Solving the problem of stretching an elastic-plastic strip weakened by cuts and holes

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Упругопластические задачи, в силу их практической важности, уже давно изучаются механиками. Основной проблемой, которая возникает при решении таких задач, является упругопластическая граница. Условие пластичности накладывает дополнительную связь, и это, по словам Г. П. Черепанова [1], упрощает задачу, с другой стороны, возникает новый неизвестный элемент – упругопластическая граница, затрудняющая решение. В настоящее время решения упругопластических задач продолжает оставаться в центре внимания исследователей. Появляются новые аналитические подходы к их решению, совершенствуются численные методы. Проведем краткий обзор таких работ. В [2] с помощью законов сохранения решена задача о кручении упругопластического стержня, армированного упругими волокнами. Для решения задачи используются законы сохранения. В [3] рассмотрен упругопластический коробчатый брус, который изгибается поперечной силой. Предполагается, что деформации в стержне упругопластические и боковая поверхность его свободна от напряжений. Центр тяжести поперечного сечения не совпадает с точкой приложения силы. С помощью законов сохранения построено точное решение, описывающее напряженное состояние этой конструкции. Напряженное состояние вычисляется в каждой точке рассмотренной фигуры с помощью интегралов по внешним контурам поперечного сечения. В [4] исследуется упругопластическое кручение многослойного стержня. Стержень состоит из нескольких слоев. Упругие свойства слоев различны, но коэффициент пластичности у всех слоев одинаков. В статье построены законы сохранения, которые позволили вычислить компоненты тензора напряжений с помощью контурных интегралов по границе слоев. В [5] рассматривается упругопластическое кручение анизотропного трехслойного цилиндрического стержня некругового поперечного сечения. Внутренний слой стержня находится в упругопластическом состоянии, два внешних слоя полностью пластические. Предполагается пластическая анизотропия. Параметры анизотропии каждого слоя различны. В [6] определена глубина зарождения пластической области, позволяющая контролировать степень наклепа защитного покрытия детали, не допуская его переупрочнения. В [7] дано описание испытательного комплекса и методики проведения экспериментов для изучения сложного нагружения. Приведены некоторые вопросы исследования упругопластического деформирования материалов на автоматизированном комплексе СН-ЭВМ. В [8] рассмотрено решение задачи определения упругопластического состояния тяжелого пространства, ослабленного отверстием эллиптической формы. Материал среды обладает свойствами анизотропии. Решение задачи выполнялось методом малого параметра. Кручение двухслойного стержня коробчатого сечения рассмотрено в [9]. В [10] численными методами рассчитывается напряженно-деформированное состояние связующего композитных материалов. Расслоения стальных труб при сложном нагружении моделируются в [11]. Упругопластический анализ круговой трубы, вывернутой наизнанку, проведен в [12]. В [13] изучается влияние типа плоской задачи для упругопластического адгезионного слоя на значение J-интегралов. Горячая посадка упруговязкопластического диска с некруговым включением описана в [14]. В [15] описываются явления уменьшения пластичности с увеличением предела текучести поликристалла.

В предлагаемой работе используются законы сохранений дифференциальных уравнений. Это позволяет свести нахождение компонент тензора напряжений в каждой точке к контурному интегралу по границе рассматриваемой области и дает возможность построить упругопластическую границу. При этом предполагается, что граница является кусочно-гладкой.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим уравнения, описывающие плоскую упругую деформацию в стационарном случае.

Они состоят из уравнений равновесия

$\frac{\partial {\sigma }_x}{\partial x}+\frac{\partial \tau }{\partial y}=\mathrm{0,}\frac{\partial \tau }{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_y}{\partial y}=0$                                                                   (1)

и уравнения Лапласа, которое есть следствие совместности деформаций

$\Delta ({\sigma }_x+{\sigma }_y)=0.$                                                                                            (2)

Здесь ${\sigma }_x,{\sigma }_y,\tau$ – компоненты тензора напряжений.

Систему (1), (2), следует решить со следующими граничными условиями

${\sigma }_x{n}_1+\tau n_2{|}_L=X(x,y),\tau n_1+{\sigma }_y{n}_2{|}_L=Y(x,y),$                                 (3)

Здесь n₁, n₂ – компоненты вектора внешней нормали к кусочно-гладкому внешнему контуру и контурам отверстий, ограничивающему конечную область S. Область S приведена на рис. 1. X, Y - компоненты вектора внешних сил.

Рис. 1. Область S
Fig. 1. Region S

Далее предполагаем, что на боковой поверхности и контурах круглых отверстий материал находится в пластическом состоянии, поэтому соотношение Мизеса включено в (3). Здесь k – постоянная пластичности, равная пределу текучести при чистом сдвиге.

Предполагаем, что полоса растягивается усилиями

${\sigma }_y{|}_{y=l}=2k,{\sigma }_y{|}_{y=-l}=-2k,$                                                                             (4)

а остальные границы внешнего контура и отверстий считаются свободными от напряжений.

• Отсюда следует:
• – на границах AB, DE из (3) получаем ${\sigma }_y=2k,{\sigma }_x=\mathrm{0,}\tau =0;$
• – на границах FG, IJ – ${\sigma }_y=-2k,{\sigma }_x=\mathrm{0,}\tau =0;$
• – на границах CB, GH и границах Г_i –  ${\sigma }_y=2k{n}_1^2,{\sigma }_x=2k{n}_2^2,\tau =-2k{n}_1{n}_2;$    (5)

– на границах CD, HI

Будем искать решение задач (1)–(3) в два этапа. На первом этапе решается задача Дирихле для уравнения Лапласа, где

${\sigma }_x+{\sigma }_y=p(x,y).$                                                                                                  (6)

Из (3) получаем

на       DEFGH и Г_i   
на      HIJAB.                                                                                                (7)

Для решения этой задачи используются стандартные методы. В результате в области S найдена функция p(x ,y)

На втором этапе решаем задачу

$\frac{\partial {\sigma }_x}{\partial x}+\frac{\partial \tau }{\partial y}=\mathrm{0,}\frac{\partial \tau }{\partial x}-\frac{\partial {\sigma }_x}{\partial y}+\frac{\partial p}{\partial y}=\mathrm{0,}$                                                          (8)

со следующими граничными условиями, которые следуют из (3):

• – на границах DE, FG, IJ, AB  ${\sigma }_x=\mathrm{0,}\tau =0;$
• – на границах CD, GH и Г_i  ${\sigma }_x=2k{n}_2^2,\tau =-2k{n}_1{n}_2;$                                (9)
• – на границах BC, IH  ${\sigma }_x=-2k{n}_2^2,\tau =2k{n}_1{n}_2.$

Для удобства запишем уравнения (8) в виде

$F_1=u_x+v_y=\mathrm{0,}{F}_2=-u_y+v_x+f=\mathrm{0,}$                                                              (10)

где ${\sigma }_x=u,\tau =v,\frac{\partial p}{\partial y}=f,$ далее индекс внизу будет означать производную по соответствующему аргументу.

Для удобства перепишем в новых терминах и граничные условия

• На границах DE, FG, IJ, AB  $u=\mathrm{0,}v=0.$
• На границах CD, GH и Г_i   $u=2k{n}_2^2,v=-2k{n}_1{n}_2.$                                     (11)
• На границах BC, IH  $u=-2k{n}_2^2,v=2k{n}_1{n}_2.$

Решим краевую задачу (10), (11) с помощью законов сохранения.

Законы сохранения системы уравнений (10)

Определение. Законом сохранения для системы уравнений (10) назовем выражение вида

$A_x+B_y={\omega }_1{F}_1+{\omega }_2{F}_2,$                                                                                     (12)

где ${\omega }_1,{\omega }_2$ – линейные дифференциальные операторы, одновременно не равные нулю тождественно,

$A={\alpha }^{1}u+{\beta }^{1}v+{\gamma }^1,B={\alpha }^{2}u+{\beta }^{2}v+{\gamma }^2,$                                                            (13)

${\alpha }^1,{\beta }^1,{\gamma }^1,{\alpha }^2,{\beta }^2,{\gamma }^2$ – некоторые гладкие функции, зависящие только от $x,y.$

Замечание. Более общее определение закона сохранения, подходящее для произвольных систем уравнений, можно найти в [16].

Из (12) c учетом (13) получаем

$\begin{array}{l}{\alpha }_x^{1}u+{\alpha }^1{u}_x+{{\beta }^1}_{x}v+{\beta }^1{v}_x+{{\gamma }^1}_x+{\alpha }_y^{2}u+{\alpha }^2{u}_y+{\beta }_y^{2}v+{\beta }^2{v}_y+{\gamma }_y^2=\\ ={\omega }_1(u_x+v_y)+{\omega }_2(-u_y+v_x+f)=0.\end{array}$                   (14)

Из (14) следует

${\alpha }_x^1+{\alpha }_y^2=\mathrm{0,}{\beta }_x^1+{\beta }_y^2=\mathrm{0,}{\alpha }^1={\omega }_1,{\beta }^1={\omega }_2,{\alpha }^2=-{\omega }_2,{\beta }^2={\omega }_1,{\gamma }_x^1+{\gamma }_y^2={\omega }_{2}f.$

Отсюда получаем

${\alpha }^1={\beta }^2,{\alpha }^2=-{\beta }^1.$                                                                                          (15)

Поэтому

${\alpha }_x^1-{\beta }_y^1=\mathrm{0,}{\alpha }_y^1+{\beta }_x^1=0.$                                                                                   (16)

Из приведённых формул следует, что система уравнений (10) допускает бесконечно много законов сохранения; далее будут приведены только те, которые позволяют решить поставленную задачу.

Поскольку сохраняющийся ток имеет вид

$A={\alpha }^{1}u+{\beta }^{1}v+{\gamma }^1,B=-{\beta }^{1}u+{\alpha }^{1}v+{\gamma }^2.$

Из (16) по формуле Грина получаем

$\underset{S}{\iint }\left(A_x+B_y\right)dxdy=\underset{L}{\oint }-Ady+Bdx+\sum _i^{}\underset{{Г}_i}{\oint }-Ady+Bdx=\mathrm{0,}$                       (17)

где S – область, ограниченная кривой L и контурами Г_i.

Решение задачи (10), (11)

Для нахождения значений $u,v$ внутри области S, необходимо построить решения системы Коши – Римана (16), имеющие особенности в произвольной точке $(x_0,y_0)\in S$.

Первое из таких решений имеет вид

${\alpha }^1=\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},{\beta }^1=\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},{\gamma }^1=\int \frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}fdx,{\gamma }^2=0.$  (18)

В точке $(x_0,y_0)\in S$(x₀, y₀) функции α¹, β¹ имеют особенности, поэтому окружим эту точку окружностью ɛ: ${(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2={\epsilon }^2.$

Тогда из формулы (17) получаем

$\sum _i^{}\underset{{Г}_i}{\oint }-Ady+Bdx+\underset{L}{\oint }-Ady+Bdx+\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx=\mathrm{0,}$                                    (19)

Вычислим последний интеграл в формуле (19). Имеем

$\begin{array}{l}\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx=\underset{\epsilon }{\oint }-(\frac{u(x-x_0)}{{(x-x_0)}^2+{(x-x_0)}^2}-\frac{v(y-y_0)}{{(x-x_0)}^2+{(x-x_0)}^2}+{\gamma }^1)dy+\\ +\left(-\frac{u(y-y_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}-\frac{v(x-x_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}\right)dx.\end{array}$

Введем новые координаты $x-x_0=\epsilon \cos \phi ,y-y_0=\epsilon \sin \phi ,$ получаем

$\begin{array}{l}\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }} \left[- \left(u\cos \phi +v\sin \phi \right)\cos \phi -\left(u\sin \phi +v\cos \phi \right) \sin \phi \right]d\phi =\\ =-\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}ud\phi =-2\pi u\left(x_0,y_0\right).\end{array}$              (20)

Последнее равенство получено по теореме о среднем при ɛ → 0.

Для окончательного построения решения найдем значения u, v на границе L. Из формул (15) получаем

$\begin{array}{l}2\pi {\sigma }_x\left(x_0,y_0\right)=\underset{AB}{\int }{\gamma }^{1}dy+\underset{BC}{\int -}\left(-2k{n}_2^2{\alpha }^1+2k{n}_1{n}_2{\beta }^1+{\gamma }^1\right)dy+\left(2k{n}_2^2{\beta }^1+2k{n}_1{n}_2{\alpha }^1\right)dx+\\ -\underset{CD}{\int }\left(2k{n}_2^2{\alpha }^1-2k{n}_1{n}_2{\beta }^1+{\gamma }^1\right)dy+\left(2k{n}_2^2{\beta }^1+2k{n}_1{n}_2{\alpha }^1\right)dx-\underset{DE}{\int }{\gamma }^{1}dy-\underset{EF}{\int }{\gamma }^{1}dy+\underset{FG}{\int }{\gamma }^{1}dy+\\ +\underset{GH}{\int -}\left(2k{n}_2^2{\alpha }^1-2k{n}_1{n}_2{\beta }^1+{\gamma }^1\right)dy-\left(2k{n}_2^2{\beta }^1+2k{n}_1{n}_2{\alpha }^1\right)dx+\\ +\underset{HI}{\int -}\left(-2k{n}_2^2{\alpha }^1+2k{n}_1{n}_2{\beta }^1-{\gamma }^1\right)dy+\left(2k{n}_2^2{\beta }^1+2k{n}_1{n}_2{\alpha }^1\right)dx+\underset{IJ}{\int }{\gamma }^{1}dy-\underset{JA}{\int }{\gamma }^{1}dy+\\ +\sum _i^{}\underset{{Г}_i}{\int }\left(2k{n}_2^2{\alpha }^1-2k{n}_1{n}_2{\beta }^1+{\gamma }^1\right)dy+\left(2k{n}_2^2{\beta }^1+2k{n}_1{n}_2{\alpha }^1\right)dx.\end{array}$       (21)

Второе решение системы уравнений (16) возьмем в виде

$\begin{array}{l}{\alpha }^1=\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},{\beta }^1=-\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},\\ {\gamma }^1=-\int \frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}fdx,{\gamma }^2=0.\end{array}$                                                         (22)

Проделав выкладки, аналогичные выкладкам, проделанным с решением (18), получаем

$\begin{array}{l}2\pi \tau \left(x_0,y_0\right)=\underset{AB}{\int }{\gamma }^{1}dy+\underset{BC}{\int }-\left(-2k{n}_2^2{\alpha }^1+2k{n}_1{n}_2{\beta }^1+{\gamma }^1\right)dy+\left(2k{n}_2^2{\beta }^1+2k{n}_1{n}_2{\alpha }^1\right)dx+\\ -\underset{CD}{\int }\left(2k{n}_2^2{\alpha }^1-2k{n}_1{n}_2{\beta }^1+{\gamma }^1\right)dy+\left(2k{n}_2^2{\beta }^1+2k{n}_1{n}_2{\alpha }^1\right)dx-\underset{DE}{\int }{\gamma }^{1}dy-\underset{EF}{\int }{\gamma }^{1}dy+\underset{FG}{\int }{\gamma }^{1}dy\\ +\underset{GH}{\int -}\left(2k{n}_2^2{\alpha }^1-2k{n}_1{n}_2{\beta }^1+{\gamma }^1\right)dy-\left(2k{n}_2^2{\beta }^1+2k{n}_1{n}_2{\alpha }^1\right)dx+\\ +\underset{HI}{\int -}\left(-2k{n}_2^2{\alpha }^1+2k{n}_1{n}_2{\beta }^1-{\gamma }^1\right)dy+\left(2k{n}_2^2{\beta }^1+2k{n}_1{n}_2{\alpha }^1\right)dx+\underset{IJ}{\int }{\gamma }^{1}dy-\underset{JA}{\int }{\gamma }^{1}dy+\\ +\sum _i^{}\underset{{Г}_i}{\int }\left(2k{n}_2^2{\alpha }^1-2k{n}_1{n}_2{\beta }^1+{\gamma }^1\right)dy+\left(2k{n}_2^2{\beta }^1+2k{n}_1{n}_2{\alpha }^1\right)dx.\end{array}$          (23)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложен метод решения краевой задачи, описывающей упругопластическое напряженное состояние полосы с боковыми разрезами и отверстиями. При этом вычисления напряжения ${\sigma }_x,\tau$ сводятся только к вычислению контурных интегралов по границам области, а напряжение ${\sigma }_y$ определяется из решения задачи (11), (12) численным решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа. После определения всех компонент тензора напряжений необходимо найти точки области S, в которых достигается предел текучести. Это позволяет построить упругопластическую границу и тем самым оценить прочность рассматриваемой пластины. В настоящее время разрабатывается программа, позволяющая строить упругопластическую границу для растягиваемых пластин с разрезами и отверстиями.

About the authors

Olga N. Cherepanova

Author for correspondence.
Email: OCherepanova@sfu-kras.ru

Cand.  Sc., Director of the Institute of Mathematics and Fundamental Computer Science

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Region S

Download (1KB)

Indexing metadata