Method for calculating the thermodynamic characteristics of a vortex ejector with known geometric dimensions

Full Text

Введение

Вихревой эжектор (вихревой компрессор) – простейшая и распространенная газодинамическое устройство, применяемое в разнообразных отраслях промышленности, в вакуумной технике, авиа- и ракетостроении и различных экспериментальных аэродинамических установках. Эжектор – устройство, в котором полная энергия одного потока увеличивается за счет передачи энергии от другого потока, имеющего более высокую энергию. В результате взаимодействия потоков на выходе из эжектора образуется смесь, имеющая полное давление выше полного давления низкоэнергетического газа, но ниже полного давления высокоэнергетического газа.

Основным достоинством вихревого эжектора является отсутствие движущихся деталей, что существенно при работе с агрессивными либо горячими средами. 

Постановка задачи

Многие области техники применяют вихревые эжекторы. Создание замкнутой математической модели, описывающей рабочий процесс вихревого эжектора, дало возможность разработать методику расчета оптимальной геометрии при заданных термодинамических параметрах. Основной задачей данной работы является попытка создать методику расчета термодинамических характеристик вихревого эжектора при известных геометрических размерах.

Материал и методы исследования

Методика расчета термодинамических характеристик вихревого эжектора при известных геометрических размерах основаны на решении математической модели. Математическая модель имеет следующий вид [2]: сумма энергий эжектирующего и эжектируемого газов равна энергии газа, выходящего из вихревого эжектора (рис. 1):

$N_1+N_2=N_3,\text{ Вт,}$                                                                           (1)

где  

$N_1=G_1\cdot L_1,\text{ Вт}$;                                                                           (2)

N₁  – энергия эжектирующего газа, Вт; G₁ – расход эжектирующего газа, кг/с; L₁ – удельная энергия эжектирующего газа, Дж/кг:

$L_1=c_P\cdot T_{01}\left(1-\frac{1}{{{\pi }_{P1}^{\ast }}^{\frac{k-1}{k}}}\right)\cdot {\eta }_P^{\ast },$                                                      (3)

где ${\pi }_{P_{01}}^{\ast }$– степень понижения полного давления эжектирующего газа:

$\left({\pi }_{P_{01}}^{\ast }=P_{01}/P_{03}\right)$;                                                                           (4)

T₀₁ – полная температура эжектирующего газа, К; c_P – теплоемкость при постоянном давлении (Дж/(кг*К)); ${\eta }_P^{\ast }$ – КПД процесса расширения эжектирующего газа (берется на базе последних достижений турбостроения, ${\eta }_P^{\ast }$ = 0,92–0,94);

$N_2=G_2\cdot L_2,\text{ Вт},$                                                                               (5)

где G₂– расход эжектируемого газа, кг/с; L₂ – удельная энергия эжектируемого газа, Дж/кг;

$L_2=c_P{T}_{02}\left({{\pi }_c^{\ast }}^{\frac{k-1}{k}}-1\right)\frac{1}{{\eta }_c^{\ast }},$                                                             (6)

где ${\pi }_c^{\ast }$ – степень повышения полного давления эжектируемого газа за счет энергообмена силами вязкости с эжектирующим газом:

${\pi }_c^{\ast }=P_{03}/P_H$;                                                                                (7)

T₀₂ – полная температура эжектируемого газа, К; P₀₃ – полное давление смеси газов на выходе из вихревого эжектора, Па; P_H – давление среды, откуда поступает эжектируемый газ, Па; ${\eta }_{с}^{\ast }$ – коэффициент полезного действия процесса сжатия эжектируемого газа (берется на базе последних достижений компрессоростроения, ${\eta }_{с}^{\ast }$= 0,85–0,87).

Полная энергия смеси газов на выходе из вихревого эжектора

$N_3=G_3\cdot L_3,\text{ Вт},$                                                                             (8)

где – расход газа на выходе из вихревого эжектора, кг/с;  – удельная энергия смеси газов на выходе из вихревого эжектора, ДЖ/кг:

$L_3=c_P{T}_{03}\left(1-1/{{\pi }_{P3}^{\ast }}^{\frac{k-1}{k}}\right){\eta }_P^{\ast }$;                                                      (9)

где ${\pi }_{P3}^{\ast }$ – степень понижения полного давления смеси газов на выходе из вихревого эжектора;

${\pi }_{P3}^{\ast }={P_{03}/P}_H$;                                                                           (10)

T₀₃ – полная температура газа на выходе из вихревого эжектора, К; ${\eta }_{P3}^{\ast }$ – КПД процесса расширения смеси газов на выходе из эжектора; K – показатель адиабаты.

Связь между расходами эжектирующего, эжектируемого и смеси газов на выходе из вихревого эжектора

$G_1+G_2=G_3,\text{ кг/с}$.                                                                      (11)

Степень эжекции определяется уравнением

$\Pi =\frac{G_2}{G_1}$.                                                                                     (12)

Тепловой поток, идущий от более нагретого компонента к менее нагретому, определяется функциональной зависимостью [3]

$Q=f(T_{Г}-{Т}_{Х}),$                                                                           (13)

где T_Г, T_Х – статические температуры более и менее нагретых компонентов соответственно, К.

Касательные напряжения, за счет которых передается кинетическая энергия от высокоэнергетического к низкоэнергетическому компоненту, определяется выражением [4]

$\tau =P_{01}-P_{03},\text{ Па}$.                                                                       (14)

Касательные напряжения могут быть определены и по другому уравнению [4; 5]

$\tau =\rho \lambda \frac{l}{d}\frac{V^2}{2},\text{ Па}$,                                                                       (15)

где ρ – плотность газа, кг/м³; l – длина пути взаимодействия высоко- и низкоэнергетического компонентов, м; d – эквивалентный диаметр, м; V – скорость движения потока, м/c; λ = ƒ(Re) – коэффициент сопротивления трения; Re – число Рейнольдса.

Система уравнений (1)–(11) является математической моделью, описывающей рабочий процесс вихревого эжектора.

Производится решение математической модели для определения термодинамических параметров смеси газов на выходе из вихревого эжектора.

Формулы (2)–(10) подставляются в уравнения (1):

$\begin{array}{l}{G}_1{c}_P{T}_{01}\left[1-{\left(P_{03}/P_{01}\right)}^{\frac{k-1}{k}}\right]{\eta }_P^{\ast }+G_2{c}_P{T}_{02}\left[{\left(P_{03}/P_H\right)}^{\frac{k-1}{k}}-1\right]\frac{1}{{\eta }_C^{\ast }}=\\ =G_3{c}_P{T}_{03}\left[1-{\left(P_H/P_{03}\right)}^{\frac{k-1}{k}}\right]{\eta }_P^{\ast }.\end{array}$      (16)

Уравнение (15) является уравнением энергии газа в механической форме. В тепловой форме это уравнение имеет вид [6–8]

$G_1{i}_{01}+G_2{i}_{02}=G_3{i}_{03},$                                                                      (17)

где i_0j = c_PjT_0j– полная энтальпия газа, ДЖ/кг; c_Pj – теплоемкость при постоянном давлении j-го газа, Дж/(кг*К); T_0j – полная температура j-го газа, К; j = 1 ÷ 3  – параметры газа на входе эжектирующего газа, эжектируемого газа и на выходе из вихревого эжектора соответственно.

При $c_{Pj}=c_P=\text{const}$ и $G_2/G_1=\Pi$ уравнение (17) преобразуется к виду

$\left(\Pi +1\right)\frac{T_{03}}{T_{01}}=1+\Pi \frac{T_{02}}{T_{01}}$.                                                                  (18)

Полные температуры эжектирующего и эжектируемого газов на входе в эжектор в частном случае могут иметь одну и ту же температуру, т. е. T₀₁ = T₀₂. Тогда из уравнения энергии в тепловой форме (18) следует, что

T₀₁ = T₀₂ = T₀₃                                                                             (19)

С учетом уравнения (19), уравнение энергии в механической форме (15) можно преобразовать следующим образом:

$\left[1-{\left(\frac{P_{03}}{P_{01}}\right)}^{\frac{k-1}{k}}\right]{\eta }_P^{\ast }+\Pi \left[{\left(\frac{P_{03}}{P_H}\right)}^{\frac{k-1}{k}}-1\right]\frac{1}{{\eta }_C^{\ast }}=\left(\Pi +1\right)\left[1-{\left(\frac{P_H}{P_{03}}\right)}^{\frac{k-1}{k}}\right]{\eta }_P^{\ast }.$          (20)

В уравнении (20) одна неизвестная величина. Это полное давление газа на выходе из вихревого эжектора P₀₃.

Определение полного давления газа на выходе из вихревого эжектора осуществляется раскрытием скобок уравнения (20):

${\eta }_P^{\ast }-\frac{{\eta }_P^{\ast }}{P_{01}^{\frac{k-1}{k}}}{P}_{03}^{\frac{k-1}{k}}+\frac{\text{П}}{{\eta }_{с}^{\ast }}\frac{1}{P_H^{\frac{k-1}{k}}}{P}_{03}^{\frac{k-1}{k}}-\frac{\text{П}}{{\eta }_{с}^{\ast }}=(\text{П}+1){\eta }_P^{\ast }-(\text{П}+1){\eta }_P^{\ast }{P}_H^{\frac{k-1}{k}}\frac{1}{P_{03}^{\frac{k-1}{k}}}.$    (21)

После умножения всех членов на величину $P_{03}^{\frac{k-1}{k}}$ уравнение (21) приводится к виду

$\left(\frac{{\eta }_P^{\ast }}{P_{01}^{\frac{k-1}{k}}}-\frac{\text{П}}{{\eta }_{с}^{\ast }}\frac{1}{P_{Н}^{\frac{k-1}{k}}}\right)P_{03}^{2\frac{k-1}{k}}+\text{П}\left(\frac{1}{{\eta }_{с}^{\ast }}+{\eta }_P^{\ast }\right)P_{03}^{\frac{k-1}{k}}=(\text{П}+1){\eta }_P^{\ast }{P}_H^{\frac{k-1}{k}}.$             (22)

Уравнение (22) преобразовывается к виду

$a{x}^2+bx-c=\mathrm{0,}$                                                              (23)

где $\begin{array}{l}a=\frac{{\eta }_P^{\ast }}{{P_{01}}^{\frac{k-1}{k}}}-\frac{\text{П}}{{\eta }_C^{\ast }}\cdot \frac{1}{{P_H}^{\frac{k-1}{k}}};\\ b=\text{П}\left(\frac{1}{{\eta }_C^{\ast }}+{\eta }_P^{\ast }\right);\\ c=\left(\text{П}+1\right){\eta }_C^{\ast }{P_H}^{\frac{k-1}{k}};\\ x={P_{03}}^{\frac{k-1}{k}}.\end{array}$   

Полное давление газа на выходе из вихревого эжектора находится из решения квадратного уравнения (23):

$P_{03}=x^{\frac{k}{k-1}}={\left(\frac{-b+\sqrt{b^2+4ac}}{2a}\right)}^{\frac{k}{k-1}}.$                                               (24)

В уравнении (24) знак плюс перед корнем квадратным взят потому, что полное давление газа на выходе из эжектора не может иметь отрицательное значение.

На входе в вихревой эжектор скорости эжектирующего и эжектируемого газов имеют различные значения. В вязкой жидкости за счет разности скоростей возникают касательные напряжения, приводящие к снижению скорости высоконапорного газа и к повышению скорости низконапорного газа. Следовательно, силами вязкости кинетическая энергия передается от высоконапорного газа к низконапорному [1]. Таким образом, высоконапорный газ совершает работу над низконапорным газом, в результате чего полное давление высоконапорного газа падает, низконапорного – растет. Обмен работой приводит и к изменению полной температуры газа. Полная температура высоконапорного газа падает, низконапорного – растет [1; 9; 10].

Изменение полных температур высоконапорного и низконапорного газов можно определить с помощью уравнений термодинамики [10; 11]

$T_{01P}=T_{01}\left[1-\left(1-1/{{\pi }_{T1}^{\ast }}^{\frac{k-1}{k}}\right){\eta }_P^{\ast }\right]$,                                                 (25)

$T_{02C}=T_{02}\left[\left({{\pi }_C^{\ast }}^{\frac{k-1}{k}}-1\right)\frac{1}{{\eta }_C^{\ast }}+1\right]$,                                                    (26)

где T_01P — полная температура высоконапорного газа после завершения обмена работой с низконапорным газом, К; T_02C —полная температура низконапорного газа после обмена работой с высоконапорным газом, К.

Обмен работой заканчивается тогда, когда полное давление высоконапорного и низконапорного газов будут равны полному давлению их смеси на выходе из вихревого эжектора, т. е. P₀₃.

В процессе обмена работой может оказаться, что статическая температура одного газа будет выше статической температуры другого. В результате возникает тепловой поток, идущий от потока с более высокой статической температурой к потоку с пониженной статической температурой,

$Q=f\left(\Delta t\right)=f(T_{Г}-{Т}_{Х}).$                                                                          (27)

Тепловой поток и температуру T₀₃ на выходе из вихревого эжектора можно определить по формулам теории теплопередач или по формуле (18).

Вышеприведенная математическая модель замкнута. На базе решения этой модели можно составить методику расчета термодинамических характеристик вихревого эжектора при известных геометрических параметрах.

Методика расчета термодинамических характеристик вихревого эжектора при известных геометрических параметрах

Исходные данные для расчета:

P₀₁ – полное давление на входе в эжектор высоконапорного газа, Па;

T₀₁ – полная температура высоконапорного газа на входе в вихревой эжектор, К;

F₁ – площадь входа в вихревой эжектор высоконапорного газа, м²;

P₀₂ – полное давление низконапорного газа на входе в вихревой эжектор, Па;

T₀₂ – полная температура низконапорного газа на входе в вихревой эжектор, К;

F₂ – площадь входа в эжектор низконапорного газа, м²;

F₃ – площадь выхода из вихревого эжектора смеси газов, м²;

k – показатель адиабаты газа;

P_H – давление окружающей среды, Па;

$m=\sqrt{\frac{k}{R}{\left(\frac{2}{k+1}\right)}^{\frac{k+1}{k-1}}},{\left(\frac{\text{кг}\cdot K}{\text{Дж}}\right)}^{\mathrm{0,5}};$

$m$ = 0,0404 – для воздуха;

$m$ = 0,0396 – для продуктов сгорания керосина;

${\eta }_P^{\ast }$ – КПД процесса расширения газа (берется на базе последних достижений турбиностроения);

${\eta }_{С}^{\ast }$ – КПД процесса сжатия газа (берется на базе последних достижений компрессоростроения).

Определить:

P₀₃ – полное давление газа на выходе из вихревого эжектора, Па;

$\mathrm{\Pi }$– степень эжекции $\left(\Pi =\frac{G_2}{G_1}\right)$;

G₂ – расход низконапорного газа на входе в вихревой эжектор, кг/с;

G₃ – расход газа на выходе из вихревого эжектора, кг/с;

G₁ – расход высоконапорного газа на входе в вихревой эжектор, кг/с;

T₀₃ – полная температура газа на выходе из вихревого эжектора, К.

Порядок расчета

1. Газодинамическая функция давления высоконапорного газа на входе в вихревой эжектор

$\pi \left({\lambda }_1\right)=\frac{P_H}{P_{01}}$.

2. Коэффициент скорости высоконапорного газа на входе в вихревой эжектор

${\lambda }_1=\sqrt{[1-\pi {\left({\lambda }_1\right)}^{\frac{k-1}{k}}]\frac{k+1}{k-1}}$.

3. Приведенный расход

$q\left({\lambda }_1\right)={\left(\frac{k+1}{2}\right)}^{\frac{1}{k-1}}{\lambda }_1{\left(1-\frac{k-1}{k+1}{\lambda }_1^2\right)}^{\frac{1}{k-1}},$

где $q\left({\lambda }_1\right)=1$ при $P_{01}/P_H\ge \mathrm{1,89}$.

4. Расход высоконапорного газа на входе в вихревой эжектор

$G_1=m\frac{F_1{P}_{01}q\left({\lambda }_1\right)}{\sqrt{T_{01}}},\text{ кг/с}$.

5. Расход газа на выходе из вихревого эжектора определяется точкой пересечения графиков $G_3=f\left(\text{П}\right)$ и $G_3=f\left({\text{П}}_1{P}_{03}\right).$

Расчет этих графиков осуществляется, как показано далее.

6. Определение коэффициента $a$ для $i^{\mathit{о}\mathit{г}\mathit{о}}$ количества степеней эжекции П:

$a_i=\frac{{\eta }_P}{{P_{01}}^{\frac{k-1}{k}}}-{\text{П}}_i\frac{1}{{\eta }_C^{*}{P_H}^{\frac{k-1}{k}}},$ где $i=1÷5.$

7. Определение коэффициента $b$ для $i^{\mathit{о}\mathit{г}\mathit{о}}$ количества степеней эжекции П:

$b_i={\text{П}}_i\left(\frac{1}{{\eta }_C^{\ast }}+{\eta }_P^{\ast }\right),$ где $i=1÷5.$

8. Определение коэффициента $c$ для $i^{\mathit{о}\mathit{г}\mathit{о}}$ количества степеней эжекции П:

$c=\left({\Pi }_i+1\right){\eta }_P^{\ast }{P_H}^{\frac{k-1}{k}},$ где  $i=1÷5.$

9. Определение полного давление газа на выходе из вихревого эжектора для $i^{\mathit{о}\mathit{г}\mathit{о}}$ количества степеней эжекции П:

$P_{03i}={\left(\frac{-b+\sqrt{b^2+4ac}}{2a}\right)}^{\frac{k}{k-1}},$ где  $i=1÷5.$

10. Газодинамическая функция давления газа на выходе из вихревого эжектора для $i^{\mathit{о}\mathit{г}\mathit{о}}$ количества степеней эжекции П:

$\pi {\left({\lambda }_3\right)}_i=\frac{P_H}{P_{03i}},$ где  $i=1÷5.$

11. Коэффициент скорости газа на выходе из вихревого эжектора для $i^{\mathit{о}\mathit{г}\mathit{о}}$ количества степеней эжекции П:

${\lambda }_{3i}=\sqrt{[1-\pi {{\left({\lambda }_3\right)}_i}^{\frac{k-1}{k}}]\frac{k+1}{k-1}},$где  $i=1÷5.$

12. Приведенный расход газа на выходе из вихревого эжектора для $i^{\mathit{о}\mathit{г}\mathit{о}}$  количества степеней эжекции П:

$q\left({\lambda }_{3i}\right)={\lambda }_{3i}{\left(1-\frac{k-1}{k+1}{\lambda }_{3i}^2\right)}^{\frac{1}{k-1}}{\left(\frac{k+1}{2}\right)}^{\frac{1}{k-1}},$ где  $i=1÷5.$

13. Расход газа на выходе из вихревого эжектора для $i^{\mathit{о}\mathit{г}\mathit{о}}$ количества степеней эжекции П в функции полного давления и степени эжекции П:

$G_3=f\left(P_{03i}{\text{П}}_i\right)=m\frac{F_3{P}_{03i}q{\left({\lambda }_3\right)}_i}{\sqrt{T_{03}}},\text{ кг/с}$, где   $i=1÷5.$

14. Расход газа на выходе из вихревого эжектора для $i^{\mathit{о}\mathit{г}\mathit{о}}$ количества степеней эжекции П в функции от степени эжекции П:

$G_{3i}=\left({\text{П}}_i+1\right)G_1,\text{ кг/с}$, где $i=1÷5.$

15. Строятся графики $G_{3i}=f\left(P_{03i},{\text{П}}_i\right) \mathrm{и} G_{3i}=f\left({\text{П}}_i\right)$  (рис. 1).

 

Рис. 1. График изменения расхода газа на выходе из вихревого эжектора в зависимости от степени эжекции П_i и в функции от (P₀₃, П_i)

Fig. 1. Graph of the gas flow rate at the outlet of the vortex ejector depending on the degree of ejection П_i  and as a function of (P₀₃, П_i) 

 

Точка пересечения двух графиков дает истинное значение степени эжекции и полного давления газа на выходе из вихревого эжектора.

16. Полная температура газа на выходе из вихревого эжектора

$T_{03}=\frac{T_{01}}{\text{П}+1}\left(1+\text{П}\frac{{Т}_{02}}{T_{01}}\right).$

Расчет окончен.

Обсуждение результатов

Вышепроведенное исследование показало, что в вихревом эжекторе обмен работы и теплоты происходит под действием сил вязкости, вызывающих возникновение касательных напряжений. Теплообмен между слоями газа идет за счет разности статических температур высоконапорного и низконапорного компонентов.

Касательные напряжения в вихревом эжекторе появляются из-за разности угловых скоростей высоконапорного и низконапорного газов.

Процесс сжатия и расширения низконапорного и высоконапорного газов описывается известными уравнениями механики сплошной среды [12].

На базе разработанной замкнутой математической модели составлена методика расчета термодинамических параметров вихревого эжектора при известных геометрических размерах. 

Совпадения теоретических и расчетных данных удовлетворительны (рис. 2–5) [13; 14].

Заключение

Методика расчета термодинамических параметров вихревого эжектора составлена на базе математической модели, описывающей рабочий процесс вихревого эжектора с помощью уравнений механики сплошной среды.

Изменение полного давления и полной температуры объясняется обменом работой и теплотой между высоконапорным и низконапорным потоками газа. Механизмом передачи кинетической энергии от высоконапорного к низконапорному газу являются силы вязкости, возникающей за счет разности угловых скоростей.

Тепловой поток возникает из-за разницы статических температур высоконапорного и низконапорного газов.

Совпадение расчетных данных, определенных по вышеприведенной методике, с экспериментами других авторов удовлетворительное.

 

Рис. 2. Влияние диаметра сопла эжектирующего потока на степень эжекции (▬ – расчет; ◯ – эксперимент)

Fig. 2. The effect of the ejecting flow nozzle on the degree of ejection ( ▬ – calculation; ◯ – experiment)

 

Рис. 3. Влияние диаметра сопла для ввода эжектируемого газа на повышение его давления (▬ – расчет;  ◯ – эксперимент)

Fig. 3. The effect of the nozzle diameter for the injection of the ejected gas on the increase in its pressure (▬ – calculation; ◯ – experiment)

 

Рис. 4. Влияние длины камеры смешения на коэффициент эжекции (▬ – расчет; ◯ – эксперимент)

Fig. 4. The effect of the mixing chamber length on the ejection coefficient (▬ – calculation; ◯ – experiment)

 

Рис. 5. Зависимость коэффициента эжекции П и полного давления  на выходе из вихревого эжектора от конструкции сопла активного потока и полного давления высоконапорного газа от полного давления на входе в вихревой эжектор (◯ – сопло с вихревой струей;  ✖ – сопло с равномерным полем скоростей)

Fig. 5. Dependence of the ejection coefficient P and the total pressure at the outlet of the vortex ejector on the design of the active flow nozzle and the total pressure of the high-pressure gas on the total pressure at the inlet of the vortex ejector (◯ – vortex jet nozzle;  ✖ – nozzle with uniform velocity field)

About the authors

Viktor I. Kuznetsov

Omsk State Technical University

Email: vik.kuznetzov@yandex.ru

Dr. Sc., Professor of the Department of Aircraft and Rocket Engineering

Russian Federation, 11, Mira Av., Omsk, 644050

Vladimir V. Makarov

Omsk State Technical University

Author for correspondence.
Email: vvmakarov@omgtu.tech

Cand. Sc., Associate Professor of the Department of Aircraft and Rocket Engineering

Russian Federation, 11, Mira Av., Omsk, 644050

References

Supplementary files