Beam support stiffness analytic solution for the first eigenfrequency and critical force

Texto integral

Введение

Протяженные балочные конструкции, работающие в условиях вынужденных колебаний и подвергающиеся действию сжимающих сил, должны соответствовать определенным условиям работоспособности [1; 2]. Одними из таких условий работоспособности являются обеспечение значений первой собственной частоты колебаний и первой критической силы:

$f_1\ge \left[f\right], P_{cr1}\ge \left[P\right]$ ,                                                                                                 (1)

где [f ] и [Р] – допускаемые значения частоты и силы.

Постановка задачи колебаний и устойчивости балки сводится к дифференциальным уравнениям с заданными граничными условиями, которые определяются условиями закрепления балки. Для простых условий закреплений решение такой задачи тривиально и его можно найти в научной литературе и справочниках по динамике [3–34]. Однако в существующей литературе опоры имеют идеализированные модели: шарниры, жесткая заделка и др. В динамике балок принято учитывать опорные закрепления в виде так называемых коэффициентов опор, которые получаются из решения дифференциальных уравнений динамического состояния и для простых случаев закрепления, когда жесткость равна нулю или же бесконечности, их значения приведены в научной литературе. Промежуточные значения жесткостей опор и соответствующие им значения коэффициентов опор упоминаются редко и обычно в виде графиков или таблиц [35–40]. В действительности же, опоры практически всегда будут обладать некоторой конечной жесткостью, которая будет влиять как на значение первой частоты колебаний, так и на первую критическую силу. Учет жесткости опор усложняет решение задачи динамики балки, поскольку приводит к трансцендентному уравнению, для которого уже нет явного аналитического решения.

Целью данной работы является получение аналитического решения задачи обеспечение значений первой собственной частоты колебаний и первой критической силы путем определения необходимой жесткости опорных закреплений. Для этого получены аппроксимирующие аналитические зависимости коэффициентов опор при колебаниях и потере устойчивости от жесткости опор и получено разрешающее уравнение, решение которого определяет искомую жесткость опор, которая обеспечит значения первой собственной частоты колебаний и критической силы для двухопорной балки.

1. Уравнения динамического поведения балки

Рассмотрим математическую постановку задачи изгибных колебаний и форм потери устойчивости для двухопорной балки с упругими шарнирами и получим основные уравнения ее динамического состояния.

1.1. Получение разрешающего уравнения

Пусть прямолинейная балка, закрепленная в шарнирных опорах с некоторой жесткостью k₁, k₂, подвергается внешнему воздействию в виде продольной силы Р (рис. 1). Динамическое состояние балки будем оценивать первой частотой собственных изгибных колебаний и первой критической силой.

 

Рис. 1. Расчетная схема балки с упругими опорами

Fig. 1. Spring-hinged beam

 

Уравнение свободных изгибных колебаний балки с учетом действия сжимающей продольной силы Р имеет вид [3–26]:

$E{J}_{\min }\frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}+P\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}+m\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=\mathrm{0,}$                                                                              (2)

где y = y(x, t) – функция прогиба; E – модуль Юнга материала; J_min – минимальный момент инерции поперечного сечения; m – удельная масса, m = ρS, где r – плотность материала; S – площадь поперечного сечения; Р – продольная сила.

Продольная сила Р, при достижении ей некоторого критического значения, может привести к потере устойчивости [27–34]. Уравнение устойчивости балки имеет вид:

$E{J}_{\min }\frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}+P\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=0.$                                                                                            (3)

Решение уравнения свободных колебаний (2) для первой частоты собственных колебаний при Р = 0 имеет вид

      $f_1=\frac{{\alpha }^2}{2\pi l^2}\cdot \sqrt{\frac{E{J}_{\min }}{m}},$                                                                                                  (4)

где α – коэффициент опор для первой собственной частоты колебаний, который учитывает влияние способа закрепления балки.

Решение задачи устойчивости (3) для первой критической силы запишется как

        $P_{cr1}=\frac{{\pi }^{2}E{J}_{\min }}{{\mu }^2\cdot l^2},$                                                                                                       (5)

где μ – коэффициент опор (коэффициент приведения длины) для задачи устойчивости также определяется способом закрепления.

Задача устойчивости связана со свободными колебаниями продольной силой Р, поскольку действие этой силы будет изменять весь спектр частот балки. Данное влияние описывается уравнением Галефа [41; 42]:

$f_{1\left(P<>0\right)}=f_{1\left(P=0\right)}$$\cdot \sqrt{1-\frac{P}{P_{cr1}}}$,                                                                                (6)

где f₁(P <> 0) – первая частота свободных колебаний при действии продольной силы Р; ƒ₁(P = 0) – первая частота свободных колебаний при отсутствии продольной силы Р; P_cr1  – первая критическая сила.

Учтем возможное воздействие температуры на балку (рис. 1), для этого разложим продольную силу на две компоненты, температурную и силовую:

$P=P_{\mathrm{\Delta }T}+P_F={\alpha }_t\cdot \mathrm{\Delta }T\cdot ES+P_F,$                                                                                 (7)

где РΔ_Т – продольная сила от изменения температуры; P_F – внешнее силовое воздействие; α_t – коэффициент температурного расширения материала балки.

Подставляя (4), (5), (7) в уравнение (6), получим уравнение для первой частоты собственных колебаний балки, учитывающее температурное и силовое воздействия и способ закрепления в виде

$f_{1\left(P<>0\right)}={\left(\frac{\alpha }{\pi l}\right)}^2\cdot \sqrt{\frac{1}{4m}\left[{\pi }^{2}E{J}_{\min }-{\mu }^2\cdot l^2\cdot \left({\alpha }_t\cdot \Delta T\cdot ES+P_F\right)\right]}.$                                      (8)

Если выражение (8) будет равно нулю, то это свидетельствует о динамической потере устойчивости и позволяет использовать данное выражения сразу для двух целей: обеспечение частоты собственных колебаний и критической силы. Значения коэффициентов опор α и m для распространенных случаев закреплений и требуемой частоты собственных колебаний или критической силы можно найти в различных справочниках по динамике [35–40] или рассчитать из уравнений динамического состояния. В данной работе будем рассматривать только первую собственную частоту колебаний и первую критическую силу.

1.2. Учет влияния жесткости опор

В существующей научной литературе коэффициенты опор даны для небольшого числа простых случаев идеальных закреплений, при которых жесткость опор в разных направлениях равна нулю или бесконечности: шарнир, заделка и др. В общем случае закрепления балки в опорах с некоторой конечной жесткостью (рис. 1), коэффициенты опор будут их функциями:

$\alpha =\alpha \left(k_1,k_2\right)$,  $\mu =\mu \left(k_1,k_2\right)$.                                                                                           (9)

Выразим коэффициенты опор через относительные жесткости C_i:

$C_1=k_1\frac{l}{E{J}_{\min }}$, $C_2=k_2\frac{l}{E{J}_{\min }}$.                                                                                      (10)

Тогда для расчета необходимо определить функции:

$\alpha =\alpha \left(C_1,C_2\right), \mu =\mu \left(C_1,C_2\right)$.                                                                                        (11)

В справочниках функции (11) обычно приводятся в табличном или графическом виде, поскольку данные зависимости сильно нелинейные и не могут быть выражены простой аналитической зависимостью. Для решения этой проблемы в работе [43] были получены аналитические функции (11) для ограниченных диапазонов изменения жесткостей С₁, С₂. Используем эти результаты для решения задачи определения жесткости опор балки и обеспечения заданных значений ее первой собственной частоты колебаний и первой критической силы.

2. Определение требуемой жесткости опор

Жесткость опор, обеспечивающая первую частоту колебаний и первую критическую силу, является неявной переменной в уравнении (8), для определения которой необходимо подставить в аналитическом виде функции (11) и разработать методику решения полученного разрешающего уравнения.

2.1. Получение разрешающего уравнения

Преобразуем уравнение (8) таким образом, чтобы из него можно было выразить искомую жесткость опор и разработать метод ее нахождения:

${\left(\frac{\alpha \left(C_1,{С}_2\right)}{\pi l}\right)}^2\cdot \sqrt{\frac{1}{4m}\left[{\pi }^{2}E{J}_{\min }-{\mu }^2\left(C_1,{С}_2\right)\cdot l^2\cdot \left({\alpha }_t\cdot \Delta T\cdot ES+P_F\right)\right]}=f_1$,                          (12)

где ƒ₁ – требуемое значение первой собственной частоты колебаний.

Преобразуем уравнение (12) к виду

$A-{\mu }^2\left(C_1,{С}_2\right)\cdot B=\frac{C}{{\alpha }^4\left(C_1,{С}_2\right)}$,                                                                            (13)

где

$A={\pi }^{2}E{J}_{\min };B=l^2\cdot \left({\alpha }_t\cdot \Delta T\cdot ES+P_F\right);C=4m{\left[f_1\right]}^2{\pi }^4{l}^4$.                                         (14)

Решение уравнения (13) относительно жесткостей С_i требует наличия не самих функций коэффициентов опор (11), а их 2-й и 4-й степеней. Данные функции получим методом наименьших квадратов [44; 45]. Для этого на основе исходных функций (11) создадим набор данных для ограниченного диапазона жесткостей С = 0 – 1000, возведем их в соответствующую степень и вновь аппроксимируем полученные результаты квадратичными функциями вида

${\mu }^2\left(C_1,{С}_2\right)=a_1\cdot \left(C_1^2+C_2^2\right)+a_2\cdot \left(C_1+C_2\right)+a_3$,                                                               (15)

${\alpha }^4\left(C_1,{С}_2\right)=b_1\cdot \left(C_1^2+C_2^2\right)+b_2\cdot \left(C_1+C_2\right)+b_3$.                                                               (16)

С целью повышения точности аппроксимации, разделим рассматриваемый диапазон жесткостей на три зоны. Полученные значения коэффициентов в уравнениях (15), (16) приведены в табл. 1.

Уравнение (13) имеет неопределенность решения в виде бесконечного сочетания жесткостей С₁ и С₂, которые удовлетворяют этой задаче. Для устранения данной определенности примем С₂ = n ⋅ С₁, тогда вместо (15), (16) получим

${\mu }^2\left(C_1\right)=a_1\cdot \left(C_1^2+n^2\cdot C_1^2\right)+a_2\cdot \left(C_1+n\cdot C_1\right)+a_3$,                                                               (17)

${\alpha }^4\left(C_1\right)=b_1\cdot \left(C_1^2+n^2\cdot C_1^2\right)+b_2\cdot \left(C_1+n\cdot C_1\right)+b_3$.                                                               (18)

Таблица 1. Значения коэффициентов аппроксимирующих функций

Зона		Коэффициенты функции µ2			Коэффициенты функции a4
		a1	a2	a3	b1	b2	b3
I:	C = 0 – 10	0,0053	–0,0855	1	–0,725	17,29	97,4
II:	C = 10 – 100	1,21Е-05	–1,82Е-03	0,386	–1,84Е-02	2,945	243
III:	C = 100 – 1000	1,3Е-08	–1,93Е-05	0,2664	–4,5Е-05	0,0675	451,5

 

Для краткости записи примем обозначения:

$a_{1n}=a_1\cdot \left(1+n^2\right);a_{2n}=a_2\cdot \left(1+n\right)$,                                                                                 (19)

$b_{1n}=b_1\cdot \left(1+n^2\right);b_{2n}=b_2\cdot \left(1+n\right)$.                                                                                 (20)

Во избежание путаницы в обозначениях, далее обозначим искомую жесткость как х. Тогда с учетом (17)–(20) уравнение (13) примет вид

$A-\left(a_{1n}{x}^2+a_{2n}x+a_3\right)\cdot B=\frac{C}{b_{1n}{x}^2+b_{2n}x+b_3}$.                                                                 (21)

Введем новые обозначения коэффициентов:

$\begin{array}{c}{c}_1=-B{a}_1\cdot \left(1+n^2\right);c_2=-B{a}_2\cdot \left(1+n^2\right);c_3=-B{a}_3+A;\\ d_1=\frac{b_1\cdot \left(1+n^2\right)}{C};d_2=\frac{b_2\cdot \left(1+n^2\right)}{C};d_3=\frac{b_3}{C}.\end{array}$                                            (22)

В результате получим разрешающее уравнение задачи 4-й степени в виде

$c_1{x}^2+c_{2}x+c_3=\frac{1}{d_1{x}^2+d_{2}x+d_3}$                                                                                       (23)

или

$c_1{d}_1{x}^4+\left(c_1{d}_2+c_2{d}_1\right)x^3+\left(c_1{d}_3+c_2{d}_2+c_3{d}_1\right)x^2+\left(c_2{d}_3+c_3{d}_2\right)x+\left(c_3{d}_3-1\right)=0$.               (24)

Решение алгебраического уравнения 4-й степени (24) позволит определить искомое значение жесткости опор, которым будет один из его 4-х корней.

2.2. Аналитическое решение разрешающего уравнения

Как известно, 4-я степень уравнения является наивысшей, для которой существуют аналитические методы решения. В данной работе для решения разрешающего уравнения (24) использовался метод, разработанный Ю. А. Несмеевым в работах [46; 47]. Согласно этому методу, преобразуем уравнение (24) так, чтобы коэффициент при старшей степени стал равным единице:

$x^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=0$,                                                                                        (25)

где

$a_3=\frac{c_1{d}_2+c_2{d}_1}{c_1{d}_1};a_2=\frac{c_1{d}_3+c_2{d}_2+c_3{d}_1}{c_1{d}_1};a_1=\frac{c_2{d}_3+c_3{d}_2}{c_1{d}_1};a_0=c_3{d}_3-1.$               (26)

Находим коэффициенты вспомогательного кубического уравнения:

$a=1;b=-a_2;c=a_1{a}_3-4a_0;d=-a_1^2-a_0{a}_3^2+4a_0{a}_2$.                                            (27)

Решаем это кубическое уравнение в канонической форме, для этого находим его коэффициенты:

$p=\frac{3ac-b^2}{9a^2};q=\frac{{\left(ab\right)}^3}{27}-\frac{bc}{6a^2}+\frac{d}{2a};k=p^3+q^2.$                                                         (28)

Рассчитываем коэффициент r как

$r=\text{sign}\left(q\right)\cdot \sqrt{\left|p\right|}$.                                                                                                           (29)

Далее находим характерный угол j:

$\phi =\text{arctg}\left(\sqrt{\frac{r^6}{q^2}-1}\right)$.                                                                                                       (30)

Из трех корней кубического уравнения выбираем первый:

$u_1=2r\cdot \cos \left(\frac{\pi -\phi }{3}\right)-\frac{b}{3}$.                                                                                                 (31)

Далее решение сводится к двум квадратным уравнениям, вспомогательные коэффициенты которых равны

$d_1=\frac{a_3^2}{4}+u_1-a_2;d_2=\frac{u_1^2}{4}-a_0;d_3=a_3{u}_1-2a_1.$                                                          (32)

Первое квадратное уравнение имеет вид

$k_1{x}^2+k_{2}x+k_3=0$,                                                                                                             (33)

где

$k_1=1;k_2=\frac{a_3}{2}+\sqrt{d_1};k_3=\frac{u_1}{2}-\sqrt{d_2}$                                                                             (34)

Его корни равны

$x_1=\frac{1}{2k_1}\left(-k_2\pm \sqrt{k_2^2-4k_1{k}_3}\right)$.                                                                                               (35)

Аналогично решаем второе квадратное уравнение:

$l_1{x}^2+l_{2}x+l_3=0$,                                                                                                                  (36)

где

$l_1=1;l_2=\frac{a_3}{2}-\sqrt{d_1};l_3=\frac{u_1}{2}+\sqrt{d_2}$                                                                                  (37)

Корни равны:

$x_4=\frac{1}{2l_1}\left(-l_2\pm \sqrt{l_2^2-4l_1{l}_3}\right)$.                                                                                                             (38)

Искомая жесткость опор будет наименьшей из положительных корней (35) и (38):

$C_1=x=\min \left(x_i:x_i>\mathrm{0,}i=\mathrm{1,2,3,4}\right)$.                                                                                                  (39)

Абсолютные жесткости опор согласно (10) определятся, как

$k_1=C_1\cdot \frac{E{J}_{\min }}{l};k_2=n\cdot C_1\cdot \frac{E{J}_{\min }}{l}.$                                                                                        (40)

Жесткости опор (40) будут обеспечивать требуемые значения коэффициентов опор (11) и, следовательно, значение первой собственной частоты балки и/или первой критической силы. Для автоматизации расчетов по приведенной выше методике была написана программа для ЭВМ.

3. Пример расчета

В известной научной литературе задача расчета колебаний или устойчивости балки с учетом жесткости опор имеет весьма ограниченное распространение и зачастую представлена в общем виде или в виде численных расчетов, что затрудняет сравнение. Поэтому методика была верифицирована путем сравнения результатов расчета с численным решением методом конечных элементов в программе Ansys. Использовалась балочная модель из конечных элементов типа BEAM189, жесткость опор задавалась конечными элементами COMBIN14.

Расчетная схема балки показана на рис. 1 и имеет следующие характеристики: длина l = 0,5 м; круглое поперечное сечение диаметром D = 25 мм; материал – сталь Е = 2*10⁵ MПa, плотность ρ = 7800 кг/м³, КТР α_t = 1,2*10^–5 1/ºС. Шарнирные опоры балки имеют равную жесткость: k = k₁ = k₂ или C = С₁ = С₂ (10). Необходимо определить жесткость опор, которая обеспечит заданное значение первой собственной частоты колебаний ƒ₁ при вариации температуры ΔТ.

При заданных геометрических параметрах и материале балки, а также при отсутствии продольной силы такая конструкция обеспечивает первую собственную частоту ƒ₁ = 200,7 Гц для жесткости опор С = 0 и ƒ₁ = 455 Гц для С = ¥. Зададим значение ƒ₁ = 300 Гц и будем поднимать температуру с шагом 50 ºС, компенсируя падение значения первой собственной частоты с помощью увеличения жесткости опор.

Результаты расчетов сведены в табл. 2, а на рис. 2 показан один из вариантов расчета в программе Ansys. В табл. 2, помимо заданной температуры, приведено эквивалентное значение продольной силы в балке P_экв. Сравнение результатов расчета выполнено по значению первой собственной частоты колебаний балки при заданной температуре и жесткости опор.

 

Таблица 2.Результаты расчетов

Исходные данные расчета
f1, Гц	300
ΔТ, ºС	0	50	100	150	200	250	282
Pэкв, кН	0	58,9	117,8	176,7	235,6	294,5	332,2
Результаты по предлагаемой методике
C	4,26	5,97	8,47	21,37	34,72	51,11	1000
k, Н*м	33296	46638	66195	166975	271287	399301	7812500
Результаты МКЭ
f1, Гц	295,9	289,4	284,4	311,6	304,2	286,4	296,5
Δf1, %	1,37	3,53	5,2	–3,87	–1,4	4,53	1,17

 

Рис. 2. Пример расчета при ΔТ = 282 ºС и С = 1000

Fig. 2. Example of calculation at ΔT = 282 ºС and C = 1000

 

Полученные результаты показывают хорошую сходимость по всему рассмотренному диапазону жесткостей опор.

4. Обсуждение

В работе получено аналитическое решение задачи определения жесткостей опор балки для обеспечения значений ее первой собственной частоты колебаний и первой критической силы. Постановка задачи свелась к алгебраическому уравнению четвертого порядка (24), решение которого можно графически представить как пересечение двух кривых, составленных из разных частей исходного уравнения (13), как показано на рис. 3. Первая положительная точка пересечения функций определяет требуемую жесткость опор С₁ (39).

 

Рис. 3. Графическая интерпретация решения

Fig. 3. Graphical interpretation of the solution

 

Точность расчета жесткости сильно зависит от точности аппроксимирующих зависимостей, что весьма сложно обеспечить применением квадратичных функций (15), (16), поскольку исходные кривые (11) сильно нелинейные. Необходимое повышение точности достигнуто разбиением диапазона жесткостей на три зоны, аналогично тому, как это было сделано в работе [43].

Особенностью решения по предложенной методике является необходимость задания ненулевого значения осевой силы (7), поскольку в противном случае в разрешающем уравнении (23) левая часть окажется равной нулю и вместо уравнения 4-й степени мы получим квадратное уравнение, решение которого гораздо проще, но невозможно по предлагаемой методике. То же касается и частоты ƒ₁, нулевое значение приведет к делению на ноль в правой части уравнения (23). При необходимости такой расчет может быть проведен, если задать малое значение соответствующей величины.

Оценить погрешность предложенного аналитического решения в целом весьма затруднительно, поскольку каждая из аппроксимирующих функций (15), (16) имеет свои отклонения по диапазону, которые накладываются друг на друга при решении разрешающего уравнения (23). Проведенные сравнительные расчеты с вариативностью значений продольной силы и требуемого значения первой собственной частоты колебаний показали точность расчета 5 %, что вполне приемлемо для инженерных расчетов в первом приближении. Погрешность существенно увеличивается при n > 10, т. е. жесткости опор сильно различаются между собой.

Полученные результаты могут использоваться не только для обеспечения изгибной формы колебаний и потери устойчивости балки, но и для других форм, а также второй и последующих мод колебаний и потери устойчивости.

Заключение

В работе получено аналитическое решение задачи определения жесткостей опор балки для обеспечения значений первой собственной частоты колебаний и критической силы. Использование метода наименьших квадратов для аппроксимации зависимости коэффициентов опор от их жесткости позволило свести задачи с математической точки зрения к решению алгебраического уравнения четвертого порядка. Погрешность расчетов составляет не более 5 %, что вполне приемлемо для прикладных инженерных расчетов балочной конструкции.

Благодарности

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края и Красноярского краевого фонда науки в рамках научного проекта № 20-48-242922.

Acknowledgements

The research was funded by RFBR, Krasnoyarsk Territory and Krasnoyarsk Regional Fund of Science, project number 20-48-242922.

Sobre autores

Olga Rabetskaya

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Autor responsável pela correspondência
Email: olga_rabez@mail.ru

Cand. Sc., assistant professor, department of technical mechanics

Rússia, 31, Krasnoyarskii Rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

Ilya Kudryavtsev

Siberian Federal University

Email: ikudryavtsev@sfu-kras.ru

Cand. Sc., assistant professor, department of applied mechanics

Rússia, 79, Svobodniy prospekt, Krasnoyarsk, 660041

Alexander Mityaev

Siberian Federal University

Email: pi-prm@mail.ru

Cand. Sc., head of the department of applied mechanics

Rússia, 79, Svobodniy prospekt, Krasnoyarsk, 660041

Bibliografia

Arquivos suplementares