Моделирование невесомости подвешенной на тросах системы балок изменением сил натяжения

Полный текст

Введение

Проблема оптимального и рационального проектирования конструкций актуальна в авиационной и аэрокосмической технике [1; 2]. Обзор, классификация и конструкторский анализ солнечных батарей космических аппаратов рассмотрен в [3], где анализируются солнечные батареи из жестких панелей, солнечные панели с гибкой подложкой, надувные солнечные батареи, самораскрывающиеся солнечные батареи и другие конструкции.

Разработка современных гибких каркасов солнечных батарей приведена в [4]. В [5] рассматриваются динамические аспекты систем обезвешивания крупногабаритных трансформируемых элементов космических аппаратов при раскрытии. По разработке стендов моделирования невесомости известны многочисленные авторские свидетельства, например [6]. Распространены схемы тросового обезвешивания конструкций, затрагивающие объемные двумерные и одномерные объекты, к примеру, для рефлекторов антенн каждую однозвенную спицу рассматривают как балку, шарнирно закрепленную одним своим концом на неподвижном основании и подтягиваемую тросом [7].

В [8] рассматривается методика расчета обезвешивания крупногабаритных трансформируемых элементов космических аппаратов при наземных испытаниях на примере балки, жестко защемленной на торце и подвешенной на тросах. Деформирование не учитывается.

Таким образом, обезвешиваемые элементы, в большинстве случаях, рассматриваются бесконечно жесткими на изгиб и подтягиваются тросам в центре тяжести, чтобы не возникали дополнительные реакции в точках сочленения.

Следуя работам [3–5], можно сделать заключение о необходимости освоения вопросов моделирования невесомости конструкции с учетом её деформирования. Отсюда возникает задача регулирования напряжений, деформаций и прогибов дополнительным натяжением (предварительным напряжением) определенных частей конструкций, в частности, растяжение тросами. Регуляторами будут являться усилия натяжения тросов; величины которых следует определить из условия, что сумма квадратов прогибов упругой линии балки (балок) была минимальной. В итоге задача приводится к задаче нелинейного программирования.

Фактор обезвешивания, как имитация невесомости, рассматривается как обнуление какого-либо силового параметра (реакции или момента). Например, балка жестко защемлена и значения усилий в тросах найдены. Требуется обезвесить так, чтобы не было реакции в опоре. Для этого рассматривается расчет балки, имеющей возможность перемещения по направлению реакции с нулевым углом поворота. Вычисленные усилия в тросах обеспечат обезвешивание реакции. Например, надо устранить момент, тогда решаем задачу с шарнирно-неподвижным опиранием. Сопоставление найденного здесь угла поворота с изгибающим моментом при жестком защемлении позволит подобрать жесткость пружины для обеспечения эквивалентности.

В работе рассматриваются линейно-деформируемые системы. Тросы имеют бесконечно большую жесткость на растяжение. Упругая линия балки содержит бесконечное множество точек, поэтому подвергается анализу дискретная задача с конечным числом точек на упругой линии. Задача нелинейного программирования может иметь локальные минимумы. Выполняется проверка на наличие единственного оптимального плана в зависимости от выбора переменных, вводимых в базис.

 

 1.Формулировка задачи минимизации прогибов

Рассмотрим многопролетную балку, состоящую из трех балок общей длины L, как геометрически изменяемую систему (рис. 1, а). Для превращения этой системы балок в статически определимую требуется наложить три дополнительные связи, так как данная система имеет три степени свободы. Пусть на балку (рис. 1, б) действуют активные сосредоточенные силы $P_1,{Р}_2\mathrm{,...,}{P}_n$, распределенные нагрузки $q_1,q_2\mathrm{,...,}{q}_k.$, момент ${М}_{А}$. Для уравновешивания этих нагрузок приложим силы обезвешивания $N_1,N_2,\mathrm{...,}{N}_S$, обеспечивающие равновесие системы. Если количество дополнительных сил  $N_1,N_2,\mathrm{...,}{N}_S$меньше числа степеней свободы балки, тогда балка остается геометрически изменяемой системой. Если количество дополнительных сил  $N_1,N_2,\mathrm{...,}{N}_S$ равно числу степеней свободы балки, тогда силы вычисляются из уравнений равновесия (полагаем, что силы расставлены правильно). В этом случае оптимизировать нечего, равновесие балки и равновесие ее частей выполняется. Если количество дополнительных сил  $N_1,N_2,\mathrm{...,}{N}_S$ больше числа степеней свободы балки, тогда можно варьировать силами, добиваясь требуемых параметров обезвешивания, например, устранения реакций в сочленениях, уменьшения прогибов в заданных точках, регулирования внутренних сил и напряжений. Балка, первоначально не имеющая достаточного числа опорных связей, под действием дополнительных сил должна находиться в равновесии (естественно, не должно быть признаков мгновенной изменяемости).

Задача моделирования деформирования подвешенных на тросах балок с условием минимизации суммы квадратов ее прогибов варьированием сил натяжения приводит к задаче нелинейного программирования [9; 10]. Целевую функцию F выразим через прогибы в n точках:

$F(R_A,{\theta }_A,M_A,N_1,N_2,\mathrm{...,}{N}_S)=\sum _{k=1}^n{\left[\left.v\left(z_k\right)\right]\right.}^2\to \min$, $z_k=k(L/n)$, $k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,...,}n$.                                                                                          (1)

Здесь

$v\left(z_k\right)=f(R_A,{\theta }_A,M_A,N_1,N_2,\mathrm{...,}{N}_S)$,                                                                                                        (2)

функция прогиба в точке с координатой $z_k$ с неизвестными параметрами $R_A,{\theta }_A,M_A,N_1,N_2,\mathrm{...,}{N}_S$; $k$ – номер точки (расстояние между точками одинаковое);  ${\theta }_A$– угол поворота; $R_A$ реакция в точке А балки;  $M_A$– изгибающий момент в точке А;  $N_1,N_2,\mathrm{...,}{N}_S$– искомые силы.

`

Рис. 1. Модель (расчетная схема) балки с тремя шарнирами: а – балка как геометрически изменяемая система; б – балка с действующими на нее нагрузками

Fig. 1. Model (design scheme) of a beam with three hinges: a – a beam as a geometrically variable system; b – a beam with loads acting on it

 

В качестве ограничений к (1) добавляются уравнения равновесия: $\sum у=0$ – сумма проекций сил на ось у;  $\sum m_i=0$– сумма моментов всех сил относительно точки . Система ограничений имеет вид равенств. Из составленной системы ограничений выделим базисные переменные, например, $R_A,N_1,N_2$, которые подставим в (1). Теперь целевая функция (1) будет содержать только свободные переменные, т. е. параметры:${\theta }_A,M_A,\mathrm{...,}{N}_S$,:

$F({\theta }_A,M_A,\mathrm{...,}{N}_S)=\sum _{k=1}^n{\left[\left.v\left(z_k\right)\right]\right.}^2$                                                                         (3)

что позволяет решать задачу оптимизации без ограничений [11]. Частные производные (3) по свободным параметрам (часто параметры называют координатами):

$\frac{\partial F}{\partial {\theta }_A}=0$, $\frac{\partial F}{\partial M_A}=0$, … $\frac{\partial F}{\partial N_S}=0$,                                                                   (4)

дают систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых параметров, определяющих оптимальный план для вычисления прогибов (2) в дискретных точках.

Производные функции прогиба (2)

$\theta \left(z\right)=dv\left(z\right)/dz$; $M\left(z\right)=-EJ{d}^{2}v\left(z\right)/d{z}^2$; $Q\left(z\right)=dM\left(z\right)/dz$;  $q\left(z\right)=dQ\left(z\right)/dz$                                (5)

дают функции угла поворота, изгибающего момента, поперечной силы и нагрузки $q=q\left(z\right)$.

Опорный план нелинейных задач оптимизации может иметь локальные минимумы, поэтому в работе будет показана сходимость к оптимальному плану при различных комбинациях базисных и свободных переменных. Для вычисления прогибов (2) применен метод начальных параметров как прямой метод интегрирования дифференциального уравнения четвертого порядка с разрывными функциями [12]. Производные функций вычисляются численно [13].

Балки могут быть не только геометрически изменяемыми, как показано на рис. 1, но и без опор, т. е. подвижными, что противоречит понятиям кинематического анализа строительной механики [14]. Однако равновесие балок достигается натяжением тросов (рис. 2). На рис. 2, а покажем расчетную схему балки без опорных связей с активным моментом М. Здесь равновесие обеспечивается парой равных сил $N_1,N_2$. Приведем расчетную схему составной балки, состоящую их четырех балок (рис. 2, б). Представив себе поэтажную схему балок, видим, что главная балка – статически неопределимая, на нее опирается второстепенная – статически определимая балка. Обе правые балки – третья и четвертая – поддерживаются силами $N_4-N_7$.

 

Рис. 2. Расчетные схемы балок: а – опорных связей нет – равновесие поддерживается силами ; б – составная балка – равновесие поддерживается реакциями опор и силами

Fig. 2. Design schemes of beams: a – there are no support links – the equilibrium is maintained by forces; b – composite beam – the balance is maintained by the reactions of the supports and forces

 

Отметим, что для вычисления прогибов (2) можно использовать вариационно-разностный метод в форме метода конечных разностей и МКЭ. Однако первый метод требует во всех шарнирных узлах сочленения вводить дополнительные законтурные узлы, что усложняет программирование, а второй – во всех дискретных точках (назовем их узлами) определять прогибы и углы поворота, что увеличивает размерность задачи. Метод начальных параметров с учетом промежуточных шарниров требует вычисления только прогибов в дискретных точках, а в узлах сочленения балок вычисляется прогиб и приращение угла поворота.

Рассмотрим примеры расчета балок, показывающие единство оптимального плана задачи нелинейного программирования в зависимости от выбора переменных, вводимых в базис, и сходимость решений от назначенного числа точек, в которых вычисляется прогиб.

 

 2.Оптимизация прогибов балки, шарнирно-неподвижно закрепленной и подвешенной на двух тросах

Рассматривается шарнирно-закрепленная с одного торца двутавровая балка, которая поддерживается двумя тросами (рис. 3). Тросы имеют бесконечно большую жесткость на растяжение. На рис. 2 их действие на балку показано силами N₁ и N₂ .

Изначально балка геометрически изменяемая. Добавим уравновешивающие силы N_1, N₂ и составим целевую функцию

         $F(R_A,{\theta }_A,N_1,N_2,q)=\sum _{k=1}^n{\left[\left.v\left(z_k\right)\right]\right.}^2\to \min$, $n=24$.                                                        (6)

Запишем функцию прогиба на основе метода начальных параметров:

$v\left(z\right)={\theta }_{А}z+\frac{1}{EJ}\left[\frac{R_A{z}^3}{3!}+\frac{N_1{(z-L/3)}^3}{3!}H(z-L/3)+\frac{N_2{(z-2L/3)}^3}{3!}H(z-2L/3)-\frac{q{z}^4}{4!}\right]$.                              (7)

Здесь $v\left(z\right)$– прогиб в точке z; ${\theta }_{А}$– угол поворота в начале балки (начальный параметр в точке А);  $R_A$– реакция в точке А;  $N_1$– усилие в первом тросе; $N_2$– усилие во втором тросе (искомые параметры);  q– равномерно-распределенная погонная нагрузка;  E– модуль Юнга;  J– осевой момент инерции поперечного сечения балки; $H\left(\right)$– функция Хевисайда.

Длина балки L = 6 м; профиль двутавр прокатный, закрепление шарнирно-неподвижное в точке А; модуль Юнга материала Е = 2 · 10¹¹ Па; осевой моментом инерции в плоскости изгиба J = 200 · 10^–8 м⁴; погонный вес балки q = 100 н/м.

 

 2.1. Проверка решений сменой базисных переменных

Рассмотрим решения, связанные с особенностями изгиба балки как дискретной задачи с конечным числом точек, в которых вычисляются прогибы. Выполним поиск глобального минимума целевой функции.

Проверяем, что при различных базисных переменных, вводимых в функцию цели, должен существовать единственный оптимальный план.

 

`

Рис. 3. Балка, прикрепленная шарниром и поддерживаемая двумя тросами

Fig. 3. A beam attached by a hinge and supported by two cables

 

В качестве ограничений, к целевой функции (6) добавим уравнения равновесия:

$N_1(L/3)+N_2(2L/3)-q{L}^2/3=0$;                                                                                             (8)

 $R_A+N_1+N_2-qL=0.$                                                                                                              (9)

Рассмотрим три варианта приложения базисных переменных.

Вариант 1. Введем в базис переменные N₁ и N₂ . Для этого из (8) и (9) получим силы

$N_1=qL/2-2R_A$,                                                                                                        (10)

$N_2=qL/2+R_A$,                                                                                                          (11)

которые, подставленные в (6), дают следующую задачу нелинейного программирования:

 $F=F(R_A,{\theta }_A,q)\to \min$                                                                                                      (12)

без системы ограничений.

Производные по свободным переменным

$\partial F/\partial R_A=0$, $\partial F/\partial {\theta }_A=0$

позволяют вычислить угол поворота θ_A и реакцию R_A. Все параметры для вычисления функции (7) определены.

Вариант 2. В качестве базисных переменных примем  N₁ и R_A. Тогда из (8) и (9) выведем

$N_1=3qL/2-2N_2$,                                                                                                    (13)

$R_A=N_2-qL/2$,                                                                                                       (14)

которые, будучи подставленными в (6), дают задачу поиска

$F=F(N_2,{\theta }_A,q)\to \min$.                                                                                                                                          (15)

Производные по свободным переменным

$\partial F/\partial N_2=0$, $\partial F/\partial {\theta }_A=0$

дают возможность вычислить угол поворота θ_A и силу N₂ натяжения . Вычисляем функцию (7).

Вариант 3. В качестве базисных переменных примем N₂ и R_A . Тогда из (8) и (9) имеем  

$N_2=3qL/4-N_1/2$                                                                                                   (16)

$R_A=qL/4-N_1/2$,                                                                                                   (17)

которые, подставленные в (6), дают целевую функцию

$F=F(N_1,{\theta }_A,q)\to \min$                                                                                                                                                   (18)

Производные по переменным  N₁ и θ_A

$\partial F/\partial N_1=0$, $\partial F/\partial {\theta }_A=0$

позволяют вычислить угол поворота θ_A и силу натяжения N₁. Функция (7) определена.

Во всех трех вариантах базисных переменных получили абсолютно одинаковые искомые параметры $R_A,{\theta }_A,N_1,N_2$. Найденные параметры дают решения (эпюры), которые приведем на рис. 4: эпюра прогибов (рис. 4, а); эпюра углов поворота (рис. 4, б); эпюра изгибающих моментов (рис. 4, в); эпюра поперечных сил (рис. 4, г). Четвертая производная функции прогиба $v\left(z\right)$ по координате $z$ дает эпюру $q\left(z\right)=-100\text{ кн/м}=\text{const}$, что является проверкой (рис. 4, д).

 

Рис. 4. Функции деформационных и внутренних силовых факторов: а – прогиб; б – эпюра углов поворота; в – эпюра изгибающего момента; г – эпюра поперечных сил; д – эпюра нагрузки q = –100 н/м

Fig. 4. Functions of deformation and internal force factors: a – deflection; b – plot of rotation angles; с – the bending moment plot; d – the transverse forces plot; e – the load plot q = –100 N/м

Таким образом, смена базиса не повлияла на решение задачи. Во всех трех вариантах вычисления параметров программирования пришли к единственному оптимальному плану.

 

2.2. Исследование сходимости решений в зависимости от выбора количества точек, в которых вычисляются прогибы

Рассматривается дискретная задача с конечным числом точек на упругой линии балки. Исходные данные, как в пункте 2.1. Целевая функция вычисляется по формуле (6), а прогибы – по формуле (7).

Проверим, если целевая функция квадратичная, количество узлов на упругой линии балки конечное и метод вычисления прогибов точный, тогда ожидается сходимость прогибов, углов поворота, изгибающих моментов от увеличения числа узлов дискретизации.

Выполним численный эксперимент для n = 6, n = 12, n = 24. Результаты расчетов (эпюры) представлены на рис. 5 и в табл. 1.

На рис. 5, а показаны эпюры прогибов. Обнаруживаем следующую сходимость прогибов. Например, на торце балки ($z=L$) прогиб увеличился от величины 0,2025 мм на сетке n = 6 до 0,2597 мм на сетке n = 12, что есть 28 %. Далее на сетке n = 24 прогиб изменился до величины 0,2935 мм. В сравнении с сеткой n = 12 это составляет 13 %. Следующее сгущение сетки должно составить разность с предыдущим порядка 6 %. Экстраполяция дает ожидаемый прогиб торца балки равным 0,311 мм.

 

Рис. 5. Оптимальные параметры балки для сеток n=6, n=12и n=24: а – функции прогибов; б – функции углов поворота; в – функции изгибающих моментов; г – функции поперечных сил; д – заданная распределенная нагрузка (вычислена, как четвертая производная функции прогиба)

Fig. 5. Optimal beam parameters for grids n=6, n=12 and n=24: a – deflection functions; b – rotation angle functions; c – bending moment functions; d – transverse force functions; e – a given distributed load (calculated as the fourth derivative of the deflection function)

Средние величины суммы квадратов прогибов [15] вычислим по формуле

${\delta }_n=\sqrt{\sum _{k=1}^n{\left[\left.v\left(z_k\right)\right]\right.}^2/n}$, n = 6, n = 12, n = 24.                                                                                           (19)

Величины такие: ${\delta }_6=\mathrm{0,171}\text{ мм}$, ${\delta }_{12}=\mathrm{0,159}\text{ мм}$, ${\delta }_{24}=\mathrm{0,152}\text{ мм}$. Разница, соответственно, 7,4 % и 4,3 %.

На рис. 5, б приведены эпюры углов поворота сечений балки, которые практически совпали.

Вторые производные функций прогибов – суть изгибающие моменты (рис. 5, в), вычисленные на разных сетках, – практически не различимы.

Эпюры поперечных сил (рис. 5, г) полностью совпадают и представляются одной ломаной линией, имеющей разрывы в точках приложения сил.

На рис. 5, д изображена распределенная нагрузка, вычисленная как четвертая производная функции прогиба. Это проверка решения. На всех трех эпюрах получили заданное значение q = –100 н/м.

В заключение этого пункта можно сказать, что, судя по изменению прогибов в зависимости от сгущения сетки, достаточны сетки от n = 12 до n = 24. Если прерогативой является надобность вычисления напряжений, достаточно назначать сетку n = 6.

Вычисленные переменные представим в таблице 1. В строках 1–3 таблицы приведены параметры для сеток n=6, n=12, n=24. В строках 4–5 показана относительная разность искомых параметров. В столбцах последовательно записаны: v(n) – прогибы консоли балки в точке $z=L$; ${\theta }_{А}\left(n\right)$– начальный параметр, угол поворота сечения;  $R_{А}\left(n\right)$– начальный параметр, реакция в начале балки;  $N_1\left(n\right)$– вычисленный параметр, первое усилие; N₂(n) – вычисленный параметр, второе усилие;  $\delta \left(n\right)$– среднеквадратичный прогиб торца балки.

Таблица 1. Параметры оптимального проектирования

Номера строк	Число точек	v(n)
		м	рад	н	н	н	м
1	n = 6	–0,0002025	–0,00023013	141,956	16,087	441,956	0,00017097
2	n = 12	–0,0002597	–0,00021639	138,464	23,071	438,464	0,00015915
3	n = 24	–0,0002935	–0,00020861	136,454	27,091	436,454	0,00015247
	Разница в процентах:
4	n = 12/ n = 6	28 %	6,3 %	2,5 %	43 %	0,8 %	7,4 %
5	n = 24 / n =12	13 %	3,7 %	1,5 %	17,4 %	0,5 %	4,3 %

Отметим, что данные в строчках 2 и 3 мало различаются по сравнению с параметрами в строчках 1 и 2. Строки 4 и 5 можно понимать как скорость сходимости искомых параметров.

3.Подвес тросами системы трех балок, соединенных шарнирами

Рассмотрим систему шарнирно-закрепленных между собой двутавровых балок (рис. 6). В условиях гравитации система имеет собственный погонный вес  (рис. 6, а). Для имитации невесомости рассмотрим четыре случая закрепления системы в точке А и поддержание ее шестью тросами. Система имеет жесткое защемление в точке А (рис. 6, б); шарнирно-неподвижное опирание (рис. 6, в), скользящую заделку (рис. 6, г); свободный край (рис. 6, г).

Требуется определить силы натяжения тросов, чтобы сумма квадратов прогибов в заданных точках была минимальной, т. е.

$F=\sum _{k=1}^n{\left[\left.v\left(z_k\right)\right]\right.}^2\to \min$, $z_k=k(L/6)$, $k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,...,}18$.                                                   (20)

В (20)  F– целевая функция; $v\left(z_k\right)$– искомый прогиб;  $z_k$– координата точки; $k$– номер точки;  n=18– количество точек; длины всех балок одинаковы и равны L.

3.1. Жесткая заделка

Для вычисления прогибов методом начальных параметров с жестким защемлением балки в точке А (рис. 6, б) функция прогиба имеет вид:

$v\left(z\right)={\theta }_1(z-L)H(z-L)+{\theta }_2(z-2L)H(z-2L)+$

$+\frac{1}{6EJ}\left[3M_A{z}^2+R_A{z}^3+N_1{\left(z-\frac{L}{3}\right)}^3\right.H\left(z-\frac{L}{3}\right)+N_2{\left(z-\frac{2L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{2L}{3}\right)+N_3{\left(z-\frac{4L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{4L}{3}\right)+$

$+N_4{\left(z-\frac{5L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{5L}{3}\right)+N_5{\left(z-\frac{7L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{7L}{3}\right)+$

                                      $+N_6{\left(z-\frac{8L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{8L}{3}\right)-\left.\frac{q{z}^4}{4}\right],z\in \left[\mathrm{0,}3L\right].$                                                                                             (21)

Здесь θ₁– угол поворота (начальный параметр в точке В); θ₂– угол поворота (начальный параметр в точке С);  M_A– момент в заделке (точка А);  R_A– реакция, действующая на балку в точке А;  Ni,(i=1-6)– усилия в тросах (искомые параметры);  $q=\text{const}$– равномерно-распределенная погонная нагрузка;  E– модуль Юнга;  J– осевой момент инерции поперечного сечения балки; H()– функция Хевисайда.

В формуле (21) приведены параметры θ₁ и θ₂, которые есть углы поворота балок, примыкающих к промежуточным шарнирам [16], т. е. ${\theta }_i^{}={\theta }_i^{\text{справа}}-{\theta }_i^{\text{слева}}$, i=1,2. ${\theta }_i^{\text{справа}}$– угол поворота в точке i  справа у шарнира, а ${\theta }_i^{\text{слева}}$– угол поворота в точке i слева у шарнира. Углы поворота θ_i являются дополнительными неизвестными, как и начальные параметры  и θ_A.

К уравнениям (21) присоединим уравнения равновесия

$\Sigma m_{С}^{\text{справа}}=0$, $\Sigma m_B^{\text{справа}}=0$, $\Sigma m_A^{\text{справа}}=0$,                                               (22)

представляющие систему ограничений. Выделим из (22) базисные переменные N₄, N₅, N₆

$\left\{\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right\}{N}_4+\left\{\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right\}{N}_5+\left\{\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right\}{N}_6=\left\{\begin{array}{c}qL/2\\ 2qL-N_3/3\\ 9qL/2-N_1/3-2N_2/3-4N_3/3\end{array}\right\}$,                          (23)

которые добавим в целевую функцию (20). Теперь $F=F({М}_{А},{\theta }_1,{\theta }_2,N_1,N_2,N_3)$. Уравнение равновесия  $\Sigma у=0$ – избыточное и служит для проверки решений. Частные F производные  по координатам ${М}_{А},{\theta }_1,{\theta }_2,N_1,N_2,N_3$ дают систему шести уравнений относительно момента, двух углов поворота и трех усилий в тросах (отметим симметричность матрицы системы уравнений). Задача свелась к задаче квадратичного программирования без ограничений. Минимум целевой функции (20) определил оптимальный план.

Найденные параметры ${М}_{А},{\theta }_1,{\theta }_2,N_1,N_2,N_3$, подставленные в уравнения (21), дают по формулам (5) функции прогибов, углов поворота, изгибающего момента и поперечной силы, соответственно. На рис. 7–10 приведены функции при жесткой заделке; рассмотрены решения для шарнирно-неподвижного края; изображены эпюры для скользящей заделки; рассмотрены функции для свободного края в точке А системы балок.

3.2. Шарнирно-неподвижное опирание

Для системы балок с шарнирным опиранием в точке А (рис. 6, в) формула метода начальных параметров, следующая:

$v\left(z\right)={\theta }_{А}z+{\theta }_1(z-L)H(z-L)+{\theta }_2(z-2L)H(z-2L)+$

$+\frac{1}{6EJ}\left[R_A{z}^3+N_1{\left(z-\frac{L}{3}\right)}^3\right.H\left(z-\frac{L}{3}\right)+N_2{\left(z-\frac{2L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{2L}{3}\right)+N_3{\left(z-\frac{4L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{4L}{3}\right)+$

$+N_4{\left(z-\frac{5L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{5L}{3}\right)+N_5{\left(z-\frac{7L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{7L}{3}\right)+N_6{\left(z-\frac{8L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{8L}{3}\right)-\left.\frac{q{z}^4}{4}\right],z\in \left[\mathrm{0,}3L\right].$                                                   (24)                 

Здесь θ_A– угол поворота в точке А.

Дополнительные уравнения (22) позволяют ввести в базис переменные N₄, N₅, N₆, как в (23). Из уравнения равновесия $\Sigma у=0$ определяется реакция R_A для формулы (24). Функции прогибов, углов поворота, изгибающего момента, поперечной силы показаны на рис. 7–10.

3.3. Скользящая заделка

Рассмотрим скользящую заделку в точке А, фрагмент которой представлен на рис. 6, г. Здесь составлены следующие уравнения равновесия:

$\Sigma m_{С}^{\text{справа}}=0$, $\Sigma m_B^{\text{справа}}=0$, $\Sigma у=0$.                                                                                                         (25)

В базис введем векторы при переменных N₄, N₅, N₆, и после вычисления производных по свободным переменным из уравнения равновесия $\Sigma m_A^{}=0$ выразим функции прогиба M_A.

Теперь, функция прогиба:

$v\left(z\right)=v_A+{\theta }_1(z-L)H(z-L)+{\theta }_2(z-2L)H(z-2L)+$

$+\frac{1}{6EJ}\left[3M_A{z}^2+N_1{\left(z-\frac{L}{3}\right)}^3\right.H\left(z-\frac{L}{3}\right)+N_2{\left(z-\frac{2L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{2L}{3}\right)+N_3{\left(z-\frac{4L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{4L}{3}\right)+$

$+N_4{\left(z-\frac{5L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{5L}{3}\right)+N_5{\left(z-\frac{7L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{7L}{3}\right)+N_6{\left(z-\frac{8L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{8L}{3}\right)-\left.\frac{q{z}^4}{4}\right],z\in \left[\mathrm{0,}3L\right].$                                                    (26)

Все решения представлены на рис. 7–10.

3.4. Свободный край

В случае свободного края, в точке А балки нет связей (рис. 6, д), неизвестных параметров 10. Тогда $v\left(z\right)=f(v_A,{\theta }_A,{\theta }_1,{\theta }_2,N_1,N_2\mathrm{,...,}{N}_6)$. Каждый диск балки в плоскости обладает тремя степенями свободы. Всего их 9. Каждый простой шарнир забирает две степени свободы – всего устраняется 4. Для системы из трех балок остается 5 степеней свободы. Чтобы превратить рассматриваемую систему балок в геометрически неизменяемую, следует добавить 5 связей. Вычитается одна степень свободы, так как нет смещения по направлению продольной силы. Можно записать 4 уравнения равновесия, однако они линейно зависимые.

Составим три уравнения равновесия. Функция прогиба будет выглядеть так:

$v\left(z\right)=v_A+{\theta }_{А}z+{\theta }_1(z-L)H(z-L)+{\theta }_2(z-2L)H(z-2L)+$

$+\frac{1}{6EJ}\left[N_1{\left(z-\frac{L}{3}\right)}^3\right.H\left(z-\frac{L}{3}\right)+N_2{\left(z-\frac{2L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{2L}{3}\right)+N_3{\left(z-\frac{4L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{4L}{3}\right)+$

$+N_4{\left(z-\frac{5L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{5L}{3}\right)+N_5{\left(z-\frac{7L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{7L}{3}\right)+N_6{\left(z-\frac{8L}{3}\right)}^{3}H\left(z-\frac{8L}{3}\right)-\left.\frac{q{z}^4}{4}\right],z\in \left[\mathrm{0,}3L\right].$                                              (27)

Решения отобразим на рис. 7–10

Рис. 6. Система трех балок, соединенных шарнирами: а – система в условиях гравитации; б – моделирование невесомости системы жестким защемление в точке А; в – фрагмент шарнирно-неподвижного опирания системы балок в точке А; г – фрагмент скользящей заделки системы балок в точке А; д – фрагмент свободного края системы балок в точке А

Fig. 6. A system of three beams connected by hinges: a – the system under gravity conditions; b – modeling of the weightlessness of the system by rigid pinching at point A; c – a fragment of the hinge-fixed support of the beam system at point A; d – a fragment of the sliding sealing of the beam system at point A; e – a fragment of the free edge of the beam system at point A

 

В табл. 2 приведем силы натяжения тросов для системы балок с четырьмя типами граничных условий. Сравним силы натяжения для балки жестко защемленной и шарнирно опертой. На первой балке усилия натяжения тросов равны: $N_1^{\text{заделка}}=-\mathrm{278,4}\text{ н}$,$N_1^{\text{шарнир}}=-\mathrm{124,02}\text{ н}$, – разница 220 %; $N_2^{\text{заделка}}=\mathrm{407,5}\text{ н}$,$N_2^{\text{шарнир}}=\mathrm{336,07}\text{ н}$, – разница 21 %. На второй балке наибольшие силы натяжения таковы: $N_4^{\text{заделка}}=\mathrm{262,6}\text{ н}$, $N_4^{\text{шарнир}}=\mathrm{251,9}\text{ н}$, – разница 4,2 %. На третьей балке усилия натяжения тросов почти равны: $N_5^{\text{заделка}}=\mathrm{96,3}\text{ н}$, $N_5^{\text{шарнир}}=\mathrm{100,7}\text{ н}$– отличие 4,5 %. В крайнем тросе: $N_6^{\text{шарнир}}=\mathrm{174,6}\text{ Н}$ и $N_6^{\text{заделка}}=\mathrm{176,8}\text{ Н}$– разница 0,13 %.

Вид закрепления (шарнирное закрепление или заделка) влияет на первую от закрепления балку. Силы натяжения тросов, в определенной степени, выравнивают деформированное и напряженное состояние. В последующих балках усилия натяжения тросов практически не отличаются, т. е. не зависят от вида закрепления первой балки. Такой же вывод можно сделать и для балок со скользящей заделкой.

Модели систем трех балок при имитации невесомости, в определенной степени, эквивалентны. Так, например, если к модели системы балок с шарнирным опиранием в точке А задать момент (например, движителем) равным $\mathrm{89,9}\text{ н}\cdot \text{м}$ или установить пружину жесткостью $G_{А}=M_A/{\theta }_A=\mathrm{89,9}\text{ нм}/\mathrm{5,78}\cdot {10}^{-5}\text{рад}=\mathrm{1,5}\text{ кн/рад}$, получаем модель деформирования с жестким защемлением. Соответственно, требуется изменить силы натяжения тросов.

В табл. 3, к усилиям натяжения тросов из табл. 2, добавлены углы поворота в начале системы балок (точка А) и дополнительные углы поворота в шарнирах, среднеквадратичные прогибы и максимальные прогибы. При переходе от жесткого закрепления к шарнирному, далее от скользящей заделки к свободному краю жесткость системы уменьшается. Среднеквадратичные прогибы увеличиваются: ${\delta }_{\text{заделка}}=\mathrm{2,301}\cdot {10}^{-5}\text{ м}$; ${\delta }_{\text{шарнир}}=\mathrm{2,396}\cdot {10}^{-5}\text{ м}$; ${\delta }_{\text{скользящая}}=\mathrm{2,741}\cdot {10}^{-5}\text{ м}$; ${\delta }_{\text{свободный\hspace{0.17em}край}}=\mathrm{3,282}\cdot {10}^{-5}\text{\hspace{0.17em}м}$, т. е. на 4,1, 14,4 и 19,7 %. Максимальные прогибы в трех первых случаях возникают в точке, где установлен шарнир, соединяющий вторую и третью балку, соответственно, $(\mathrm{4,31}÷\mathrm{4,5}÷\mathrm{5,14})\cdot {10}^{-5}\text{ м}$, и в середине системы балок со свободным краем – $\mathrm{6,07}\cdot {10}^{-5}\text{ м}$.

 

Рис. 7. Функции прогибов и силы натяжения тросов для граничных условий слева: а – жесткой заделки; б – шарнирного опирания; в – скользящей заделки; г – свободного края

Fig. 7. Functions of deflections and tension forces of cables for boundary conditions on the left: a – rigid sealing; b – hinged support; c – sliding sealing; d – free edge

 

 

Рис. 8. Функции углов поворота и силы натяжения тросов для граничных условий слева: а – жесткой заделки; б – шарнирного опирания; в – скользящей заделки; г – свободного края

Fig. 8. Functions of rotation angles an

Рис. 9. Функции изгибающих моментов и силы натяжения тросов для граничных условий слева: а – жесткой заделки; б – шарнирного опирания; в – скользящей заделки; г – свободного края

Fig. 9. Functions of bending moments and tension forces of cables for boundary conditions on the left: a – rigid sealing; b – hinged support; c – sliding sealing; d – free edge (The beginning)

 

Рис. 10. Функции перерезывающих сил и силы натяжения тросов для граничных условий слева: а – жесткой заделки; б – шарнирного опирания; в – скользящей заделки; г – свободного края 

Fig. 10. Functions of shearing forces and cable tension forces for boundary conditions on the left: a – rigid sealing; b – hinged support; c – sliding sealing; d – free edge 

 

Таблица 2. Силы натяжения тросов

Номера строк	Вид закрепления в точке А	N1	N2	N3	N4	N5	N6
		н	н	н	н	н	н
1	Заделка	–278,4	407,5	5,39	262,6	96,3	176,8
2	Шарнирно-неподвижное	–124,02	336,07	19,9	251,9	100,7	174,6
3	Скользящая заделка	73,59	259,04	67,58	216,97	115,67	167,17
4	Свободный край	158,19	133,63	158,19	158,19	133,63	158,19

 

Таблица 3. Реактивные силы и геометрические характеристики системы

Номера строк	Вид закрепления в точке А
			н	рад	рад	рад	м	м
1	Заделка	–89,9	229,7	0	11,1	14,7	2,301
2	Шарнирно-неподвижное	0	110,65	5,78	12,3	15,2	2,396
3	Скользящая заделка	–43,79	0	0	15,6	16,7	2,741
4	Свободный край	0	0	8,01	-20,1	20,1	3,282

Размерности физических величин прописаны согласно [17].

 

Заключение

В задаче квадратичного программирования при различных базисных переменных, вводимых в функцию цели, существует единственный оптимальный план. Смена базиса не влияет на решение задачи.

Анализ решения дискретных задач (с конечным числом точек на упругой линии балок) показал, что достаточны сетки от n=12 до n=24 точек. Различие по средневзвешенным прогибам 4,3 %.

Модели систем трех балок при имитации невесомости в определенной степени эквиваленты. Любую из рассмотренных систем с представленными граничными условиями можно перевести в эквивалентную ей, изменив граничные силовые факторы. Например, если в модели с шарнирным опиранием задать момент или установить пружину с заданной жесткостью, получаем модель деформирования с жестким защемлением. Соответственно, требуется корректировать силы натяжения тросов.

Вид граничного условия в большей мере влияет на первую балку; силы натяжения тросов выравнивают деформированное и напряженное состояние. В последующих балках усилия натяжения тросов практически не отличаются.

При переходе от жесткого закрепления к шарнирному, далее от скользящей заделки к свободному краю жесткости систем уменьшаются. Среднеквадратичные прогибы увеличиваются.

Имитирование невесомости системы с условием минимизации суммы квадратов прогибов может быть полезно при подготовке физических экспериментов.

Возможно обобщение постановки задачи о регулировании напряженно-деформированного состояния для систем подвешенных пластин-панелей; в шарнирных соединениях возможна установка пружин; усилия в тросах могут дополнительно распределяться с весовыми множителями.

 

Об авторах

Рашид Альтавович Сабиров

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Автор, ответственный за переписку.
Email: rashidsab@mail.ru

кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры технической механики

Россия, Красноярск

Елена Николаевна Фисенко

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: rashidsab@mail.ru

старший преподаватель кафедры технической механики

Россия, Красноярск

Список литературы

Дополнительные файлы