\ \Delta l_{\text{z}}\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{l}\Delta V_{\text{x}}\\ \Delta V_{\text{y}}\\ \Delta V_{\text{z}}\end{array}\right),$                                                                                                   (8)

здесь $\left(\begin{array}{l}{F}_{\text{x\_k}}\\ F_{\text{y\_k}}\\ F_{\text{z\_k}}\end{array}\right)$ – упругие силы в контакте между элементами каретки, Н; ${\left[M\right]}_{\text{per}}$  – матрица перехода; k – коэффициент упругости, Н/м; b – коэффициент демпфирования, Н/м·с; $\left(\begin{array}{l}\Delta l_{\text{x}}\\ \Delta l_{\text{y}}\\ \Delta l_{\text{z}}\end{array}\right)$ – линейная деформация контакта, м; $\left(\begin{array}{l}\Delta V_{\text{x}}\\ \Delta V_{\text{y}}\\ \Delta V_{\text{z}}\end{array}\right)$ – скорость деформации контакта, м/с.

$\left(\begin{array}{l}{M}_{\text{x\_k}}\\ M_{\text{y\_k}}\\ M_{\text{z\_k}}\end{array}\right)={\left[M\right]}_{\text{per}}{k}_{\text{r}}\left(\begin{array}{l}\text{Δα}\\ \text{Δβ}\\ \text{Δγ}\end{array}\right)+b_r\left(\begin{array}{l}{\text{Δω}}_{\text{x}}\\ {\text{Δω}}_{\text{y}}\\ {\text{Δω}}_{\text{z}}\end{array}\right),$                                                                                                   (9)

где $\left(\begin{array}{l}{M}_{\text{x\_k}}\\ M_{\text{y\_k}}\\ M_{\text{z\_k}}\end{array}\right)$ – крутящий момент в контакте между элементами каретки, Н·м; k_r – коэффициент упругости при скручивании, Н·м/град; b_r – коэффициент демпфирования, $\left(\begin{array}{l}\text{Δα}\\ \text{Δβ}\\ \text{Δγ}\end{array}\right)$ – угловая деформация контакта, град; Н·м/об·мин; $\left(\begin{array}{l}{\text{Δω}}_{\text{x}}\\ {\text{Δω}}_{\text{y}}\\ {\text{Δω}}_{\text{z}}\end{array}\right)$ – скорость деформации контакта, об/мин.

Силы сопротивления представляются в виде

$\left(\begin{array}{l}{F}_{\text{x}}\\ F_{\text{y}}\\ F_{\text{z}}\end{array}\right)=\frac{\rho V^2}{2}{F}_{\text{m}}\left(\begin{array}{l}{C}_{\text{x}}\\ C_{\text{y}}\\ C_{\text{z}}\end{array}\right),$                                                                                                                      (10)

где F_x – сила аэродинамического сопротивления, Н; F_z – боковая сила, Н; F_y – подъемная сила, Н; ρ – плотность газа, кг/м³; F_m – площадь миделя, м²; C_x – коэффициент силы аэродинамического сопротивления; C_y – коэффициент подъемной силы; C_z – коэффициент боковой силы.

$\left(\begin{array}{l}{M}_{\text{x}}\\ M_{\text{y}}\\ M_{\text{z}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -F_{\text{z}}& F_{\text{y}}\\ -F_{\text{z}}& \text{0}& F_{\text{x}}\\ -F_{\text{y}}& F_{\text{x}}& \text{0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right),$                                                                                                   (11)

где M_x – крутящий момент вокруг оси х, Н·м; M_y – крутящий момент вокруг оси y, Н·м; M_z – крутящий момент вокруг оси z, Н·м; $\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ – координаты фокуса аэродинамических сил относительно центра масс каретки, м.

Силовая установка задана функцией тяги в зависимости от времени, действующей до полного сгорания топлива.

$F_{\text{x}}=\left\{\begin{array}{c}f\left(t\right); M_{\text{т}}>\mathrm{0,}\\ 0; M_{\text{т}}\le \mathrm{0,}\end{array}\right.$                                                                                                                           (12)

где F_x – тяга двигателя, Н; M_Т – масса топлива, кг.

$G_{\text{т}}=F_{\text{x}}\cdot C_{\text{ud}}$,                                                                                                                                    (13)

где G_т – расход топлива, кг/с; C_ud – удельный расход топлива, кг/(Н·с).

Наибольшую сложность в данной задаче представляет модель скользящего пространственного контакта опора – рельс. Сделаны следующие допущения: единовременно в одной опоре существует не более одной зоны контакта; деформации конструкции опоры являются малыми; рельс является абсолютно жестким. Последнее допущение базируется на том, что рельсы трека, в отличие от работы [4], являются короткими – длиной 25 м. Стыковые зазоры рельсов разобщают волновой процесс, вызванный изгибными колебаниями самих рельсов при перемещении каретки [2–3]:

$\left(\begin{array}{c}{x}_{\text{р}}\\ y_{\text{р}}\\ z_{\text{р}}\end{array}\right)=f\left(S\right)$,                                                                                                                                   (14)

где – $\left(\begin{array}{c}{x}_{\text{р}}\\ y_{\text{р}}\\ z_{\text{р}}\end{array}\right)$ положение поверхности рельса, м;  $S$– пройденный путь, м.

Длина пути вычисляется так:

$S=\int \left|V\right|$.                                                                                                                                            (15)

Угловые координаты пути

$\left(\begin{array}{c}{\text{α}}_{\text{р}}\\ {\text{β}}_{\text{р}}\\ {\text{γ}}_{\text{р}}\end{array}\right)=f\left(S\right)$,                                                                                                                                           (16)

здесь $\left(\begin{array}{c}{\text{α}}_{\text{р}}\\ {\text{β}}_{\text{р}}\\ {\text{γ}}_{\text{р}}\end{array}\right)$ – ориентация точек поверхности рельса, град.

Геометрия подвижного контакта

$\left(\begin{array}{c}\text{Δ}{x}_{\text{о}}\\ \text{Δ}{y}_{\text{о}}\\ \text{Δ}{z}_{\text{о}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_{\text{р}}\\ y_{\text{р}}\\ z_{\text{р}}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{x}_{\text{о}}\\ y_{\text{о}}\\ z_{\text{о}}\end{array}\right)$,                                                                                                                        (17)

где $\left(\begin{array}{c}\text{Δ}{x}_{\text{о}}\\ \text{Δ}{y}_{\text{о}}\\ \text{Δ}{z}_{\text{о}}\end{array}\right)$ – расстояние между поверхностью опоры и поверхностью рельса, м, а $\left(\begin{array}{c}{x}_{\text{о}}\\ y_{\text{о}}\\ z_{\text{о}}\end{array}\right)$ – положение поверхности опоры, м.

Угловое мгновенное положение контактной пары опоры и рельсовых направляющих

$\left(\begin{array}{c}{\text{Δα}}_{\text{о}}\\ {\text{Δβ}}_{\text{о}}\\ {\text{Δγ}}_{\text{о}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\text{α}}_{\text{р}}\\ {\text{β}}_{\text{р}}\\ {\text{γ}}_{\text{р}}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{\text{α}}_{\text{о}}\\ {\text{β}}_{\text{о}}\\ {\text{γ}}_{\text{о}}\end{array}\right)$,                                                                                                                       (18)

где  – угол между поверхностью опоры и поверхностью рельса, град;  – угол между поверхностью опоры и осями глобальной системы координат, град.

Положение опор в глобальной системе координат представляется соотношением

$\left(\begin{array}{c}\text{Δ}{x}_{\text{ор}}\\ \text{Δ}{y}_{\text{ор}}\\ \text{Δ}{z}_{\text{ор}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{Δ}{x}_{\text{о}}\\ \text{Δ}{y}_{\text{о}}\\ \text{Δ}{z}_{\text{о}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\sin {\text{α}}_{\text{р}}& \cos {\text{β}}_{\text{р}}& \cos {\text{γ}}_{\text{р}}\end{array}\right)$,                                                                                                (19)

здесь $\left(\begin{array}{c}\text{Δ}{x}_{\text{ор}}\\ \text{Δ}{y}_{\text{ор}}\\ \text{Δ}{z}_{\text{ор}}\end{array}\right)$ – проекции положения опоры в глобальной системе координат, м.

Контактное взаимодействие моделируется зависимостями

$k_{\text{рр}}=\left\{\begin{array}{c}0; \sin \frac{S+x_{\text{о}}}{L_{\text{r}}\cdot 2\pi }\ge \frac{R_{\text{gb}}}{2\pi L_{\text{r}}},\\ k_{\text{рр}};\sin \frac{S+x_{\text{о}}}{L_{\text{r}}\cdot 2\pi }<\frac{R_{\text{gb}}}{2\pi L_{\text{r}}},\end{array}\right.$                                                                                                              (20)

где k_pp – коэффициент упругости контакта опоры и рельса при плоском контакте, Н/м; x_о – смещение опоры относительно системы координат каретки, м; L_r – длина одного рельса, м; R_gb – ширина стыкового зазора между двумя рельсами, м.

Коэффициент упругости при контактном взаимодействии по направлениям осей X, Y, Z:

$\left(\begin{array}{c}{k}_{\text{рx}}\\ k_{\text{рy}}\\ k_{\text{рz}}\end{array}\right)=\left\{\begin{array}{c}0; \left(\begin{array}{c}\text{Δ}{x}_{\text{ор}}\\ \text{Δ}{y}_{\text{ор}}\\ \text{Δ}{z}_{\text{ор}}\end{array}\right)\ge R_{\text{g}},\\ k_{\text{рр}};\left(\begin{array}{c}\text{Δ}{x}_{\text{ор}}\\ \text{Δ}{y}_{\text{ор}}\\ \text{Δ}{z}_{\text{ор}}\end{array}\right)<R_{\text{g}},\end{array}\right.$                                                                                                                     (21)

здесь k_px, k_py, k_pz – коэффициенты упругости контакта при плоском контакте в соответствующих направлениях, Н/м; R_g – размер зазора между рельсом и опорой, м;

$\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left\{\begin{array}{c}1; \left(\begin{array}{c}\text{Δ}{x}_{\text{ор}}\\ \text{Δ}{y}_{\text{ор}}\\ \text{Δ}{z}_{\text{ор}}\end{array}\right)\ge \mathrm{0,}\\ -1;\left(\begin{array}{c}\text{Δ}{x}_{\text{ор}}\\ \text{Δ}{y}_{\text{ор}}\\ \text{Δ}{z}_{\text{ор}}\end{array}\right)<\mathrm{0,}\end{array}\right.$                                                                                                                           (22)

где  b,  – коэффициенты для определения контактирующей стороны опоры.

Упругие силы при контактном взаимодействии поверхностей опоры и рельсов определяются следующим образом:

$\left(\begin{array}{c}{F}_{\text{оуx}}\\ F_{\text{оуy}}\\ F_{\text{оуz}}\end{array}\right)=\left(\left(\begin{array}{c}\text{Δ}{x}_{\text{ор}}\\ \text{Δ}{y}_{\text{ор}}\\ \text{Δ}{z}_{\text{ор}}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\text{a}\\ b\\ \text{c}\end{array}\right)R_{\text{g}}\right)\left(\begin{array}{ccc}{k}_{\text{рx}}& k_{\text{рy}}& k_{\text{рz}}\end{array}\right),$                                                                                               (23)

здесь $\left(\begin{array}{c}{F}_{\text{оуx}}\\ F_{\text{оуy}}\\ F_{\text{оуz}}\end{array}\right)$ – упругие силы в абсолютной системе координат, $\mathrm{Н}$.

Геометрия контактирующих поверхностей опоры и рельса связаны соотношением

$\left(\begin{array}{c}{L}_{\text{ор}}\\ H_{\text{ор}}\\ {\text{W}}_{\text{ор}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{L}_{\text{о}}\\ L_{\text{о}}\\ {\text{W}}_{\text{о}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\sin {\text{Δα}}_{\text{р}}& \sin {\text{Δβ}}_{\text{р}}& \sin {\text{Δγ}}_{\text{р}}\end{array}\right)$,                                                                                                    (24)

где L_о – длина опоры, м; W_о – ширина опоры, м; $\left(\begin{array}{c}{L}_{\text{ор}}\\ H_{\text{ор}}\\ {\text{W}}_{\text{ор}}\end{array}\right)$ – проекции длины и ширины опоры, м.

Упругое взаимодействие контактирующих поверхностей моделируется соотношениями

$\left(\begin{array}{c}{k}_{\text{ррz}}\\ k_{\text{ррy}}\\ k_{\text{ррz2}}\end{array}\right)=\left\{\begin{array}{c}0; \left(\begin{array}{c}\left|L_{\text{ор}}\right|\\ \left|H_{\text{ор}}\right|\\ \left|{\text{W}}_{\text{ор}}\right|\end{array}\right)\ge R_{\text{g}},\\ F_{\text{k}}\cdot k_{\text{рр}};\left(\begin{array}{c}\left|L_{\text{ор}}\right|\\ \left|H_{\text{ор}}\right|\\ \left|{\text{W}}_{\text{ор}}\right|\end{array}\right)<R_{\text{g}},\end{array}\right.$                                                                                                               (25)

где k_ppz, k_ppy, k_ppz2 – коэффициент упругости контакта при определении внутренних сил, Н/м; F_k – коэффициент формы пятна контакта при наклоне опоры;

$\left(\begin{array}{c}{F}_{\text{внz}}\\ F_{\text{внy}}\\ F_{\text{внz2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{L}_{\text{ор}}\\ H_{\text{ор}}\\ {\text{W}}_{\text{ор}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{k}_{\text{ррz}}& k_{\text{ррy}}& k_{\text{ррz2}}\end{array}\right)$,                                                                                                          (26)

здесь $\left(\begin{array}{c}{F}_{\text{внz}}\\ F_{\text{внy}}\\ F_{\text{внz2}}\end{array}\right)$ – внутренние силы в опоре, Н;

Моменты при силовом взаимодействии определяются из зависимости

$\left(\begin{array}{c}{M}_{\text{оx}}\\ M_{\text{оy}}\\ M_{\text{оz}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{F}_{\text{внz2}}\\ F_{\text{внy}}\\ F_{\text{внz}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{\text{W}}_{\text{о}}& L_{\text{о}}& L_{\text{о}}\end{array}\right)$,                                                                                                   (27)

где  $\left(\begin{array}{c}{M}_{\text{оx}}\\ M_{\text{оy}}\\ M_{\text{оz}}\end{array}\right)$ – крутящий момент со стороны опоры, Н·м;

В свою очередь силы трения равны

$F_{\text{тр}}=2\mu \left(\left|F_{\text{внz}}\right|+\left|F_{\text{внz2}}\right|+\left|F_{\text{внy}}\right|\right)$,                                                                                                   (28)

где F_тp– компонент силы трения от внутренних сил, Н; μ – коэффициент трения.

Составляющие сил трения моделируются соотношениями

$\left(\begin{array}{c}{F}_{\text{оуоx}}\\ F_{\text{оуоy}}\\ F_{\text{оуоz}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{F}_{\text{оуx}}\\ F_{\text{оуy}}\\ F_{\text{оуz}}\end{array}\right){\left[M\right]}_{\text{пер}}$,                                                                                                                   (29)

где  $\left(\begin{array}{c}{F}_{\text{оуоx}}\\ F_{\text{оуоy}}\\ F_{\text{оуоz}}\end{array}\right)$ – упругие силы в системе координат опоры, Н;

$\left(\begin{array}{c}{F}_{\text{оx}}\\ F_{\text{оy}}\\ F_{\text{оz}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{F}_{\text{оуоx}}+\sqrt{{F_{\text{оуоy}}}^2+{F_{\text{оуоz}}}^2}+F_{\text{тр}}\\ F_{\text{оуоy}}\\ F_{\text{оуоz}}\end{array}\right)$,                                                                                           (30)

здесь $\left(\begin{array}{c}{F}_{\text{оx}}\\ F_{\text{оy}}\\ F_{\text{оz}}\end{array}\right)$ – силы, действующие со стороны опоры.

На подвижной каретке могут быть дополнительно размещены в любой точке упруго связанные объекты, характеризуемые точечной нагрузкой, например, приборный блок для записи показаний датчиков вибраций, размещенных на элементах установки. Центр масс таких дополнительных объектов вынесен произвольно относительно точки крепления к расчетному сечению балки и обозначается нижним индексом. Каждый такой объект имеет порядковый номер и связан с системой координат с началом в его центре масс. Эта система координат совмещена с главными центральными осями инерции объекта и по направлению осей. Перемещения объекта определяются векторами линейных и угловых движений относительно системы координат, связанной с объектом в недеформированном состоянии. Инерционные свойства этих элементов с сосредоточенной массой задаются массой объекта и матрицей его моментов инерции. Диагональные элементы представляют моменты инерции груза относительно осей. Упругость связи объекта задается матрицей податливости в системе координат, связанной с конкретным дополнительным элементом. Упругие линейные и угловые перемещения относительно точки крепления определяются векторами относительно координат, связанных с грузом в недеформированном состоянии. Все элементы конструкции каретки (балки и объекты) соединяются между собой через точку, обладающую свойством абсолютно жесткой балки, через которую передаются силы и моменты. Также через точку крепления объекты получают перемещения в виде суммы перемещений точки крепления и относительного смещения вследствие упругости заделки. Для расчета прочности конструктивных элементов составных частей каретки используется метод конечных элементов (МКЭ) [5; 8; 11–14]. Поскольку подвижная каретка при наборе скорости находится в режиме ускорения до значений (50–70) g, то динамические нагрузки на некоторые элементы могут превышать предельно допустимые значения. В этой связи предпочтительной является комбинированная схема, совмещающая разбиение каретки на составные части в виде балок и отдельных узлов сложной формы, рассчитываемых МКЭ. В этом случае решается проблема определения форм и частот собственных колебаний конструкции, а также моделирование нестационарного аэродинамического нагружения при больших числах Маха с учетом интерференции скачков уплотнения, возникающих при ускоренном движении снаряженной каретки с отраженными скачками от рельефа местности.

Модель аэродинамических сил

Для расчета аэродинамических сил в математическую модель закладывается зависимость коэффициентов аэродинамического сопротивления, подъемной силы и боковой силы от скорости движения. Для расчета моментов аэродинамических сил в модель закладываются координаты фокуса аэродинамических сил. Расчет аэродинамических сил выполняется как для отдельных элементов, так и для всей каретки программным пакетом Flow Vision [15–19]. В качестве примера определения аэродинамических сил и моментов для разработанной математической модели приводятся результаты численных расчетов [16].

 

Рис. 1. 3D-модель трековой каретки с ложементами под РДТТ

Fig. 1. 3D model of a track sled with lodgements for solid propellant rocket motors

 

На рис. 1 представлена 3D-модель трековой каретки 33АВ-НО505 № 2, используемой для испытаний в ФКП «ГкНИПАС имени Л. К. Сафронова» [3; 16]. Сама трековая каретка представляет собой раму с приваренными поперек тремя балками. На торцевых окончаниях передней и задней балок шарнирно размещены башмаки – опоры скольжения, охватывающие головку рельсов. На средней и задней балках выполнены ложементы для размещения РДТТ. Количество РДТТ обеспечивает необходимую тягу для достижения запланированной скорости испытания. На передней и средней балках размещается консольно объект испытания с вынесенным вперед обтекателем. Заделка объекта испытания жесткая. Внизу посередине каретки установлен ковш, предназначенный для гидродинамического торможения в целях сохранения материальной части после проведения эксперимента.

На рис. 2–4 приводятся результаты численного моделирования динамики движения двухрельсовой каретки с пятью РДТТ [16].

 

Рис. 2. Фронтальное изображение обтекания модели воздушным потоком со скоростью 363 м/с

Fig. 2. Frontal image of the air flow around the model at a speed of 363 m/s

 

Рис. 3. Вид сверху. Картина обтекания модели воздушным потоком со скоростью 363 м/с. Уровень объекта испытания

Fig. 3. Top view. Pattern of airflow around the model at a speed of 363 m/s

 

Рис. 4. Вид сверху. Картина обтекания модели воздушным потоком со скоростью 363 м/с. Уровень трековой каретки

Fig. 4. Top view. Pattern of airflow around the model at a speed of 363 m/s. Track sled level

 

На рис. 2–4 справа внизу представлены значения скорости воздушного потока при обтекании элементов конструкции ракетной каретки в м/с, а слева вверху – в числах М. Видна сложная картина интерференции скачков уплотнений, отраженных от элементов конструкции каретки и полотна рельсового трека. Для различных режимов движения получены численные значения газодинамических сил, моментов и распределения параметров давления, плотности, температуры.

Для прогнозирования трековых испытаний изделий баллистического типа представляет интерес изучение существенности влияния на вибрационные характеристики элементов конструкции каретки и объекта испытания изменяющихся величин стыковых зазоров между рельсами вследствие температурного удлинения (или уменьшения) в диапазоне значений от –20 ºС до +25 ºС, а также конструктивных зазоров между боковыми стенками опор скольжения и головкой рельсовой направляющей. Все эти зазоры разнонаправлено влияют на динамику разгона трековой каретки и имеют рациональные значения для конкретной конструкции башмаков в зависимости от скорости движения каретки. Также важен учет механических свойств элементов каретки (изменение упругих свойств на растяжение / сжатие и изгиб, кручение). Как показали расчеты, высокая жесткость рамы приводит к увеличению вибрационной нагрузки вплоть до деформаций, приводящих к заклиниванию каретки на рельсах при малых зазорах между боковыми стенками башмаков и головкой рельсов. Достаточно важным является передаваемость вибраций от элементов каретки к объекту испытания и особенно его электронике, расположенной в носовой части. Численные расчеты выполняются в программной среде Амесим [20]. Моделирование позволяет варьировать установкой различного количества РДТТ, изменяя тягу и массу подвижного трекового снаряжения. Геометрическая 3D-модель трековой каретки для упрощения программы была разделена на четыре блока. Ко всем блокам присоединены соответствующие опоры. Блоки масс связаны между собой соединениями, жёсткость которых подсчитана по формуле

$k=\frac{ES}{L_0},$ где $E$ – модуль Юнга; $S$ – площадь поперечного сечения; $L_{\mathit{0}}$ – длина.

Площадь каждого поперечного сечения выбирается из 3D-модели.

На рис. 5, а и б изображены фрагменты разбиения 3D-модели каретки с РДТТ.

   

Рис. 5. Элементы разбиения 3D-модели трековой каретки:

а – блок правой четверти модели, включающей переднюю и среднюю балки, а также ковш для гидродинамического торможения каретки;

б – блок правой четверти модели, включающей среднюю и заднюю балки каретки и РДТТ

Fig. 5. Breakdown elements of the 3D track sled model: a – block of the right quarter of the model, including the front and middle beams, as wellas a bucket for hydrodynamic braking of the sled; b – block of the right quarter of the model, including the middle and rear beams of the sled and solid propellant rocket motor

 

Результаты численного эксперимента движения трековой каретки с пятью двигателями

На рис. 6–11 представлены результаты вычислений по модели.

На рис. 6 приведен график, иллюстрирующий разгон двухрельсовой каретки с пятью РДТТ и ее торможение.

 

Рис. 6. График зависимости скорости трековой каретки с модельным объектомиспытания по времени

Fig. 6. Graph of the dependence of the speed of a track sleigh with a model test object over time

 

Направление оси X глобальных координат, принятое в расчетах, совпадает с направлением движения каретки. Ось Y направлена вертикально вверх, а ось Z направлена горизонтально влево.

Ускорение каретки изменяется в процессе разгона в соответствии с циклограммой работы блока РДТТ, одновременно по мере роста скорости каретки увеличиваются силы аэродинамического сопротивления. Силы трения башмаков каретки о рельсы в процессе движения переменны. В программу заложено влияние стыковых зазоров между рельсами и зазоров между стенками опор скольжения и головкой рельсов на площадь контакта башмаков. При увеличении скорости движения каретки возникающая подъемная сила уменьшает силу веса снаряжения и соответственно снижает трение скольжения. Одновременно уменьшается масса подвижной установки из-за сгорания топлива двигателей. На рис. 7 приведены графики изменения аэродинамических сил по различным направлениям.

По оси Z боковая сила составляет всего 1,5 кН. Все аэродинамические силы верифицированы расчетами в программном комплексе Flow Vision. Результаты расчетов удовлетворительно согласуются с данными экспериментов, проводимых при испытаниях на натурных объектах [17].

Величины сил трения на передних и задних опорах на начальном участке трека при разгоне характеризуются графиками на рис. 8. Силы трения на передней опоре на участке разгона с 2 по 5 с практически постоянны в процессе ускоренного движения. Башмаки воспринимают ударные импульсы при прохождении их носовой частью через стыковые зазоры между рельсами. Это взаимодействие учитывается в локальной системе координат, связанной с контактом опоры и рельсовой поверхностью. В настоящей модели рельсовые поверхности идеализированы, однако реальная рельсовая дорожка имеет неровности и шероховатости, геометрия которых для данного трека известна. Планируем в дальнейшем совершенствование данной программы посредством учета неровностей рельсового пути по длине участка разгона. Для верификации разработанной модели использовались известные подходы моделирования и результаты экспериментальных работ [16–23].

 

Рис. 7. Силы аэродинамического сопротивления, действующие по направлениям осей X, Y, Z

Fig. 7. Forces of aerodynamic resistance acting in the directions of the axes X, Y, Z

 

Рис. 8. Силы трения: а – на передней опоре с правой стороны каретки; б – на задней опоре с правой стороны каретки

Fig. 8. Friction forces: a – on the front support on the right side of the sled; b – on the rear support on the right side of the sled

 

Динамика изменения величин потерь трения на задней опоре несколько отличается (см.рис. 8, a, б). Сначала в процессе разгона до скорости 690 м/с (на 2,9 с) силы трения заднего башмака растут, а далее по мере увеличения скорости уменьшаются. Сказывается распределение массы трековой каретки и влияние сил аэродинамического сопротивления. Размах амплитуд сил трения на заднем башмаке выше, чем на переднем. Графики сил трения по левой стороне каретки по форме близки к представленным на рис. 8, а и б, но величины несколько отличаются из-за небольшой боковой силы аэродинамического сопротивления по оси Z, направленной влево (см. рис. 7). Эта сила возникает из-за аэродинамического воздействия несимметричного окружения трекового рельсового пути. На участке торможения на 7,0 с реализуется удар при вхождении ковша в воду лотка, размещенного между рельсами, и возникают значительные гидравлические силы и моменты, уменьшающие скорость движения каретки. При этом неровности рельсового пути на этом участке трека являются не значимыми с точки зрения динамических воздействий на конструкцию башмаков, каретки и объекта испытания.

Для данной трековой каретки определены частоты собственных колебаний. Так, по оси Х нижние частоты собственных резонансов составляют  f₁ = 57,16302 Гц;  f₂ = 89,156 Гц; f₃ = 121,85 Гц;  f₄ = 149 Гц;  f₅  = 200 Гц;  f₆  = 249 Гц;  f₇  = 277 Гц и др.

Частоты собственных колебаний по оси Y равны:  f₁ = 89,156 Гц;  f₂ = 153,14 Гц;  f₃ = 213,01 Гц;  f₄ = 244,88 Гц;  f₅ = 248,53 Гц;  f₆ = 249,12 Гц и др.

На рис. 9 приведены зависимости плотности спектра амплитуды в диапазоне низких частот от 0 Гц до 500 Гц.

 

Рис. 9. Плотность спектра мощности виброускорений каретки в направлении осей X, Y и Z

Fig. 9. Density of the power spectrum of vibration accelerations of the sleigh in the direction of the X, Y and Z axes

 

По оси Х виброускорения с большими значениями соответствуют собственным частотам. Так, А_R = 300 g при частоте f = 150 Гц; А_R = 580 g при частоте f = 277 Гц. По оси Y виброускорения относительно невелики и не превышают 100 g в широкой полосе частот.

На рис. 10 и 11 приведены амплитудно-частотные зависимости для виброперегрузок на опорах.

 

Рис. 10. Плотность спектра виброускорений по оси Y правой передней опоры (S2_1)

Fig. 10. Density of the vibration acceleration spectrum along the Y-axis of the right front support (S2_1)

 

Рис. 11. Плотность спектра виброускорений по оси Y правой задней опоры (S1_1)

Fig. 11. Density of the spectrum of vibration accelerations of the sled supports in the vertical direction along the Y axis (S1_1)

 

В среднем по всем передним и задним опорам каретки амплитуды вибраций по оси Y в диапазоне частоты от 0 до 250 Гц остаются на уровне 500 м/с² (около 50 g) Выделяются резонансы с амплитудой А_R = 250 g на частотах f = 89 Гц и 126 Гц, а также А_R = 780 g при f = 154 Гц и др. Реальные нагрузки на опорах каретки, как показали испытания [21], могут превышать расчетные почти на порядок. Однако физическая природа их спонтанного возникновения еще не установлена. Предполагается стохастичность возникновения автоколебаний, поскольку для одинакового снаряжения ракетной каретки и при равном ускорении, и одинаковой скорости в следующих испытаниях на данном участке трека всплески виброперегрузок не наблюдались.

Расчетами определено влияние зазоров между боковыми стенками опор и головкой рельсов для конструкции данной ракетной каретки (см. рис. 1) при достижении различных значений скоростей разгона. Так, при скоростях разгона каретки до 2М и значениях боковых зазоров от 3 мм до 5 мм обеспечивается рациональный средний уровень виброускорений, не превышающий (30–50) g, включая допустимые резонансные всплески для различных элементов трекового снаряжения. Это стабильный диапазон. Однако на скоростях ракетной каретки больших 3М возникают существенные вибрационные перегрузки. Малые зазоры меньшие 2 мм увеличивают силы трения и амплитуды виброускорений. Напротив, при высокой жесткости рамы на скручивание и больших боковых зазорах в опорах, превышающих 8 мм, ракетная каретка может периодически терять устойчивость по оси Z.

Заключение

Требование увеличения скорости испытаний новых изделий авиационной техники баллистического типа обусловливает необходимость предварительных оценок силовых нагружений элементов конструкции трекового снаряжения. Совокупность факторов, таких как кратность длины рельсов трека и величина стыковых зазоров между ними, переменная из-за различных температур окружающей среды, а также величина боковых зазоров между стенками опор скольжения и головкой рельсовой направляющей в зависимости от ускорения и скорости трековой каретки влияют на амплитуду виброперегрузок по направлениям осей Х, Y, Z. Особенно это влияние выражено при частотах, совпадающих с собственными частотами элементов конструкции. Для прогнозирования высокоскоростных трековых испытаний изделий создана программа численных оценок вибрационных перегрузок элементов конструкции объектов испытаний и самой ракетной трековой каретки в программной среде Амесим. Выполнены расчеты по определению рациональных значений величин боковых зазоров между стенками башмаков каретки известной конструкции и рельсами. Выполняются оценки по улучшению демпфирующих характеристик опор скольжения в зависимости от их форм и размеров, а также варьируя упругостью материалов связей опор и рамы каретки. Верификация программы реализуется по мере выполнения экспериментальных трековых испытаний.

About the authors

Sergey A. Astakhov

Scientific Test Range of Aviation Systems named after L. K. Safronov

Email: info@gknipas.ru

PhD. Sc, Director

Russian Federation, Beloozersky, Moscow region, 140250

Vasily I. Biryukov

Scientific Test Range of Aviation Systems named after L. K. Safronov; Moscow Aviation Institute (National Research University)

Author for correspondence.
Email: aviatex@mail.ru

Dr. Sc, Docent, Professor

Russian Federation, Beloozersky, Moscow region, 140250; 4, Volokolamskoe highway, Moscow, 125993

Dmitry A. Borovikov

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: deman.994@yandex.ru

Postgraduate student

Russian Federation, 4, Volokolamskoe highway, Moscow, 125993

References

Supplementary files