Conservation laws and solutions of the first boundary value problem for equations of two-dimensional elasticity theory

Sergey I. Senashov; Сенашов Сергей Иванович; Irina L. Savostyanova; Савостьянова Ирина Леонидовна

Conservation laws and solutions of the first boundary value problem for equations of two-dimensional elasticity theory

作者: Senashov S.I.¹, Savostyanova I.L.¹
隶属关系:
1. Reshetnev Siberian State University of Science and Technology
期: 卷 23, 编号 3 (2022)
页面: 417-422
栏目: Section 1. Computer Science, Computer Engineering and Management
URL: https://journals.eco-vector.com/2712-8970/article/view/553954
ID: 553954

如何引用文章

全文:

详细
全文:
作者简介
参考
补充文件
统计

详细

If a system of differential equations admits a group of continuous transformations, then the system can be represented as a set of two systems of differential equations, it is known. As a rule, these systems have a smaller order than the original system. The first system is automorphic, characterized by the fact that all its solutions are obtained from a single solution using transformations of this group. The second system is permissive, its solutions, under the action of the group, pass into themselves. The resolving system carries basic information about the source system. Automorphic and resolving systems, two-dimensional stationary elasticity equations are studied in this work. They are systems of first-order differential equations. Infinite series of conservation laws for a resolving system of equations and an automorphic system are constructed for the first time in this work. Since the two-dimensional system of elasticity equations is linear, there are infinitely many such laws. In this paper, an infinite series of linear conservation laws with respect to the first derivatives is constructed. It was these laws that made it possible to solve the first boundary value problem for the equations of elasticity theory in the two-dimensional case. These solutions are constructed in the form of quadratures, these quadratures are calculated along the contour of the studied area.

关键词

two-dimensional elasticity, conservation laws, solution of boundary value problems

全文:

Введение

Линейные уравнения теории упругости с групповой точки зрения изучаются уже достаточно давно [1; 2]. Сначала была найдена группа точечных преобразований и перечислены все инвариантные решения [2]. Далее было выполнено групповое расслоение уравнений Ламе [3]. Хотя техника выполнения группового расслоения известна уже давно [1], не для многих систем уравнений оно выполнено. В этом смысле уравнения теории упругости составляют приятное исключение. Групповое расслоение позволило лучше понять, почему методы комплексного переменного так широко используются в двумерной теории упругости. Это происходит потому, что разрешающая система для двумерных уравнений теории упругости есть система уравнений Коши – Римана. В [4; 5] законы сохранения впервые использованы для решения краевых задач, в частности, уравнений пластичности. В [6] построены законы сохранения для плоской теории упругости, но они не были использованы для решения краевых задач. В предлагаемой работе построены новые законы сохранения для разрешающей и автоморфной систем. На их основе решена первая краевая задача для двумерных уравнений упругости.

Постановка задачи

Пусть предлагается следующая связь тензоров напряжений и тензора деформаций:

$\begin{matrix} \begin{matrix} σ_{11} = (λ + 2 μ) ε_{11} + λ ε_{22}, σ_{12} = 2 μ ε_{12} \\ σ_{22} = (λ + 2 μ) ε_{22} + λ ε_{11}, \end{matrix} \end{matrix}$ (1)

где $σ_{i j}$ – компоненты тензора напряжений; $ε_{i j}$ – компоненты тензора деформаций; $λ > 0, μ > 0$ – постоянные Ламе, т. е. (1) есть классический закон Гука для изотропного однородного случая.

Подставляя (1) в уравнения равновесия, в случае отсутствия массовых сил получаем

$\begin{matrix} (λ + 2 μ) u_{x x} + λ v_{x y} + μ (u_{y y} + v_{x y}) = 0, \\ μ (u_{x y} + v_{x y}) + (λ + 2 μ) v_{y y} + λ u_{x y} = 0, \end{matrix}$ (2)

где $u, v$ – компоненты вектора деформаций, индексы внизу, если не указано иное, означают производные по соответствующим переменным.

Известно, что система уравнений (2) эллиптического типа. Это определяет вид законов сохранения и решение краевых задач. Групповые свойства дифференциальных уравнений описаны в работе [1]. Групповые свойства уравнений упругости изучены в работе [2]. В работах [7; 8] изучались групповые свойства трехмерных уравнений линейной теории упругости и асимметричных уравнений упругости в динамическом случае. Там, в частности, показано, что система (2) допускает бесконечную группу точечных преобразований, порождаемую операторами:

$X = h^{1} \partial_{u} + h^{2} \partial_{v},$ (3)

где – произвольное решение уравнений Коши – Римана:

$h_{x}^{1} + h_{y}^{2} = 0, h_{y}^{1} - h_{x}^{2} = 0.$ (4)

Сделаем групповое расслоение системы уравнений (2) по методу [1] на подалгебре, порождаемой (3). Для этого продолжим операторы (3) на первые производные. Имеем

$\underset{1}{X} = X + h_{x}^{1} \partial_{u_{x}} + h_{y}^{2} \partial_{v_{y}} + h_{y}^{1} \partial_{u_{y}} + h_{x}^{2} \partial_{v_{x}},$ (5)

Дифференциальные инварианты для (5), с учетом (4), имеют вид

$\begin{matrix} I_{1} = x, \\ I_{2} = y, I_{3} = u_{x} + v_{y}, I_{4} = u_{y} - v_{x} . \end{matrix}$ (6)

Тогда автоморфная система уравнений имеет вид

$u_{x} + v_{y} = θ (x, y), u_{y} - v_{x} = ω (x, y) .$ (7)

Напомним некоторые свойства автоморфных систем. Любое решение автоморфной системы может быть получено из одного решения этой системы с помощью преобразований, порождаемых оператором (3).

Подставляя (7) в (2) получаем разрешающую систему

$\begin{matrix} F_{1} = (λ + 2 μ) θ_{x} - μ ω_{y} = 0, \\ F_{2} = (λ + 2 μ) θ_{y} + μ ω_{x} = 0, \end{matrix}$ (8)

Повторяя почти дословно рассуждения из [7], можно утверждать, что система (8) равносильна системе уравнений (2).

Поэтому построив решение системы (8) мы получим решение системы (2).

Пусть для системы (8) поставлена следующая краевая задача:

$\begin{matrix} θ |_{L} = θ_{0} (x, y), \\ ω |_{L} = ω_{0} (x, y), \end{matrix}$ (9)

где L – некоторая гладкая замкнутая кривая, $θ_{0} (x, y), ω_{0} (x, y)$ – известные гладкие функции.

Для решения этой задачи построим законы сохранения для системы уравнений (8).

Законы сохранения

В силу линейности системы (8) она будет иметь бесконечное число законов сохранения. В работе будут найдены только те законы сохранения, которые позволят решить краевуюзадачу (9).

Определение. Законом сохранения для системы уравнений (8) назовем выражение вида

$A_{x} (x, y, θ, ω) + B_{y} (x, y, θ, ω) = α F_{1} + β F_{2} = 0,$ (10)

где $α, β$ – некоторые функции, которые не равны тождественно нулю одновременно. A, B называются компонентами сохраняющегося тока.

Более подробная информация по построению законов сохранения для произвольных систем дифференциальных уравнений может быть найдена в [8–10]. Заметим, что впервые законы сохранения для уравнений линейной теории упругости были найдены в работах [11; 12], но их невозможно было использовать для решения конкретных краевых задач.

Предположим, что компоненты сохраняющегося тока имеют вид

$\begin{matrix} A = a^{1} θ + a^{2} ω, \\ B = b^{1} θ + b^{2} ω, \end{matrix}$ (11)

где a¹, a², b¹, b² – некоторые функции от x,y.

Подставляя (11) в (10), после несложных преобразований получаем

$a^{1} = α (λ + 2 μ), a^{2} = β μ, b^{1} = β (λ + 2 μ), a^{2} = - α μ,$

$a_{x}^{1} + b_{y}^{1} = 0, a_{x}^{2} + b_{y}^{2} = 0.$ (12)

Отсюда имеем

$\begin{matrix} α_{x} + β_{y} = 0, \\ α_{y} - β_{x} = 0. \end{matrix}$ (13)

Из (10) следует

$\iint_{S} (A_{x} + B_{y}) d x d y = \oint_{L} - A d y + B d x .$ (14)

Решение первой краевой задачи

Пусть (x⁰, y⁰) ∈ S, такая точка, в которой компоненты сохраняющегося тока имеют особенности, тогда из (14) следует

$\oint_{L} - A d y + B d x = - \oint_{ε} - A d y + B d x .$ (15)

где $ε : {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = ε^{2}$ – окружность радиуса ε вокруг точки (x⁰, y⁰) ∈ S. Вычислим интеграл в правой части (15) для разных решений уравнений Коши – Римана. В качестве решений выберем такие, которые имеют особенность в точке (x⁰, y⁰) ∈ S. Пусть

$α = \frac{x - x_{0}}{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}, β = \frac{y - y_{0}}{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}},$ (16)

тогда из правой части (15) имеем

$\oint_{ε} - A d y + B d x = \oint_{ε} - (α (λ + 2 μ) θ + β μ ω) d y + (α μ ω + β (λ + 2 μ) θ) d x .$ (17)

Подставим (16) в (17) и сделаем замену переменных по формулам $x - x_{0} = ε \cos φ, y - y_{0} = ε \sin φ,$ получаем

$\begin{matrix} \oint_{ε} - A d y + B d x = \int_{0}^{2 π} [- ((λ + 2 μ) θ + μ ω) + 2 \sin φ \cos φ μ ω)] d φ = \\ = - 2 π [(λ + 2 μ) θ (x_{0}, y_{0}) - μ ω (x_{0}, y_{0})] \end{matrix}$ (18)

В формуле (18) устремили ε → 0 и использовали теорему о среднем.

Теперь сделаем аналогичные вычисления, положив

$α = - \frac{y - y_{0}}{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}, β = \frac{x - x_{0}}{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}} .$

В результате получим

$\oint_{ε} - A d y + B d x = - 2 π μ ω (x_{0}, y_{0}) .$ (19)

Формулы (18) и (19) позволяют, с учетом граничных условий (9) и равенства (15), определить значения функций в произвольной точке (x⁰, y⁰) ∈ S. Они имеют следующий вид:

$2 π [(λ + 2 μ) θ (x_{0}, y_{0}) - μ ω (x_{0}, y_{0})] = \oint_{L} - \frac{(λ + 2 μ) (x - x_{0}) θ_{0}}{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}} d y + \frac{μ (y - y_{0}) ω_{0}}{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}} d x,$

$2 π μ ω (x_{0}, y_{0})] = \oint_{L} \frac{(λ + 2 μ) (y - y_{0}) θ_{0}}{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}} d y + \frac{μ (x - x_{0}) ω_{0}}{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}} d x .$

Теперь, после восстановления решений разрешающей системы, найдем решения автоморфной системы, т. е. решения исходной системы уравнений (2). Имеем

$F_{3} = u_{x} + v_{y} - θ (x, y) = 0, F_{4} = u_{y} - v_{x} - ω (x, y) = 0.$ (20)

Здесь в правой части стоят известные функции, которые найдены в предыдущем пункте. Найдем законы сохранения уравнений (20) в следующем виде:

$A = a^{3} θ + a^{4} ω + c^{1}, B = b^{3} θ + b^{4} ω + c^{2},$ (21)

где a³, a⁴, b³, b⁴, c¹, c²– некоторые функции от x, y.

Имеем

$A_{x} (x, y, u, v) + B_{y} (x, y, u, v) = α F_{3} + β F_{4} = 0,$ (22)

Расщепляя систему уравнений (22), получаем

$a^{3} = α, a^{4} = - β, b^{3} = β, b^{4} = α,$

$a_{x}^{3} + b_{y}^{3} = 0, a_{x}^{4} + b_{y}^{4} = 0, c_{x}^{1} + c_{y}^{2} = - α θ - β ω .$ (23)

Отсюда получаем

$α_{x} + β_{y} = 0, α_{y} - β_{x} = 0.$ (24)

Пусть для системы (2) поставлена следующая краевая задача:

$u |_{L} = u_{0} (x, y), v |_{L} = v_{0} (x, y),$ (25)

Рассмотрим закон сохранения в виде

$\oint_{L} - A d y + B d x = - \oint_{ε} - A d y + B d x .$ (26)

Пусть решение уравнений (24) имеет вид

$α = \frac{x - x_{0}}{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}, β = \frac{y - y_{0}}{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}},$ (27)

Подставляем (27) в правую часть (26), получаем

$\begin{matrix} \oint_{ε} - A d y + B d x = \oint_{ε} - (α u - β v + c^{1}) d y + (β u + α v + c^{2}) d x = \\ = \oint_{ε} - (α \cos ϕ - β \sin ϕ + c^{1}) d y - (β \sin ϕ + α \cos ϕ + c^{2}) d x = - 2 π u (x_{0}, y_{0}) \end{matrix}$ (28)

Пусть решение уравнений (24) имеет вид

$α = - \frac{y - y_{0}}{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}, β = \frac{x - x_{0}}{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}},$ (29)

Подставляем (29) в правую часть (26), получаем

$\begin{matrix} \oint_{ε} - A d y + B d x = \oint_{ε} - (α u - β v + c^{1}) d y + (β u + α v + c^{2}) d x = \\ = \oint_{ε} - (- u \sin ϕ - v \cos ϕ + c^{1}) d y - (u \cos ϕ - v \sin ϕ + c^{2}) d x = - 2 π v (x_{0}, y_{0}) \end{matrix}$ (30)

В результате получаем формулы для вычисления компонент вектора деформации

$2 π u (x_{0}, y_{0}) = \oint_{L} - A d y + B d x, 2 π v (x_{0}, y_{0}) = \oint_{L} - A d y + B d x,$

где $c^{1} = \int α θ d x, c^{2} = \int β ω d x .$ (31)

Заключение

В статье получены новые бесконечные серии законов сохранения для разрешающей системы уравнений, а также для автоморфной системы, построенные для двумерных уравнений упругости. Эти законы позволили построить аналитическое решение краевой задачи для уравнений двумерной теории упругости в стационарном случае. В статье продолжено решение краевых задач с помощью законов сохранения, начатое в работах [13–15].

作者简介

Sergey Senashov

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

编辑信件的主要联系方式.
Email: Sen@sibsau.ru

Dr. Sc., Professor, Head of the Department IES; Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

俄罗斯联邦, 31, Krasnoyarskii Rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

Irina Savostyanova

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Email: savostyanova@sibsau.ru

Cand. Sc., Associate Professor of the Department of IES, Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

俄罗斯联邦, 31, Krasnoyarskii Rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

参考

Ovsyannikov L. V. Gruppovoj analiz differencial'nyh uravnenij [Group analysis of differential equations]. Moscow, Nauka Publ., 1978, 399 р.
Annin B. D., Bytev V. O., Senashov S. I. Gruppovye svojstva uravnenij uprugosti i plastichnosti [Group properties of elasticity and plasticity equations]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1983, 239 р.
Prudnikov V. Yu. Chirkunov Yu. A. [Group bundle of Lame equations]. Prikladnaya matematika i mekhanika. 1988, Vol. 52, No. 3, P. 471–477 (In Russ.).
Senashov S. I. [On the laws of conservation of plasticity equations]. Doklady AN SSSR. 1991, Vol. 320, No. 3, P. 606–608 (In Russ.).
Senashov S. I. [Conservation laws and the exact solution of the Cauchy problem for plasticity equations]. Doklady RAN. 1995, Vol. 345, No. 5, P. 619–620 (In Russ.).
Senashov S. I., Filyushina E. V. [Conservation laws of the equations of the plane theory of elasticity]. Vestnik SibGAU. 2014, No. 1(53), P. 79–81 (In Russ.).
Belmetsov N. F.,Chirkunov Yu. A. [Exact solutions of the equations of the dynamic asymmetric model of elasticity theory]. Sibirskiy zhurnal industrial'noy matematiki. 2012, Vol. 15, No. 4, P. 38–50 (In Russ.).
Kiryakov P. P., Senashov S. I., Yakhno A. N. Prilozhenie simmetriy i zakonov sohraneniyak resheniyu differencial'nyh uravneniy [Application of symmetries and conservation laws to the solution of differential equations]. Novosibirsk, SO RAN Publ., 201 p.
Senashov S. I., Vinogradov A. M. [Symmetries and conservation laws of two-dimensional ideal plasticity]. Proc. Edinburg Math. Soc. 1988, P. 415–439.
Vinogradov A. M., Dyer I. S., Lychagin V. V. Simmetrii i zakony sohraneniya [Symmetries and conservation laws]. Moscow, Factor Publ., 1996, 461 р.
Olver P. Laws of conservation in elasticity 1. General result. Arch. Rat. Fur. Anal. 1984, Vol. 85, P. 111–129.
Olver P. Laws of conservation in elasticity 11. Linear homogeneous isotropic elastostatic. Arch. rat. Fur. Anal. 1984, Vol. 85, P. 131–160.
Senashov S. I., Savostyanova I. L. [On elastic torsion around three axes]. Sibirskiy zhurnalindustrial'noy matematiki. 2021, Vol. 24, No. 1, P. 120–125 (In Russ.).
Senashov S. I., Gomonova O. V. Construction of an elastic-plastic boundary in the problem of stretching a plate weakened by holes. Journal. Lin. Mech. 2019, Vol. 108, P. 7–10.
Gomonova O. V., Senashov S. I. Determination of elastic and plastic deformation regions in the problem of uniaxial stretching of a plate weakened by holes. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2021, Vol. 62, No. 1, P. 179–186.

补充文件

附件文件

动作

1. JATS XML

下载

用户名
密码
记住我

忘记您的密码?	注册

用户名
密码
记住我

忘记您的密码?	注册