Динамические параметры потока в естественных криволинейных координатах для линии тока во вращающемся канале

Полный текст

Введение

Одним из важнейших пунктов в развитии и проектировании новых образцов ракетно-космических и авиационных систем является традиционное обеспечение максимально высоких параметров по энергетическим характеристикам, ресурсу и степени надежности как отдельных агрегатов, элементов конструкции, так и аппарата в целом. Критерии обслуживания целевых эксплуатационных показателей могут определяться путем последовательной детерминации, основанной на причинно-следственной связи, на протяжении всего эксплуатационного цикла технической системы. Этот процесс включает в себя обоснование тактико-технических требований, разработку технического задания на научно-исследовательские и опытно-конструктор- ские работы, эскизное проектирование, разработку конструкторской и технической документации; доводочные испытания и производство. Поэтому даже незначительная погрешность на этапе предполагаемых результатов новых разработок может многократно увеличить стоимость следующих этапов или прекратить проект.

Для достижения оптимально высоких энергетических характеристик центробежного насоса необходимо получить и использовать максимально полное преобразование энергии в межлопаточном канале рабочего колеса. В частности, именно преобразование энергии в межлопаточном канале рабочего колеса играет ключевую роль в обеспечении высокой эффективности таких установок. Результаты исследований и рекомендации по проектированию, изложенные в различных классических и современных работах, имеют большое значение для развития эффективных двигательных установок, включая теплоэнергетические установки летательных аппаратов. Для обеспечения подачи требуемого напора необходимых расходных параметров с заданным повышением давления рабочего тела главным образом применяются центробежные насосные агрегаты, имеющие высокие энергетические характеристики при относительно малой массе и габаритах. Система двигательной установки летательного аппарата включает в себя насосы, которые отвечают за подачу топлива в камеру сгорания с электроприводом и турбодвигателем, которые применяются в жидкостных ракетных ступенях космических аппаратов. В гидравлических системах приводов исполнительных элементов систем управления вектором тяги и механизации центробежные насосы являются источником мощности [1–5].

Необходимо подчеркнуть, что центробежные насосы распространены во многих сферах индустрии (нефтепромышленности, энергетике, фармацевтике, транспортной, пищевой, химической отраслях, криогенике и др.), где насущным является вопрос о снижении вибрации, пульсации давления, шума. Применение в насосах более совершенной проточной части способствует решению этих проблем [6].

Производительность центробежного насоса определяется высокой угловой скоростью его рабочего колеса, например РД0146, имеющий частоту вращения до 123000 об/мин. При перекачивании высоковязких сред центробежные насосы становятся менее продуктивны: большое сопротивление и высокое давление рабочей среды снижают поддержание определенной скорости потока. Актуальной задачей является теоретическое исследование движения потока в каналах проточной части центробежных лопаточных нагнетателей. Именно эта задача и показывает существенные недостатки, так как значительная часть каналов имеет изменяющиеся площади и сложные пространственные формы с наличием зон пониженного и повышенного градиента давления с возможным наличием парного вихря, что приводит к скосу донных линий тока и кривизны средней линии. Все эти каналы находятся во вращении, и протекающий по ним поток напрямую взаимодействует с лопатками и тем самым повышает свою удельную энергию [4]. Межлопаточный канал в рабочем колесе является важным элементом. В турбинах жидкостных ракетных двигателей (ЖРД) используются неохлаждаемые лопатки. Кроме того, используются различные по направлению движения потока типы турбин – радиальные, осевые, диагональные – с различными профилями межлопаточных каналов. Увеличение температуры рабочего тела также способствует повышению адиабатной работы. Из-за конструктивных особенностей и применяемых материалов на температуру рабочего тела в неохлаждаемой турбине накладываются ограничения, обычно для восстановительного газа 1000–1200 ºС, для окислительного газа 700–900 ºС [7].

Наличие градиента давления в потоке движущегося по межлопаточному каналу рабочего тела, а следовательно, и в пограничном слое, значительно усложняет вычислительную задачу последнего. Однако, учитывая практическую значимость этого вопроса, он привлек внимание многих исследователей и в настоящее время разрабатываются различные алгоритмические подходы к решению, основанные на приближенных предположениях и эмпирических данных [7–9].

Многие научные исследования рассматривают свойства турбулентного пограничного слоя. Важное значение занимают исследования консервативных свойств пограничного слоя. Материалы исследований объясняют свойства турбулентных пограничных слоев, описывают проблему с трением и теплообменом при движении рабочего тела (жидкости) по каналам и проточным частям (термодинамически). Также рассматриваются теоретические законы предельных трений и теплообмена поверхностей тел. Основным моментом является то, что турбулентность потока пристеночного участка очень незначительно влияет на внешние изменения нескольких показателей осредненного потока. В зависимости от предельных относительных законов трения и теплообмена были предложены методы математического расчета. В турбулентном потоке с продольным градиентом давления с теплообменом в пристеночной области профиль скорости представляется логарифмическим законом и от градиента давления практически не зависит, но на распределение скорости во внешней части турбулентного пограничного слоя, составляющей более 75 % от его толщины, градиент давления оказывает повышенное влияние. Влияние возмущения не меняет форму математических описаний пограничного слоя, а является параметрическим. Понимание физических особенностей движения потоков в каждом элементе проточной части центробежного насосного агрегата позволит разработать методики расчета и проектирования, учитывающие особенности течения в сложных пространственных каналах. Наиболее сложной частью исследования и математического описания является пограничный слой на криволинейной (сферической) поверхности. На такой поверхности имеется точка отрыва, высокий градиент давления, а производная скорости потока меняет знак. Метод баланса импульса используется для определения корректировочных параметров в потоке [4; 6; 9–18].

При расчете поля скорости необходимо провести дополнительный анализ распределения полей давлений. Распределение давлений в межлопаточном канале оказывает значительное влияние на динамику потока жидкости и, следовательно, на энергетические характеристики центробежного рабочего колеса. Такой анализ позволяет более полно и точно определить характеристики потока, что важно для разработки эффективных методик оптимизации и проектирования рабочих колес. Для определения градиента давления отсутствуют уравнения в явной форме, но при этом параметр давления входит в основное уравнение количества движения. Если поле давления определено, то уравнение решается без особых трудностей, но при этом отсутствует очевидный способ определения поля давления. Имеется возможность использовать уравнение неразрывности для определения поля давлений. Поле давлений необходимо определить таким образом, чтобы при его использовании в уравнениях количества движения получаемое поле скоростей удовлетворяло уравнению неразрывности. Для определения поля давления наилучшим образом подходит использование дискретных аналогов уравнений количества движения и неразрывности, поскольку остальные не подходят для нашего решения. Из-за сложностей с нахождением давлений разработаны методы, выводящие давление из системы определяющих уравнений [19–21].

Цель

Целью является разработка методики расчета и анализ влияние градиента давления на распределение скорости в пристеночной части в межлопаточном канале центробежного рабочего колеса с конечным числом лопаток, определение по расчетной методике энергетические характеристики рабочего колеса и проведение оптимизации по конечному числу лопаток, а также графическая визуализация балансов мощностей малорасходного центробежного насоса.

Методика исследования

Изучение существующих методов расчета турбулентного пограничного слоя с градиентом давления с использованием интегрального уравнения импульсов позволяет получить два приближенных решения уравнения пограничного слоя, включая уравнение, учитывающее особенности течения с продольным градиентом давления. Эти решения включают уравнение, учитывающее особенности потока с продольным градиентом давления. Таким образом, можно провести анализ приближенного уравнения турбулентного пограничного слоя. В дальнейших расчетах будут использоваться методы расчета турбулентного пограничного слоя с градиентом давления, учитывая, что полученные решения критериальных уравнений справедливы только при конфузорном процессе течения потока. Эти методики предполагают использование толщины потери импульса в качестве характеристической толщины пограничного слоя.

Введение дополнительных параметров для описания профиля скоростей является важным шагом при учете сильной зависимости характеристик от градиента давления. Эти дополнительные параметры могут помочь более полно и точно описать сложные зависимости между давлением и скоростью внутри межлопаточного канала. Такой подход позволяет получить более реалистичное представление о динамике потока жидкости и, соответственно, энергетических характеристиках центробежного рабочего колеса. Толщина потери импульса для расчета определяется по теореме импульсов, в которой касательное напряжение на стенке определяется на основе закона сопротивления продольно обтекаемой пластины. Эти методики используются для определения сопротивления трения кузовов с различными профилями и показывают положительные результаты.

В данном случае используется специальное координатное преобразование для создания более равномерного распределения параметров потока по всему пространству. При переходе к расчету динамических параметров потока в естественных криволинейных координатах для линии тока во вращающемся межлопаточном канале проводится анализ установившегося потока идеальной жидкости с учетом трения. Графический расчет выполняется в полярной системе координат, которая является оптимальной в случаях, когда отношения между точками легче изобразить в виде радиусов и углов.

Проекция градиента давления на продольную ось φ

Продольная координатная линия φ по определению является проекцией предельной линии тока в ядре потока на ограничивающую поверхность. В нашем случае это внутренняя поверхность покрывного диска в конкретной точке криволинейной линии φ. Направление относительной скорости $\overline{W}$  касательно к этой линии (рис. 1).

 

Рис. 1. Расчетная схема ядра потока

Fig. 1. Calculation scheme of the flow core

 

Для установившегося относительного движения без учета трения в ядре потока уравнение движения приобретает вид уравнения Эйлера, которое в проекции на продольную координатную линию запишется в виде

$\frac{\partial }{\partial \phi }\left(\frac{W^2}{2}\right)=F_{\phi }-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial \phi },$ (1)

где $\partial \phi$ – элемент продольной координатной линии; $F_{\phi }$ – проекция суммы инерционных сил на координату φ, отнесенная к единице массы, что соответствует инерционному ускорению, взятому с противоположным знаком.

При относительном движении во вращающемся межлопаточном канале рабочего колеса к инерционным силам относятся:

• центробежные силы инерции от вращения рабочего колеса ${\omega }^{2}R$;
• центробежная сила инерции из-за кривизны линии тока (координатной линии φ) $\frac{W^2}{R}$;
• кориолисова сила инерции $2\omega W$.

Силой тяжести и внешними инерционными силами пренебрегаем.

Связанная с рабочим колесом составляющая центробежной силы от вращения координат равна:

${\omega }^{2}R\sin \beta ={\omega }^{2}R\frac{dR}{d{\phi }^{\text{'}}},$ (2)

где $\sin \beta =\frac{dR}{d{\phi }^{\text{'}}},$ (см. рис. 1).

Проекция этой центробежной силы $\frac{W^2}{R_{\phi }}$, которая возникает в связи с наличием кривизны по линии тока, и кориолисовой силы $2\omega W$ на направление φ будет равняться нулю из-за перпендикуляра относительной скорости. Тогда $F_{\phi }=\sum F_{\phi \text{ин}}$, запишется [22]:

$F_{\phi }={\omega }^{2}R\frac{\partial R}{\partial \phi }.$ (3)

Подставляя (3) в (1), получим

$\frac{\partial \left(\frac{W^2}{2}\right)}{\partial \phi }={\omega }^{2}R\frac{\partial R}{\partial \phi }-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p_{\phi }}{\partial \phi }.$

Преобразовав в приращение кинетических энергий, получим:

$\frac{\partial \left(\frac{W_{\phi }^2}{2}\right)}{\partial \phi }-\frac{\partial \left(\frac{U^2}{2}\right)}{\partial \phi }=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial \phi }.$

Получаем выражение для проекции градиента давления на продольную ось φ

$\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial \phi }=\frac{\partial }{\partial \phi }\left(\frac{U^2}{2}-\frac{W_{\phi }^2}{2}\right),$ (4)

где $W_{\phi }$ – скорость в относительном движении, касательная продольной координате φ; $U=\omega R$ – переносная скорость в конкретной точке на линии тока, или

$-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial \phi }=W\frac{\partial W}{\partial \phi }-\frac{{\omega }^{2}RdR}{d\phi }.$ (5)

Проекция градиента давления на поперечную ось ψ

Выделим в межлопаточном канале элементарный объем жидкости с массой $dm=\rho \cdot b\cdot d\psi \cdot d\phi$, где b – ширина канала в направлении, перпендикулярном плоскости (см. рис. 1).

Рассмотрим равновесие элементарного объема жидкости в проекции на поперечную координатную ось ψ, противоположную нормали n к предельной линии тока в относительном движении. На выделенный объем действуют следующие составляющие сил (см. рис. 1):

– поверхностные силы давления, суммарная составляющая которых равна:

$+\partial p_{\phi }\cdot b\cdot d\phi ;$

– составляющая центробежной силы инерции, возникающая из-за кривизны линии тока φ:

$-dm\cdot {\omega }^{2}R\cdot \cos \beta =dm\cdot {\omega }^{2}R\cdot \frac{\partial R}{\partial \phi }$;

– составляющая центробежной силы инерции, возникающая из-за кривизны линии тока ψ:

$-dm\cdot \frac{W^2}{R\phi }$;

– составляющая кориолисовой силы инерции:

$+\partial m\cdot 2\omega W.$

Из условия равновесия сумма всех составляющих равна нулю:

$+\partial p_{\phi }\cdot b\cdot d\phi -dm\cdot {\omega }^{2}R\cdot \frac{\partial R}{\partial \phi }-dm\frac{W^2}{R_{\phi }}+dm\cdot 2\omega W=0.$

Разделим и умножим первый член уравнения (5) на $\rho d\psi ,$ сократим все члены на $dm=\rho \cdot b\cdot d\psi \cdot d\phi$ и получим уравнение:

$+\frac{\partial p}{\rho \partial \psi }-\frac{{\omega }^2{R}_{\phi }dR}{\partial \psi }-\frac{W^2}{R_{\phi }}+2\omega W=0$ (6)

или

$-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial \phi }=-{\omega }^{2}R\cdot \cos \beta -\frac{W^2}{R_{\phi }}+2\omega W,$ (7)

– производная статического давления по координате ψ, где $R_{\phi }$ – радиус кривизны предельной линии тока, в нашем расчетном случае $R_{\phi }=R_{\text{л}}=\text{const}$ лопаточный угол – ${\beta }_{\text{л}}=f\left(\phi \right).$

Необходимо отметить следующее: направление нарастания (увеличения) статического давления совпадает с направлением инерционной силы (и противоположно инерционному ускорению элементарной массы жидкости).

Поперечные волны возникают из-за деформации формы, т. е. малых вращательных движений частиц окружающей среды на плоскости, направленной в направлении распространения колебаний. Объем в среде неизменен, но происходит локальная деформация прямоугольного элемента среды, и, таким образом, S-волна называется волной движения. Поперечная волна не распространяется в жидкой и газовой среде, где слабое сцепление элементов вещества не позволяет передавать сдвиговые деформации.

Производная продольной скорости в поперечном направлении

Используя выражение (5) для продольного градиента статистического давления, умножив части на $d\phi$, получаем

$-\frac{1}{\rho }dp=WdW-{\omega }^{2}RdR.$ (8)

Интегрируя уравнения по струйке тока от сечения 1-1 до сечения 2-2, получаем выражение для статического напора несжимаемой жидкости:

$\frac{p_2-p_1}{\rho }=\frac{U_2^2-W_2^2}{2}-\frac{U_1^2-W_1^2}{2}.$ (9)

Полагая, что энергия струек по шагу постоянна [3], из уравнения (8) получаем следующее соотношение:

$-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial \phi }=W\frac{dW}{d\psi }-{\omega }^{2}R\frac{dR}{d\psi }.$ (10)

Используя выражение (8) для первого числа (1), получаем:

$-\frac{{\omega }^{2}RdR}{d\psi }-\frac{W^2}{R_{\phi }}+2\omega W=W\frac{dW}{d\psi }-{\omega }^{2}R\frac{dR}{d\psi }.$

После сокращения членов и деления на W получаем выражение для производной продольной скорости $W_u$ в поперечном направлении Ψ:

$\frac{\partial W_u}{d\psi }=2\omega -\frac{W}{R_{\phi }}.$ (11)

Продольные волны всегда распространяются быстрее поперечных в одном и том же пространстве, вызванные изменением объема при поступательном движении частиц в сторону распространения колебаний упругости. Известно также, что волны продольного типа распространяются при скорости $V_p$, которая определяется упругостью и плотностью сред. Таким образом, среда (твердая, однородная, изотропная) будет распространяться независимо от времени и пространства.

Баланс мощностей

Согласно проведённому эксперименту с распределением мощности насоса получаем численные интегральные гидравлические потери. Часть затрачиваемой мощности превращается в полезную работу, остальное уходит в потери [3; 9; 10].

Таким образом, баланс эффективной мощности насоса будет

$N_{\text{ПОЛ}}=N_{\text{ЗАТР}}-(N_{\text{ГТ}}+N_{\text{Г}}+N_{\text{УТ}}+N_{\text{МЕХ}}^{\text{СТ}}+N_{\text{МЕХ}}^{\text{КОЛ}})$.

Составляющие баланса мощностей в нагнетателе (насосе): $N_{\text{ПОЛ}}$ – полезная мощность насоса; $N_{\text{ЗАТР}}$ – мощность затраченная; $N_{\text{ГТ}}$ – мощность, расходуемая на трение (гидравлическое); $N_{\text{Г}}$ – потери (гидравлические) в проточной части насоса; $N_{\text{УТ}}$ – потери мощностей с утечками рабочей жидкости; $N_{\text{МЕХ}}^{\text{СТ}}$ – потери при контакте с неподвижными частями – опоры, уплотнения; $N_{\text{МЕХ}}^{\text{КОЛ}}$ – механические потери мощности в рабочем колесе.

На рис. 2 и 3 показаны графические зависимости величин потерь. Полученные энергетические характеристики совпадают с результатами исследования с погрешностью, не превышающей 3–5 %. Это дает возможность утверждать, что разработанная методика верна и верифицирована.

 

Рис. 2. Баланс мощностей, зависимость напора и К_z от расхода малорасходного центробежного насоса (цилиндрические лопатки, β_1л = β_1л = 60°)

Fig. 2. Power balance, dependence of pressure and Кz on the flow rate of a low-flow centrifugal pump (cylindrical blades, β1л = β1л = 60°)

 

Рис. 3. Баланс мощностей, зависимость напора и K_z от расхода малорасходного центробежного насоса (тангенциальные лопатки, β_2л= 77°)

Fig. 3. Power balance, dependence of pressure and Kz on the flow rate of a low-flow centrifugal pump (tangential blades, β2л= 77°)

 

На рис. 2 представлены результаты численной и экспериментальной визуализации: баланс мощностей, зависимость напора и $K_z$ от расхода малорасходного центробежного насоса для цилиндрических лопаток, ${\beta }_{\text{1л}}={\beta }_{\text{2л}}=60°$. На рис. 3 – баланс мощностей, зависимость напора и $K_z$ от расхода малорасходного центробежного насоса для тангенциальных лопаток, ${\beta }_{\text{2л}}=77°$.

Заключение

На основании вышеизложенного можно сделать следующие выводы:

• получена новая форма уравнения импульсов пространственного пограничного слоя для ламинарного относительного потока с продольно-поперечным градиентом давления, совмещенная с законом трения, определенным из классического параболического профиля;
• по результатам исследований получены выражения для проекции градиента давления на продольную ось φ;
• получена производная статического давления по координате ψ;
• получены выражения для производной продольной скорости $W_u$ в поперечном направлении ψ в естественной системе координат при течении в круговом секторе;
• построены графики балансов мощностей, зависимость напора и K_z от расхода малорасходного центробежного насоса (цилиндрические лопатки, ${\beta }_{\text{1л}}={\beta }_{\text{2л}}=60°$) и (тангенциальные лопатки, β_2л = 77°).

Однако метод требует дальнейшей доработки с целью приведения его к форме, позволяющей сделать расчет трехмерного течения рабочего колеса в канале произвольной формы. Результаты всех частей исследования будут использоваться для расчета оптимизации конечного числа лопаток в рабочем колесе насоса.

Об авторах

Валентина Викторовна Черненко

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Автор, ответственный за переписку.
Email: 2887722@mail.ru
ORCID iD: 0009-0007-2111-5316

старший преподаватель кафедры двигателей летательных аппаратов

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Дмитрий Викторович Черненко

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: g_ramzes@mail.ru

кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры холодильной криогенной техники

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Михаил Игоревич Толстопятов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: 89130399999@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-4325-8189

кандидат технических наук, доцент кафедры двигателей летательных аппаратов

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Эльвира Сергеевна Манохина

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: xim96@inbox.ru
ORCID iD: 0009-0007-7269-7248

студент гр. МРД22-01, кафедра двигателей летательных аппаратов

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Екатерина Владимировна Фалькова

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: falkova@sibsau.ru

старший преподаватель кафедры технической механики

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Список литературы

Дополнительные файлы