Solution of the first boundary value problem of plane elasticity theory using conservation laws

全文:

ВВЕДЕНИЕ

Решение краевых задач для уравнений теории упругости в плоском стационарном случае изложено в огромном количестве статей и монографий. Классической работой в этом направлении служит книга, написанная учеником Г. В. Колосова [1]. Несмотря на большую историю решения таких задач, интерес к их решению не ослабевает. Это связано с тем, что классические формулы Г. В. Колосова позволяют решать уравнения теории упругости не для всех краевых задач, возникающих в науке и технике. Основное ограничение обусловлено гладкостью границы и некоторыми особенностями применения функций комплексного переменного. Другие способы, связанные с разложением искомых функций в ряды по различным видам специальных функций, тоже имеют естественные ограничения, которые сопряжены со сходимостью используемых рядов, а также громоздкостью полученных результатов.

Опишем некоторые результаты исследований теории упругости, полученные в последнее время. В работе [2] представлен краткий исторический обзор исследований, посвященных теории изгиба упругих пластин. В [3] рассматривается задача обнаружения и идентификации упругого включения в изотропной, линейно упругой плоскости. В статье [4] рассматривается усложнённый вариант известной задачи Лaме, поставленной в 1852 г., описывающей решение статического равновесия параллелепипеда со свободными боковыми поверхностями, подверженными действию противоположных торцевых усилий, а также для случая ударных воздействий торцевых сил. В [5] осуществляется построение фундаментальных решений для уравнений гармонических колебаний в теории упругости анизотропных упругих сред, построено фундаментальное решение уравнений колебаний для изотропной среды в замкнутом виде. В [6] приведено общее решение задач теории упругости для анизотропных полуплоскости и полосы с произвольными отверстиями и трещинами, использующее комплексные потенциалы плоской задачи теории упругости анизотропного тела. Статья [7] посвящена исследованию функций напряжений, позволяющих тождественно удовлетворить уравнениям равновесия классической теории упругости и получить решение в напряжениях. Для получения зависимостей между напряжениями и функциями напряжений используется математический аппарат общей теории относительности. В [8] в терминах комплекснозначных перемещений выписывается система уравнений осесимметричной теории упругости, фундаментальное решение которой является общим представлением поля перемещений в осесимметричном случае, аналогично формулам Колосова – Мусхелишвили в плоской задаче. В [9] приводятся основные уравнения линейной моментной теории упругости. Определяющие соотношения записаны для случая произвольной анизотропии в виде линейных уравнений. Рассматриваются некоторые упрощённые варианты, в частности со стеснённым вращением, и плоская деформация при наличии только сдвиговых напряжений. Работа [10] посвящена анализу краевой задачи с неизвестной областью контакта, описывающей равновесие двумерных упругих тел с тонкой слабо искривлённой перемычкой. В [11] исследуется эволюция волновой картины в разномодульном упругом полупространстве при нестационарном одноосном кусочно-линейном движении его границы в режиме «растяжение – сжатие – останов».

В данной работе используются законы сохранений дифференциальных уравнений упругости. Приведены такие законы, которые позволяют свести нахождение компонент тензора напряжений в точке к контурному интегралу по границе рассматриваемой области. При этом от границы области требуется только кусочная гладкость. Заметим, что раннее некоторые законы сохранения были приведены в работах [12; 13], но они не были использованы для решений каких-либо задач.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим уравнения, описывающие плоскую упругую деформацию.

Соотношения, связывающие компоненты тензора деформаций и компоненты вектора перемещений в случае малых деформаций, имеют вид

${\epsilon }_x=\frac{\partial w_1}{\partial x},{\epsilon }_y=\frac{\partial w_2}{\partial y},{\epsilon }_{xy}=\frac{\partial w_1}{\partial y}+\frac{\partial w_2}{\partial x}.$                                                (1)

Закон Гука запишется так:

${\epsilon }_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y),{\epsilon }_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x),{\epsilon }_{xy}=\frac{2(1+\nu )}{E}\tau .$                                  (2)

Условия совместности деформаций:

$\frac{{\partial }^2{\epsilon }_x}{{\partial }^{2}y}+\frac{{\partial }^2{\epsilon }_y}{{\partial }^{2}x}=\frac{{\partial }^2{\epsilon }_{xy}}{\partial x\partial y}$.                                                                                 (3)

Подставляя (2) в (3), получаем

$\frac{{\partial }^2({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y)}{{\partial }^{2}y}+\frac{{\partial }^2({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x)}{{\partial }^{2}x}=2(1+\nu )\frac{{\partial }^2\tau }{\partial x\partial y}$.                                            (4)

Уравнения равновесия:

$\frac{\partial {\sigma }_x}{\partial x}+\frac{\partial \tau }{\partial y}=\mathrm{0,}\frac{\partial \tau }{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_y}{\partial y}=0.$

Отсюда получаем

$\frac{{\partial }^2{\sigma }_y}{{\partial }^{2}y}+\frac{{\partial }^2{\sigma }_x}{{\partial }^{2}x}=-2\frac{{\partial }^2\tau }{\partial x\partial y}.$                                                                          (5)

Из (4) и (5) получаем $\Delta ({\sigma }_x+{\sigma }_y)=0.$

Здесь ${\epsilon }_x,{\epsilon }_y,{\epsilon }_{xy}$ – компоненты тензора деформаций; ${\sigma }_x,{\sigma }_y,\tau$ – компоненты тензора напряжений; $w_1,w_2$ – компоненты вектора перемещений; $E,\nu$ – упругие постоянные.

Система окончательно имеет вид:

$\frac{\partial {\sigma }_x}{\partial x}+\frac{\partial \tau }{\partial y}=\mathrm{0,}\frac{\partial \tau }{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_y}{\partial y}=\mathrm{0,} \Delta ({\sigma }_x+{\sigma }_y)=0.$                                  (6)

Поставим для системы (6) первую краевую задачу:

${\sigma }_x{n}_1+\tau n_2{|}_L=X(x,y),\tau n_1+{\sigma }_y{n}_2{|}_L=Y(x,y).$                                            (7)

Здесь $n_1, n_2$ – компоненты вектора внешней нормали к кусочно-гладкому контуру, ограничивающему конечную область S

Будем искать решение задачи (6), (7) в виде

${\sigma }_x+{\sigma }_y=p-\text{const, }\mathit{\text{p}}\text{ ≠0. }$                                                                          (8)

Введем новые переменные:

$u=\raisebox{1ex}{${\sigma }_x$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$p,v$}\right.=\raisebox{1ex}{$\tau $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$p,{\sigma }_y^{\text{'}}$}\right.=\raisebox{1ex}{${\sigma }_y$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$p,f$}\right.=\raisebox{1ex}{$X$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$p,g$}\right.=\raisebox{1ex}{$Y$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$p$}\right..$                                           (9)

Тогда задача (6), (7) запишется в виде

$F_1=u_x+v_y=\mathrm{0,}{F}_2=u_y-v_x=\mathrm{0,}$                                                             (10)

$u{n}_1+v{n}_2=f,v{n}_1-u{n}_2=g-n_2,$                                                              (11)

здесь и далее индекс внизу означает производную по данной переменной.

Таким образом, необходимо решить краевую задачу (11) для системы уравнений (10) с помощью законов сохранения.

Законы сохранения системы уравнений (10)

Определение. Законом сохранения для системы уравнений (10) назовем выражение вида

$A_x+B_y={\omega }_1{F}_1+{\omega }_2{F}_2,$                                                                            (12)

где  – линейные дифференциальные операторы, одновременно не равные нулю тождественно,

$A={\alpha }^{1}u+{\beta }^{1}v+{\gamma }^1,B={\alpha }^{2}u+{\beta }^{2}v+{\gamma }^2,$                                                   (13)

${\alpha }^1,{\beta }^1,{\gamma }^1,{\alpha }^2,{\beta }^2,{\gamma }^2$ – некоторые гладкие функции, зависящие только от  x, y

Замечание. Более общее определение закона сохранения, подходящее для произвольных систем уравнений, можно найти в [14; 15].

Из (12) c учетом (13) получаем

${\alpha }_x^{1}u+{\alpha }^1{u}_x+{{\beta }^1}_{x}v+{\beta }^1{v}_x+{{\gamma }^1}_x+{\alpha }_y^{2}u+{\alpha }^2{u}_y+{\beta }_y^{2}v+{\beta }^2{v}_y+{\gamma }_y^2={\omega }_1(u_x+v_y)+{\omega }_2(u_y-v_x)=0.$  (14)

Из (14) следует

${\alpha }_x^1+{\alpha }_y^2=\mathrm{0,}{\beta }_x^1+{\beta }_y^2=\mathrm{0,}{\alpha }^1={\omega }_1,{\beta }^1=-{\omega }_2,{\alpha }^2={\omega }_2,{\beta }^2={\omega }_1,{\gamma }^1+{\gamma }^2=0.$

Отсюда получаем

${\alpha }^1={\beta }^2,{\alpha }^2=-{\beta }^1.$                                                                                    (15)

Поэтому

${\alpha }_x^1-{\beta }_y^1=\mathrm{0,}{\alpha }_y^1+{\beta }_x^1=0.$                                                                             (16)

Из приведённых формул следует, что система уравнений (10) допускает бесконечно много законов сохранения. Далее будут приведены только те, которые позволяют решить поставленную задачу.

Следовательно, сохраняющийся ток имеет вид: $A={\alpha }^{1}u+{\beta }^{1}v+{\gamma }^1,B=-{\beta }^{1}u+{\alpha }^{1}v+{\gamma }^2.$

Из (13) получаем

$\underset{S}{\iint }(A_x+B_y)dxdy=\underset{L}{\oint }-Ady+Bdx=\mathrm{0,}$                                                   (17)

где S – область, ограниченная кривой L.

Решение задачи (10), (11)

Для нахождения значений u, v внутри области S, необходимо построить решения системы Коши – Римана (16), имеющие особенности в произвольной точке .

Первое из таких решений имеет вид:

${\alpha }^1=\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},{\beta }^1=-\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},{\gamma }^1={\gamma }^2=0.$   (18)

Замечание. Если в уравнения равновесия включить массовые силы, то ${\gamma }^1,{\gamma }^2$ уже не будут равны нулю.

В точке $(x_0,y_0)\in S$ функции ${\alpha }^1,{\beta }^1$ имеют особенности, поэтому окружим эту точку окружностью ɛ: ${(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2={\epsilon }^2.$

Тогда из формулы (17) получаем

$\underset{L}{\oint }-Ady+Bdx+\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx=\mathrm{0,}$                                                          (19)

вычислим второй интеграл в формуле (19). Имеем

$\begin{array}{l}\underset{}{\oint }-Ady+Bdx=\underset{\epsilon }{\oint }-(\frac{u(x-x_0)}{{(x-x_0)}^2+{(x-x_0)}^2}-\frac{v(y-y_0)}{{(x-x_0)}^2+{(x-x_0)}^2})dy+\\ +\left(-\frac{u(y-y_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}-\frac{v(x-x_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}\right)dx.\end{array}$

Введем новые координаты $x-x_0=\epsilon \cos \phi ,y-y_0=\epsilon \sin \phi ,$ получаем

$\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}[-(u\cos \phi +v\sin \phi )\cos \phi -(u\sin \phi +v\cos \phi \left)sin\phi \right]d\phi =-\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}ud\phi =-2\pi u(x_0,y_0).$    (20)

Последнее равенство получено по теореме о среднем при $\epsilon \to 0$.

Для окончательного построения решения найдем значения  на границе L. Из формулы (11) получаем

$u=f{n}_1-g{n}_2+n_2^2,v=f{n}_2+g{n}_1+n_1{n}_2^{}.$                                             (21)

Подставим (21) в (20) и с учетом (19) получим

$\begin{array}{l}2\pi u(x_0,y_0)=2\pi {\sigma }_x(x_0,y_0)/p=\\ =\underset{L}{\oint }-(\frac{(f{n}_1-g{n}_2+n_1^2)(x-x_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}-\frac{(f{n}_2+g{n}_1-n_1^{}{n}_2)(y-y_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2})dy+\\ -\left(\frac{(f{n}_1-g{n}_2+n_1^2)(y-y_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}+\frac{(f{n}_2+g{n}_1-n_1^{}{n}_2)(x-x_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}\right)dx.\end{array}$

Второе решение системы уравнений (16) возьмем в виде

${\alpha }^1=\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},{\beta }^1=\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},$                         (22)

проделав выкладки аналогичные выкладкам, проделанным с решением (18), получаем

$\begin{array}{l}2\pi v(x_0,y_0)=2\pi \tau (x_0,y_0)/p=\\ =\underset{L}{\oint }-(\frac{(f{n}_1-g{n}_2+n_1^2)(y-y_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}+\frac{(f{n}_2+g{n}_1-n_1^{}{n}_2)(x-x_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2})dy+\\ -\left(-\frac{(f{n}_1-g{n}_2+n_1^2)(x-x_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}+\frac{(f{n}_2+g{n}_1-n_1^{}{n}_2)(y-y_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}\right)dx.\end{array}$

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложен новый метод решения первой краевой задачи для уравнений плоской теории упругости в стационарном случае. Этот способ позволяет найти значение компонент тензора напряжений в каждой точке исследуемой области. При этом вычисления напряжений сводятся только к вычислению контурных интегралов по границам области.

作者简介

Olga Pashkovskaya

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

编辑信件的主要联系方式.
Email: pashkovskaya@sibsau.ru
ORCID iD: 0009-0003-2529-4105

Cand. Sс., associate Professor, Reshetnev

俄罗斯联邦, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

Sergei Lukyanov

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Email: lukyanovsv@sibsau.ru

postgraduate student

俄罗斯联邦, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

参考

补充文件