Search for broadband signals ground-based radio navigation system

Full Text

Введение

В радиосистемах, где широкополосные сигналы (далее по тексту  сигналы) служат для позиционирования и сопровождения движущихся объектов (радионавигация), временные измерения оказываются ключевой процедурой. В радионавигационных системах (РНС) посредством поиска и автосопровождения сигналов определяются моменты времени пребывания как элементов, так и самого принятого сигнала. В этом случае местный эталон времени подвижного объекта должен быть соответствующим образом синхронизирован с принятыми сигналами опорных станций (ОС).

Процесс синхронизации приёмной части бортовой станции (БС) состоит из двух этапов. На первом этапе осуществляется поиск и захват сигналов, передаваемых ОС; на втором этапе – слежение за сигналом, параметры которого (временная задержка, несущая частота, начальная фаза) могут случайным образом меняться во времени. Поиск сигнала осуществляется во времени, так как момент появления сигнала заранее неизвестен, и по частоте, которая может быть смещена как за счёт эффекта Доплера, так и за счёт нестабильности и в точке приёма точно неизвестна. Таким образом, связанные с синхронизацией действия приёмника сигналов состоят в предварительной подстройке собственного опорного сигнала под принятый сигнал и поддержании синхронизма между ними в течение всего последующего приёма сигнала. Для согласования местного опорного сигнала с принятым сигналом следует измерить временной сдвиг принятого сигнала относительно местного опорного сигнала и генератор местного приёмника корректируется по времени на измеренный временной сдвиг, и тем самым происходит поиск кода принятого сигнала. Отсюда видно, что одной из основных задач первичной обработки сигналов в РНС является поиск по времени запаздывания такого параметра сигнала, как задержка кода. Таким образом, основной задачей данного исследования является разработка алгоритма, позволяющего оптимальным образом обеспечить «поиск». 

Методы поиска широкополосных сигналов

В современных широкополосных РНС для формирования широкополосных сигналов (ШПС) используется преимущественно фазовая манипуляция (ФМ) несущего колебания двоичной кодовой последовательностью максимальной длины (для примера) (M-последовательность длины m = Llog₂ L  , m - разрядность формирующего регистра). Решению проблемы поиска ШПС c фазовой манипуляцией уделяется серьёзное внимание многих исследователей. Проблеме поиска сигналов с ФМ посвящено много работ, из которых следует отметить [1–4]. Несмотря на принципиальную ясность вопросов измерения, а также основополагающие труды по оптимальным измерителям до сих пор многие вопросы поиска сигналов остаются открытыми. Сегодня решена задача построения устройства синхронизации с максимальным быстродействием, обеспечивающим поиск ФМ сигналов по задержке с большими и очень большими длинами кодовых последовательностей (L ⩾ 10³….10⁵). Известные алгоритмы [5] быстрого поиска дискретных ФМ сигналов позволяют значительно сократить время поиска за счёт сокращения числа вычислений (алгебраических сложений) с величины L² до величины m = Llog₂  посредством перемножения матрицы-столбца с L поэлементными корреляциями на матрицу ортогонального базиса Уолша – Адамара, представленную в факторизованном виде (произведение m слабозаполненных матриц). Указанные алгоритмы невозможно использовать для поиска сигналов с дополнительной ФМ передаваемым дискретным сообщением в форме двоичных символов {D_r}. В этом случае матрица-столбец может содержать две группы вычисленных поэлементных корреляций. Первая группа будет соответствовать окончанию фрагмента символа D_r, соответствующего дополнительной ФМ, то вторая группа будет соответствовать началу фрагмента символа D_r+1. Когда D_r+1 ≠ D_r, то группы поэлементных корреляций по знаку будут неравнозначны, что не допускает использование указанных алгоритмов.

Основной задачей при использовании ШПС в РНС является измерение времени запаздывания принятого сигнала. Точность измерения времени запаздывания определяется эффективной частотой спектра ШПС и отношением сигнал/шум [6]. Эффективная частота Δƒ_э спектра ШПС определяется в первую очередь тактовой частотой FT =1/τэ , которая и определяет полосу частот Δƒ, соответствующую прохождению сигнала с заданным уровнем мощности. Так, при 90%-ном уровне мощности для сигнала с  ФМ Δƒ ≃1,7F_T  ( Δƒэ ≃0,33F_T ), а для сигнала с частотной манипуляцией при минимальном сдвиге (ЧММС) будет в 2,2 раза меньше [7]. Чтобы работать с сигналом ФМ в полосе частот сигнала ЧММС, необходимо уменьшить F_T в 2,2 раза при этом эффективная частота спектра ФМ сигнала составит Δƒ_э = 0,33FT / 2,2 , что на 27 % меньше эффективной частоты спектра для сигнала ЧММС.

 Кроме того, при работе временной следящей системы при ФМ сигнале дисперсия флуктуационной ошибки слежения за временем возрастёт более чем 4,8 раза за счёт уменьшения крутизны дискриминационной характеристики ШПС ФМ сигнала относительно ЧММС [8].

Таким образом, в морских РНС средневолнового диапазона с ограниченным частотным ресурсом наиболее приемлемыми являются сигналы с ЧММС (или CPFSK в английской аббревиатуре) [9], обладающие, как выше было показано, высокой спектральной эффективностью. Вопросам поиска широкополосных сигналов с ЧММС посвящено существенно меньше публикаций [10; 11]. Реализация параллельного поиска ШПС при длине  L > 10⁴ модулирующего кода частотной манипуляции с минимальным сдвигом и с дополнительной ФМ передаваемым дискретным сообщением в форме двоичных символов {D_r} на сегодня в литературе отсутствует.

Формирование широкополосных сигналов с ЧММС

Структура алгоритма поиска широкополосного сигнала с ЧММС (далее по тексту – сигнала) основана на представлении элемента сигнала с частотной манипуляцией при непрерывной фазе [12] на интервале  {t_l} = [l τ_э, (l +1)τ_э] следующим выражением:

$s_l\left(t\right)=A\cos \left[{\text{ω}}_{o}t+\frac{d_l\text{π\hspace{0.17em}}{m}_f[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]}{{\text{τ}}_{\text{э}}}+\text{π\hspace{0.17em}}{m}_f\sum _{j=1}^{l-1}{d}_j\right]$,                                               (1)

где A - амплитуда; ω_o центральная частота; l - очередной номер элемента сигнала на интервале [lτ_э, (l+1) τ_э]; d_l - двоичный символ, в соответствии с которым совершается частотная манипуляция. Для сигнала с частотной манипуляцией при минимальном сдвиге m_f = 2 Δƒτ_э = 0,5 , где  Δƒ = ( ƒ_в - ƒ_н) / 2 - девиация частоты; ƒн(в) = ƒ_o ± F_T / 4 манипулируемые нижняя (верхняя) частоты; F_T =1/ τ_э - тактовая частота (частота манипуляции). Полагая d_l ∈ {-1,+1} и выделив в аргументе cos(*) из (1) составляющие с частотами и фазовым углом, получаем

${\text{ω}}_{o}t+\frac{d_l\text{π\hspace{0.17em}}2\Delta f{\text{\hspace{0.17em}τ}}_{\text{э}}t}{{\text{τ}}_{\text{э}}}+\frac{d_l\pi (1-l){\tau }_{\text{э}}}{2{\tau }_{\text{э}}}+\frac{\pi }{2}\sum _{j=1}^{l-1}{d}_j=2\pi (f_o+d_l\Delta f)t+\frac{\pi }{2}\left(\sum _{j=1}^{l-1}{d}_j+d_l(1-l)\right)$.          (2)

Теперь приняв d_l ∈ {0,1} и упростив слагаемое с фазовым углом можно переписать (2) в виде:

$2\text{π}(f_o+d_l\Delta f)t+\frac{\text{π}}{2}\left(\sum _{j=1}^{l-1}{d}_j+d_l(1-l)\right)=2\text{π}(d_l{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_l{f}_{\text{в}})t+\text{π}{b}_l$,                                          (3)

где

$b_l=\frac{1}{2}{\sum }_{j=1}^l(d_j-d_l)$.                                                                                            (4)

Так как {d_l}- это последовательность двоичных элементов, то не трудно увидеть, что при любом l и любом коде двоичной последовательности {d_l} алгебраическая сумма в (4) будет чётным числом и тогда значение фазы blπ / 2 будет кратным π . С учётом периодичности cos(*) , в этом случае можно сказать, что фазовый угол будет принимать значения 0 или π , что эквивалентно для b_l ∈ {0,1} в (3). С учётом сказанного, теперь нетрудно убедиться, что можно исполь- зовать замену алгебраической суммы (4) на «сумму по модулю 2» к «сумме по модулю 2» элементов d_j и d_l . Тогда очередной двоичный элемент b_l будет определяться рекуррентным выражением:

$b_l=\left(\sum _{j=1}^l{d}_j-l{d}_l\right)=\left(\sum _{j=1}^l(d_j-d_l)\right)\Rightarrow \underset{l}{\underbrace{(d_1\oplus d_l)\oplus \mathrm{...}\oplus (d_j\oplus d_l)\oplus \mathrm{...}\oplus (d_l\oplus d_l)}}$,        (5)

где d_l ∈ {0,1} и b_l ∈ {0,1} очередные двоичные символы, соответствующие частотной и фазовой манипуляции l элемента сигнала. Из (5) следует, что двоичный символ b определяется последовательностью первых 1, 2, …., l двоичных символов    d ∈ {d₁, d₂, …, d_l}

$\begin{array}{l}{b}_1=d_1\oplus d_1=\mathrm{0,}\\ b_2=d_1\oplus d_2\oplus d_2\oplus d_2=d_1\oplus d_2,\\ b_3=d_1\oplus d_2\oplus d_3\oplus d_3\oplus d_3\oplus d_3=d_1\oplus d_2=b_2,\\ b_4=d_1\oplus d_2\oplus d_3\oplus d_4\oplus d_4\oplus d_4\oplus d_4\oplus d_4=d_1\oplus d_2\oplus d_3\oplus d_4=b_2\oplus d_3\oplus d_4\end{array}$         (6)

Из (6) несложно определить рекуррентное правило для {b_l} (приняв b_o = 0):

$b_l=\left\{\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{b}_{l-1},\\ b_{l-2}\oplus d_{l-1}\oplus d_l.\end{array}& \begin{array}{c}\text{для\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}нечётного\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}l\\ \text{для\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}чётного\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}l\end{array}\end{array}\right.$                                                    (7)

Рис. 1. Фрагменты формирования широкополосного сигнала с ЧММС:

а – временная диаграмма шкалы времени ОС; б – временная диаграмма сигнала тактовой частоты; в – код {d_l} манипуляции частоты; г – код {b_l} манипуляции фазы; д – гармонический сигнал нижней частоты f₁н (манипулирующий символ d_l =1); е – гармонический сигнал верхней частоты f₀в (манипулирующий символом d_l = 0 ); ж – ШПС c ЧММС при дополнительной фазовой манипуляции информационными символами D_r-1, D_r и D_r+1

Fig. 1. Fragments of broadband signal formation with MSK: a – temporal diagram of the time scale of the fixed station; b – temporal diagram of the clock frequency signal; v – frequency manipulation code {d_l} ; g –  phase manipulation code {b_l} ; d –  the lower frequency f₁н of the harmonic signal (manipulating symbol d_l =1); e –  the upper frequency f₀в of the harmonic signal (manipulating symbol d_l = 0 ); zh – broadband signal MSK signal with additional FM by information symbols D_r-1 , D_r и D_r+1

С учётом формирования элементов сигнала (3), ШПС при частотной манипуляции (например) посредством бинарной М - последовательности {d_l}  длины L [13] с дополнительной фазовой манипуляцией (ФМ) передаваемым дискретным сообщением D_r  {0,1} можно записать в форме

$s_r\left(t\right)=A\sum _{l=1}^{L}rect[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\cos \left[2\text{π}\left(d_l{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_l{f}_{\text{в}}\right)t+\text{π}(b_l\oplus D_r)\right]$,                               (8)

где rect(*) - импульс единичной амплитуды, длительностью τ_э для l элемента сигнала:

$\text{rect}[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,}(l-1){\text{τ}}_{э}\le t\le l{\text{τ}}_{\text{э}},\\ \mathrm{0,}(l-1){\text{τ}}_{э}>tиt>l{\text{τ}}_{\text{э}}.\end{array}\right.$.                                                         (9)

Согласно (7) двоичный код {b_l}, посредством которого совершается фазовая манипуляция, соответствует модифицированной бинарной М-последовательности {d_l} длины L.

На рис. 1. представлены фрагменты формирования на опорной станции семиэлементного (для примера) широкополосного сигнала с ЧММС.

Метод параллельного поиска по времени широкополосного сигнала с ЧММС

Применение квазикогерентных приёмников для обработки ШПС – ЧММС (далее по тексту – сигналов) требует осуществления ввода следящих устройств в синхронный режим с точностью, определяемой областью захвата устройств. Обычно область захвата меньше области неопределённости параметров сигнала (например, по частоте и задержке сигнала), что предполагает поиск сигнала в области неопределённости.

В морских навигационных системах интервалом неопределённости по частоте принимаемого сигнала при поиске можно пренебречь в связи с малым доплеровским сдвигом по частоте (скорость бортовых объектов составляет не более 100 кмч). Тогда точность определения задержки принимаемого сигнала при поиске должна определяться соответствующим интервалом корреляции сигнала, ограничивающим область захвата. При области неопределённости, равной длительности T = Lτ_э сигнала, можно выбрать такой дискретный интервал задержки, который окажется не меньше области захвата сигнала по времени. Предполагается весь интервал неопределённости по задержке разбивать на дискретные интервалы, равные . Количество таких интервалов будет равно L = T /τ_э и тогда интервал неопределённости по задержке может изменяться дискретно. При этом величину дискрета по времени удобно принять равным тем значениям сдвига по задержке, при которых достигается практически ортогональность анализируемого и опорного сигналов. Приняв модель дискретного изменения задержки, можно полагать, что на вход приёмного устройства приходит один из L квазиортогональных сигналов с задержкой, кратной τ_э.

При принятой модели, задача поиска сводится к тому, чтобы выполнить обнаружение и распознать, какой именно из  сигналов (каждый из которых различается циклическим сдвигом ${\text{τ}}_k=(k-1){\text{\hspace{0.17em}τ}}_{э}(k=\overline{\mathrm{1,}L)}$ модулирующей кодовой последовательности {d_kl}) действует, что позволяет устранить неопределённость по задержке, т. е. определить циклический сдвиг τ_k, принадлежащий анализируемому сигналу. Как известно [14], для оптимального распознавания L ортогональных сигналов необходимо использовать L-канальную схему, в которой осуществляется оптимальное L-ичное распознавание и для выбираемых сигналов выполняется процедура оптимального двоичного обнаружения. Структурная схема оптимального L-канального распознавания одного из L ортогональных сигналов приведена на рис. 2. Многоканальный приёмник содержит L квадратурных корреляторов (КК), каждый из которых включает в себя «×» – перемножитель сигналов; «∫» – интеграторы; «$\sqrt{Y_k^2+{\widehat{Y}}_k^2}$» – нелинейный преобразователь, вычисляющий значение модуля V_k корреляции комплексных огибающих принятой смеси сигнала s_r,r+1(t) совместно с флуктуационной помехой n и опорного сигнала s_o[t,(k - 1)τ_э]; «Блок выбора max V_m» – решающий блок. В квадратурном корреляторе с номером k вычисляются синфазная и квадратурная корреляции

Рис. 2. Оптимальный L-канальный корреляционный приёмник

Fig. 2. Optimal L-channel correlation receiver

$Y_k=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\left[s_{r,r+1}\right(t)+n(t\left)\right]s_o[t,(k-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]dt$ и ${\widehat{Y}}_k=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\left[s_{r,r+1}\right(t)+n(t\left)\right]{\widehat{s}}_o[t,(k-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]dt$,            (10)

где s_r,r+1(t) - анализируемый сигнал, представляющий собой чаще всего последовательность элементов сигнала, принадлежащих оконечному фрагменту первого модулирующего информационного символа D_r и начальному фрагменту второго модулирующего информационного символа D_r+1  (рис. 3). Здесь анализируемый сигнал s_r,r+1(t) относительно начального момента t_1,1 времени будет представлять собой циклически сдвинутый влево на p - 1 элементов сигнал (8).

Рис. 3. Эпюры анализируемого и опорного сигналов

Fig. 3. Plots of the analyzed and reference signals

В этом случае выражение для принятого сигнала на интервале $t=[t1,1,t1,2]$ удобно записать следующим образом:  

$\begin{array}{c}{s}_{r,r+1}\left(t\right)=A_r\sum _{l=p}^{L}rect[t-(l-p\left){\tau }_{\text{э}}\right]\cos \left[2\pi \left(d_l{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_l{f}_{\text{в}}\right)t+(b_l\oplus D_r)\pi +{\phi }_{r,l}\right]+\\ +A_{r+1}\sum _{l=1}^{p-1}rect[t-(L-p+l\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\cos \left[2\text{π}\left(d_l{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_l{f}_{\text{в}}\right)t+(b_l\oplus D_{r+1}{\text{)π\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}φ}}_{l,r+1}\right],\end{array}$         (11)

здесь φ_(r,l) и φ_(r+1,l) возможные фазовые запаздывания на частотах ƒ_н или ƒ_в для «сигналов» r и r+1.

Здесь s_o[t,(k - 1)τ_э] и ŝ_o[t,(k - 1)τ_э] квадратурные опорные сигналы единичной амплитуды с циклическими сдвигами влево на k - 1 двоичных символов модулирующей кодовой последовательности {d_l}, действующие на входах квадратурных корреляторов (рис. 3), определяются выражениями:

$\left.\begin{array}{c}\begin{array}{c}{s}_0(t,(k-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right)=\sum _{l=k}^{L}rect[t-(l-k\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\cos \left[2\text{π}\left(d_l{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_l{f}_{\text{в}}\right)t+b_l\text{π}\right]+\\ +\sum _{l=1}^{k}rect[t-(L-k+l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\cos \left[2\text{π}\left(d_l{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_l{f}_{\text{в}}\right)t+b_l\text{π}\right],\end{array}\\ \begin{array}{c}{\widehat{s}}_0(t,(k-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right)=\sum _{l=k}^{L}rect[t-(l-k\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\sin \left[2\text{π}\left(d_l{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_l{f}_{\text{в}}\right)t+b_l\text{π}\right]+\\ +\sum _{l=1}^{k}rect[t-(L-k+l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\sin \left[2\text{π}\left(d_l{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_l{f}_{\text{в}}\right)t+b_l\text{π}\right]\end{array}\end{array}\right\}$                     (12)

Решающий блок выбирает из вычисленных модулей V₁, V₂, ….., V_k, ….V_L модуль с максимальным значением – V_m : m = $\overline{\mathrm{1,}L}$ . Теперь для осуществления ввода следящих устройств (по времени или по фазе) в синхронный режим в качестве опорных сигналов будут выбраны ортогональные сигналы s_o[t,(m - 1)τ_э] и ŝ_o[t,(m - 1)τ_э] и с циклическими сдвигами влево на m - 1 двоичных символов модулирующих кодовых последовательностей {d_l}  и {b_l}.

Параллельный «поиск» сигнала (8) производится посредством оптимального приёмника (рис. 1). Реализация оптимального приёмника (рис. 1) при числе L ≫ 1  сопряжена со значительными трудностями, связанными с формированием L пар квадратурных широкополосных сигналов с ЧММС (12) одновременно и техническим исполнением L квадратурных корреляторов.

Рассмотрим поэлементную обработку анализируемого сигнала (8). Согласно (10) и (12) можно совершить вычисления синфазной и квадратурной корреляций в КК с номером k по формулам

$\begin{array}{c}{Y}_k=\underset{0}{\overset{L{\text{τ}}_{\text{э}}}{\int }}\left[A\sum _{l=1}^{L}rec{t}_p[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\cos \left[2\text{π}\left(d_{pl}{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_{pl}{f}_{\text{в}}\right)t+(b_{pl}\oplus D_r)\text{π}+{\text{φ}}_l\right]+n\left(t\right)\right]\times \\ \times \sum _{l=1}^{L}rec{t}_k[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\cos \left[2\text{π}\left(d_{kl}{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_{kl}{f}_{\text{в}}\right)t+b_{kl}\text{π}\right]dt,\\ {\widehat{Y}}_k=\underset{0}{\overset{L{\text{τ}}_{\text{э}}}{\int }}\left[A\sum _{l=1}^{L}rec{t}_p[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\cos \left[2\text{π}\left(d_{pl}{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_{pl}{f}_{\text{в}}\right)t+(b_{pl}\oplus D_r)\text{π}+{\text{φ}}_l\right]+n\left(t\right)\right]\times \\ \times \sum _{l=1}^{L}rec{t}_k[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\sin \left[2\text{π}\left(d_{kl}{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_{kl}{f}_{\text{в}}\right)t+b_{kl}\text{π}\right]dt,\end{array}$             (13)

где двоичные элементы d_lp (b_lp) и d_lk (b_lk) соответствуют циклически сдвинутым влево на p - 1  и k - 1 двоичным символам модулирующих (по частоте и фазе) кодовых последовательностей. Корреляции Y_k и Ŷ_k будем вычислять при идеальной (для упрощения анализа) тактовой синхронизации в соответствии с обрабатываемыми сигналами s_r(t), как поясняется на рис. 3, и квадратурными опорными сигналами s_o[t,(k - 1)τ_э] и ŝ_o[t,(k - 1)τ_э]. Здесь импульсные функции в тактовые моменты совпадают, т. е. rect_p[*] = rect_k[*] = rect[*]. С учётом свойства аддитивности при интегрировании [15] произведения сумм (11) синхронных последовательностей импульсов rect[*] равной длительности, вычисления корреляций Y_k и Ŷ_k можно записать через L сумм интегралов с интегрированием на интервалах {t} = [0, τ_э]:

$\begin{array}{c}{Y}_k=A\sum _{l=1}^L\underset{0}{\overset{{\text{τ}}_{\text{э}}}{\int }}rec{t}_p[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]rec{t}_k[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\cos [2\text{π}\left(d_{pl}{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_{pl}{f}_{\text{в}}\right)t+(b_{pl}\oplus D_r)\text{π}+{\text{φ}}_l]\times \\ \times \cos [2\text{π}\left(d_{kl}{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_{kl}{f}_{\text{в}}\right)t+b_{kl}\text{π}]dt+\\ +\sum _{l=1}^L\underset{0}{\overset{{\text{τ}}_{э}}{\int }}n[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]rec{t}_k[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\cos [2\text{π}\left(d_{kl}{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_{kl}{f}_{\text{в}}\right)t+b_{kl}\text{π}]dt,\\ {\widehat{Y}}_k=A\sum _{l=1}^L\underset{0}{\overset{{\text{τ}}_{\text{э}}}{\int }}rec{t}_p[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]rec{t}_k[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\cos [2\text{π}\left(d_{pl}{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_{pl}{f}_{\text{в}}\right)t+(b_{pl}\oplus {\text{D}}_{\text{r}}\text{)π}+{\text{φ}}_l]\times \\ \times \sin [2\text{π}\left(d_{kl}{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_{kl}{f}_{\text{в}}\right)t+b_{kl}\text{π}]dt+\\ +\sum _{l=1}^L\underset{0}{\overset{{\text{τ}}_{\text{э}}}{\int }}n[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]rec{t}_k[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\sin [2\text{π}\left(d_{kl}{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_{kl}{f}_{\text{в}}\right)t+b_{kl}\text{π}]dt.\end{array}$    (14)

Используя разложения cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) и sin(α + β) = sin(α)cos(β) + +cos(α)sin(β), принимая D_r = 0, полагая, что при$b_{kl}\in \overline{\mathrm{0,1}}\cdot \cos (b_{pl}\text{π)}=b_{pl}^{*}\in \overline{-\mathrm{1,1}} и \cos (b_{kl}\text{π})=b_{kl}^{*}\in \overline{-\mathrm{1,1}}$ , и подставляя в (14) $2\text{π}(d_{pl}{f}_{\text{н}}+{\overline{d}}_{pl}{f}_{\text{в}})=\text{ω}\left(d_{pl}\right) и 2\text{π}(d_{kl}{f}_{н}+{\overline{d}}_{kl}{f}_{в}) = \text{ω}\left(d_{kl}\right)$, корреляции Y_k и Ŷ_k, вычисленные в КК с номером k, будут определяться следующими соотношениями:

$\begin{array}{c}{Y}_k=A\sum _{l=1}^L{b}_{kl}^{*}{b}_{pl}^{*}\underset{0}{\overset{{\text{τ}}_{э}}{\int }}rect[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\cos \left[\text{ω}\right(d_{pl})t+{\text{φ}}_l]\cos \left[\text{ω}\right(d_{kl}\left)t\right]dt+\sum _{l=1}^L{b}_{kl}^{*}{\text{ξ}}_{kl},\\ {\widehat{Y}}_k=A\sum _{l=1}^L{b}_{kl}^{*}{b}_{pl}^{*}\underset{0}{\overset{{\text{τ}}_{э}}{\int }}rect[t-(l-1\left){\text{τ}}_{\text{э}}\right]\cos \left[\text{ω}\right(d_{pl})t+{\text{φ}}_l]\sin \left[\text{ω}\right(d_{kl}\left)t\right]dt+\sum _{l=1}^L{b_{kl}^{*}}_{kl}.\end{array}$             (15)

Здесь ${\text{ξ}}_{kl}$ и ${\widehat{\text{ξ}}}_{kl}$ - нормальные случайные процессы [14], соответствующие определённому интегралу от произведения гармонического сигнала, единичной амплитуды и длительностью τ_э, и случайной функции n(t) в форме белого шума со спектральной плотностью N_o.

В произведениях cos[ω(d_pl )t + j]cos[ω(d_kl )t] и cos[ω(d_pl )t + j]sin[ω(d_kl )t] из (15) частота ω(d_kl ) может принимать одно из двух значений – ωн при d_kl =1 или ω_в при d_kl = 0 . Кроме того, при неравенстве d_kl ≠ d_pl указанные произведения будут равны нулю, так как сигналы при частотах ωн и ωв будут ортогональными в усиленном смысле [16], а при равенстве d_kl = d_pl – иметь значения τ_э cos(φ) / 2 и τ_э sin(φ) / 2 . Пренебрегая членами с суммарной часто- той, указанные произведения приобретут следующий вид:

$\cos \left[\text{ω}\right(d_{pl})t+\text{φ}]\cos \left[\text{ω}\right(d_{kl}\left)t\right]=\cos \left[\text{ω}\right(d_{pl})t+\text{φ}]\times$$\left\{\begin{array}{c}\cos \left({\text{ω}}_{н}t\right),d_{kl}=1\\ \cos \left({\text{ω}}_{в}t\right),d_{kl}=0\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\cos \left(\text{φ}\right),d_{kl}=d_{pl}\\ \mathrm{0,}{d}_{kl}\ne d_{pl}\end{array}\right\}=\text{ρ}\left(d_{kl}\right),$

$\cos \left[\text{ω}\right(d_{pl})t+\text{φ}]\sin \left[\text{ω}\right(d_{kl}\left)t\right]=\cos \left[\text{ω}\right(d_{pl})t+\text{φ}]\times$$\left\{\begin{array}{c}\sin \left({\text{ω}}_{\text{н}}t\right),d_{kl}=1\\ \sin \left({\text{ω}}_{\text{в}}t\right),d_{kl}=0\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\sin \left(\text{φ}\right),d_{kl}=d_{pl}\\ \mathrm{0,}{d}_{kl}\ne d_{pl}\end{array}\right\}=\left(d_{kl}\right)$,  (16)

и тогда синфазную и квадратурную корреляции Y_k и Ŷ_k можно записать в следующей форме:

$Y_k=\sum _{l=1}^L{b}_{kl}^{*}\left[x\right(d_{kl})+{\text{ξ}}_{kl}],{\widehat{Y}}_k=\sum _{l=1}^L{b}_{kl}^{*}\left[\widehat{x}\right(d_{kl})+{\xi }_{kl}],$                                                  (17)

где

$x\left(d_{kl}\right)=\frac{A{\text{τ}}_{\text{э}}}{2}(b_{pl}^{*}\oplus D_r)\text{ρ}\left(d_{kl}\right) \mathrm{и} \widehat{x}\left(d_{kl}\right)=\frac{A{\text{τ}}_{э}}{2}(b_{pl}^{*}\oplus D_r)\left(d_{kl}\right)$ и , ${\text{ξ}}_{kl}$ и ${\widehat{\text{ξ}}}_{kl}$  –                 (18)

сигнальные и помеховые квадратурные поэлементные корреляции (ПК). Обозначив ϒ(d_kl) = x(d_kl) = ξ_kl и $\widehat{\Upsilon }\left(d_{kl}\right)=\widehat{x}\left(d_{kl}\right)+{\hat{\xi }}_{kl}$ для (17), корреляции и модуль корреляций можно переписать

$Y_k=\sum _{l=1}^L{b}_{kl}^{*}\Upsilon \left(d_{kl}\right)$, ${\widehat{Y}}_k=\sum _{l=1}^L{b}_{kl}^{*}\widehat{\Upsilon }\left(d_{kl}\right)$ и $V_k=\sqrt{Y_k^2+{\widehat{Y}}_k^2}$.                                (19)

Структура алгоритма (19) вычисления модуля корреляций поясняется (рис. 4). Посредством каждого из сумматоров «${\sum }_l^L$» с учётом знака производится накопление поэлементных корреляций $b_{kl}^{*}\Upsilon \left(d_{kl}\right)$ и $b_{kl}^{*}\widehat{\Upsilon }\left(d_{kl}\right)$, а с накоплением L сумм производится формирование модулей V_k. Для упрощения примем n(t) = 0 и тогда, анализируя работу схемы (рис. 4) относительно накопления поэлементных корреляций согласно (17)–(19), можно сказать, что k -я компонента Y_k вычисляется как сумма L произведений символов $b_{kl}^{*}\in \overline{-\mathrm{1,1}}$  (принадлежащих циклически сдвинутому на k - 1 позиций модифицированному M -коду длины L) и поэлементных корреляций x(d_kl),  выбираемых из пары значений x(1) и x(0), которые формируются одновременно двумя парами поэлементных интеграторов «${\int }_0^{{\text{τ}}_{э}}$», соответствующих корреляциям очередного элемента анализируемого сигнала s_r,r+1(t) и гармонических сигналов, длительностью τ_э с частотами ɷ_н и ɷ_в. Здесь из каждой  пары значений x(1) и x(0) посредством коммутаторов (рис. 4), управляемых l символом d_kl ∈ {0,1}, производится выборка одного из значений поэлементных корреляций x(1) или x(0) по правилу

$x\left(d_{kl}\right)=\left\{\begin{array}{c}x\left(1\right),d_{kl}=\mathrm{1,}\\ x\left(0\right),d_{kl}=\mathrm{0,}\end{array}\right.$,     $\widehat{x}\left(d_{kl}\right)=\left\{\begin{array}{c}\widehat{x}\left(1\right),d_{kl}=\mathrm{1,}\\ \widehat{x}\left(0\right),d_{kl}=0.\end{array}\right.$.                                 (20)

Рис. 4. Структура алгоритма поиска ШПС – ЧММС сигналов

Fig. 4. Structure of the broadband MSK signal search algorithm

Введя замену индексов в обозначениях d_kl = d_lk и x(d_kl) = x(d_lk) и обозначив b^*_kl как b_kl, получим окончательные формулы для вычисления k-й синфазной и квадратурной корреляций Y_k и Ŷ_k:

$Y_k=\sum _{l=1}^L{b}_{kl}^{}{x}_l\left(d_{lk}\right),{\widehat{Y}}_k=\sum _{l=1}^L{b}_{kl}^{}{\widehat{x}}_l\left(d_{lk}\right)$.                                                     (21)

Здесь x_l(d_lk) – очередная l поэлементная корреляция, сформированная на выходе коммутатора, управляемого очередным двоичным символом d_lk, принадлежащим также циклически сдвинутому на k-1 позиций М- коду длины L.

Алгоритм поиска посредством матричного представления задачи распознавания бинарных сигналов

При рассмотрении формирования группы значений Y₁, Y₂, Y_k,….Y_L синфазных корреляций (21), можно сказать, что группу из L значений синфазных корреляций можно представить как транспонированную матрицу-столбец Y = ${||Y_1,Y_2,Y_3\mathrm{,...,}{Y}_k\mathrm{,...,}{Y}_L||}^T$  размером L × 1, при этом каждый из элементов матрицы соответствует сумме Y произведений бинарных элементов b_kl  k-й строки матрицы B и поэлементных корреляций x_l(d_lk) матрицы-столбца X. Здесь матрица B это квадратная матрица размером L × L, где каждая из k-х строк представляет собой

$\mathbf{B} = ||\begin{array}{c}{b}_{11}^{}\\ b_{21}^{}\\ \dots \\ b_{k1}^{}\\ \dots \\ b_{L1}^{}\end{array}\begin{array}{c}{b}_{12}^{}\\ b_{22}^{}\\ \dots \\ b_{k2}^{}\\ \dots \\ b_{L2}^{}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \dots \\ \\ \cdots \\ \dots \\ \dots \end{array}\begin{array}{c}{b}_{1l}^{}\\ b_{2l}^{}\\ \\ b_{kl}^{}\\ \\ b_{Ll}^{}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \cdots \\ \dots \\ \\ \cdots \\ \dots \\ \dots \end{array}\begin{array}{c}{b}_{1L}\\ b_{2L}^{}\\ \cdots \\ b_{kL}^{}\\ \\ b_{LL}^{}\end{array}|| =||\begin{array}{c}{b}_1^{*}\\ b_2^{*}\\ \cdots \\ b_k^{*}\\ \dots \\ b_L^{*}\end{array}\begin{array}{c}{b}_2^{*}\\ b_3^{*}\\ \cdots \\ b_{k+1}^{*}\\ \\ b_1^{*}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \cdots \\ \dots \\ \\ \cdots \\ \dots \\ \dots \end{array}\begin{array}{c}{b}_L^{*}\\ b_1^{*}\\ \cdots \\ b_{k-1}^{*}\\ \cdots \\ b_{L-1}^{*}\end{array}||$         (22)

последовательность двоичных символов {b_kl }, принадлежащих циклически сдвинутому на k - 1 позиций модифицированному М-коду длины L, сформированному по правилу (6)–(7) в соответствии с М-кодовой последовательностью {d_l}. Для обеспечения вычислений с элементами матрицы B используют представление элементов b_kl  первой матрицы через элементы второй матрицы, которые можно выразить через номер l элемента k-й строки бинарной последовательности {$b_{kl}^{*}$}:

$b_{kl}=b_{l+k-L_0-1}^{*}$, $\left(L_{\circ }=\left\{\begin{array}{c}L,l+k-1>L,\\ \mathrm{0,}l+k-1\le L.\end{array}\right.\right)$                                                  (23)

Матрица-столбец X включает в себя L элементов, каждый из которых соответствует очередному номеру l вычисленного значения поэлементной корреляции x_l(d_lk ) по правилу (20):

$\mathbf{X}=||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{x}_1\left(d_{1k}\right)\\ x_2\left(d_{2k}\right)\\ \mathrm{...}\end{array}\\ x_l\left(d_{lk}\right)\\ \mathrm{...}\\ x_L\left(d_{Lk}\right)\end{array}||=||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{x}_1\left[\right(d_{1k}=0\left)\right]илиx_1\left[\right(d_{1k}=1\left)\right]\\ x_2\left[\right(d_{2k}=0\left)\right]илиx_2\left[\right(d_{2k}=1\left)\right]\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \mathrm{...}\end{array}& \end{array}\end{array}\\ x_l\left[\right(d_{lk}=0\left)\right]илиx_l\left[\right(d_{lk}=1\left)\right]\\ \begin{array}{ccc}& \mathrm{...}& \end{array}\\ x_L\left[\right(d_{Lk}=0\left)\right]илиx_L\left[\right(d_{Lk}=1\left)\right]\end{array}||$;

$\hat{\mathbf{X}}=||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\widehat{x}}_1\left(d_{1k}\right)\\ {\widehat{x}}_2\left(d_{2k}\right)\\ \mathrm{...}\end{array}\\ {\widehat{x}}_l\left(d_{lk}\right)\\ \mathrm{...}\\ {\widehat{x}}_L\left(d_{Lk}\right)\end{array}||=||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\widehat{x}}_1\left[\right(d_{1k}=0\left)\right]или{\widehat{x}}_1\left[\right(d_{1k}=1\left)\right]\\ {\widehat{x}}_2\left[\right(d_{2k}=0\left)\right]или{\widehat{x}}_2\left[\right(d_{2k}=1\left)\right]\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \mathrm{...}\end{array}& \end{array}\end{array}\\ {\widehat{x}}_l\left[\right(d_{lk}=0\left)\right]или{\widehat{x}}_l\left[\right(d_{lk}=1\left)\right]\\ \begin{array}{ccc}& \mathrm{...}& \end{array}\\ {\widehat{x}}_L\left[\right(d_{Lk}=0\left)\right]или{\widehat{x}}_L\left[\right(d_{Lk}=1\left)\right]\end{array}||$.                                (24)

Здесь каждое l значение поэлементных корреляций x_l(d_lk ) определяется значением бита символа d_lk. При номере l только l пара поэлементных корреляций (20), сформированных парой поэлементных интеграторов (рис. 4), участвует в формировании l слагаемого (21). Следует также сказать, что из l пары поэлементных корреляций выбирается то значение, которое формируется на выходе коммутатора (рис. 4) в соответствии со значением бита действующего символа d_lk на управляющий вход коммутатора. При этом условии выбранное значение поэлементной корреляции с учётом знака b_kl будет суммироваться в k-й синфазной (квадратурной) корреляции Y_k (Ŷ_k) (20). Здесь выборка поэлементных корреляций производится через символы d_lk, которые должны являться элементами матрицы:

$\mathbf{D}=||\begin{array}{cccc}\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{d}_{11}\\ d_{21}\\ \mathrm{...}\end{array}\\ d_{l1}\\ \mathrm{...}\\ d_{L1}\end{array}& \begin{array}{c}\begin{array}{c}{d}_{12}\\ d_{22}\\ \mathrm{...}\end{array}\\ d_{l2}\\ \mathrm{...}\\ d_{L2}\end{array}& \begin{array}{c}\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}\begin{array}{c}{d}_{1k}\\ d_{2k}\\ \mathrm{...}\end{array}\\ d_{lk}\\ \mathrm{...}\\ d_{Lk}\end{array}& \begin{array}{c}\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}& \begin{array}{c}\begin{array}{c}{d}_{1L}\\ d_{2L}\\ \mathrm{...}\end{array}\\ d_{lL}\\ \mathrm{...}\\ d_{LL}\end{array}\end{array}||=||\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ \mathrm{...}\end{array}\\ d_l\\ \mathrm{...}\\ d_L\end{array}& \begin{array}{c}\begin{array}{c}{d}_2\\ d_3\\ \mathrm{...}\end{array}\\ d_{l+1}\\ \mathrm{...}\\ d_1\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}& \begin{array}{c}\begin{array}{c}{d}_L\\ d_1\\ \mathrm{...}\end{array}\\ d_{l-1}\\ \mathrm{...}\\ d_{L-1}\end{array}\end{array}||$. (25)

Элементы первой строки второй матрицы D соответствуют М-кодовой последовательности {d_l}. Остальные строки представляют собой циклически сдвинутые на k -1 элементов кодовые последовательности {d_lk}. Для обеспечения вычислений с элементами матрицы D используют представление элементов d_lk первой матрицы через l элемент k-й строки бинарной последовательности {d_lk} второй матрицы:     

$d_{lk}=d_{l+k-L_0-1}$,   $\left(L_{\circ }=\left\{\begin{array}{c}L,l+k-1>L,\\ \mathrm{0,}l+k-1\le L.\end{array}\right.\right)$                                             (26)

Таким образом, вычисление группы значений Y₁, Y₂, Y_k,….Y_L синфазных корреляций (21) можно представить как произведение матриц в развёрнутой форме

$||\begin{array}{c}{Y}_1^{}\\ Y_2^{}\\ \dots \\ Y_k^{}\\ \cdots \\ Y_L^{}\end{array}|| = ||\begin{array}{c}{b}_{11}^{}\\ b_{21}^{}\\ \dots \\ b_{k1}^{}\\ \dots \\ b_{L1}^{}\end{array}\begin{array}{c}{b}_{12}^{}\\ b_{22}^{}\\ \dots \\ b_{k2}^{}\\ \dots \\ b_{L2}^{}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \dots \\ \\ \cdots \\ \dots \\ \dots \end{array}\begin{array}{c}{b}_{1l}^{}\\ b_{2l}^{}\\ \\ b_{kl}^{}\\ \\ b_{Ll}^{}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \cdots \\ \dots \\ \\ \cdots \\ \dots \\ \dots \end{array}\begin{array}{c}{b}_{1L}\\ b_{2L}^{}\\ \cdots \\ b_{kL}^{}\\ \\ b_{LL}^{}\end{array}|| \times ||\begin{array}{c}{x}_{{}_1}^{}\left(d_{1k}\right)\\ x_2^{}\left(d_{2k}\right)\\ \cdots \\ x_l^{}\left(d_{lk}\right)\\ \cdots \\ x_L^{}\left(d_{Lk}\right)\end{array}||$;    

$||\begin{array}{l}{\widehat{Y}}_1^{}\\ {\widehat{Y}}_2^{}\\ \mathrm{...}\\ {\widehat{Y}}_k^{}\\ \mathrm{...}\\ {\widehat{Y}}_L^{}\end{array}||= ||\begin{array}{c}{b}_{11}^{}\\ b_{21}^{}\\ {}_{}^{}\cdots \\ b_{k1}^{}\\ {}_{}^{}\cdots \\ b_{L1}^{}\end{array}\begin{array}{c}{b}_{12}^{}\\ b_{22}^{}\\ {}_{}^{}\cdots \\ b_{k2}^{}\\ {}_{}^{}\cdots \\ b_{L2}^{}\end{array}\begin{array}{c}{}_{}^{}\cdots \\ {}_{}^{}\dots \\ {}_{}^{}\dots \\ {}_{}^{}\dots \\ {}_{}^{}\dots \\ {}_{}^{}\dots \end{array}\begin{array}{c}{b}_{1l}^{}\\ b_{2l}^{}\\ {}_{}^{}\\ b_{kl}^{}\\ \\ b_{Ll}^{}\end{array}\begin{array}{c}{}_{}^{}\cdots \\ {}_{}^{}\cdots \\ {}_{}^{}\cdots \\ {}_{}^{}\dots \\ {}_{}^{}\cdots \\ {}_{}^{}\cdots \end{array}\begin{array}{c}{b}_{1L}\\ b_{2L}^{}\\ {}_{}^{}\cdots \\ b_{kL}^{}\\ {}_{}^{}\cdots \\ b_{LL}^{}\end{array}|| \times ||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\widehat{x}}_1^{}\left(d_{1k}\right)\\ {\widehat{x}}_2^{}\left(d_{2k}\right)\\ \mathrm{...}\end{array}\\ {\widehat{x}}_l^{}\left(d_{lk}\right)\\ \mathrm{...}\\ {\widehat{x}}_L^{}\left(d_{Lk}\right)\end{array}||$               (27)

или в краткой форме

Y = B × X ; Ŷ = B × $\hat{\mathbf{X}}$ .                                                      (28)

Исполнение алгоритма (27)–(28) необходимо произвести в течение длительности сигнала Lτ_э . При этом необходимо совершить L² операций сложения. При L = 16383 и при τ_э = 2,5 мкс (РНС «Спрут»), длительность процедуры одной операции сложения составит τ_э / L ≥ 1,5*10^–10 с, можно сказать, что операции сложения должны проводиться с частотой не менее 6,5 ГГц. Это слишком высокая рабочая частота для вычислителя. Чтобы понизить требования к рабочей частоте вычислителя предлагается произведение матриц в алгоритме (27)–(28) представить в виде произведения блочных матриц [17].

Блочные матрицы формируются посредством разделения матриц Y, B, X, D M - 1 горизонтальными, а матриц B, D N - 1  вертикальными линиями на M × N и M блоков соответственно. Тогда матричное произведение (27) можно выразить через произведение блочных матриц:

$\mathbf{Y}=||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\mathbf{Y}}_1\\ {\mathbf{Y}}_2\\ .....\end{array}\\ {\mathbf{Y}}_m\\ .....\\ {\mathbf{Y}}_M\end{array}||=||\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}{\mathbf{B}}_{11}\\ .....\\ {\mathbf{B}}_{M1}\end{array}& \begin{array}{c}.....\\ {\mathbf{B}}_{m,n}\\ .....\end{array}& \begin{array}{c}{\mathbf{B}}_{1N}\\ .....\\ {\mathbf{B}}_{M,N}\end{array}\end{array}||\times ||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\mathbf{X}}_1\left({\mathbf{D}}_{1,\mathrm{m}}\right)\\ {\mathbf{X}}_2\left({\mathbf{D}}_{2,\mathrm{m}}\right)\\ .....\end{array}\\ {\mathbf{X}}_{\mathbf{n}}\left({\mathbf{D}}_{\mathrm{n},\mathrm{m}}\right)\\ .....\\ {\mathbf{X}}_{\mathrm{N}}\left({\mathbf{D}}_{\mathrm{N},\mathrm{m}}\right)\end{array}||$,  $\widehat{\mathbf{Y}}=||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\widehat{\mathbf{Y}}}_1\\ {\widehat{\mathbf{Y}}}_2\\ .....\end{array}\\ {\widehat{\mathbf{Y}}}_m\\ \mathrm{.....}\\ {\widehat{\mathbf{Y}}}_M\end{array}||=||\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}{\mathbf{B}}_{11}\\ \mathrm{.....}\\ {\mathbf{B}}_{M1}\end{array}& \begin{array}{c}\mathrm{.....}\\ {\mathbf{B}}_{m,n}\\ \mathrm{.....}\end{array}& \begin{array}{c}{\mathbf{B}}_{1N}\\ \mathrm{.....}\\ {\mathbf{B}}_{M,N}\end{array}\end{array}||\times ||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\widehat{\mathbf{X}}}_1\left({\mathbf{D}}_{\mathrm{1,}m}\right)\\ {\widehat{\mathbf{X}}}_2\left({\mathbf{D}}_{\mathrm{2,}m}\right)\\ \mathrm{.....}\end{array}\\ {\widehat{\mathbf{X}}}_n\left({\mathbf{D}}_{n,m}\right)\\ \mathrm{.....}\\ {\widehat{\mathbf{X}}}_N\left({\mathbf{D}}_{N,m}\right)\end{array}||$, (29)

где

${\mathbf{Y}}_m=\sum _{n=1}^{n^{\text{'}}}\mathbf{B}{}_{\mathit{m}\mathit{,}\mathit{n}}{\mathbf{\text{X}}}_n\left({\mathbf{D}}_{n\mathit{,}m}\right); {\hat{\mathbf{Y}}}_m=\sum _{\mathrm{n}=1}^{n^{\text{'}}}{\hat{\mathbf{B}}}_{m\mathit{,}n}{\widehat{\mathbf{\text{X}}}}_n\left({\hat{\mathbf{D}}}_{n\mathit{,}m}\right);$     –                                (30)

m – блок-матрица синфазных и квадратурных корреляций; блок-матрица B_m,n будет состоять из n′ = L/ N столбцов и m′ = L / M строк с соответствующими b_kl элементами первой матрицы (22):

${\mathbf{B}}_{\mathit{m}\mathit{,}\mathit{n}}\mathit{=}||\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}{b}_{k^{\text{'}}+m^{\text{'}}(1-1),l^{\text{'}}+n^{\text{'}}(1-1)}^{}\\ ...\\ b_{k^{\text{'}}+m^{\text{'}}(m^{\text{'}}-1),l^{\text{'}}+n^{\text{'}}(1-1)}^{}\end{array}& \begin{array}{c}...\\ b_{k^{\text{'}}+m^{\text{'}}(m-1),l^{\text{'}}+n^{\text{'}}(n-1)}^{}\\ ...\end{array}& \begin{array}{c}{b}_{k^{\text{'}}+m^{\text{'}}(1-1),l^{\text{'}}+n^{\text{'}}(n^{\text{'}}-1)}^{}\\ ...\\ b_{k^{\text{'}}+m^{\text{'}}(m^{\text{'}}-1),l^{\text{'}}+n^{\text{'}}(n^{\text{'}}-1)}^{}\end{array}\end{array}||$ (31)

где k′ и l′ индексы, обозначающие номера строк и столбцов в блок-матрице B_m,n. При этом элементы блок-матрицы B_m,n можно выразить через элементы b_kl матрицы (23) в следующей форме b_k,l = b_{k′+m′(m-1),l′+n′(n-1)}. Ниже показаны блок-матрица поэлементных корреляций с числом строк n′ = L/N и блок-матрица D_n,m с элементами соответствующих элементам d_kl первой матрицы (25).  

$\mathbf{Y}{ }_n\left({\mathbf{\text{D}}}_{n,m}\right)=||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{y}_{1+n^{\text{'}}(n-1)}\left({\mathbf{\text{D}}}_{n,m}\right)\\ ...\end{array}\\ y_{l^{\text{'}}+n^{\text{'}}(n-1)}\left({\mathbf{\text{D}}}_{n,m}\right)\\ \begin{array}{c}...\\ y_{n^{\text{'}}+n^{\text{'}}(n-1)}\left({\mathbf{\text{D}}}_{n,m}\right)\end{array}\end{array}||;{\mathbf{\text{D}}}_{n,m}=||\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}{d}_{l^{\text{'}}+n^{\text{'}}(1-1),k^{\text{'}}+m^{\text{'}}(1-1)}^{}\\ ...\\ d_{l^{\text{'}}+n^{\text{'}}(1-1),k^{\text{'}}+m^{\text{'}}(m^{\text{'}}-1)}^{}\end{array}& \begin{array}{c}...\\ d_{l^{\text{'}}+n^{\text{'}}(n-1),k^{\text{'}}+m^{\text{'}}(m-1)}^{}\\ ...\end{array}& \begin{array}{c}{d}_{l^{\text{'}}+n^{\text{'}}(n^{\text{'}}-1),k^{\text{'}}+m^{\text{'}}(1-1)}^{}\\ ...\\ d_{l^{\text{'}}+n^{\text{'}}(n^{\text{'}}-1),k^{\text{'}}+m^{\text{'}}(m^{\text{'}}-1)}^{}\end{array}\end{array}||$.(32)

Использование блочных матриц для выполнения алгоритма (27)(28) позволяет более рационально производить накопление квадратурных корреляций (29). Количество m′ строк в блочной матрицы B_m,n выбирается таким, чтобы за интервал τ_э можно произвести по одному суммированию поэлементных корреляций для каждого из m′ адресов. Вычисление каждой суммы поэлементных корреляций выполняется за 3 действия (3 такта): выборка операнда (накопленной суммы поэлементных корреляций с учётом знака b_kl) из блока памяти по k′ адресу, сложение с очередным значением поэлементной корреляции x_l, запись сумы в блок памяти по тому же адресу. В вычислителе, выполненном на ПЛИС [18], за длительность τ_э можно совершить τ_эƒ_T ≥ 1625 тактов (τ_э= 2,5 мкс, ƒ_T≥ 650 МГц) или 529 операций суммирований с записью в «память», что будет соответствовать 529 накоплению корреляций или m′ = 529. Количество блок-строк в блок-матрицах (27)(28) корреляций составит M = [3L/τ_э ƒ_T] = 31, и здесь каждой блок-строке будет соответствовать сумматор поэлементных корреляций x_l(d_lk) с учётом знака элементов b_lk блок-матрицы B_m,n.  

Рис. 5. Диаграммы входных сигналов и элементов матриц B и X

Fig. 5. Diagrams of incoming signals and elements of matrices B and X

При поиске сигнала с дополнительной ФМ навигационным сообщением в двоичной форме D_r может возникнуть ситуация, при которой когерентное накопление станет невозможным. Это можно увидеть при рассмотрении рис. 5, где схематично совместно показаны диаграммы анализируемых сигналов s_r±i(t) при дополнительной ФМ навигационным сообщением посредством двоичных символов D_r и в соответствии с ними элементы перемножаемых матриц B и X. На рис. 5. анализ сигнала производится на интервалах {T₁} = [t₁,t₃] и {T₂} = [t3,t5]. На интервале анализа T₁ вычисляются поэлементные корреляции, соответствующие матрице-столбцу ${\mathbf{X}}_{T1}={\left|x_{T1,1}\left(d_{1,k}\right)x_{T1,2}\left(d_{1,k}\right)...x_{T1,8}\left(d_{1\mathit{,}k}\right)\right|}^T$, изображённому слева, а на интервале анализа T₂ вычисляются поэлементные корреляции, соответствующие матрице-столбцу ${\mathbf{X}}_{T2}={\left|x_{T\mathrm{2,1}}\left(d_{\mathrm{1,}k}\right)x_{T\mathrm{2,2}}\left(d_{\mathrm{1,}k}\right)\mathrm{...}{x}_{T\mathrm{2,8}}\left(d_{\mathrm{1,}k}\right)\right|}^T$, изображённому справа. Между матрицами-столбцами расположены матрицы В двоичных элементов b_kl. Интервалу анализа T₁ соответствует фрагмент окончания сигнала с номера элемента p по L элемент при модулирующем символе D_r-1 = 1 (для примера) и фрагмент начала сигнала с элемента 1 по p-1 элемент при модулирующем символе D_r = 0 (для примера). В этом случае, вычисленные поэлементные корреляции x_T1,l(d_l,k) для номеров p ÷ L будут определяться с учётом значения символа D_r-1 = 1 (18), а вычисленные поэлементные корреляции для номеров 1 ÷ p - 1 будут определяться с учётом значения символа для номеров  будут определяться с учётом значения символа D_r-1 =  1 (18), а вычисленные поэлементные корреляции для номеров  будут определяться с учётом значения символа D_r = 0 (18). Отсюда видно, что знаки у вычисленных групп поэлементных корреляций (для примера при L = 8 — это вычисленные первые 4 и вторые 4 поэлементные корреляции) будут противоположными. Если представить матрицу B как сумму левой верхней треугольной матрицы B_в и правой нижней треугольной матрицы B_н, то матрицу корреляций Y_T1, вычисленную на первом интервале, можно записать в краткой форме

${\mathbf{Y}}_{\mathrm{T}1}=\mathbf{B}\times {\mathbf{X}}_{\mathrm{T}1}={\mathbf{B}}_{\text{в}}\times {\mathbf{X}}_{\mathrm{T}1}+{\mathbf{B}}_{\text{н}}\times {\mathbf{X}}_{\mathrm{T}1}={\mathbf{Y}}_{\mathrm{T}1\text{\hspace{0.17em}в}}+{\mathbf{Y}}_{\mathrm{T}1\text{\hspace{0.17em}н}}$                                    (33)

или в развёрнутой форме

$\mathbf{Y} {=}_{T1}=||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{b}_{11}\\ b_{21}\\ b_{31}\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ b_{L-\mathrm{1,1}}\\ b_{L\mathrm{,1}}\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{b}_{12}\\ b_{22}\\ b_{32}\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ b_{L-\mathrm{1,2}}\\ 0\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{b}_{13}\\ b_{23}\\ b_{33}\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ 0\\ 0\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{b}_{\mathrm{1,}L-1}\\ b_{\mathrm{2,}L-1}\\ 0\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ 0\\ 0\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{b}_{1L}\\ 0\\ 0\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ 0\\ 0\end{array}\end{array}||\times ||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{x}_{T1.1}\left(d_{1k}\right)\\ x_{T1.2}\left(d_{2k}\right)\\ \mathrm{...}\end{array}\\ x_{T1.\mathrm{l}}\left(d_{\mathit{l}\mathit{k}}\right)\\ \mathrm{...}\\ x_{T1\mathit{.}L}\left(d_{\mathit{L}\mathit{k}}\right)\end{array}||+||\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ 0\\ 0\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ 0\\ b_{L2}\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ b_{L-\mathrm{1,3}}\\ b_{L3}\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\\ b_{\mathrm{3,}L-1}\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ b_{L-1\mathit{,}L-1}\\ b_{L\mathit{,}L-1}\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ b_{2L}\\ b_{3L}\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ b_{L-\mathrm{1,}L}\\ b_{L\mathit{,}L}\end{array}\end{array}||\times ||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{x}_{T1.1}\left(d_{1k}\right)\\ x_{T1.2}\left(d_{2k}\right)\\ \mathrm{...}\end{array}\\ x_{T1\mathit{.}l}\left(d_{lk}\right)\\ \mathrm{...}\\ x_{T1\mathit{.}L}\left(d_{\mathit{L}\mathit{k}}\right)\end{array}||$,     (34)

где элементы матриц B_в и B_н определяются через (23) элементами матрицы B(22). Из (34) и рис. 5 следует, что первую группу поэлементных корреляций можно учесть в первом произведении матриц B_в и Х_Т1 , а вторую группу поэлементных корреляций можно учесть во втором произведении матриц B_в и Х_Т1.

Интервалу анализа T₂ соответствует фрагмент окончания сигнала также с номера элемента p по L элемент теперь при модулирующем символе D_r = 1 (для примера) и фрагмент начала сигнала также с элемента 1 по p-1 элемент теперь при модулирующем символе D_r+1 = 0 (для примера). В этом случае, вычисленные поэлементные корреляции x_T2.l (d_l,k ) для номеров p ÷ L будут определяться с учётом значения символа D_r =  1 (18), а вычисленные поэлементные корреляции для номеров 1 ÷ p - 1 будут определяться с учётом значения символа D_r+1 = 1(18). Отсюда видно, что знаки у вычисленных вторых групп (третья и четвёртая) поэлементных корреляций (для примера при L = 8 — это вычисленные первые 4 и вторые 4 поэлементные корреляции) будут противоположными. Если представить матрицу B как сумму левой верхней треугольной матрицы B_в и правой нижней треугольной матрицы B_н, то матрицу корреляций Y_T2, вычисленную на втором интервале, можно записать в краткой форме

${\mathbf{\text{Y}}}_{\mathit{\text{T}}\text{2}}\text{=}\mathbf{\text{B}}\text{×}{\mathbf{\text{X}}}_{\mathit{\text{T}}\text{2}}\text{=}{\mathbf{\text{ B}}}_{\text{в}}\text{× }{\mathbf{\text{X}}}_{\mathit{\text{T}}\text{2}}\text{+}{\mathbf{\text{B}}}_{\text{н}}\text{×}{\mathbf{\text{X}}}_{\mathit{\text{T}}\text{2}}\text{=}{\mathbf{\text{Y}}}_{\mathit{\text{T}}\text{2\hspace{0.17em}в}}\text{+}{\mathbf{\text{Y}}}_{\mathit{\text{T}}\text{2\hspace{0.17em}н}}$,                                   (35)

или в развёрнутой форме

${\mathbf{Y}}_{T2}=||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{b}_{11}\\ b_{21}\\ b_{31}\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ b_{L-\mathrm{1,1}}\\ b_{L\mathrm{,1}}\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{b}_{12}\\ b_{22}\\ b_{32}\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ b_{L-\mathrm{1,2}}\\ 0\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{b}_{13}\\ b_{23}\\ b_{33}\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ 0\\ 0\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{b}_{\mathrm{1,}L-1}\\ b_{\mathrm{2,}L-1}\\ 0\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ 0\\ 0\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{b}_{1L}\\ 0\\ 0\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ 0\\ 0\end{array}\end{array}||\times ||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{x}_{T2.1}\left(d_{1k}\right)\\ x_{T2.2}\left(d_{2k}\right)\\ \mathrm{...}\end{array}\\ x_{T2.l}\left(d_{lk}\right)\\ \mathrm{...}\\ x_{T2.L}\left(d_{Lk}\right)\end{array}||+||\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ 0\\ 0\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ 0\\ b_{L2}\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ b_{L-\mathrm{1,3}}\\ b_{L3}\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \\ \cdot \cdot \cdot \end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\\ b_{\mathrm{3,}L-1}\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ b_{L-\mathrm{1,}L-1}\\ b_{L,L-1}\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ b_{2L}\\ b_{3L}\end{array}\\ \begin{array}{c}\cdot \cdot \cdot \\ b_{L-\mathrm{1,}L}\\ b_{L,L}\end{array}\end{array}||\times ||\begin{array}{c}\begin{array}{c}{x}_{T2.1}\left(d_{1k}\right)\\ x_{T2.2}\left(d_{2k}\right)\\ \mathrm{...}\end{array}\\ x_{T2.l}\left(d_{lk}\right)\\ \mathrm{...}\\ x_{T2.L}\left(d_{Lk}\right)\end{array}||$,    (36)