Аналитическое решение задачи калибровки магнитометракосмического аппарата с помощью метода наименьших квадратов

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В настоящей работе предложен аналитический метод решения задачи калибровки магнитометра для модели, рассмотренной в [1]. При решении задачи определения калибровочных параметров блока магнитометра учитывается, что для измерений с любой пространственной ориентацией блока магнитометра величина измеряемого вектора магнитной индукции сохраняется и является известной модельной величиной. Вводится в рассмотрение штрафная функция 12 переменных, равная сумме квадратов невязок. Алгоритм решения задачи калибровки измерительных осей блока магнитометра сводится к поиску методом наименьших квадратов таких значений переменных этой функции, которые при заданном наборе векторов измерений магнитометра доставляют ей минимум. С этой целью указанная функция исследуется на условный экстремум при наличии трех уравнений связи. Составляется функция Лагранжа и, исходя из необходимого условия экстремума этой функции, формируется система 15 уравнений относительно 15 неизвестных. Доказывается, что эта система имеет четыре решения. Выведены формулы, позволяющие получить компоненты каждого из этих четырех решений. В качестве решения задачи калибровки магнитометра рекомендуется выбрать решение указанной системы, доставляющее минимум функции Лагранжа.

Полный текст

Введение

Магнитометры входят в состав системы ориентации и стабилизации низкоорбитальных малогабаритных космических аппаратов. Они широко используются благодаря тому, что являются легкими, недорогими и надежными. Однако вследствие физических особенностей чувствительного элемента современные магнитометры требуют проведения математической калибровки. На данный момент предложены различные методы калибровки магнитометров, этим методам посвящено немалое количество научных работ [1–12], в частности, статья [9], в которой приведен обзор различных способов проведения таких операций.

В вышеупомянутых работах задача калибровки магнитометра космического аппарата решалась с применением численных методов. В настоящей статье предложен аналитический метод решения этой задачи для модели, рассмотренной в [1].

 

1. Модель погрешностей измерений вектора магнитной индукции

Обозначим через h значение измеренного вектора магнитной индукции при некотором пространственном положении блока магнитометра (БМ). Воспользуемся упрощенной моделью измерений, рассмотренной в [1]:

h=h1h2h3=QPB+b+n.                                                                              (1)

В (1) использованы следующие обозначения [1]:

B = (B1, B2, B3)T – истинный вектор магнитной индукции;

b = (b1, b2, b3)T – постоянный вектор, отвечающий смещениям нуля для каждой из измерительных осей БМ;

n – случайный вектор, отвечающий некоррелированному шуму для каждой из измерительных осей;

Р – матрица, строки которой есть орты измерительных осей БМ, записанные в «базовой» системе БМ;

Q – диагональная матрица, содержащая на главной диагонали масштабные коэффициенты k1, k2, k3 для измерительных осей БМ, т. е.

Q=k1000k2000k3.

Другими словами, матрица P описывает неортогональность измерительных осей БМ, а матрица Q отвечает масштабированию по этим осям.

Задача калибровки измерительных осей БМ сводится к нахождению элементов матриц P и Q, а также вектора смещений нуля b.

2. Разработка алгоритма определения калибровочных параметров БМ

При решении задачи определения калибровочных параметров БМ воспользуемся тем, что для измерений с любой пространственной ориентацией БМ величина измеряемого вектора магнитной индукции B сохраняется и является известной модельной величиной.

Будем считать, что в полёте в результате измерений магнитометра в дискретные моменты времени получен набор векторов h(l) = (h1(l), h2(l), h3(l))T, l = 1, …, N.  При условии отсутствия шумов измерений из формулы (1) получаем:

h(l)=QPB(l)+b,l=1,,N,                                                                         (2)

где B(l) = (B1(l), B2(l), B3(l))T – истинный вектор магнитной индукции в той же точке пространства, что и измеренный вектор h(l), l = 1, …, N. Выразим векторы  (l = 1, …, N) из равенств (2):

B(l)=Sh(l)b,                                                                                               (3)

l = 1, …, N, где

S=QP1=P1Q1.                                                                                    (4)

Как отмечено в [1], без ограничения общности матрицу неортогональности Р можно представить с минимальным количеством неизвестных элементов следующим образом:

P=100sin ε1cos ε10sin ε2cos ε2sin ε3cos ε2cos ε3,

где ε1, ε2, ε3 – малые углы. Тогда обратная матрица P–1 примет вид

P1=100α1β10α1α3α2β3β1α3β2β3,

где αi = tg εi, βi = sec εi, i = 1, 2, 3, а так как

Q1=k11000k21000k31,

то в соответствии с (4) получаем:

S=γ100α1γ1β1γ20α1α3α2β3γ1β1α3γ2β2β3γ3,                                       (5)

где γi = ki – 1, i = 1, 2, 3.

Перепишем равенство (3) с учетом (5):

B1(l)B2(l)B3(l)=γ100α1γ1β1γ20α1α3α2β3γ1β1α3γ2β2β3γ3h1(l)b1h2(l)b2h3(l)b3,              (6)

l = 1, …, N. Каждое из N векторных равенств (6) запишем в виде системы трех скалярных равенств:

γ1h1(l)b1=B1(l),α1γ1h1(l)b1+β1γ2h2(l)b2=B2(l),α1α3α2β3γ1h1(l)b1β1α3γ2h2(l)b2+β2β3γ3h3(l)b3=B3(l),              (7)

l = 1, …, N. В силу первого равенства системы (7) второе равенство этой системы перепишем в виде

α1B1(l)+β1γ2h2(l)b2=B2(l),

откуда получаем равенство

β1γ2h2(l)b2=α1B1(l)+B2(l),

вследствие которого третье равенство системы (7) записывается следующим образом:

α2β3B1(l)α3B2(l)+β2β3γ3h3(l)b3=B3(l),

l = 1, …, N.

Введем в рассмотрение функцию двенадцати переменных αi, βi, γi, bi (i = 1, 2, 3)

Φ=l=1NB1(l)γ1h1(l)b12+B2(l)+α1B1(l)β1γ2h2(l)b22++B3(l)+α2β3B1(l)+α3B2(l)β2β3γ3h3(l)b32,

где переменные αi и βi  в силу тригонометрического тождества

tg2φsec2​φ1

связаны равенствами

αi2βi2+1=0,                                                                                                     (8)

i = 1, 2, 3.

Алгоритм решения задачи калибровки измерительных осей БМ сводится к поиску методом наименьших квадратов [13] с учетом (8) таких значений переменных αi, βi, γi, bi (i = 1, 2, 3), которые при заданном наборе векторов измерений {h(l)} (l = 1, …, N) доставляют минимум функции Ф. С этой целью требуется исследовать функцию Ф на условный экстремум [14] при наличии трех уравнений связи (8).

Составим функцию Лагранжа

F=Φ+i=13λiαi2βi2+1,                                                                                  (9)

пятнадцати переменных αi, βi, γi, bi, λi (i = 1, 2, 3) и запишем необходимое условие локального экстремума этой функции:

Требуется найти стационарные точки функции F, т. е. решение системы уравнений (10).

Введем следующие обозначения:

Ci=l=1NBi(l),  Hi=l=1Nhi(l),  Fi=l=1Nhi(l)2,  Dij=l=1NBi(l)hj(l),  Gij=Gj ​​​i=l=1NBi(l)Bj(l),  i,j=1,2,3.

Учитывая эти обозначения, для удобства разобьем систему уравнений (10) на три нелинейные системы – систему уравнений относительно двух неизвестных b1, γ1:

D11C1b1+F1+2H1b1Nb12γ1=0,C1+Nb1H1γ1γ1=0,                                                                 (11)

систему уравнений относительно пяти неизвестных b2, α1, β1, γ2, λ1:

C1b2D12β1γ2+G11+λ1α1+G12=0,D22C2b2+D12C1b2α1+F2+2H2b2Nb22β1γ2γ2+λ1β1=0,D22C2b2+D12C1b2α1+F2+2H2b2Nb22β1γ2β1=0,C2+C1α1+Nb2H2β1γ2β1γ2=0,β1=α12+1                (12)

и систему уравнений относительно восьми неизвестных b3, α2, α3, β2, β3, γ3, λ2, λ3:

G13+G11α2β3+G12α3+C1b3D13β2β3γ3β3+λ2α2=0,D33C3b3+D13C1b3α2β3+D23C2b3α3+F3+2H3b3Nb32β2β3γ3β3γ3+λ2β2=0,D33C3b3+D13C1b3α2β3+D23C2b3α3+F3+2H3b3Nb32β2β3γ3β2β3=0,C3+C1α2β3+C2α3+Nb3H3β2β3γ3β2β3γ3=0,G23+G12α2β3+G22α3+C2b3D23β2β3γ3+λ3α3=0,G13+G11α2β3+G12α3+C1b3D13β2β3γ3α2λ3β3D33C3b3+D13C1b3α2β3+D23C2b3α3+F3+2H3b3Nb32β2β3γ3β2γ3=0,βi=αi2+1,   i=2,3.(13)

В записи выражений βi через αi в последних уравнениях систем (12) и (13) мы воспользовались тем, что βi = sec εi > 0 вследствие очевидных неравенств –π/2 < εi < π/2, i = 1, 2, 3. Решим каждую из систем уравнений (11), (12), (13).

Сначала заметим, что справедливо неравенство

Fi+2HibiNbi20,                                                                                                           (14)

i = 1, 2, 3. Действительно, дискриминант квадратного уравнения – Fi + 2HibiNbi² = 0 относительно неизвестной bi, будучи равным

δi=4Hi24NFi=4l=1Nhi(l)2Nl=1Nhi(l)2,

отрицателен в силу очевидного следствия

l=1Nhi(l)2<Nl=1Nhi(l)2

неравенства Коши – Буняковского [15] (здесь поставлен знак « < » вместо « ≤ », так как хотя бы одно из слагаемых hi(1), …, hi(N) заведомо не равно нулю), поэтому рассматриваемое квадратное уравнение не имеет вещественных корней, i = 1, 2, 3.

Решим систему уравнений (11). Учитывая неравенство (14), выражаем γ1 через b1 из первого уравнения этой системы:

Подставляя вместо γ1 полученное выражение во второе уравнение системы (11) и принимая во внимание неравенство γ1 = k1– 1 ≠ 0, после простейших преобразований приходим к равенству

b1=C1F1D11H1C1H1ND11,

с учетом которого записанное выше равенство для γ1 приводится к виду

γ1=C1H1ND11H12NF1.

Таким образом, решение системы уравнений (11) найдено.

Рассмотрим систему уравнений (12). Поскольку γ2 = k2 – 1 ≠ 0, второе уравнение этой системы можно записать в виде

D22C2b2+D12C1b2α1+F2+2H2b2Nb22β1γ2+λ1β1γ2=0,                                (15)

а так как β1 = sec ε1 ≠ 0, третье уравнение системы (12) равносильно следующему уравнению:

D22C2b2+D12C1b2α1+F2+2H2b2Nb22β1γ2=0.                                             (16)

Из (15) с учетом (16) получаем, что λ1β1γ2– 1 = 0 и тогда в силу неравенства β1 ≠ 0 имеем

λ1=0.                                                                                                                                    (17)

Имеет место неравенство D12C1b2 ≠ 0, так как непосредственная проверка показывает, что значение b2 = D12C1– 1, являющееся корнем уравнения D12C1b2 = 0, не удовлетворяет уравнениям системы (12).

Сначала рассмотрим случай H2 – Nb2 ≠ 0, т. е. b2 ≠ H2N– 1. Выразим β1γ2 из (16), а также из первого (с учетом равенства (17)) и четвертого (с учетом неравенства β1γ2 ≠ 0) уравнений системы (12):

β1γ2=D12C1b2α1+D22C2b2F22H2b2+Nb22, β1γ2=G11α1+G12D12C1b2, β1γ2=C1α1+C2H2Nb2.           (18)

По доказанному знаменатель дроби во втором из равенств (18) не равен нулю, знаменатель дроби в первом из равенств (18) отличен от нуля в силу (14). Из первого и третьего равенств (18) следует уравнение

C1α1+C2H2Nb2=D12C1b2α1+D22C2b2F22H2b2+Nb22,

из которого выражаем b2 через α1:

b2=D12H2C1F2α1+D22H2C2F2ND12C1H2α1+ND22C2H2.                                                                (19)

Аналогично, из второго и третьего равенств (18) следует уравнение

C1α1+C2H2Nb2=G11α1+G12D12C1b2,

из которого также выражаем b2 через α1:

b2=G11H2C1D12α1+G12H2C2D12NG11C12α1+NG12C1C2.                                                      (20)

Приравнивая правые части равенств (19) и (20), после простейших преобразований получаем квадратное уравнение относительно α1:

C12C1F2D12H2+C1G11H22NF2+C1D12ND12C1H2α12++2C1C2C1F2D12H2+ND12C1H2C1D22+C2D12+H22NF2C1G12+C2G11α1++C22C1F2D12H2+C2G12H22NF2+C2D22ND12C1H2=0.     (21)

Дискриминант уравнения (21) равен

Δ=ND12C1H2C1D22C2D12+H22NF2C1G12C2G112,

а корни этого уравнения вычисляются по формулам

α1=C2C1,α1=C2C1F2D12H2+G12H22NF2+D22ND12C1H2C1C1F2D12H2+G11H22NF2+D12ND12C1H2.        (22)

Заметим, что значения (22) неизвестной α1 не являются корнями знаменателей дробей в равенствах (19) и (20). Подставляя первое из значений (22) неизвестной α1 в четвертое уравнение системы (12), с учетом неравенства β1γ2 ≠ 0 приходим к равенству H2Nb2 = 0, которое противоречит рассматриваемому случаю.

Пусть теперь H2Nb2 = 0, т. е. b2 = H2N– 1. Принимая во внимание неравенство β1γ2 ≠ 0, из четвертого уравнения системы (12) получаем, что α1 = – C2C1– 1, т. е. найденное значение α1 совпадает с первым из корней (22) уравнения (21). Несложно показать, что равенства (19) и (20), доказанные в предположении b2H2N– 1, справедливы и при b2 = H2N– 1. В случае b2 = H2N– 1 имеют место также и первые два равенства из (18), так как при их выводе никакие ограничения на значение неизвестной b2 не учитывались.

Из проведенных рассуждений вытекает, что система уравнений (12) имеет два решения. Компоненты обоих решений указанной системы получаем в следующем порядке:

  • – значения неизвестной α1 находим по формулам (22);
  • – значения β1, соответствующие найденным значениям α1, вычисляем по формуле, записанной в качестве последнего уравнения системы (12);
  • – значения b2 – по любой из формул (19), (20);
  • – значения γ2 – по любой из двух формул

γ2=D12C1b2α1+D22C2b2β1F22H2b2+Nb22, γ2=G11α1+G12β1D12C1b2,   

которые вытекают соответственно из первого и второго равенств (18);

  • – значение неизвестной λ1 в обоих решениях системы уравнений (12) в силу (17) принимаем равным нулю.

Перейдем к отысканию решений системы уравнений (13). В силу неравенств γ3 = k3– 1 ≠ 0, β2 = sec ε2 ≠ 0 и β3 = sec ε3 ≠ 0 второе и третье уравнения этой системы можно записать как

D33C3b3+D13C1b3α2β3+D23C2b3α3+F3+2H3b3Nb32β2β3γ3+λ2β2β3γ3=0,    (23)

D33C3b3+D13C1b3α2β3+D23C2b3α3+F3+2H3b3Nb32β2β3γ3=0,                (24)

соответственно. Из (23) с учетом (24) получаем: λ2β23γ3)–1 = 0. Следовательно, справедливо равенство

λ2=0.                                                                                                               (25)

Тогда первое уравнение системы (13) с учетом неравенства β3 ≠ 0 запишется в виде

G13+G11α2β3+G12α3+C1b3D13β2β3γ3=0.                                             (26)

Из шестого уравнения системы (13) с учетом (24) и (26) находим – λ3β3 = 0, откуда следует равенство

λ3=0.                                                                                                               (27)

Имеют место неравенства H3Nb3 ≠ 0, Di3Cib3 ≠ 0, так как непосредственная проверка показывает, что ни корень b3 = H3N– 1 уравнения H3Nb3 = 0, ни корни b3 = Di3Ci– 1 уравнений Di3Cib3 = 0 не удовлетворяют уравнениям системы (13), i = 1, 2.

С учетом равенств (25), (27) и неравенств β2 ≠ 0, β3 ≠ 0, γ3 ≠ 0 выразим β2β3γ3 из первого, третьего, четвертого и пятого уравнений системы (13):

β2β3γ3=G13+G11α2β3+G12α3D13C1b3, β2β3γ3=D33C3b3+D13C1b3α2β3+D23C2b3α3F32H3b3+Nb32,     β2β3γ3=C3+C1α2β3+C2α3H3Nb3, β2β3γ3=G23+G12α2β3+G22α3D23C2b3.                            (28)

По доказанному знаменатели дробей в первом, третьем и четвертом из равенств (28) не равны нулю, знаменатель дроби во втором из равенств (28) отличен от нуля в силу (14). Из первого и третьего равенств (28) следует уравнение

G13+G11α2β3+G12α3D13C1b3=C3+C1α2β3+C2α3H3Nb3,

из второго и третьего равенств (28) – уравнение

D33C3b3+D13C1b3α2β3+D23C2b3α3F32H3b3+Nb32=C3+C1α2β3+C2α3H3Nb3,

из третьего и четвертого равенств (28) – уравнение

C3+C1α2β3+C2α3H3Nb3=G23+G12α2β3+G22α3D23C2b3.

Из последних трех уравнений выражаем α2β3 через α3 и b3:

α2β3=G12H3Nb3C2D13C1b3α3+G13H3Nb3C3D13C1b3C1D13C1b3G11H3Nb3,  (29)

α2β3=H3Nb3D23C2b3C2Nb322H3b3+F3α3+H3Nb3D33C3b3C3Nb322H3b3+F3C1Nb322H3b3+F3H3Nb3D13C1b3, (30)

α2β3=C2D23C2b3G22H3Nb3α3+C3D23C2b3G23H3Nb3G12H3Nb3C1D23C2b3. (31)

Приравняв правую часть равенства (29) к правым частям равенств (30) и (31), после простейших преобразований получаем уравнения

C2C1b3D132+G11Nb3H3C2b3D23G12Nb3H3C1b3D13C1C1b3D13C2b3D23++C1G12C2G11Nb322H3b3 +F3α3Nb322H3b3+F3C3G11C1G13C1C1b3D13C3b3D33   G13Nb3H3C1b3D13+G11Nb3H3C3b3D33+C3C1b3D132H3Nb3=0,

  C2G12C1G22C1b3D13+G11G22G122Nb3H3+C1G12C2G11C2b3D23α3++C3G12C1G23C1b3D13+G11G23G12G13Nb3H3+C1G13C3G11C2b3D23H3Nb3=0,

из которых выражаем α3 через b3, предварительно разделив обе части каждого из них на (H3Nb3):

α3=H3b3F3C1G13C3G11+Nb3H3D33G11D13G13+C1b3D13C3D13C1D33H3b3F3C2G11C1G12+Nb3H3D13G12D23G11+C1b3D13C1D23C2D13,  (32)

α3=D23C2b3C1G13C3G11+Nb3H3G12G13G11G23+C1b3D13C1G23C3G12D23C2b3C2G11C1G12+Nb3H3G11G22G122+C1b3D13C2G12C1G22. (33)

Приравняв правые части равенств (32) и (33), после простейших преобразований приходим к квадратному уравнению относительно b3

Γb32+Λb3+Ω=0,                                                                                       (34)

коэффициенты которого определяются следующим образом:

Γ=G13C1H3ND13+C3C1D13G11H3+D33NG11C12G22NG11C12+G12C1C2NG12++C2C1G12C2G11+G23NG11C12+C3C1G12C2G11+G13C1C2NG12D23C12NG11+            +C2G11H3C1D13+G12ND13C1H3,
Λ=G13C1H3ND13+C3C1D13G11H3+D33NG11C12G22C1D13G11H3+G12G12H3C2D13++D23C2G11C1G12+F3C3G11C1G13+D33C1D13G11H3+D13G13H3C3D13G12C1C2NG12++G22NG11C12+C2C1G12C2G11+G23NG11C12+C3C1G12C2G11+G13C1C2NG12××F3C1G12C2G11+D13C2D13G12H3+D23G11H3C1D13+G12G13H3C3D13+G23C1D13G11H3+    +D23C3G11C1G13C2G11H3C1D13+G12ND13C1H3+D23C12NG11,
Ω=F3C3G11C1G13+D33​​C1D13G11H3+D13G13H3C3D13G22C1D13G11H3+G12G12H3C2D13++D23C2G11C1G12G12C3D13G13H3+G23G11H3C1D13+D23C1G13C3G11F3C1G12C2G11+           +D13C2D13G12H3+D23G11H3C1D13.

Дискриминант уравнения (34) равен

  Δ~=C22D13G13D33G11+G12H3C3G12C1G23+C2G11G23H3G11H3C1D13+F3G11××C2G23C3G22+F3G12C3G12C1G23+F3G13C1G22C2G12+C1D23D33G12D23G13+C2D23××D13G13D33G11+C3D23D23G11D13G12C12NG11+C2H3D23G11D13G12+G22H3C1D13G11H3C1C2D13D23C3G11C1G13+C2G11D13G23D33G12+C3G11D23G12D13G22+C1G13D13G22D23G12+   +C1G12D33G12D13G23ND13C1H3+C2G12C1D13C3D13C1D33+G11H3C1D33G13H32,

а корни этого уравнения вычисляются по формулам

b3=C1D13G11H3C12NG11,b3=C3G11D232F3G22+D33G11G22H3C2D23+G11G23C2F3D23H3+D13G12G23H3C3D23++D13D23C1G23C3G12+G13H3D23G12D13G22+D13D33C2G12C1G22+F3G12C3G12C1G23++D33G12C1D23G12H3+D23G13C2D13C1D23+D132C3G22C2G23+F3G13C1G22C2G12××ND23G12G13G11G23+ND33G11G22G122+ND13G12G23G13G22+C3G11C2D23G22H3++C2G11G23H3C2D33+C3D13C1G22C2G12+C3G12G12H3C1D23+C2G13C2D13G12H3++C1G23C1D23G12H3+C1G13G22H3C2D23+C1D33C2G12C1G22+C1C2D33G12D13G231.  (35)

Так как уравнение (34) имеет два решения, то два решения имеет и система уравнений (13). Компоненты обоих решений этой системы получаем в следующем порядке:

  • – значения неизвестной b3 находим по формулам (35);
  • – значения неизвестной α3, соответствующие найденным значениям b3, вычисляем по любой из формул (33), (34);
  • – значения β3 – по формуле, записанной в качестве последнего уравнения системы (13);
  • – значения α2 – по любой из трех формул

α2=G12H3Nb3C2D13C1b3α3+G13H3Nb3C3D13C1b3β3C1D13C1b3G11H3Nb3,

α2=H3Nb3D23C2b3C2Nb322H3b3+F3α3+H3Nb3D33C3b3C3Nb322H3b3+F3β3C1Nb322H3b3+F3H3Nb3D13C1b3,

α2=C2D23C2b3G22H3Nb3α3+C3D23C2b3G23H3Nb3β3G12H3Nb3C1D23C2b3,

которые вытекают из равенств (29), (30) и (31) соответственно;

  • – значения β2 – по формуле, записанной в качестве последнего уравнения системы (13);
  • – значения γ3 – по любой из четырех формул

γ3=G13+G11α2β3+G12α3β2β3D13C1b3, γ3=D33C3b3+D13C1b3α2β3+D23C2b3α3β2β3F32H3b3+Nb32,

γ3=C3+C1α2β3+C2α3β2β3H3Nb3, γ3=G23+G12α2β3+G22α3β2β3D23C2b3,

которые вытекают из (28);

  • – значения неизвестных λ2 и λ3 в обоих решениях системы уравнений (13) в силу равенств (25) и (27) принимаем равными нулю.

Итак, система уравнений (11) имеет единственное решение, а каждая из систем (12), (13) – два решения. Следовательно, число решений исходной системы уравнений (10), определяемое как произведение числа решений систем (11), (12) и (13), равно четырем. Из полученных четырех решений

α1j, α2j, α3j, β1j, β2j, β3j,γ1j,γ2j,γ3j,b1j,b2j,b3j,λ1j,λ2j,λ3j,                             (36)

(j = 1, 2, 3, 4) системы (10), которые также являются стационарными точками функции Лагранжа F, определенной равенством (9), нас интересует решение

1,2,3,1,2,3,γ~1,γ~2,γ~3,b~1,b~2,b~3,λ~1,λ~2,λ~3,

удовлетворяющее равенству

   F1,2,3,1,2,3,γ~1,γ~2,γ~3,b~1,b~2,b~3,λ~1,λ~2,λ~3==min1j4Fα1j, α2j, α3j, β1j, β2j, β3j,γ1j,γ2j,γ3j,b1j,b2j,b3j,λ1j,λ2j,λ3j.

Так как в каждом из решений (36) системы уравнений (10) последние три компоненты равны нулю, т. е.

λ1j=λ2j=λ3j=0,

j = 1, 2, 3, 4, то в силу (9) имеем:

Fα1j, α2j, α3j, β1j, β2j, β3j,γ1j,γ2j,γ3j,b1j,b2j,b3j,λ1j,λ2j,λ3j=  =Φα1j, α2j, α3j, β1j, β2j, β3j,γ1j,γ2j,γ3j,b1j,b2j,b3j,

j = 1, 2, 3, 4, поэтому искомое решение α1,α2,α3, β1, β2, β3,γ~1,γ~2,γ~3,b~1,b~2,b~3​​ определяем по формуле

Φα1,α2,α3, β1, β2, β3,γ~1,γ~2,γ~3,b~1,b~2,b~3​​==min1j4Φα1j, α2j, α3j, β1j, β2j, β3j,γ1j,γ2j,γ3j,b1j,b2j,b3j.

Искомые значения масштабных коэффициентов k~1,k~2,k~3 для измерительных осей БМ вычисляем по формулам

k~i=γ~i1,

i = 1, 2, 3, искомые значения углов ε~1,ε~2,ε~3 – по формулам ε~i=arctgα~i,

которые следуют из равенств α~i=tg ε~i

и очевидных неравенств π/2<ε~i<π/2, i = 1, 2, 3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, мы получили аналитическое решение задачи калибровки магнитометра космического аппарата для модели, рассмотренной в [1]. Процедура вычисления калибровочных параметров БМ по выведенным формулам обладает рядом очевидных преимуществ по сравнению с численными методами решения этой задачи:

  • – существенно уменьшается число арифметических операций;
  • – исчезает проблема возможной неустойчивости метода.
×

Об авторах

Кирилл Анатольевич Кириллов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Автор, ответственный за переписку.
Email: kkirillow@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-3763-1303

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры прикладной математики

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский Рабочий», 31

Светлана Владимировна Кириллова

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: svkirillova2009@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-3779-2825

кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и анализа данных

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский Рабочий», 31

Александр Алексеевич Кузнецов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: alex_kuznetsov80@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-0944-1817

доктор физико-математических наук, профессор, директор НОЦ «Институт космических исследований и высоких технологий»

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский Рабочий», 31

Денис Олегович Мелентьев

Сибирский федеральный университет; Акционерное общество «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнёва»

Email: denes.2000@mail.ru
ORCID iD: 0009-0009-6187-4098

аспирант, инженер

Россия, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79; 662972, г. Железногорск Красноярского края, ул. Ленина, 52

Константин Владимирович Сафонов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: safonovkv@rambler.ru

доктор физико-математических наук, профессор, директор Института информатики и телекоммуникаций

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский Рабочий», 31

Список литературы

  1. Калибровка магнитометра космического аппарата «Декарт» в полете / П. Е. Розин, А. В. Симонов, Е. С. Гордиенко, Ю. К. Зайко // Тр. МАИ. 2022. № 124. С. 1–20.
  2. Методика калибровки магнитометра на этапе наземной диагностики систем космического аппарата / И. О. Акимов, С. Н. Илюхин, Н. А. Ивлев, Г. Е. Колосов // Инженерный журнал: наука и инновации. 2018. № 5 (77). С. 1–18.
  3. Баллистическое обеспечение разработки и полётов межорбитального космического буксира «Фрегат» / И. М. Морской, А. В. Симонов, В. И. Лясковская, А. С. Ежов // Вестник «НПО им. С. А. Лавочкина». 2014. № 1. С. 10–15.
  4. Alonso R., Shuster M. D. TWOSTEP: A Fast Robust Algorithm for Attitude-Independent Magnetometer Bias Determination // Journal of the Astronautical Sciences. 2002. Vol. 50, No. 4. P. 433–451.
  5. Verification and calibration of a commercial anisotropic magnetoresistive magnetometer by multivariate non-linear regression / N. Belsten, M. Knapp, R. Masterson et al. // Geosci. Instrum. Method. Data Syst. 2023. No. 12. P. 201–213.
  6. High precision magnetometer for geomagnetic exploration onboard of the China Seismo-Electromagnetic Satellite / B. J. Cheng et al. // Science China Technological Sciences. 2018. Vol. 61, No. 5. P. 659–668.
  7. Crassidis J. L., Kok-Lam Lai, Harman R. R. Real-Time Attitude-Independent Three-Axis Magnetometer Calibration // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2005. Vol. 28, No. 1. P. 115–120.
  8. Calibration of strapdown magnetometers in magnetic field domain / D. Gebre-Egziabher, G. H. Elkaim, J. David Powell, B. W. Parkinson // J. Aerospace Eng. 2006. Vol. 19. P. 87–102.
  9. Soken H. E. A Survey of Calibration Algorithms for Small Satellite Magnetometers // Measurement. October 2017. doi: 10.1016/j.measurement.2017.10.017.
  10. Soken H. E., Sakai S. Attitude estimation and magnetometer calibration using reconfigurable TRIAD+ filtering approach // Aerospace Science and Technology. 2020. Vol. 99. Р. 105754.
  11. Springmann J. C., Cutler J. W. Attitude-independent magnetometer calibration with time-varying bias // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 2012. Vol. 35, No. 4. P. 1080–1088.
  12. Machine learning-based calibration of the GOCE satellite platform magnetometers // K. Styp-Rekowski, I. Michaelis, C. Stolle et al. // Earth Planets Space. 2022. Vol. 74. P. 138.
  13. Бахвалов Н. С. Численные методы. М. : Наука, 1975. 632 с.
  14. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М. : Факториал Пресс, 2002. 824 с.
  15. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1984. 752 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Кириллов К.А., Кириллова С.В., Кузнецов А.А., Мелентьев Д.О., Сафонов К.В., 2025

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.