Approximation of beam support coefficient values at vibrations and buckling

Full Text

Введение^*

С целью обеспечения требуемого динамического поведения заданной действительной конструкции на этапах ее проектирования или исследования широко используется балочная модель [1; 2]. С математической стороны расчет свободных колебаний или критической нагрузки для балок связан с решением дифференциальных уравнений, которое во многом определяется способом закрепления конструкции. В обоих случаях решение связано  

с определением собственных значений системы, полученной после подстановки функции формы в граничные условия задачи. Для задач колебаний квадраты собственных значений определяют величину частот свободных колебаний, а при исследовании устойчивости – величину критических нагрузок.

Корректная постановка математической задачи и ее решение требуют определенных специальных навыков и времени, что затруднительно при проведении инженерных расчетов.  

С целью упрощения таких расчетов существует большое число книг и справочников по динамике балок, в которых предложены готовые решения по свободным колебаниям [3–27] и потери устойчивости [28–35] для простых случаев закрепления, которые полностью ограничивают или разрешают движение по какой-либо координате: шарнир, заделка, скользящая опора и др.,  

а также их комбинации. Для данных закреплений представлены готовые решения и величины корней из собственных значений, которые в теории устойчивости называют по-разному: коэффициент приведения длины, коэффициент приведенной длины или коэффициент приведения. В теории колебаний отдельного названия для корней из собственных значений нами не обнаружено. Для общности данные коэффициенты при решении задач колебаний и устойчивости будем здесь называть коэффициентами опор.

Однако реализовать на практике упомянутые выше идеальные опоры затруднительно, поскольку действительные опоры имеют некоторое промежуточное значение жесткости, которое влияет на динамическое поведение балки и вызывает расхождение между теоретическим расчетом и практическим результатом. В имеющейся литературе по динамике балок решения для промежуточных значений жесткостей представлены в очень ограниченном виде [36–41] или полученные решения не пригодны для прикладных инженерных расчетов [42–45]. Также справочные таблицы иногда содержат ошибочные значения, которые не всегда очевидны для неопытных расчетчиков. Например, в справочнике по динамике [41] в таблице коэффициентов опор на с. 168 указаны некорректные значения, из-за чего таблица даже потеряла симметричность относительно главной диагонали. Подобные неточности есть и в других изданиях [40; 46].

Целью данной работы является аппроксимация промежуточных значений коэффициентов опор балок при свободных колебаниях и потере устойчивости для широкого диапазона жесткости опор.  

С целью ограничения данной большой задачи рассматривается только изгибная форма балки при колебаниях на первой собственной частоте и при первой критической нагрузке, которые обычно являются наиболее опасными для протяженных конструкций. Многообразие закреплений балок для изгибной формы ограничим случаем шарнирных опор с некоторой жесткостью. Полученные результаты аппроксимируем с помощью аналитических функций, что позволит определять значения коэффициентов опор для любых заданных значений жесткости опор. В качестве аппроксимирующих функций примем квадратичные зависимости, что при необходимости позволяет решать и обратную задачу – определить требуемую жесткость опор для заданного значения коэффициента опор.

Полученные результаты позволят инженерам рассчитывать первую собственную частоту колебаний и первую критическую силу для балочных конструкций с заданной жесткостью опор, а также решать обратную задачу по определению жесткости опор, обеспечивающей заданный динамический параметр. Аналитический вид предлагаемого решения позволяет легко оценить взаимовлияние различных параметров на решение и при необходимости преобразовать его в требуемом направлении.

1. Математическая постановка задачи

Будем рассматривать однородную балку, закрепленную по краям в шарнирных опорах, жесткость которых k₁ и k₂ может изменяться от нуля (шарнир) до бесконечности (заделка).  

В дальнейших расчетах в качестве жесткости опор также будем использовать не ее абсолютные значения k₁ и k₂ [Н*м], а относительные безразмерные величины

$C_1=k_1\frac{l}{E{J}_{\min }}$;  $C_2=k_2\frac{l}{E{J}_{\min }}$,                                                                              (1)

где l – длина; E – модуль Юнга материала; J_min – минимальный момент инерции поперечного сечения.

Рассмотрим далее математическую постановку задачи свободных колебаний балки и потери устойчивости с учетом жесткости опор.

1.1. Свободные колебания балки в упругих опорах

На рис. 1 показана расчетная схема свободных колебаний балки в упругих опорах  

с жесткостью С₁ и С₂.

Уравнение свободных колебаний имеет вид

$E{J}_{\min }\frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}+m\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=0$,                                                                                        (2)

где y = y(x) – функция изгибной формы балки; m – удельная масса.

 

Рис. 1. Балка с упругими опорами

Fig. 1. Spring-hinged beam.

 

Граничные условия закрепления балки имеют вид

$\begin{array}{c}y\left(\mathrm{0,}t\right)=y\left(l,t\right)=0;\\ E{J}_{\min }\frac{{\partial }^{2}y\left(\mathrm{0,}t\right)}{\partial x^2}=k_1\frac{\partial y\left(\mathrm{0,}t\right)}{\partial x};\\ E{J}_{\min }\frac{{\partial }^{2}y\left(l,t\right)}{\partial x^2}=-k_2\frac{\partial y\left(l,t\right)}{\partial x}\mathit{.}\end{array}$                                                                                    (3)

Общее решение представим в виде

$y\left(x,t\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{Y}_i\left(x\right)\sin {\omega }_{i}t$,                                                                                       (4)

где  – i-я мода колебаний, общее решение для которой имеет вид

$Y_i\left(x\right)=A_i\sin p_{i}x+B_i\cos p_{i}x+C_i\sinh p_{i}x+D_i\cosh p_{i}x$.                                                    (5)

Подставляя общее решение в граничные условия, получим частотное уравнение в виде [27]

$2{\alpha }_i^4\tan {\alpha }_i^2\cdot \tanh {\alpha }_i^2+{\alpha }_i^{2}l\frac{k_1+k_2}{E{J}_{\min }}\cdot \left(\tan {\alpha }_i^2-\tanh {\alpha }_i^2\right)-\frac{k_1{k}_2{l}^2}{E^2{J}_{\min }^2}\cdot \left(1-\frac{1}{\cos {\alpha }_i^2\cdot \cosh {\alpha }_i^2}\right)=0$,     (6)

где ${\alpha }_i=\sqrt{p_{i}l}$ – коэффициент опор на i-й собственной моде колебаний.

Ограничиваясь рассмотрением первой собственной частоты колебаний (i=1) получаем искомую зависимость с учетом (1) в виде

${\alpha }_1={\alpha }_1\left(C_1,C_2\right)$.                                                                                                (7)

Величина первой собственной частоты колебаний определится, как

$f_1\left(C_1,C_2\right)={\alpha }_1^2\left(C_1,C_2\right)\cdot \frac{1}{2\pi l^2}\sqrt{\frac{E{J}_{\min }}{m}}$.                                                             (8)

Решение разрешающего уравнения колебаний (6) с помощью простых аналитических функций практически невозможно, поэтому используем численные методы.

1.2. Потеря устойчивости балки в упругих опорах

Постановка и решение задачи потери устойчивости балки при сжатии во многом аналогична задаче свободных колебаний. На рис. 2 показана расчетная схема балки в упругих опорах при потере устойчивости от сжатия силой Р.

 

Рис. 2. Изгибная потеря устойчивости балки с упругими опорами

Fig. 2. Flexural buckling of the beam with spring-hinged supports

 

При потере устойчивости в упругих опорах будут возникать реактивные моменты, которые прямо пропорциональны соответствующим углам их поворота,

$M_1=k_1\cdot {\alpha }_1;M_2=k_2\cdot {\alpha }_2$.                                                                                (9)

Тогда уравнение устойчивости примет вид

$E{J}_{\min }\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-P\cdot y-M_1\cdot \frac{l-x}{l}-M_2\cdot \frac{x}{l}$.                                                            (10)

Граничные условия определяются способом закрепления в виде ограничений на прогибы и углы поворота:

$y\left(x=0\right)=0;y\text{'}\left(x=0\right)=-{\alpha }_1=-\frac{M_1}{k_1};y\left(x=l\right)=0;y\text{'}\left(x=l\right)=-{\alpha }_2=-\frac{M_2}{k_2}$.            (11)

Общее решение примем в виде функции

$y=A\cdot \sin \left(\theta \cdot x\right)+B\cdot \cos \left(\theta \cdot x\right)-\frac{M_1}{P\cdot l}\left(l-x\right)-\frac{M_2}{P\cdot l}x$,                                               (12)

где

$\theta =\sqrt{\frac{P}{E{J}_{\min }}}$.                                                                                             (13)

Тогда уравнение упругой линии будет иметь вид

$y=\left(\frac{M_2}{P\cdot \sin \left(\theta \cdot l\right)}-\frac{M_1}{P\cdot tg\left(\theta \cdot l\right)}\right)\cdot \sin \left(\theta \cdot x\right)+\frac{M_1}{P}\cdot \cos \left(\theta \cdot x\right)-\frac{M_1}{P\cdot l}\left(l-x\right)-\frac{M_2}{P\cdot l}x$,               (14)

в котором моменты в упругих шарнирах можно найти из системы двух уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}{M}_1\left(1+\frac{k_1}{P\cdot l}-\frac{k_1\cdot \theta }{P\cdot \text{tg}\left(\theta \cdot l\right)}\right)+M_2\left(\frac{k_1\cdot \theta }{P\cdot \sin \left(\theta \cdot l\right)}-\frac{k_1}{P\cdot l}\right)=0;\\ M_1\left(\frac{k_2}{P\cdot l}-\frac{k_2\cdot \theta \cdot \sin \left(\theta \cdot l\right)}{P}-\frac{k_2\cdot \theta \cdot \cos \left(\theta \cdot l\right)}{P\cdot \text{tg}\left(\theta \cdot l\right)}\right)+M_2\left(\frac{k_2\cdot \theta }{P\cdot \text{tg}\left(\theta \cdot l\right)}-\frac{k_2}{P\cdot l}-1\right)=0.\end{array}\right.$           (15)

Ненулевое решение системы (15) найдем, приравняв к нулю ее определитель и решая трансцендентное уравнение [29],

$\left(\frac{P_i}{k_1}+\frac{1}{l}-\frac{{\theta }_i}{\text{tg}\left({\theta }_i\cdot l\right)}\right)\cdot \left(\frac{{\theta }_i}{\text{tg}\left({\theta }_i\cdot l\right)}-\frac{1}{l}-\frac{P_i}{k_2}\right)-\left(\frac{1}{l}-\frac{{\theta }_i}{\sin \left({\theta }_i\cdot l\right)}\right)\cdot \left(\frac{{\theta }_i}{\sin \left({\theta }_i\cdot l\right)}-\frac{1}{l}\right)=0,$         (16)

где i – номер критической силы.

Ограничиваясь рассмотрением первой критической силы (i = 1), получим искомую зависимость с учетом (1) в виде

${\mu }_1={\mu }_1\left(C_1,C_2\right)=\frac{\pi }{{\theta }_1\left(C_1,C_2\right)\cdot l}$,                                                                           (17)

где µ₁ – коэффициент приведения длины или коэффициент опор при устойчивости.

Первая критическая сила тогда определится по уравнению

$P_{cr}\left(C_1,C_2\right)=\frac{{\pi }^{2}E{J}_{\min }}{{\left({\mu }_1\left(C_1,C_2\right)\cdot l\right)}^2}$.                                                                           (18)

Решение разрешающего уравнения задачи устойчивости (16) аналитическими способами затруднительно, поэтому воспользуемся численными методами.

2. Аппроксимация коэффициентов опор

Решение разрешающих уравнений (6) и (16) выполним численным итеративным методом последовательных приближений в специально созданных программах. Решение было выполнено для 500 вариантов сочетаний значений жесткостей опор балки в диапазоне от С = 0. 

до С = 1000. Ограничение значений диапазона жесткостей было вызвано тем, что с одной стороны расширение диапазона требует использование более сложных аналитических зависимостей для аппроксимации, а с другой стороны жесткость С = 1000 фактически соответствует жесткой заделке и дальнейшее увеличение значений жесткости практически не влияет на изменение величины коэффициентов опор.

2.1. Аппроксимация коэффициентов опор при свободных колебаниях

В табл. 1 приведен ограниченный набор результатов для коэффициентов опор a при свободных колебаниях балки для выбранного диапазона жесткостей, включая значение С = ∞.

 

Таблица 1. Значения коэффициентов опор a₁(С₁, С₂)

С2	С1
	0	0,1	1	5	10	20	30	40	50	100	200	500	1000	∞
0	3,142	3,157	3,273	3,534	3,665	3,769	3,814	3,839	3,855	3,889	3,907	3,919	3,923	3,926
0,1		3,173	3,288	3,548	3,678	3,783	3,825	3,852	3,868	3,902	3,921	3,932	3,936	3,940
1			3,399	3,652	3,781	3,884	3,929	3,954	3,970	4,004	4,023	4,034	4,038	4,041
5				3,897	4,026	4,131	4,177	4,202	4,219	4,254	4,273	4,285	4,289	4,292
10					4,156	4,263	4,310	4,337	4,354	4,390	4,410	4,422	4,426	4,430
20						4,374	4,422	4,449	4,467	4,504	4,525	4,538	4,542	4,546
30							4,471	4,499	4,517	4,555	4,576	4,589	4,593	4,597
40								4,527	4,545	4,583	4,604	4,617	4,622	4,626
50		Symmetric							4,563	4,602	4,623	4,636	4,640	4,644
100										4,641	4,663	4,676	4,681	4,685
200											4,684	4,698	4,702	4,707
500												4,711	4,716	4,720
1000													4,721	4,725
∞														4,730

 

Полученные численные данные графически показаны на рис. 3 в виде плоскости a₁(С₁, С₂) и графика a₁(С) для случая опор с одинаковой жесткостью: С = С₁ = С₂.

       

Рис. 3. Графическое представление коэффициентов опор при свободных колебаниях: a – график функции α₁(С₁, С₂);  б – график функции α₁(С)

Fig. 3. Graphs of support coefficients at free vibration: a – graph of the function α₁(С₁, С₂);  b – graph of the function α₁(С)

 

Результаты показали, что зависимость α₁(С₁, С₂) является сильно нелинейной, что не позволяет аппроксимировать ее одной простой аналитической функцией даже для принятого диапазона С = 0…1000. Исследования установили, что высокая точность аппроксимации может быть получена только при использовании полиномов высокой степени, однако это создает большие вычислительные трудности и не позволяет решать обратную задачу по определению требуемой жесткости опор для заданного значения коэффициента опор α₁.

Учитывая симметрию данных в табл. 1, необходимость сохранения простых аналитических зависимостей и возможность проведения обратного расчета, примем в качестве аппроксимирующих зависимостей квадратичные функции. Неизбежное при этом снижение точности аппроксимации компенсируем путем разбиения выбранного диапазона жесткостей на три зоны: I – С = 0…10, II – С = 10…100, III – С = 100…1000. Внутри каждой зоны аппроксимируем полученные числовые значения коэффициентов опор a отдельной квадратичной функцией, коэффициенты которых определим методом наименьших квадратов [47; 48]. В результате получаем решение для каждой зоны в виде:

${\alpha }_{1i}\left(C_1,C_2\right)=a_{0i}+a_{1i}\cdot \left(C_1+C_2\right)+a_{2i}\cdot \left(C_1^2+C_2^2\right)$,                                                 (19)

где i – номер зоны, i= I, II, III.

Коэффициенты квадратичных функций для каждой зоны приведены в табл. 2.

 

Таблица 2. Коэффициенты функций α_1i(С₁, С₂) 

Коэффициент	Зона i
	I	II	III
	C = 0…10	C = 10…100	C = 100…1000
a0i	3,1415	4,03	4,62
a1i	0,107	0,0075	1,25E-04
a2i	–0,00563	–4,35E-05	–7,400E-08

 

Полученные коэффициенты квадратичных аппроксимирующих функций (19) позволяют рассчитывать значения коэффициента опор a для уравнения (8) практически с любым сочетанием жесткостей опор. Однако погрешность определения коэффициента существенно увеличивается при большой разнице в жесткостях опор. Если же значения жесткостей опор одного порядка, то погрешность расчета коэффициента опор составляет не более 2 % для всего рассматриваемого диапазона жесткостей.

2.2. Аппроксимация коэффициентов опор при потере устойчивости

Используя аналогичный подход, выполним аппроксимацию коэффициентов опор µ при  

потере устойчивости балки. В табл. 3 приведен ограниченный набор результатов для коэффициентов опор µ₁(С₁, С₂) для выбранного диапазона жесткостей, включая значение С = ∞.

Полученные численные данные графически показаны на рис. 4 в виде плоскости µ₁(С₁, С₂) и графика µ₁(С) для случая опор с одинаковой жесткостью: С₁ = С₂.

Зависимость µ(С₁, С₂) также является сильно нелинейной, что требует разбиения рассматриваемого диапазона жесткости на зоны. Внутри каждой зоны аппроксимируем значения квадратичными функциями

${\mu }_{1i}\left(C_1,C_2\right)=b_{0i}+b_{1i}\cdot \left(C_1+C_2\right)+b_{2i}\cdot \left(C_1^2+C_2^2\right)$,                                                    (20)

где i – номер зоны, i = I, II, III.

Используя метод наименьших квадратов, определим коэффициенты аппроксимирующих квадратичных функций и результаты сведем в табл. 4.

 

Таблица 3. Значения коэффициентов опор µ₁(С₁, С₂) 

С2	С1
	0	0,1	1	5	10	20	30	40	50	100	200	500	1000	∞
0	1,000	0,987	0,920	0,803	0,760	0,732	0,722	0,716	0,713	0,706	0,703	0,701	0,700	0,699
0,1		0,979	0,913	0,797	0,754	0,727	0,717	0,711	0,708	0,702	0,698	0,696	0,695	0,695
1			0,854	0,750	0,711	0,686	0,676	0,672	0,669	0,663	0,660	0,658	0,657	0,657
5				0,661	0,627	0,605	0,596	0,592	0,590	0,585	0,582	0,581	0,580	0,580
10					0,594	0,572	0,564	0,560	0,558	0,553	0,550	0,549	0,548	0,548
20						0,551	0,543	0,539	0,537	0,532	0,529	0,528	0,527	0,527
30							0,535	0,531	0,529	0,524	0,521	0,520	0,520	0,519
40								0,527	0,525	0,520	0,518	0,516	0,516	0,515
50		Symmetric							0,522	0,517	0,515	0,514	0,513	0,513
100										0,513	0,510	0,509	0,508	0,508
200											0,508	0,506	0,506	0,505
500												0,505	0,504	0,504
1000													0,503	0,503
∞														0,500

 

Рис. 4. Графическое представление коэффициентов опор при потере устойчивости: а – график функции µ₁(С₁, С₂);  б – график функции µ₁(С)

Fig. 4. Graphs of support coefficients at buckling: a – graph of the function µ₁(С₁,С₂);  b – graph of the function µ₁(С)

 

Таблица 4. Коэффициенты функций µ_1i (С₁, С₂) 

Коэффициент	Зона i
	I	II	III
	C = 0…10	C = 10…100	C = 100…1000
b0i	1	0,623	0,516
b1i	–0,0504	–0,0016	–1,81E-05
b2i	0,003	1,05E-05	1,2E-08

 

Полученные коэффициенты квадратичных аппроксимирующих функций (19) позволяют рассчитывать значения коэффициента опор µ₁ с погрешностью расчета не более 6,5 % для жесткостей одного порядка.

2.3. Решение обратной задачи

Использование аппроксимирующих квадратичных функций позволяет решать и обратную задачу по определению жесткости опор, обеспечивающих требуемые коэффициенты опор a или µ. Рассмотрим определение жесткости опор для известного значения коэффициента опор a₁ при свободных колебаниях, которое можно найти согласно (8) при заданном значении первой собственной частоты колебаний f₁ как

${\alpha }_1\left(C_1,C_2\right)=l\cdot \sqrt[4]{f_1^2\cdot \frac{4{\pi }^{2}m}{E{J}_{\min }}}$.                                                                 (21)

Равенство (21) возможно при различном сочетании значений жесткостей опор С₁ и С₂, что делает задачу нахождения жесткости опор неоднозначной. Для определенности свяжем эти жесткости через заданный коэффициент n, определяющий отношение жесткостей опор:

$C=C_1=\frac{C_2}{n}$.                                                                               (22)

Подставив эти данные в уравнение (19), получим разрешающее уравнение относительно общей жесткости опор С:

$a_{i2}\cdot \left(1+n^2\right){С}^2+a_{i1}\cdot \left(1+n\right)C+\left(a_{i0}-{\alpha }_1\right)=0.$                                         (23)

Значения коэффициентов а_ij принимаются из табл. 2 для требуемой зоны i и решение с учетом знаков имеет вид

$С=\frac{-a_{1i}\cdot \left(1+n\right)+\sqrt{a_{1i}^2\cdot {\left(1+n\right)}^2-4a_{2i}\left(1+n^2\right)\left(a_{0i}-{\alpha }_1\right)}}{2\cdot a_{2i}\cdot \left(1+n^2\right)}$.                       (24)

В случае решения обратной задачи для задачи устойчивости, требуемое значение коэффициента опор µ при заданном значении критической силы определится по (18) как

${\mu }_1\left(C_1,C_2\right)=\sqrt{\frac{{\pi }^{2}E{J}_{\min }}{l^2\cdot P_{cr}}}$.                                                                      (25)

Аналогично свободным колебаниям, общая жесткость опор в задаче устойчивости определится из уравнения

$С=\frac{-b_{1i}\cdot \left(1+n\right)-\sqrt{b_{1i}^2\cdot {\left(1+n\right)}^2-4b_{2i}\left(1+n^2\right)\left(b_{0i}-{\mu }_1\right)}}{2\cdot b_{2i}\cdot \left(1+n^2\right)}$,                         (26)

где коэффициенты b_ij определяются для i-й зоны, согласно табл. 4.

В обоих случаях решение будет корректным при определении жесткости опор внутри одной i-й зоны. После определения неизвестной С, требуемые значения жесткости опор определятся как:

$C_1=C;C_2=C\cdot n$                                                                       (27)

и

$k_1=C\cdot \frac{E{J}_{\min }}{l}$,  $k_2=C\cdot \frac{E{J}_{\min }}{l}n$ .                                                          (28)

Найденные жесткости опор (25) будут обеспечивать заданное значение коэффициента опор и, следовательно, первую частоту собственных колебаний балки или первую критическую силу в зависимости от решаемой задачи.

Обсуждение

В работе получены наборы коэффициентов опор при свободных колебаниях балки на первой собственной частоте и потери устойчивости при первой критической нагрузке для большого диапазона сочетаний жесткостей опор. Данные значения аппроксимированы квадратичными функциями, что позволило получить простые аналитические выражения, а также решение обратной задачи, но неизбежно внесло некоторую погрешность в определение их значений. Рассмотрим далее точность полученных аппроксимаций.

Значения рассчитанных коэффициентов опор в табл. 1 и 3 сравнивались со значениями в известной литературе [36–41]. Сравнение показало, что найденные значения полностью совпадают по первым двум значащим цифрам и иногда различаются в третьей, что, по-видимому, вызвано способом округления. Прямое сравнения всех найденных в литературе значений показало, что отклонения не превышают 0,36 % для коэффициента опор a и 0,27 % для коэффициента µ.

Погрешность аппроксимирующих квадратичных функций определяется используемыми значениями коэффициентов (табл. 2 и 4). В данной работе коэффициенты выбирались с учетом обеспечения минимальной погрешности на краях каждой зоны и равномерного отклонения внутри диапазона. Для наглядности, на рис. 5 приведено исследование погрешности определения  

коэффициентов опор по всему диапазону жесткостей при равной жесткости опор С = С₁ = С₂.

 

Рис. 5. Погрешности аппроксимации квадратичными функциями

Fig. 5. Approximation errors by quadratic functions

 

Согласно графикам, погрешность аппроксимации коэффициента внутри каждой зоны  

распределяется по синусоиде и отклонения коэффициента a не превышают 2 %, а коэффициента µ  – менее 6,2 % во всем рассмотренном диапазоне жесткостей. Этого вполне достаточно для инженерных расчетов балочных конструкций в первом приближении, поскольку используемые в теории балок допущения могут приводить к таким же отклонениям в решении.

Исследование погрешности аппроксимации при различных сочетаниях жесткостей С₁ и С₂ показало, что если жесткости опор одного порядка, то отклонения значений коэффициентов опор a и µ не превышают значения, представленные на рис. 5.

При разнице в жесткостях опор более чем в 10 раз погрешность увеличивается до 15 %, что может потребовать несколько итераций при определении требуемого значения коэффициента опор. Также следует отметить, что из-за высокой нелинейности функций a₁(С₁, С₂) и µ₁(С₁, С₂) результат решения обратной задачи (24), (26) напрямую зависит от точности входных данных.

Предложенный подход можно применять для расчета коэффициентов опор при других типах закреплений с учетом их упругости, а также для определения второй и последующих собственных частот колебаний, критических сил потери устойчивости не только изгибной, но и других форм колебаний и потери устойчивости.

Заключение

В работе выполнен расчет значений коэффициентов опор балки для большого числа различных сочетаний жесткостей опор для изгибной формы свободных колебаниях на первой собственной частоте и первой формы потери устойчивости. По полученным данным методом  

наименьших квадратов выполнена аппроксимация значений квадратичными функциями. Данные аналитические функции позволяют определять коэффициент опор балки при любых сочетаниях жесткостей опор и решать обратную задачу по нахождению необходимой жесткости опор при известном требуемом значении коэффициента опор. Исследование погрешности аппроксимации показало, что типичные отклонения составляют около 3 %, что можно считать достаточным для инженерных прикладных расчетов.

 

______________________________

[*] Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края и Красноярского краевого фонда науки в рамках научного проекта № 20-48-242922.

The research was funded by RFBR, Krasnoyarsk Territory and Krasnoyarsk Regional Fund of Science, project number 20-48-242922.

About the authors

Ilya V. Kudryavtsev

Siberian Federal University

Author for correspondence.
Email: ikudryavtsev@sfu-kras.ru

Cand. Sc., assistant professor, department of applied mechanics

Russian Federation, 79, Svobodniy prospekt, Krasnoyarsk, 660041

Olga I. Rabetskaya

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Email: olga_rabez@mail.ru

Cand. Sc., assistant professor, department of technical mechanics

Russian Federation, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

Alexander E. Mityaev

Siberian Federal University

Email: pi-prm@mail.ru

Cand. Sc., head of the department of applied mechanics

Russian Federation, 79, Svobodniy prospekt, Krasnoyarsk, 660041

References

Supplementary files