Investigation of the stress state and assessment of the stability of an anisogrid cylindrical shell when changing the parameters of the rib structure under static loading

Full Text

Введение

Сетчатые цилиндрические композитные оболочки, состоящие из пересечения спиральных и кольцевых ребер (рис. 1, а), часто выступают в качестве элементов агрегатов летательных аппаратов [1; 2]. В космических аппаратах сетчатые оболочки выступают в роли силовых корпусов, адаптеров. Оболочки данного класса обладают высокими жесткостями, прочностными характеристиками и весовой эффективностью [3]. При этом проектирование реберной структуры конкретной сетчатой оболочки, обеспечивающей необходимую надежность конструкции при ее минимальной массе, остается актуальной задачей.

В статье рассматриваются два подхода к формированию регулярных реберных структур сетчатых оболочек без обшивок с фиксированной массой. Приведены результаты численных расчетов напряженно-деформированного состояния серии оболочек при статическом осевом нагружении, результаты анализа устойчивости конструкций, собственных частот и форм колебаний оболочек.

Алгоритм расчета значений геометрических и структурных параметров сеток ребер оболочек без обшивки с заданной массой

Первый этап алгоритма включает в себя расчет массы базовой конструкции.

На рис. 1, а представлена дискретная модель исходной сетчатой оболочки, которая включает 80 пар спиральных ребер и 6 кольцевых ребер. Сверху и снизу оболочка подкреплена шпангоутами.

 

Рис. 1. Дискретная модель сетчатой оболочки регулярной структуры: а – геометрические параметры сетки; б – схема приложения нагрузки «полет» и закрепление узлов нижнего шпангоута

Fig. 1. Discrete model of the mesh shell of a regular structure: a – geometric parameters of the mesh; b – the scheme of application of the load “flight” and fixing the nodes of the lower frame

 

Рассмотрим элементарную ромбическую ячейку (рис. 1, а). Так как тетрагональная структура стремится к правильной форме, то будем считать ячейку равносторонней. Обозначим за а_спир – длину стороны элементарной ячейки, за а_кол – длину диагонали, расположенной вдоль кольцевого ребра. Расчет числа элементов, входящих в кольцевое и спиральное ребра, и определение общего числа элементов для каждого из семейств ребер позволяет определить массу оболочки. Массу конструкции рассчитаем с учетом семейств ребер

$M = n_1 · m_{\mathrm{спир}} + n_2 · m_{\mathrm{кол}} + n_3 · m_{\mathrm{шп}},$

где n₁, n₂, n₃ – число структурных элементов в семействах спиральных, кольцевых ребер и шпангоутов; m_спир – масса, приходящаяся на элемент спирального ребра; m_кол – масса, приходящаяся на элемент кольцевого ребра; m_шп – масса, приходящаяся на элемент шпангоута. Для этого вводятся значения плотности материала r, угла между спиральным ребром и образующей a, высоты H и радиуса R конструкции.

Блок-схема расчета массы исходной конструкции представлена на рис. 2 (этап 1).

Второй этап алгоритма позволяет рассчитать значения геометрических и структурных параметров сеток, которые получаются путем модификации исходной оболочечной конструкции.

Количество кольцевых ребер m определяется по формуле

$m=H/h=\left(H\cdot N_{\text{кол}}\right)/\left(4\cdot \pi \cdot R\cdot \text{cos}\left(\alpha \right)\right),$

где N_спир – число элементов в семействе спиральных ребер; h – половина высоты ромбической ячейки.

Исходя из того, что образованный ребрами треугольник равнобедренный, длина элемента кольцевого и спирального ребер будет рассчитываться по следующим формулам:

$a_{\text{спир}}=L/\left(N_{\text{кол}}/2\right)=\left(4\cdot \pi \cdot R\right)/N_{\text{кол}},$

$a_{\text{шп}}=L/\left(N_{\text{кол}}/2\right)=\left(4\cdot \pi \cdot R\right)/N_{\text{шп}},$

где длина окружности $L=2\cdot \pi \cdot R.$

Выражаем объем и массу структурного элемента каждого семейства ребер через их геометрические параметры. Так для элемента спирального ребра справедливо следующее:

$V_{\text{спир}}=a_{\text{спир}}\cdot b_{\text{спир}}\cdot h_{\text{спир}},$

$M_{\text{спир}}=V_{\text{спир}}\cdot \rho ,$

Где h_спир  – высота и b_спир – толщина элемента спирального ребра.

 

Рис. 2. Блок-схема алгоритма вычисления значений геометрических и структурных параметров сеток ребер оболочек без обшивки с неизменной массой

Fig. 2. Block diagram of the algorithm for calculating the values of geometricand structural parameters of the mesh edges of shells without cladding with a constant mass

 

Зная фиксированную массу конструкции и ее долевое распределение между тремя семействами ребер, имеем возможность изменять плотность реберной структуры оболочки путем варьирования значений высот или толщин ребер. В табл. 1 и 2 приведены показатели пяти реберных структур оболочек, полученных путем варьирования разных показателей.

Представленные структуры были реализованы в виде дискретных моделей в программном комплексе Ansys Mechanical APDL.

 

Таблица 1. Параметры структуры сетчатых оболочек при варьировании толщин ребер

Модель Количество спиральных ребер		1	2	3	4	5
		80	120	160	240	320
Спиральные парные	Длина a (мм)	211	141	110	70,4	53
	Высота h (мм)	30
	Толщина b (мм)	5	4,4	2,5	1,7	1,3
Количество кольцевых ребер		6	9	11	16	21
Кольцевые	Длина a (мм)	314,2	210	157	104	79
	Высота h (мм)	30
	Толщина b (мм)	15	8.6	6,7	4,3	3,2
Шпангоуты	Длина a (мм)	314,2	210	157	104	79
	Высота h (мм)	40
	Толщина b (мм)	40

 

Таблица 2. Параметры структуры сетчатых оболочек при варьировании высот ребер

Модель Количество спиральных ребер		1	2	3	4	5
		80	120	160	240	320
Спиральные парные	Толщина b(мм)	5
	Длина a(мм)	211	141	110	70,4	53
	Высота h(мм)	30	18	14	9,286	6,908
Количество кольцевых ребер		6	9	11	16	21
Кольцевые	Толщина b(мм)	15
	Длина a(мм)	314,2	210	157	104	79
	Высота h(мм)	30	18	14	9,286	6,908
Шпангоуты	Толщина b(мм)	40
	Длина a(мм)	314,2	210	157	104	79
	Высота h(мм)	40

 

Построение дискретных моделей сетчатых оболочек в Ansys Mechanical APDL

Для моделирования сетчатых оболочечных конструкций в программном комплексеANSYS был разработан макрос, содержащий параметрическуюдискретную модель сетчатой цилиндрической оболочки регулярной структуры [4; 5].

При построении дискретной модели использовался одномерный двухузловой конечный элемент BEAM4 [6] с шестью степенями свободы в каждом узле. Каждому семейству ребер присваивался свой вид поперечного сечения, задавался свой набор переменных и констант. Модель жестко крепилась в узлах нижней кромки, к узлам верхней кромки прикладывалась нагрузка.

Введем параметр плотности реберной структуры ρ^*. Под плотностью понимается отношение площади поверхности оболочки с разряженной сеткой к площади поверхности цельной оболочки.

На рис. 3 представлены дискретные модели сетчатых структур различной плотности.

 

Рис. 3. Дискретные модели сеток: а – ρ* = 0,15; б – ρ* = 0,253; в – ρ* = 0,459

Fig. 3. Discrete grid models: a – ρ^* = 0,15; b – ρ^* = 0,253; c – ρ^* = 0,459

 

Рассматривалось два варианта нагрузки F: режим «полет» включал осевую сжимающую силу F = 625 Н с моментом M = 80 Н·м, распределенную по верхней кромке модели; режим«не полет» – сжимающую осевую силу F = 625 Н, равномерно распределенную по узлам верхнего шпангоута.

Напряженное состояние сетчатой оболочки

На рис. 4 представлены поля напряжений реберной структуры, плотность ρ^* = 0,15.

 

Рис. 4. Поля напряжений исходной конструкции с 80 парами спиральных ребер: а – режим «не полет»;  б – режим «полет»

Fig. 4. Stress fields of the original design with 80 pairs of spiral ribs: а – “non-flight” mode;  b – “flight” mode

 

При воздействии на оболочку описанных выше нагрузок происходит деформирование ребер: кольцевые ребра конструкции растягиваются, а спиральные – сжимаются [7].

Проводилось исследование влияния плотности реберной структуры ρ^*, высоты h и толщины ребер b на напряженное состояние сетчатой оболочки. В ходе вычислительного эксперимента изменялись плотность реберной структуры ρ^* с 0,15 до 0,495, количество пар спиральных ребер N с 80 до 320, толщина b с 15 до 3,2 мм и высота h c 30 до 6,9 мм.

 

Рис. 5. Поверхности максимальных продольных напряжений σs_max в ребрах оболочки при режиме «полет» в зависимости от толщины b и числа пар спиральных ребер N: a – максимальные растягивающие напряжения; б –  максимальные сжимающие напряжения

Fig. 5. Surfaces of maximum longitudinal stresses σs_max in the shell ribs in the “flight” mode from thickness b and the number of pairs of spiral ribs N:a – maximum tensile stresses; b – maximum compressive stresses

 

Выше на рис. 5 приведены поверхности откликов максимальных продольных напряжений в спиральных и кольцевых ребрах оболочки при варьировании числа пар спиральных ребер N и толщины реберной структуры b. Анализ приведенных поверхностей показывает, что максимальные продольные напряжения линейно зависят от изменяемых параметров, более сильное влияние оказывает изменение числа пар спиральных ребер.

На рис. 6 приведены поверхности откликов максимальных продольных напряжений в спиральных и кольцевых ребрах оболочки при варьировании плотности реберной структуры ρ^* и высоты ребер h. Анализ поверхностей показывает, что максимальные напряжения изменяются линейно, большее влияние оказывает изменение плотности реберной структуры ρ^*.

 

Рис. 6. Поверхности максимальных продольных напряжений σs_max  в ребрах оболочки при режиме «полет» в зависимости от высоты h и плотности реберной структуры ρ^*: а – максимальные растягивающие напряжения; б – максимальные сжимающие напряжения

Fig. 6. Surfaces of maximum longitudinal stresses σsmax in the shell ribs in the “flight” modefrom the height h and the density of the rib structure ρ^*: a – maximum tensile stresses; b – maximum compressive stresses

 

Анализ устойчивости сетчатой оболочки

В Ansys Mechanical APDL был проведен анализ приведенных выше сетчатых оболочек на устойчивость. Для исследования использовался анализ Buckle [8; 9], задача решалась в линейной постановке с выведением форм потери устойчивости [10]. На рис. 7. приведены значения критических нагрузок F_кр и формы потери устойчивости оболочек различной плотности.

 

Рис. 7. Формы потери устойчивости реберных структур различной плотности при режиме «полет»

Fig. 7. Forms of loss of stability of rib structures of different densities in the “flight” mode

 

По результатам вычислительного эксперимента построен график зависимости критической нагрузки от плотности реберной структуры ρ^* (рис. 8).

 

Рис. 8. График зависимости критической нагрузки F_кр от плотности реберной структуры ρ^*: 1 – варьирование толщины b – реберной структуры; 2 – варьирование высоты ребер h

Fig. 8. Graph of the dependence of the critical load of the F_kr on the density of the rib structure ρ^*: 1 – variation of the thickness b of the rib structure; 2 – variation of the height of the ribs h

 

Анализ рис. 8 показал следующее: в сетчатых структурах, полученных путем изменения высоты ребер h, при проведении анализа устойчивости оболочек получены значения критических нагрузок F_кр выше, чем в реберных структурах, сформированных путем варьирования толщин ребер b.

В рассматриваемых конструкциях с увеличением числа пар спиральных ребер уменьшается критическая нагрузка F_кр. Данное явление можно объяснить тем, что с увеличением плотности реберной структуры оболочка становится тоньше, так как ее масса фиксирована, следовательно, оболочка становится восприимчива к критическим нагрузкам.

Анализ собственных частот и форм колебаний сетчатых оболочек

Проводилось исследование сетчатой оболочечной конструкции на собственные частоты и формы колебаний. Для численного расчета использовался анализ MODAL в Ansys Mechanical APDL [11–15].

В табл. 3, 4 приведены собственные значения и формы колебаний оболочек с разной плотностью реберных структур. С ростом значений собственных чисел количество волн в конструкции увеличивается с 8 до 12, причем они имеют симметричную структуру (табл. 3, 4). Данное явление объясняется тем, что в конструкциях присутствуют ребра, направленные вправо и влево с равным углом наклона a к образующей оболочки.

Анализ частот и форм оболочек позволяет сделать следующие выводы. С увеличением плотности реберной структуры оболочка становится тоньше, значения частот уменьшаются. В сетчатых структурах, образованных варьированием толщин ребер b, значения собственных частот в разы больше, чем значения соответствующих частот в структурах, образованных варьированием высот ребер h.

Полученные численно значения собственных частот оболочек сравнивались со значениями частот, рассчитанных аналитически. Методика расчета собственных частот приведена в [16].

Уравнение собственных частот сетчатой цилиндрической оболочки выглядит следующим образом:

K₁ · ω_mn⁶  – K₂ · ω_mn⁴ + K₃ · ω_mn² = L,

где K₁, K₁, K₁ – коэффициенты, определяемые выражениями вида

K₁ = a · L₁ · R⁶ / (2 · ρ · F),

K₂ = a · (L₂ + L₃ + L₄) · R⁴ / (2 · ρ · F),

K₃ = a · (L₅ + L₆ + L₇) · R² / (2 · ρ · F),

где L_i – определители матрицы обобщенных жесткостей L(i = 1…7); ρ – плотность материала; R – радиус оболочки; F – площадь поперечного сечения; a – длина ребер.

 

Таблица 3. Собственные формы колебаний и значения частот при варьировании высот ребер

 

Таблица 4. Собственные формы колебаний и значения частот при варьировании толщин ребер

 

После подстановки граничных условий и некоторых преобразований выражение для нахождения собственных частот сетчатой цилиндрической оболочки имеет вид

$\omega m{n}^2 = a · L / (2 · \rho · h · b · L_7 · R^2),$

где ω_mn – значение собственных частот; m и n – целые числа, определяющие число полуволн в продольном и поперечном направлении; h – высота ребер; b – толщина ребер.

Вычисленные аналитически и численно значения первых собственных частот конструкций представлены на рис. 9.

 

Рис. 9. График зависимости значений собственных частот: а – от плотности реберной структуры ρ^*; б – числа пар спиральных ребер N; 1 – численный расчет; 2 – аналитический расчет

Fig. 9. Graph of the dependence of the values of natural frequencies on: а – densities of the rib structure ρ^*; b – the number of pairs of spiral edges N; 1 – numerical calculation; 2 – analytical calculation

 

Анализируя рис. 9, отметим, что значения первых собственных частот, вычисленных численно и аналитически, близки и их относительная погрешность не превышает 2 %.

Заключение

Разработанный и реализованный алгоритм расчета значений геометрических и структурных параметров сетчатой цилиндрической оболочки без обшивки с неизменной массой позволяет формировать реберные структуры путем варьирования высот или толщин ребер при фиксированной массе конструкции.

Расчет напряженно-деформированного состояния оболочек с разной плотностью ребер при осевом сжатии показал, что для всех конструкций справедливо следующее: кольцевые ребра растягиваются, а спиральные сжимаются.

При выборе подходов к моделированию сетчатых структур, следует учитывать следующее:

Сформированные и приведенные зависимости максимальных продольных напряжений спиральных и кольцевых ребер оболочки от плотности реберной структуры ρ^* и высоты ребер h позволяют корректно подбирать параметры сетчатой структуры с учетом ее деформирования.

About the authors

Maksimovna K. Lidiya

Novosibirsk State Technical University

Email: lol.petrushka@mail.ru

Master’s student

Russian Federation, 20, Karl Marx Av., Novosibirsk, 630073

Tatiana V. Burnysheva

Novosibirsk State Technical University

Author for correspondence.
Email: tburn@mail.ru

Dr. Sc., Associate Professor, Professor of the Department

Russian Federation, 20, Karl Marx Av., Novosibirsk, 630073

References

Supplementary files