Analytical solution of the spacecraft magnetometer calibration problem using the method of least squares

Texto integral

Введение

Магнитометры входят в состав системы ориентации и стабилизации низкоорбитальных малогабаритных космических аппаратов. Они широко используются благодаря тому, что являются легкими, недорогими и надежными. Однако вследствие физических особенностей чувствительного элемента современные магнитометры требуют проведения математической калибровки. На данный момент предложены различные методы калибровки магнитометров, этим методам посвящено немалое количество научных работ [1–12], в частности, статья [9], в которой приведен обзор различных способов проведения таких операций.

В вышеупомянутых работах задача калибровки магнитометра космического аппарата решалась с применением численных методов. В настоящей статье предложен аналитический метод решения этой задачи для модели, рассмотренной в [1].

1. Модель погрешностей измерений вектора магнитной индукции

Обозначим через h значение измеренного вектора магнитной индукции при некотором пространственном положении блока магнитометра (БМ). Воспользуемся упрощенной моделью измерений, рассмотренной в [1]:

$\text{h}=\left(\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\\ h_3\end{array}\right)=QP\text{B}+\text{b}+\text{n}.$                                                                              (1)

В (1) использованы следующие обозначения [1]:

B = (B₁, B₂, B₃)^T – истинный вектор магнитной индукции;

b = (b₁, b₂, b₃)^T – постоянный вектор, отвечающий смещениям нуля для каждой из измерительных осей БМ;

n – случайный вектор, отвечающий некоррелированному шуму для каждой из измерительных осей;

Р – матрица, строки которой есть орты измерительных осей БМ, записанные в «базовой» системе БМ;

Q – диагональная матрица, содержащая на главной диагонали масштабные коэффициенты k₁, k₂, k₃ для измерительных осей БМ, т. е.

$Q=\left(\begin{array}{ccc}{k}_1& 0& 0\\ 0& k_2& 0\\ 0& 0& k_3\end{array}\right).$

Другими словами, матрица P описывает неортогональность измерительных осей БМ, а матрица Q отвечает масштабированию по этим осям.

Задача калибровки измерительных осей БМ сводится к нахождению элементов матриц P и Q, а также вектора смещений нуля b.

2. Разработка алгоритма определения калибровочных параметров БМ

При решении задачи определения калибровочных параметров БМ воспользуемся тем, что для измерений с любой пространственной ориентацией БМ величина измеряемого вектора магнитной индукции B сохраняется и является известной модельной величиной.

Будем считать, что в полёте в результате измерений магнитометра в дискретные моменты времени получен набор векторов h^(l) = (h₁^(l), h₂^(l), h₃^(l))^T, l = 1, …, N.  При условии отсутствия шумов измерений из формулы (1) получаем:

${\text{h}}^{\left(l\right)}=QP{\text{B}}^{\left(l\right)}+\text{b},l=\mathrm{1,}\dots ,N,$                                                                         (2)

где B^(l) = (B₁^(l), B₂^(l), B₃^(l))^T – истинный вектор магнитной индукции в той же точке пространства, что и измеренный вектор h^(l), l = 1, …, N. Выразим векторы  (l = 1, …, N) из равенств (2):

${\text{B}}^{\left(l\right)}=S\left({\text{h}}^{\left(l\right)}-\text{b}\right),$                                                                                               (3)

l = 1, …, N, где

$S={\left(QP\right)}^{-1}=P^{-1}{Q}^{-1}.$                                                                                    (4)

Как отмечено в [1], без ограничения общности матрицу неортогональности Р можно представить с минимальным количеством неизвестных элементов следующим образом:

$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ {\text{sin\hspace{0.17em}ε}}_1& {\text{cos\hspace{0.17em}ε}}_1& 0\\ {\text{sin\hspace{0.17em}ε}}_2& {\text{cos\hspace{0.17em}ε}}_2{\text{sin\hspace{0.17em}ε}}_3& {\text{cos\hspace{0.17em}ε}}_2{\text{cos\hspace{0.17em}ε}}_3\end{array}\right),$

где ε₁, ε₂, ε₃ – малые углы. Тогда обратная матрица P^–1 примет вид

$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -{\text{α}}_1& {\text{β}}_1& 0\\ {\text{α}}_1{\text{α}}_3-{\text{α}}_2{\text{β}}_3& -{\text{β}}_1{\text{α}}_3& {\text{β}}_2{\text{β}}_3\end{array}\right),$

где α_i = tg ε_i, β_i = sec ε_i, i = 1, 2, 3, а так как

$Q^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}{k_1}^{-1}& 0& 0\\ 0& {k_2}^{-1}& 0\\ 0& 0& {k_3}^{-1}\end{array}\right),$

то в соответствии с (4) получаем:

$S=\left(\begin{array}{ccc}{\text{γ}}_1& 0& 0\\ -{\text{α}}_1{\text{γ}}_1& {\text{β}}_1{\text{γ}}_2& 0\\ \left({\text{α}}_1{\text{α}}_3-{\text{α}}_2{\text{β}}_3\right){\text{γ}}_1& -{\text{β}}_1{\text{α}}_3{\text{γ}}_2& {\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3\end{array}\right),$                                       (5)

где γ_i = k_i – 1, i = 1, 2, 3.

Перепишем равенство (3) с учетом (5):

$\left(\begin{array}{c}{B}_1^{\left(l\right)}\\ B_2^{\left(l\right)}\\ B_3^{\left(l\right)}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\text{γ}}_1& 0& 0\\ -{\text{α}}_1{\text{γ}}_1& {\text{β}}_1{\text{γ}}_2& 0\\ \left({\text{α}}_1{\text{α}}_3-{\text{α}}_2{\text{β}}_3\right){\text{γ}}_1& -{\text{β}}_1{\text{α}}_3{\text{γ}}_2& {\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{h}_1^{\left(l\right)}-b_1\\ h_2^{\left(l\right)}-b_2\\ h_3^{\left(l\right)}-b_3\end{array}\right),$              (6)

l = 1, …, N. Каждое из N векторных равенств (6) запишем в виде системы трех скалярных равенств:

$\left\{\begin{array}{l}{\text{γ}}_1\left(h_1^{\left(l\right)}-b_1\right)=B_1^{\left(l\right)},\\ -{\text{α}}_1{\text{γ}}_1\left(h_1^{\left(l\right)}-b_1\right)+{\text{β}}_1{\text{γ}}_2\left(h_2^{\left(l\right)}-b_2\right)=B_2^{\left(l\right)},\\ \left({\text{α}}_1{\text{α}}_3-{\text{α}}_2{\text{β}}_3\right){\text{γ}}_1\left(h_1^{\left(l\right)}-b_1\right)-{\text{β}}_1{\text{α}}_3{\text{γ}}_2\left(h_2^{\left(l\right)}-b_2\right)+{\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3\left(h_3^{\left(l\right)}-b_3\right)=B_3^{\left(l\right)},\end{array}\right.$              (7)

l = 1, …, N. В силу первого равенства системы (7) второе равенство этой системы перепишем в виде

$-{\text{α}}_1{B}_1^{\left(l\right)}+{\text{β}}_1{\text{γ}}_2\left(h_2^{\left(l\right)}-b_2\right)=B_2^{\left(l\right)},$

откуда получаем равенство

${\text{β}}_1{\text{γ}}_2\left(h_2^{\left(l\right)}-b_2\right)={\text{α}}_1{B}_1^{\left(l\right)}+B_2^{\left(l\right)},$

вследствие которого третье равенство системы (7) записывается следующим образом:

$-{\text{α}}_2{\text{β}}_3{B}_1^{\left(l\right)}-{\text{α}}_3{B}_2^{\left(l\right)}+{\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3\left(h_3^{\left(l\right)}-b_3\right)=B_3^{\left(l\right)},$

l = 1, …, N.

Введем в рассмотрение функцию двенадцати переменных α_i, β_i, γ_i, b_i (i = 1, 2, 3)

$\Phi =\sum _{l=1}^N$$\left\{\begin{array}{l}{\left[B_1^{\left(l\right)}\text{}-{\text{γ}}_1\left(h_1^{\left(l\right)}-b_1\right)\right]}^2\text{}+{\left[B_2^{\left(l\right)}\text{}+{\text{α}}_1{B}_1^{\left(l\right)}\text{}-{\text{β}}_1{\text{γ}}_2\left(h_2^{\left(l\right)}-b_2\right)\right]}^2\text{}+\\ +{\left[B_3^{\left(l\right)}\text{}+{\text{α}}_2{\text{β}}_3{B}_1^{\left(l\right)}\text{}+{\text{α}}_3{B}_2^{\left(l\right)}\text{}-{\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3\left(h_3^{\left(l\right)}\text{}-b_3\right)\right]}^2\end{array}\right\},$

где переменные α_i и β_i  в силу тригонометрического тождества

${\text{tg}}^2\text{φ}\equiv {\sec }^2\text{φ}-1$

связаны равенствами

${{\text{α}}_i}^2-{{\text{β}}_i}^2+1=\mathrm{0,}$                                                                                                     (8)

i = 1, 2, 3.

Алгоритм решения задачи калибровки измерительных осей БМ сводится к поиску методом наименьших квадратов [13] с учетом (8) таких значений переменных α_i, β_i, γ_i, b_i (i = 1, 2, 3), которые при заданном наборе векторов измерений {h(l)} (l = 1, …, N) доставляют минимум функции Ф. С этой целью требуется исследовать функцию Ф на условный экстремум [14] при наличии трех уравнений связи (8).

Составим функцию Лагранжа

$F=\Phi +\sum _{i=1}^3{\lambda }_i\left({{\text{α}}_i}^2-{{\text{β}}_i}^2+1\right)$,                                                                                  (9)

пятнадцати переменных α_i, β_i, γ_i, b_i, λ_i (i = 1, 2, 3) и запишем необходимое условие локального экстремума этой функции:

Требуется найти стационарные точки функции F, т. е. решение системы уравнений (10).

Введем следующие обозначения:

$C_i=\sum _{l=1}^N{B}_i^{\left(l\right)},H_i=\sum _{l=1}^N{h}_i^{\left(l\right)},F_i=\sum _{l=1}^N{\left(h_i^{\left(l\right)}\right)}^2,D_{i\text{}j}=\sum _{l=1}^N{B}_i^{\left(l\right)}{h}_j^{\left(l\right)},G_{i\text{}j}=G_{j\text{\hspace{0.05em}}i}=\sum _{l=1}^N{B}_i^{\left(l\right)}{B}_j^{\left(l\right)},i,j=\mathrm{1,2,3.}$

Учитывая эти обозначения, для удобства разобьем систему уравнений (10) на три нелинейные системы – систему уравнений относительно двух неизвестных b₁, γ₁:

$\left\{\begin{array}{l}{D}_{11}-C_1{b}_1+\left(-F_1+2H_1{b}_1-N{b_1}^2\right){\text{γ}}_1=\mathrm{0,}\\ \left[C_1+\left(N{b}_1-H_1\right){\text{γ}}_1\right]{\text{γ}}_1=\mathrm{0,}\end{array}\right.$                                                                 (11)

систему уравнений относительно пяти неизвестных b₂, α₁, β₁, γ₂, λ₁:

$\left\{\begin{array}{l}\left(C_1{b}_2-D_{12}\right){\text{β}}_1{\text{γ}}_2+\left(G_{11}+{\lambda }_1\right){\text{α}}_1+G_{12}=\mathrm{0,}\\ \left[D_{22}-C_2{b}_2+\left(D_{12}-C_1{b}_2\right){\text{α}}_1+\left(-F_2+2H_2{b}_2-N{b_2}^2\right){\text{β}}_1{\text{γ}}_2\right]{\text{γ}}_2+{\lambda }_1{\text{β}}_1=\mathrm{0,}\\ \left[D_{22}-C_2{b}_2+\left(D_{12}-C_1{b}_2\right){\text{α}}_1+\left(-F_2+2H_2{b}_2-N{b_2}^2\right){\text{β}}_1{\text{γ}}_2\right]{\text{β}}_1=\mathrm{0,}\\ \left[C_2+C_1{\text{α}}_1+\left(N{b}_2-H_2\right){\text{β}}_1{\text{γ}}_2\right]{\text{β}}_1{\text{γ}}_2=\mathrm{0,}\\ {\text{β}}_1=\sqrt{{{\text{α}}_1}^2+1}\end{array}\right.$                (12)

и систему уравнений относительно восьми неизвестных b₃, α₂, α₃, β₂, β₃, γ₃, λ₂, λ₃:

$\left\{\begin{array}{l}\left[G_{13}+G_{11}{\text{α}}_2{\text{β}}_3+G_{12}{\text{α}}_3+\left(C_1{b}_3-D_{13}\right){\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3\right]{\text{β}}_3+{\lambda }_2{\text{α}}_2=\mathrm{0,}\\ \left[D_{33}-C_3{b}_3+\left(D_{13}-C_1{b}_3\right){\text{α}}_2{\text{β}}_3+\left(D_{23}-C_2{b}_3\right){\text{α}}_3+\left(-F_3+2H_3{b}_3-N{b_3}^2\right){\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3\right]{\text{β}}_3{\text{γ}}_3+{\lambda }_2{\text{β}}_2=\mathrm{0,}\\ \left[D_{33}-C_3{b}_3+\left(D_{13}-C_1{b}_3\right){\text{α}}_2{\text{β}}_3+\left(D_{23}-C_2{b}_3\right){\text{α}}_3+\left(-F_3+2H_3{b}_3-N{b_3}^2\right){\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3\right]{\text{β}}_2{\text{β}}_3=\mathrm{0,}\\ \left[C_3+C_1{\text{α}}_2{\text{β}}_3+C_2{\text{α}}_3+\left(N{b}_3-H_3\right){\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3\right]{\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3\text{=0,}\\ G_{23}+G_{12}{\text{α}}_2{\text{β}}_3+G_{22}{\text{α}}_3+\left(C_2{b}_3-D_{23}\right){\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3+{\lambda }_3{\text{α}}_3=\mathrm{0,}\\ \left[G_{13}+G_{11}{\text{α}}_2{\text{β}}_3+G_{12}{\text{α}}_3+\left(C_1{b}_3-D_{13}\right){\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3\right]{\text{α}}_2-{\lambda }_3{\text{β}}_3-\\ -\left[D_{33}-C_3{b}_3+\left(D_{13}-C_1{b}_3\right){\text{α}}_2{\text{β}}_3+\left(D_{23}-C_2{b}_3\right){\text{α}}_3+\left(-F_3+2H_3{b}_3-N{b_3}^2\right){\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3\right]{\text{β}}_2{\text{γ}}_3=\mathrm{0,}\\ {\text{β}}_i=\sqrt{{{\text{α}}_i}^2+1},i=\mathrm{2,3.}\end{array}\right.$(13)

В записи выражений β_i через αi в последних уравнениях систем (12) и (13) мы воспользовались тем, что β_i = sec ε_i > 0 вследствие очевидных неравенств –π/2 < ε_i < π/2, i = 1, 2, 3. Решим каждую из систем уравнений (11), (12), (13).

Сначала заметим, что справедливо неравенство

$-F_i+2H_i{b}_i-N{b_i}^2\ne \mathrm{0,}$                                                                                                           (14)

i = 1, 2, 3. Действительно, дискриминант квадратного уравнения – F_i + 2H_ib_i – Nb_i² = 0 относительно неизвестной b_i, будучи равным

${\delta }_i=4{H_i}^2-4N{F}_i=4\left[{\left(\sum _{l=1}^N{h}_i^{\left(l\right)}\right)}^2-N\sum _{l=1}^N{\left(h_i^{\left(l\right)}\right)}^2\right],$

отрицателен в силу очевидного следствия

${\left(\sum _{l=1}^N{h}_i^{\left(l\right)}\right)}^2<N\sum _{l=1}^N{\left(h_i^{\left(l\right)}\right)}^2$

неравенства Коши – Буняковского [15] (здесь поставлен знак « < » вместо « ≤ », так как хотя бы одно из слагаемых h_i⁽¹⁾, …, h_i^(N) заведомо не равно нулю), поэтому рассматриваемое квадратное уравнение не имеет вещественных корней, i = 1, 2, 3.

Решим систему уравнений (11). Учитывая неравенство (14), выражаем γ₁ через b₁ из первого уравнения этой системы:

Подставляя вместо γ₁ полученное выражение во второе уравнение системы (11) и принимая во внимание неравенство γ₁ = k₁^{– 1} ≠ 0, после простейших преобразований приходим к равенству

$b_1=\frac{C_1{F}_1-D_{11}{H}_1}{C_1{H}_1-N{D}_{11}},$

с учетом которого записанное выше равенство для γ₁ приводится к виду

${\text{γ}}_1=\frac{C_1{H}_1-N{D}_{11}}{{H_1}^2-N{F}_1}.$

Таким образом, решение системы уравнений (11) найдено.

Рассмотрим систему уравнений (12). Поскольку γ₂ = k₂ – 1 ≠ 0, второе уравнение этой системы можно записать в виде

$D_{22}-C_2{b}_2+\left(D_{12}-C_1{b}_2\right){\text{α}}_1+\left(-F_2+2H_2{b}_2-N{b_2}^2\right){\text{β}}_1{\text{γ}}_2+\frac{{\lambda }_1{\text{β}}_1}{{\text{γ}}_2}=\mathrm{0,}$                                (15)

а так как β1 = sec ε1 ≠ 0, третье уравнение системы (12) равносильно следующему уравнению:

$D_{22}-C_2{b}_2+\left(D_{12}-C_1{b}_2\right){\text{α}}_1+\left(-F_2+2H_2{b}_2-N{b_2}^2\right){\text{β}}_1{\text{γ}}_2=0.$                                             (16)

Из (15) с учетом (16) получаем, что λ₁β₁γ_{2– 1} = 0 и тогда в силу неравенства β₁ ≠ 0 имеем

${\lambda }_1=0.$                                                                                                                                    (17)

Имеет место неравенство D₁₂ – C₁b₂ ≠ 0, так как непосредственная проверка показывает, что значение b₂ = D₁₂C₁^{– 1}, являющееся корнем уравнения D₁₂ – C₁b₂ = 0, не удовлетворяет уравнениям системы (12).

Сначала рассмотрим случай H₂ – Nb₂ ≠ 0, т. е. b₂ ≠ H₂N– 1. Выразим β₁γ₂ из (16), а также из первого (с учетом равенства (17)) и четвертого (с учетом неравенства β1γ2 ≠ 0) уравнений системы (12):

${\text{β}}_1{\text{γ}}_2=\frac{\left(D_{12}-C_1{b}_2\right){\text{α}}_1+D_{22}-C_2{b}_2}{F_2-2H_2{b}_2+N{b_2}^2}, {\text{β}}_1{\text{γ}}_2=\frac{G_{11}{\text{α}}_1+G_{12}}{D_{12}-C_1{b}_2}, {\text{β}}_1{\text{γ}}_2=\frac{C_1{\text{α}}_1+C_2}{H_2-N{b}_2}.$           (18)

По доказанному знаменатель дроби во втором из равенств (18) не равен нулю, знаменатель дроби в первом из равенств (18) отличен от нуля в силу (14). Из первого и третьего равенств (18) следует уравнение

$\frac{C_1{\text{α}}_1+C_2}{H_2-N{b}_2}=\frac{\left(D_{12}-C_1{b}_2\right){\text{α}}_1+D_{22}-C_2{b}_2}{F_2-2H_2{b}_2+N{b_2}^2},$

из которого выражаем b₂ через α₁:

$b_2=\frac{\left(D_{12}{H}_2-C_1{F}_2\right){\text{α}}_1+D_{22}{H}_2-C_2{F}_2}{\left(N{D}_{12}-C_1{H}_2\right){\text{α}}_1+N{D}_{22}-C_2{H}_2}.$                                                                (19)

Аналогично, из второго и третьего равенств (18) следует уравнение

$\frac{C_1{\text{α}}_1+C_2}{H_2-N{b}_2}=\frac{G_{11}{\text{α}}_1+G_{12}}{D_{12}-C_1{b}_2},$

из которого также выражаем b2 через α1:

$b_2=\frac{\left(G_{11}{H}_2-C_1{D}_{12}\right){\text{α}}_1+G_{12}{H}_2-C_2{D}_{12}}{\left(N{G}_{11}-{C_1}^2\right){\text{α}}_1+N{G}_{12}-C_1{C}_2}.$                                                      (20)

Приравнивая правые части равенств (19) и (20), после простейших преобразований получаем квадратное уравнение относительно α₁:

$\begin{array}{l}\left[{C_1}^2\left(C_1{F}_2-D_{12}{H}_2\right)+C_1{G}_{11}\left({H_2}^2-N{F}_2\right)+C_1{D}_{12}\left(N{D}_{12}-C_1{H}_2\right)\right]{{\text{α}}_1}^2+\\ +\left[2C_1{C}_2\left(C_1{F}_2-D_{12}{H}_2\right)+\left(N{D}_{12}-C_1{H}_2\right)\left(C_1{D_2}_2+C_2{D}_{12}\right)+\left({H_2}^2-N{F}_2\right)\left(C_1{G_1}_2+C_2{G}_{11}\right)\right]{\text{α}}_1+\\ +{C_2}^2\left(C_1{F}_2-D_{12}{H}_2\right)+C_2{G}_{12}\left({H_2}^2-N{F}_2\right)+C_2{D}_{22}\left(N{D}_{12}-C_1{H}_2\right)=0.\end{array}$     (21)

Дискриминант уравнения (21) равен

$\mathrm{\Delta }={\left[\left(N{D}_{12}-C_1{H}_2\right)\left(C_1{D_2}_2-C_2{D}_{12}\right)+\left({H_2}^2-N{F}_2\right)\left(C_1{G_1}_2-C_2{G}_{11}\right)\right]}^2,$

а корни этого уравнения вычисляются по формулам

$\left[\begin{array}{l}{\text{α}}_1=-\frac{C_2}{C_1},\\ {\text{α}}_1=-\frac{C_2\left(C_1{F}_2-D_{12}{H}_2\right)+G_{12}\left({H_2}^2-N{F}_2\right)+D_{22}\left(N{D}_{12}-C_1{H}_2\right)}{C_1\left(C_1{F}_2-D_{12}{H}_2\right)+G_{11}\left({H_2}^2-N{F}_2\right)+D_{12}\left(N{D}_{12}-C_1{H}_2\right)}.\end{array}\right.$        (22)

Заметим, что значения (22) неизвестной α₁ не являются корнями знаменателей дробей в равенствах (19) и (20). Подставляя первое из значений (22) неизвестной α₁ в четвертое уравнение системы (12), с учетом неравенства β₁γ₂ ≠ 0 приходим к равенству H₂ – Nb₂ = 0, которое противоречит рассматриваемому случаю.

Пусть теперь H₂ – Nb₂ = 0, т. е. b₂ = H₂N^{– 1}. Принимая во внимание неравенство β₁γ₂ ≠ 0, из четвертого уравнения системы (12) получаем, что α₁ = – C₂C₁^{– 1}, т. е. найденное значение α₁ совпадает с первым из корней (22) уравнения (21). Несложно показать, что равенства (19) и (20), доказанные в предположении b₂ ≠ H₂N^{– 1}, справедливы и при b₂ = H₂N^{– 1}. В случае b₂ = H₂N^{– 1} имеют место также и первые два равенства из (18), так как при их выводе никакие ограничения на значение неизвестной b₂ не учитывались.

Из проведенных рассуждений вытекает, что система уравнений (12) имеет два решения. Компоненты обоих решений указанной системы получаем в следующем порядке:

• – значения неизвестной α1 находим по формулам (22);
• – значения β₁, соответствующие найденным значениям α1, вычисляем по формуле, записанной в качестве последнего уравнения системы (12);
• – значения b₂ – по любой из формул (19), (20);
• – значения γ₂ – по любой из двух формул

${\text{γ}}_2=\frac{\left(D_{12}-C_1{b}_2\right){\text{α}}_1+D_{22}-C_2{b}_2}{{\text{β}}_1\left(F_2-2H_2{b}_2+N{b_2}^2\right)}, {\text{γ}}_2=\frac{G_{11}{\text{α}}_1+G_{12}}{{\text{β}}_1\left(D_{12}-C_1{b}_2\right)},$   

которые вытекают соответственно из первого и второго равенств (18);

• – значение неизвестной λ1 в обоих решениях системы уравнений (12) в силу (17) принимаем равным нулю.

Перейдем к отысканию решений системы уравнений (13). В силу неравенств γ₃ = k₃^{– 1} ≠ 0, β₂ = sec ε₂ ≠ 0 и β₃ = sec ε₃ ≠ 0 второе и третье уравнения этой системы можно записать как

$D_{33}-C_3{b}_3+\left(D_{13}-C_1{b}_3\right){\text{α}}_2{\text{β}}_3+\left(D_{23}-C_2{b}_3\right){\text{α}}_3+\left(-F_3+2H_3{b}_3-N{b_3}^2\right){\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3+\frac{{\lambda }_2{\text{β}}_2}{{\text{β}}_3{\text{γ}}_3}=\mathrm{0,}$    (23)

$D_{33}-C_3{b}_3+\left(D_{13}-C_1{b}_3\right){\text{α}}_2{\text{β}}_3+\left(D_{23}-C_2{b}_3\right){\text{α}}_3+\left(-F_3+2H_3{b}_3-N{b_3}^2\right){\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3=0$,                (24)

соответственно. Из (23) с учетом (24) получаем: λ₂β₂(β₃γ₃)^–1 = 0. Следовательно, справедливо равенство

${\lambda }_2=0.$                                                                                                               (25)

Тогда первое уравнение системы (13) с учетом неравенства β₃ ≠ 0 запишется в виде

$G_{13}+G_{11}{\text{α}}_2{\text{β}}_3+G_{12}{\text{α}}_3+\left(C_1{b}_3-D_{13}\right){\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3=0.$                                             (26)

Из шестого уравнения системы (13) с учетом (24) и (26) находим – λ₃β₃ = 0, откуда следует равенство

${\lambda }_3=0.$                                                                                                               (27)

Имеют место неравенства H₃ – Nb₃ ≠ 0, D_i3 – C_ib₃ ≠ 0, так как непосредственная проверка показывает, что ни корень b₃ = H₃N^{– 1} уравнения H₃ – Nb₃ = 0, ни корни b₃ = D_i3C_i^{– 1} уравнений D_i3 – C_ib₃ = 0 не удовлетворяют уравнениям системы (13), i = 1, 2.

С учетом равенств (25), (27) и неравенств β₂ ≠ 0, β₃ ≠ 0, γ₃ ≠ 0 выразим β₂β₃γ₃ из первого, третьего, четвертого и пятого уравнений системы (13):

$\begin{array}{l}{\text{β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3=\frac{G_{13}+G_{11}{\text{α}}_2{\text{β}}_3+G_{12}{\text{α}}_3}{D_{13}-C_1{b}_3},\\ {\text{\hspace{1em}β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3=\frac{D_{33}-C_3{b}_3+\left(D_{13}-C_1{b}_3\right){\text{α}}_2{\text{β}}_3+\left(D_{23}-C_2{b}_3\right){\text{α}}_3}{F_3-2H_3{b}_3+N{b_3}^2},\\ {\text{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3=\frac{C_3+C_1{\text{α}}_2{\text{β}}_3+C_2{\text{α}}_3}{H_3-N{b}_3},\\ {\text{\hspace{1em}β}}_2{\text{β}}_3{\text{γ}}_3=\frac{G_{23}+G_{12}{\text{α}}_2{\text{β}}_3+G_{22}{\text{α}}_3}{D_{23}-C_2{b}_3}.\end{array}$                            (28)

По доказанному знаменатели дробей в первом, третьем и четвертом из равенств (28) не равны нулю, знаменатель дроби во втором из равенств (28) отличен от нуля в силу (14). Из первого и третьего равенств (28) следует уравнение

$\frac{G_{13}+G_{11}{\text{α}}_2{\text{β}}_3+G_{12}{\text{α}}_3}{D_{13}-C_1{b}_3}=\frac{C_3+C_1{\text{α}}_2{\text{β}}_3+C_2{\text{α}}_3}{H_3-N{b}_3},$

из второго и третьего равенств (28) – уравнение

$\frac{D_{33}-C_3{b}_3+\left(D_{13}-C_1{b}_3\right){\text{α}}_2{\text{β}}_3+\left(D_{23}-C_2{b}_3\right){\text{α}}_3}{F_3-2H_3{b}_3+N{b_3}^2}=\frac{C_3+C_1{\text{α}}_2{\text{β}}_3+C_2{\text{α}}_3}{H_3-N{b}_3},$

из третьего и четвертого равенств (28) – уравнение

$\frac{C_3+C_1{\text{α}}_2{\text{β}}_3+C_2{\text{α}}_3}{H_3-N{b}_3}=\frac{G_{23}+G_{12}{\text{α}}_2{\text{β}}_3+G_{22}{\text{α}}_3}{D_{23}-C_2{b}_3}.$

Из последних трех уравнений выражаем α2β3 через α3 и b3:

${\text{α}}_2{\text{β}}_3=\frac{\left[G_{12}\left(H_3-N{b}_3\right)-C_2\left(D_{13}-C_1{b}_3\right)\right]{\text{α}}_3+G_{13}\left(H_3-N{b}_3\right)-C_3\left(D_{13}-C_1{b}_3\right)}{C_1\left(D_{13}-C_1{b}_3\right)-G_{11}\left(H_3-N{b}_3\right)},$  (29)

${\text{α}}_2{\text{β}}_3\text{}=\frac{\left[\text{}\left(H_3\text{}-\text{}N{b}_3\right)\left(D_{23}\text{}-C_2{b}_3\right)-C_2\text{}\left(\text{}N{b_3}^2\text{}-2H_3{b}_3\text{}+\text{}{F}_3\right)\text{}\right]{\text{α}}_3\text{}+\left(H_3\text{}-N{b}_3\right)\left(D_{33}\text{}-C_3{b}_3\right)-C_3\text{}\left(\text{}N{b_3}^2\text{}-2H_3{b}_3\text{}+\text{}{F}_3\right)}{C_1\left(N{b_3}^2-2H_3{b}_3+F_3\right)-\left(H_3-N{b}_3\right)\left(D_{13}-C_1{b}_3\right)},$ (30)

${\text{α}}_2{\text{β}}_3=\frac{\left[C_2\left(D_{23}-C_2{b}_3\right)-G_{22}\left(H_3-N{b}_3\right)\right]{\text{α}}_3+C_3\left(D_{23}-C_2{b}_3\right)-G_{23}\left(H_3-N{b}_3\right)}{G_{12}\left(H_3-N{b}_3\right)-C_1\left(D_{23}-C_2{b}_3\right)}.$ (31)

Приравняв правую часть равенства (29) к правым частям равенств (30) и (31), после простейших преобразований получаем уравнения

$\begin{array}{l}\left\{\left[C_2\text{}{\left(C_1{b}_3-D_{13}\right)}^2\text{}+G_{11}\left(\text{}N{b}_3-H_3\right)\left(C_2{b}_3-D_{23}\text{}\right)-G_{12}\text{}\left(\text{}N{b}_3-H_3\right)\left(C_1{b}_3-D_{13}\right)-C_1\text{}\left(C_1{b}_3-D_{13}\right)\left(C_2{b}_3-D_{23}\text{}\right)+\right.\right.\\ \left.+\left(C_1{G}_{12}\text{}-C_2{G}_{11}\right)\left(N{b_3}^2\text{}-2H_3{b}_3\text{} +F_3\right)\right]{\text{α}}_3\text{}-\left(N{b_3}^2-2H_3{b}_3+F_3\right)\left(C_3{G}_{11}\text{}-C_1{G}_{13}\right)-C_1\left(C_1{b}_3-D_{13}\right)\left(C_3{b}_3-D_{33}\right)-\\ \left.-G_{13}\left(\text{}N{b}_3-H_3\right)\left(C_1{b}_3-D_{13}\right)+G_{11}\left(\text{}N{b}_3-H_3\right)\left(C_3{b}_3-D_{33}\right)+C_3{\left(C_1{b}_3-D_{13}\right)}^2\right\}\left(\text{}{H}_3-N{b}_3\right)=\mathrm{0,}\end{array}$

$\begin{array}{l}\left\{\left[\left(C_2{G}_{12}-C_1{G}_{22}\right)\left(C_1{b}_3-D_{13}\text{}\right)+\left(G_{11}{G}_{22}-{G_{12}}^2\right)\left(\text{}N{b}_3-H_3\right)+\left(C_1{G}_{12}-C_2{G}_{11}\right)\left(C_2{b}_3-D_{23}\right)\right]\right.{\text{α}}_3+\\ \left.+\left(C_3{G}_{12}-C_1{G}_{23}\right)\left(C_1{b}_3-D_{13}\text{}\right)+\left(G_{11}{G}_{23}-G_{12}{G}_{13}\right)\left(\text{}N{b}_3-H_3\right)+\left(C_1{G}_{13}-C_3{G}_{11}\right)\left(C_2{b}_3-D_{23}\right)\right\}\left(\text{}{H}_3-N{b}_3\right)=\mathrm{0,}\end{array}$

из которых выражаем α₃ через b₃, предварительно разделив обе части каждого из них на (H₃ – Nb₃):

${\text{α}}_3=\frac{\left(H_3{b}_3-F_3\right)\left(C_1{G}_{13}-C_3{G}_{11}\right)+\left(N{b}_3-H_3\right)\left(D_{33}{G}_{11}-D_{13}{G}_{13}\right)+\left(C_1{b}_3-D_{13}\right)\left(C_3{D}_{13}-C_1{D}_{33}\right)}{\left(H_3{b}_3-F_3\right)\left(C_2{G}_{11}-C_1{G}_{12}\right)+\left(N{b}_3-H_3\right)\left(D_{13}{G}_{12}-D_{23}{G}_{11}\right)+\left(C_1{b}_3-D_{13}\right)\left(C_1{D}_{23}-C_2{D}_{13}\right)},$  (32)

${\text{α}}_3=\frac{\left(D_{23}-C_2{b}_3\right)\left(C_1{G}_{13}-C_3{G}_{11}\right)+\left(N{b}_3-H_3\right)\left(G_{12}{G}_{13}-G_{11}{G}_{23}\right)+\left(C_1{b}_3-D_{13}\right)\left(C_1{G}_{23}-C_3{G}_{12}\right)}{\left(D_{23}-C_2{b}_3\right)\left(C_2{G}_{11}-C_1{G}_{12}\right)+\left(\text{}N{b}_3-H_3\right)\left(G_{11}{G}_{22}-{G_{12}}^2\right)+\left(C_1{b}_3-D_{13}\right)\left(C_2{G}_{12}-C_1{G}_{22}\right)}.$ (33)

Приравняв правые части равенств (32) и (33), после простейших преобразований приходим к квадратному уравнению относительно b3

$\Gamma {b_3}^2+\Lambda b_3+\Omega =\mathrm{0,}$                                                                                       (34)

коэффициенты которого определяются следующим образом:

$\begin{array}{l}\Gamma =\left[G_{13}\left(C_1{H}_3\text{}-N{D}_{13}\right)+C_3\left(C_1{D}_{13}\text{}-G_{11}{H}_3\right)+D_{33}\left(N{G}_{11}\text{}-{C_1}^2\right)\right]\left[G_{22}\left(N{G}_{11}-{C_1}^2\right)+G_{12}\left(C_1{C}_2-N{G}_{12}\right)+\right.\\ \left.+C_2\left(C_1{G}_{12}-C_2{G}_{11}\right)\right]+\left[G_{23}\left(N{G}_{11}-{C_1}^2\right)+C_3\left(C_1{G}_{12}-C_2{G}_{11}\right)+G_{13}\left(C_1{C}_2-N{G}_{12}\right)\right]\left[D_{23}\left({C_1}^2-N{G}_{11}\right)+\right.\\ \left.+C_2\left(G_{11}{H}_3-C_1{D}_{13}\right)+G_{12}\left(N{D}_{13}-C_1{H}_3\right)\right],\end{array}$
$\begin{array}{l}\Lambda =\left[G_{13}\left(C_1{H}_3\text{}-N{D}_{13}\right)+C_3\left(C_1{D}_{13}\text{}-G_{11}{H}_3\right)+D_{33}\left(N{G}_{11}\text{}-{C_1}^2\right)\right]\left[G_{22}\left(C_1{D}_{13}\text{}-G_{11}{H}_3\right)+G_{12}\left(G_{12}{H}_3\text{}-C_2{D}_{13}\right)+\right.\\ \left.+D_{23}\left(C_2{G}_{11}\text{}-C_1{G}_{12}\right)\right]+\left[F_3\left(C_3{G}_{11}\text{}-C_1{G}_{13}\right)+D_{33}\left(C_1{D}_{13}\text{}-G_{11}{H}_3\right)+D_{13}\left(G_{13}{H}_3\text{}-C_3{D}_{13}\right)\right]\left[G_{12}\left(C_1{C}_2\text{}-N{G}_{12}\right)+\right.\\ \left.+G_{22}\left(N{G}_{11}-{C_1}^2\right)+C_2\left(C_1{G}_{12}-C_2{G}_{11}\right)\right]+\left[G_{23}\left(N{G}_{11}-{C_1}^2\right)+C_3\left(C_1{G}_{12}-C_2{G}_{11}\right)+G_{13}\left(C_1{C}_2-N{G}_{12}\right)\right]\times \\ \times \left[F_3\text{}\left(C_1{G}_{12}\text{}-C_2{G}_{11}\right)+D_{13}\text{}\left(C_2{D}_{13}\text{}-G_{12}{H}_3\right)+D_{23}\text{}\left(G_{11}{H}_3\text{}-C_1{D}_{13}\right)\right]+\left[G_{12}\text{}\left(G_{13}{H}_3\text{}-C_3{D}_{13}\right)+\right.G_{23}\text{}\left(C_1{D}_{13}\text{}-G_{11}{H}_3\right)+\\ \left.+D_{23}\left(C_3{G}_{11}-C_1{G}_{13}\right)\right]\left[C_2\left(G_{11}{H}_3-C_1{D}_{13}\right)+G_{12}\left(N{D}_{13}-C_1{H}_3\right)+D_{23}\left({C_1}^2-N{G}_{11}\right)\right],\end{array}$
$\begin{array}{l}\Omega =\left[F_3\text{}\left(C_3{G}_{11}\text{}-C_1{G}_{13}\right)+D_{33}\text{}\left(C_1{D}_{13}\text{}-G_{11}{H}_3\text{}\right)+D_{13}\text{}\left(G_{13}{H}_3\text{}-C_3{D}_{13}\text{}\right)\right]\left[G_{22}\text{}\left(C_1{D}_{13}\text{}-G_{11}{H}_3\text{}\right)+G_{12}\text{}\left(G_{12}{H}_3\text{}-C_2{D}_{13}\right)+\right.\\ \left.+D_{23}\left(C_2{G}_{11}-C_1{G}_{12}\right)\right]-\left[G_{12}\left(C_3{D}_{13}\text{}-G_{13}{H}_3\right)+G_{23}\left(G_{11}{H}_3\text{}-C_1{D}_{13}\text{}\right)+D_{23}\left(C_1{G}_{13}\text{}-C_3{G}_{11}\right)\right]\left[F_3\text{}\left(C_1{G}_{12}\text{}-C_2{G}_{11}\right)\right.+\\ \left.+D_{13}\left(C_2{D}_{13}\text{}-G_{12}{H}_3\right)+D_{23}\left(G_{11}{H}_3-C_1{D}_{13}\right)\right].\end{array}$

Дискриминант уравнения (34) равен

$\begin{array}{l}\tilde{\Delta }=\left\{\left[{C_2}^2\left(D_{13}{G}_{13}-D_{33}{G}_{11}\right)+G_{12}{H}_3\left(C_3{G}_{12}-C_1{G}_{23}\right)+C_2{G}_{11}{G}_{23}{H}_3\right]\right.\left(G_{11}{H}_3-C_1{D}_{13}\right)+\left[F_3{G}_{11}\times \right.\\ \times \left(C_2{G}_{23}-C_3{G}_{22}\right)+F_3{G}_{12}\left(C_3{G}_{12}-C_1{G}_{23}\right)+F_3{G}_{13}\left(C_1{G}_{22}-C_2{G}_{12}\right)+C_1{D}_{23}\left(D_{33}{G}_{12}-D_{23}{G}_{13}\right)+C_2{D}_{23}\times \\ \left.\times \left(D_{13}{G}_{13}-D_{33}{G}_{11}\right)+C_3{D}_{23}\left(D_{23}{G}_{11}-D_{13}{G}_{12}\right)\right]\left({C_1}^2-N{G}_{11}\right)+\left[C_2{H}_3\text{}\left(D_{23}{G}_{11}\text{}-D_{13}{G}_{12}\right)+G_{22}{H}_3\left(C_1{D}_{13}-G_{11}{H}_3\right)-\right.\\ \left.-C_1{C}_2{D}_{13}{D}_{23}\right]\left(C_3{G}_{11}\text{}-C_1{G}_{13}\right)+\left[C_2{G}_{11}\left(D_{13}{G}_{23}-D_{33}{G}_{12}\right)+C_3{G}_{11}\left(D_{23}{G}_{12}-D_{13}{G}_{22}\right)+C_1{G}_{13}\left(D_{13}{G}_{22}-D_{23}{G}_{12}\right)+\right.\\ {\left.\left.+C_1{G}_{12}\left(D_{33}{G}_{12}-D_{13}{G}_{23}\right)\right]\left(N{D}_{13}-C_1{H}_3\right)+C_2{G}_{12}\left[C_1{D}_{13}\left(C_3{D}_{13}-C_1{D}_{33}\right)+G_{11}{H}_3\left(C_1{D}_{33}-G_{13}{H}_3\right)\right]\right\}}^2,\end{array}$

а корни этого уравнения вычисляются по формулам

$\left[\begin{array}{l}{b}_3=\frac{C_1{D}_{13}-G_{11}{H}_3}{{C_1}^2-N{G}_{11}},\\ b_3=\left[C_3{G}_{11}\left({D_{23}}^2-F_3{G}_{22}\right)+D_{33}{G}_{11}\left(G_{22}{H}_3-C_2{D}_{23}\right)+G_{11}{G}_{23}\left(C_2{F}_3-D_{23}{H}_3\right)+D_{13}{G}_{12}\left(G_{23}{H}_3-C_3{D}_{23}\right)+\right.\\ +D_{13}{D}_{23}\left(C_1{G}_{23}-C_3{G}_{12}\right)+G_{13}{H}_3\left(D_{23}{G}_{12}-D_{13}{G}_{22}\right)+D_{13}{D}_{33}\left(C_2{G}_{12}-C_1{G}_{22}\right)+F_3{G}_{12}\left(C_3{G}_{12}-C_1{G}_{23}\right)+\\ \left.+D_{33}{G}_{12}\left(C_1{D}_{23}-G_{12}{H}_3\right)+D_{23}{G}_{13}\left(C_2{D}_{13}-C_1{D}_{23}\right)+{D_{13}}^2\left(C_3{G}_{22}-C_2{G}_{23}\right)+F_3{G}_{13}\left(C_1{G}_{22}-C_2{G}_{12}\right)\right]\times \\ \times \left[N{D}_{23}\left(G_{12}{G}_{13}-G_{11}{G}_{23}\right)+N{D}_{33}\left(G_{11}{G}_{22}-{G_{12}}^2\right)+N{D}_{13}\left(G_{12}{G}_{23}-G_{13}{G}_{22}\right)+C_3{G}_{11}\left(C_2{D}_{23}-G_{22}{H}_3\right)+\right.\\ +C_2{G}_{11}\left(G_{23}{H}_3-C_2{D}_{33}\right)+C_3{D}_{13}\left(C_1{G}_{22}-C_2{G}_{12}\right)+C_3{G}_{12}\left(G_{12}{H}_3-C_1{D}_{23}\right)+C_2{G}_{13}\left(C_2{D}_{13}-G_{12}{H}_3\right)+\\ {\left.+C_1{G}_{23}\left(C_1{D}_{23}-G_{12}{H}_3\right)+C_1{G}_{13}\left(G_{22}{H}_3-C_2{D}_{23}\right)+C_1{D}_{33}\left(C_2{G}_{12}-C_1{G}_{22}\right)+C_1{C}_2\left(D_{33}{G}_{12}-D_{13}{G}_{23}\right)\right]}^{-1}.\end{array}\right.$  (35)

Так как уравнение (34) имеет два решения, то два решения имеет и система уравнений (13). Компоненты обоих решений этой системы получаем в следующем порядке:

• – значения неизвестной b₃ находим по формулам (35);
• – значения неизвестной α₃, соответствующие найденным значениям b₃, вычисляем по любой из формул (33), (34);
• – значения β₃ – по формуле, записанной в качестве последнего уравнения системы (13);
• – значения α₂ – по любой из трех формул

${\text{α}}_2=\frac{\left[G_{12}\left(H_3-N{b}_3\right)-C_2\left(D_{13}-C_1{b}_3\right)\right]{\text{α}}_3+G_{13}\left(H_3-N{b}_3\right)-C_3\left(D_{13}-C_1{b}_3\right)}{{\text{β}}_3\left[C_1\left(D_{13}-C_1{b}_3\right)-G_{11}\left(H_3-N{b}_3\right)\right]},$

${\text{α}}_2=\frac{\left[\text{}\left(H_3\text{}-\text{}N{b}_3\right)\left(D_{23}\text{}-C_2{b}_3\right)-C_2\text{}\left(\text{}N{b_3}^2\text{}-2H_3{b}_3\text{}+\text{}{F}_3\right)\text{}\right]{\text{α}}_3\text{}+\left(H_3\text{}-N{b}_3\right)\left(D_{33}\text{}-C_3{b}_3\right)-C_3\text{}\left(\text{}N{b_3}^2\text{}-2H_3{b}_3\text{}+\text{}{F}_3\right)}{{\text{β}}_3\left[C_1\left(N{b_3}^2-2H_3{b}_3+F_3\right)-\left(H_3-N{b}_3\right)\left(D_{13}-C_1{b}_3\right)\right]},$