On the construction of stress discontinuity lines for a two-dimensional plastic region

Full Text

Введение

Линия разрыва напряжений – это некоторая линия (поверхность) в теле, на которой напряжения терпят разрыв. Причина появления разрывов при плоской деформации – переопределённость граничной задачи в окрестности особой точки с какой-либо одной стороны от контактной границы. Как правило, линии разрыва расположены в более прочной части соединения [1–2]. При исследовании критического состояния и прочности конструкций необходимо учитывать это явление. То же относится и к стержневым конструкциям [1–5], и тонкостенным цилиндрическим оболочкам, где также имеет место переопределенность граничной задачи. Задача осложняется, если материал полосы неоднороден в менее прочной или (и) в более прочной части соединения [6].

Для построения линий разрыва напряжений, в случае плоской деформации, необходимо учитывать, что они находятся в точке пересечения линий характеристик одного семейства и направлены по биссектрисе угла образованными этими характеристиками. Поэтому для нахождения этих линий необходимо построить характеристики. Проше всего это сделать для задачи кручения, поскольку в этом случае характеристика направлена по нормали к внешнему контуру и найти линии скольжения и их точки пересечения достаточно просто. Этому посвящено достаточное количество работ о пластическом кручении изотропных цилиндрических и призматических стержней в случае, когда боковая поверхность стержней свободна от касательных нагрузок, а также в случае, когда боковая поверхность стержня находится под действием внешнего переменного давления [7; 8]. Кручение анизотропных цилиндрических и призматических стержней исследовано в [9–11]. В [12] определено предельное состояние сектора анизотропного кругового кольца при кручении. В [13] показано построение полей характеристик для цилиндрического стержня по произвольной поверхности текучести. В [14–17] рассматривались поверхности разрывов деформаций в упругопластических средах.

Для задач плоской деформации пластичного материала разрывные решения построить не просто. Это объясняется необходимостью рассматривать два семейства характеристик и сложностью построения этих линий скольжения. Для решения этой задачи построим непрерывную деформацию двух точных решений: гомотопию решений Прандтля и Надаи. Найдем точки пересечения линий скольжения одного семейства и построим линии разрыва.

Гомотопия решений Прандтля и Надаи

Рассмотрим систему плоской идеальной пластичности Треска – Сен-Венана – Мизеса, состоящую из двух уравнений равновесия и условия пластичности:

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\sigma }_x}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial y}=0, \frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_y}{\partial y}=\mathrm{0,}\\ {({\sigma }_x-{\sigma }_y)}^2+4{\tau }_{xy}^2=4k^2,\end{array}$                                                       (1)

где σ_x, σ_y, τ_xy – компоненты тензора напряжений; k – предел текучести при чистом сдвиге.

Заменой, продолженной М. Леви,

$\begin{array}{c}{\sigma }_x=\sigma -k\sin 2\theta ,\\ {\sigma }_y=\sigma +k\sin 2\theta ,\\ {\tau }_{xy}=k\cos 2\theta ,\end{array}$

система (1) сводится к квазилинейной системе:

$\begin{array}{l}\frac{\partial \sigma }{\partial x}-2k\left(\frac{\partial \theta }{\partial x}\cos 2\theta +\frac{\partial \theta }{\partial y}\sin 2\theta \right)=\mathrm{0,}\\ \frac{\partial \sigma }{\partial y}-2k\left(\frac{\partial \theta }{\partial x}\sin 2\theta +\frac{\partial \theta }{\partial y}\cos 2\theta \right)=\mathrm{0,}\end{array}$                                                     (2)

в которой σ – гидростатическое давление; $\theta -\frac{\pi }{4}$ – угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью OX.

Решение Прандтля часто используется для описания сжатия жесткопластического материала шероховатыми плитами. Предполагается, что слой имеет значительно большую длину по сравнению с его толщиной. Это решение приближено описывает реальную ситуацию в некотором отдалении от центра слоя, если начало координат расположено в центре слоя.

В терминах переменных σ, θ для системы (2) это решение имеет вид

$\begin{array}{c}\sigma =-p_1-k\left(\frac{x}{h}-\sqrt{1-\frac{y^2}{h^2}}\right),\\ y=h\cos 2\theta ,\end{array}$                                                              (3)

где h = const; y = ±h – границы плит; p₁ = const.

Граничные решения примут вид

$\begin{array}{l}\theta \left|{}_{y=h}=\pi n,n\in {\rm Z}\right.,\\ \sigma \left|{}_{y=h}=-p_1-k\right.\frac{x}{h}.\end{array}$                                                                         (4)

Характеристики решения имеют следующий вид:

$x=h(2\theta -\sin 2\theta )-h\left(2c_i+\frac{p_1}{k}\right),y=\pm h\cos 2\theta ,i=1.2 ,$                           (5)

где c_i – const.

Решение Надаи описывает пластическое положение вокруг круглого отверстия радиуса R, нагруженного равномерно распределённым нормальным давлением p₁ = const и нулевым касательным напряжением на контуре отверстия. Данное решение можно записать в виде

$\theta =\phi +\frac{\pi }{4},$

$\sigma =-p_2+k+k\ln \frac{x^2+y^2}{R^2}=-p_2+k+k\ln \frac{r^2}{R^2},$                                          (6)

где r; φ – полярные координаты.

Граничные условия принимают вид

$\begin{array}{c}\theta \left|{}_{r=R}=\phi +\right.\frac{\pi }{4},\\ \sigma \left|{}_{r=R}\right.=p_2+k.\end{array}$                                                                              (7)

Получившиеся линии скольжения имеют следующей вид:

$\phi =\theta -\frac{\pi }{4},r=R\exp \left(\pm \theta +\frac{p_2-k}{2k}+c_i\right),$                                             (8)

где c_i – const; i = 3,4.

Выразим решение Надаи и Прандтля как решение линеаризованной системы:

$\begin{array}{l}x=\cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right){\mathrm{Re}}^{\frac{p_2-k}{2k}}{e}^{\frac{\sigma }{2k}},\\ y=\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right){\mathrm{Re}}^{\frac{p_2-k}{2k}}{e}^{\frac{\sigma }{2k}},\end{array}$                                                             (9)

$\begin{array}{c}x=-\frac{h\sigma }{k}-\frac{p_{1}h}{k}-h\sin 2\theta \\ y=h\cos 2\theta .\end{array}$                                                                (10)

Выполняем гомотопическую линейную комбинацию решений Прандтля и Надаи:

$x=a\left(-\frac{h\sigma }{k}-\frac{p_{1}h}{k}-h\sin 2\theta \right)+\left(1-a\right)\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right){\mathrm{Re}}^{\frac{p_2-k}{2k}}{e}^{\frac{\sigma }{2k}}$.                (11)

$y=h\cos 2\theta -(1-a)\cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right){\mathrm{Re}}^{\frac{p_2-k}{2k}}{e}^{\frac{\sigma }{2k}}$,

где a – групповой параметр.

Получаем граничную кривую для решения (10):

$\sigma =-p_1+k; \theta =\phi +\frac{\pi }{4}.$

Подставляя σ = 2k(a + θ) в систему (3), получаем параметрические уравнения семейства линий скольжения:

$\begin{array}{c}x=ah\left(2\left(c_1+\theta \right)+\frac{p_1}{k}+\sin 2\theta \right)+\left(1-a\right){\mathrm{Re}}^{\frac{p_2-k}{2k}}\cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)e^{a+\theta }\\ y=ah\cos 2\theta +(1-a){\mathrm{Re}}^{\frac{p_2-k}{2k}}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)e^{a+\theta }\end{array}$                (12)

При этом мы можем наблюдать эволюцию характеристик, которые зависят от группового параметра a, при a = 1 получаются характеристики решения Прандтля (рис. 1).

 

Рис. 1. Преобразованные линии скольжения: h = 1; p1 = p2; a = 1

Fig. 1. Transformed sliding lines: h = 1; p1 = p2; a = 1

 

При a = 0 характеристики решения Надаи представлены на рис. 2.

 

Рис. 2. Преобразованные линии скольжения: a = 0

Fig. 2. Transformed sliding lines: a = 0

 

При a = 0,5 характеристики одного семейства начинают пересекаться и возникают линии разрыва напряжений, как на рис. 3.

 

Рис. 3. Пересечение линий скольжения для отверстия в виде улитки Паскаля a = 0,5

Fig. 3. The intersection of the sliding lines for the hole in the form of a Pascal snail a = 0,5

 

Так как характеристики одного семейства пересекаются, то значения вдоль них различны, и решение задачи Коши после точки пересечения не может быть продолжено непрерывно, возникает линия разрыва напряжений. Эта линия разрыва проходит по биссектрисе угла, образованного пересекающимися характеристиками, и выходит из точки их пересечения в координатах [–0,183;0,991] (рис. 4).

 

Рис. 4. Линия разрыва напряжений

Fig. 4. Stress discontinuity line

 

Заключение

В данной работе построена гомотопия двух известных точных решений: Прандтля и Надаи, т. е. непрерывная трансформация одного решения в другое. При этом можно наблюдать эволюцию характеристик, которые зависят от группового параметра a: при a =1 получаются характеристики решения Прандтля; при a =0 – характеристики решения Надаи; при a =0,5 характеристики одного семейства начинают пересекаться и возникают линии разрыва напряжений, которые проходят по биссектрисе угла пересечения характеристик и выходят из точки их пересечения. Если продолжить увеличение параметра α пересекающихся характеристик становится больше что усложняет построение линии разрыва напряжений. Решение этой проблемы будет рассмотрено в дальнейших работах.

About the authors

Denis O. Evtikhov

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Author for correspondence.
Email: devtikhov@yandex.ru

assistant at the Department of IES

Russian Federation, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

Alexander N. Yakhno

Department of Mathematics, CUCEI, University of Guadalajara

Email: alexander.yakhno@cucei.udg.mx

Cand. Sc., Department of Mathematics

Mexico, 976, Juárez Av., Colonia Centro, C. P. 44100, Guadalajara, Jalisco, 44000

Irina L. Savostyanova

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Email: savostyanova@sibsau.ru

Cand. Sc., Associate Professor of the Department of IES

Russian Federation, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

References

Supplementary files