TRANSFORMATION OF EXACT SOLUTIONS OF EQUATIONS OF PLASTICITY WITH ADVANCED SYMMETRIES

Аннотация

The article shows how advanced symmetries of plane ideal plasticity influence on exact solutions. New solutions are obtained.

Толық мәтін

1. Рассмотрим дифференциальные уравнения тео- ( k ) k ( , , , , k , ), рии идеальной пластичности в плоском случае [1]: pij ′ = hij x y σ θ pij α k = 1, 2,...; i, j = 1, 2, ..., F = ∂σ − 2k (cos 2θ ∂θ + sin 2θ ∂θ) = 0, 1 ∂x ∂x ∂y F = ∂σ − 2k (sin 2θ ∂θ − cos 2θ ∂θ) = 0, 2 ∂x ∂y ∂x (1) где α – одномерный параметр из некоторой окрест- ности нуля. Пусть преобразования (2) образуют локальную однопараметрическую группу, тогда ( p1 )′ ∂i + j σ′ = , ( p2 )′ ∂i + j θ′ = . где σx = σ − k sin 2θ, σ y = σ + k sin 2θ, τ= k cos 2θ – ij ∂( x′)i ∂( y′) j ij ∂( x′)i ∂( y′) j компоненты тензора напряжений; σ – гидростатиче- Система уравнений (1) определяет в пространстве ское давление; θ= (1; x) − π , (1; x) 4 – угол между пер- J ∞ следующую бесконечную систему уравнений вым главным направлением тензора напряжений и осью OX. Известно, что система уравнений (1) допускает Dσ (F1 ) = 0, Здесь оператор полной производной имеет вид (3) ∂ k ∂ бесконечную группу точечных симметрий, бесконеч- ную алгебру высших симметрий и бесконечную сис- тему законов сохранения [2]. Точечная группа, допускаемая системой (1), уже Dx = ∂x + ∑ pi +1, j ∂pk , k ,i, j i, j D = ∂ + ∑ p ∂ , y ∂y i, j +1 ∂pk неплохо изучена. С ее помощью удалось построить новые серии точных решений системы (1) и изучить качественные свойства уравнений. σ = (l , m), k ,i, j i, j D = De D Dm . Законы сохранения, допускаемые системой (1), по- зволили в аналитическом виде решить краевые задачи Коши и Римана. В данной статье впервые будет показано, как выс- Будем говорить, что система уравнений (1) допус- кает группу преобразований (2), если бесконечная система (3) инвариантна при этих преобразованиях. Каждый однопараметрической группе (2) соответст- шие симметрии используются для построения новых точных решений уравнений (1). вует производная функция симметрий ⎛ ϕ1 ⎞ , ⎝ 2 ⎠ ко- 2. Приведем необходимые сведения о высших симметриях уравнения (1). Пусть торая определяется из системы уравнений lF ϕ = 0. (4) ∂i + j σ 1 ∂i + j θ = p , = p2 , i, j = 1, 2, ... . Черта вверху означает, что в уравнениях (4) следу- ∂xi ∂y j ij ∂xi ∂y j ij ет перейти на многообразие (3). Уравнения (4) для системы (1) имеют вид Рассмотрим бесконечномерное пространство J ∞ с ⎛ ∂θ ∂θ ⎞ координатами ( x, y, σ, θ, pk ) k = 1, 2, ... и преобразо- ⎜ −2k (−2 sin 2θ + 2 cos 2θ + D ∂x ∂y ij вание этого пространства вида ⎜ x ⎜ lF = ⎜ ⎟ + cos 2θDx + sin 2θDy ) ⎟ ⎟. ∂θ ∂θ x′ = f 1 ( x, y, σ, θ, pk , α), ⎜ −2k (2 cos 2θ + 2 sin 2θ + ⎟ y′ = f 2 ( x, y, σ, θ, pk , α), ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ + sin 2θDx − cos 2θDy ) ⎟ σ′ = g1 ( x, y, σ, θ, pk , α), θ′ = g 2 ( x, y, σ, θ, pk , α), (2) ⎝ ⎠ Подробности вычислений высших симметрий и многочисленные примеры можно найти в [2] и цити- руемой там литературе. * Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1 (3023). 90 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева 3. Наиболее простая неточечная симметрия систе- мы уравнений (1) имеет вид [2] Из (8) следует, что y (τ) = y0 exp (− τ ) + exp (− τ )−1, ⎛ ϕ= ⎜ yξξ ⎞ 1 , 4 2 а это означает, что на данном решении высшая сим- ⎜ yξ ⎟ 2 ⎝ ⎠ метрия φ сводится к преобразованию вида x′ = et x, где ξ= σ − θ, 2k η= σ + θ, 2k – инварианты Римана сис- y = et y. Поэтому новых решений из решения Прандтля по- темы (1), x = x cos θ + y sin θ, y = −x sin θ + y cos θ. строить не удается. Известен следующий факт. Пусть (σ( x, y), θ( x, y)) – решение системы уравнений (1), которое в перемен- 5. Аналогичная ситуация складывается и с реше- нием Надаи, описывающим напряженное состояние около круглого отверстия. Это решение имеет в по- ных x , y обозначим через x0 , y0 , тогда величины лярной системе координат вид σ( x, y, τ), θ( x, y, τ), определяемые из системы σrr = 2k ln r, σϕϕ = 2k ln r + 2k , τrϕ = 0. yτ = yξξ , y( x, y, 0) = y0 , 1 6. Рассмотрим решение Надаи [1], описывающее течение в плоском сходящемся канале. Оно имеет вид xτ =− 2 yξ , x( x, y, 0) = x0 , (5) σrr = −2kc ln r + k cos 2ψ − kc ln(c − cos 2ψ), есть также решение системы (1). 4. Запишем известное решение Прандтля, описы- вающее сжатие пластического слоя жесткими плита- ми, в координатах ( x, y). Имеем [1] σ = −k ( x − 2 1 − y2 ), σϕϕ = −2kc ln r − k cos 2ψ − kc ln(c − cos 2ψ), τrϕ = k sin 2ψ, σr − σϕ = 2k cos 2ψ > 0, где ψ – угол между первым главным направлением тензора напряжений и полярным радиусом. Постоянная с связана с углом канала 2α: тогда σ y = −kx , τ = ky, α+π / 4 = с с2 −1 arctg c +1 , c −1 x = − σ k − sin 2θ = (ξ + η) − sin(η − ξ), y = cos 2θ = cos(η − ξ). Окончательно получаем x = x cos θ + y sin θ = −(ξ + η) cos η− ξ − sin η − ξ = x0 , c > 0, 0 < α < π / 2. Тогда уравнение первого семейства характеристик этого решения имеют вид [2] x (θ, c ) = exp ⎛ − (c1 + θ) ⎞ S −1 (θ), 2 2 1 ⎜ c ⎟ y = −x sin θ + y cos θ = η− ξ η − ξ (6) ⎝ ⎠ y (θ, c1 ) = xT (θ), = −(ξ + η) sin 2 − cos 2 = y0 . где S (θ) = c + cT 2 (θ) + sin 2θ ⎡1 − T 2 (θ)⎤ − 2T (θ)cos 2θ, Решаем первое уравнение системы (5) с началь- ⎣ ⎦ ным условием (6). ⎡ π ⎛ c −1 ⎡=c −1 π ⎤ ⎞⎤ Решение этой задачи можно записать в виде T (θ) = tg ⎢θ + 4 − arctg ⎜ tg ⎢ c +1 c (θ + 4 )⎥ ⎟⎥ . ∞ τn ∂2n y ⎣⎢ ⎝ ⎣ ⎦ ⎠⎥⎦ y(ξ, η, τ) = y0 Нетрудно видеть, что + ∑ n =1 0 . ∂ξ2n (7) Здесь с1 – постоянная, определяющая характеристику; θ ∈ (0, α) – параметр. В этом случае уравнение преобразованных харак- 2n n n ∂ y0 = (−1) y + ⎛ − 1 ⎞ cos η − ξ . теристик, симметрий φ, будут иметь вид ∂ξ2n 22n ⎜ 2 ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ 1 ∞ ⎡ (ξ− ω) ⎤ Сворачивая полученные ряды из (7), получаем x(τ, ξ, c1 ) = 2 πτ ∫ x(ω, c1 ) exp ⎢− ⎥ d ω, 4τ y(ξ, η, τ) = y0 exp (− τ 4 ) + cos θ exp (− τ 2 ) − cos θ. −∞ ⎢⎣ ∞ ⎡ ⎥⎦ ( )2 ⎤ y(τ, ξ, c ) = 1 ∫ y(ω, c ) exp ⎢− ξ−ω ⎥ d ω. Отсюда без труда получаем решение системы (1) в координатах ( x, y, σ, θ) : 1 2 πτ 1 ⎢ 4τ ⎥ −∞ ⎣ ⎦ где y (τ) = x sin θ + y cos θ = = y0 exp (− τ 4 ) + cos 2θ exp (− τ 2 )− cos 2θ, y0 = cos 2θ. (8) Аналогично выписываются преобразованные ха- рактеристики и второго семейства. Предварительные компьютерные расчеты показывают, что в этом слу- чае высшая симметрия φ дает новое решение.