О ВЫБОРЕ СТРАТЕГИЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Полный текст

Введение. В теории надежности стратегия эксплуатации технической системы - это некоторый процесс восстановления, учитывающий различные состояния системы, например, аварийные и профилактические восстановления, а также время, продолжительность и стоимость их проведения [1-15]. Управляя временем проведения профилактических восстановлений, можно по различным критериям оптимизировать стратегии восстановления. Например, при эксплуатации ракетно-космической техники, электронно-вычислительных систем, систем электроснабжения, теплоснабжения, транспортных систем и многих других требуется близкий к единице коэффициент готовности, так как отказы и время простоя могут приводить к значительным техническим, экологическим, экономическим последствиям. В работе продолжается исследование введенной авторами в [11] стратегии Со, в которой функции распределения заменяемых элементов при аварийных и профилактических восстановлениях могут не совпадать, что характерно в реальных условиях эксплуатации. Случай совпадения функций распределения хорошо изучен в теории надежности [3]. В указанной статье рассматривались две стратегии эксплуатации. Стратегия Са - проводятся только аварийные восстановления; стратегия Со (стратегия строго периодических восстановлений) - в случае отказа системы проводится аварийное восстановление, а если система проработала без отказа заданный интервал времени τ, то проводится профилактическое восстановление. В качестве критериев оптимальности стратегий были рассмотрены минимум по моменту времени проведения профилактических восстановлений интенсивности эксплуатационных затрат R(τ) (средние затраты на восстановление в единицу времени) и максимум коэффициента готовности K(τ). Также решалась задача выбора по этим двум критериям оптимальной из стратегий Ca и Co. Пусть Fa(t) и Fp(t) - функции распределения наработок на отказ после каждого аварийного и профилактического восстановления соответственно. Время восстановления не учитывается. Получено аналитическое представление функций и : (1) , (2) где и - средние затраты на аварийное и профилактическое восстановление соответственно; совпадает с функцией интенсивности затрат, если в ней и заменить на и - среднее время, затраченное на аварийное и профилактическое восстановление соответственно. Из (2) следует, что максимум коэффициента готовности достигается в точке минимума функции . В случае, когда наработки после аварийных и профилактических восстановлений распределены по экспоненциальным законам , (3) было показано, что при выполнении неравенства (4) для стратегии Со имеется оптимальное время проведения профилактик, при котором интенсивность эксплуатационных затрат меньше интенсивности затрат стратегии Са только аварийных восстановлений. Кроме того, показано, что при профилактики проводить нецелесообразно, и оптимальна стратегия только аварийных восстановлений. Из равенства (2) следует, что при выполнении неравенства , , аналогичного неравенству (4), при значении τ*, дающего минимум функции , достигается максимум функции коэффициента готовности. Исследование функции интенсивности эксплуатационных затрат. Определим условия, при которых в случае выполнения неравенства (4) и экспоненциальных распределений наработок на отказ после аварийных и профилактических восстановлений функция интенсивности затрат имеет единственную точку минимума. Ее график представлен на рис. 1, где - интенсивность затрат стратегии аварийных восстановлений (профилактики не проводятся), - средняя наработка до отказа. Рис. 1. График функции интенсивности эксплуатационных затрат Пусть наработки распределены по экспоненциальным законам (3), тогда имеем [11] где Заметим, что знак производной при совпадает со знаком . Имеем (5) Пусть выполнено неравенство или равносильное ему неравенство (4). Тогда из непрерывности функции следует, что в некоторой точке она, и вместе с ней производная функции интенсивности затрат, обращаются в ноль. Вычислим . Так как , то Обозначим , тогда , и знак определяется знаком функции . Имеем Из (4) следует, что и при выполнении неравенства получаем Далее исследуем функцию на экстремум: Приравняем к нулю. Имеем: . Отсюда с учетом равенств получаем , или . Так как , то . Если потребовать выполнения условия , то не обращается в ноль на промежутке и тем самым функция не имеет на этом промежутке экстремума, а так как в нуле и на бесконечности она положительна, то она положительна на всем промежутке . Таким образом, при выполнении неравенств и (6) на промежутке функция , возрастает. Отсюда следует, что только в одной точке обращается в ноль, и в этой точке функция интенсивности затрат имеет минимум (производная при ее переходе меняет знак с минуса на плюс). Учитывая, что прямая является горизонтальной асимптотой графика функции () и что ee предел в нуле равен бесконечности, заключаем, что график функции интенсивности затрат стратегии имеет вид, представленный на рис. 1. На рис. 2 выделена штриховкой область, удовлетворяющая неравенствам (6), где . Рис. 2. Область, удовлетворяющая неравенствам (6) Стратегия Сс, сравнение стратегий Со и Сс. Стратегия Сс определяется как стратегия Со, в которой функции распределения наработок на отказ после профилактики и после аварийного восстановления совпадают: [3]. Функция интенсивности затрат для стратегии Сс имеет вид [3] . Сравним интенсивности затрат стратегий Со и Сс. Пусть для всех . (7) Неравенство (7) означает, что на любом промежутке времени вероятность отказа заменяемого элемента после профилактического восстановления не превышает соответствующую вероятность отказа после аварийного восстановления. Обозначим Из (7) следует, что (8) Для разности интенсивностей затрат стратегий Со и Сс, с учетом (8), имеем Отсюда следует, что если при всех , то . Сформулируем полученный результат: если при всех то следует предпочесть стратегию Со (по сравнению со стратегией Сс). Пусть в стратегии Со законы распределения наработок на отказ при аварийных и профилактических восстановлениях совпадают, но отличаются параметрами. Получим условия для параметров, входящих в функции распределения и при которых выполняется неравенство (7), для часто встречающихся в теории надежности законов распределения. Далее параметры, входящие в функции распределения и относящиеся к аварийным восстановлениям, имеют нижний индекс a, а относящиеся к профилактическим восстановлениям - нижний индекс p. 1. Экспоненциальное распределение: при . Следовательно, неравенство (7) выполняется при 2. Распределение Максвелла: Неравенство (7) выполняется при 3. Распределение Эрланга порядка n: При неравенство (7) выполняется при при неравенство (7) выполняется при 4. Распределение Релея: Неравенство (7) выполняется при . 5. Распределение Вейбулла-Гнеденко: При неравенство (7) выполняется при 6. Гамма-распределение: - гамма-функция. При неравенство (7) выполняется при 7. Логарифмически нормальное распределение: , где При неравенство (7) выполняется при Заключение. Полученные результаты по минимизации интенсивности затрат рассматриваемой стратегии с проведением профилактических восстановлений можно использовать для максимизации коэффициента готовности, что очень важно, как указывалось во введении, при эксплуатации особо важных технических и электронно-вычислительных систем. По времени проведения профилактических восстановлений имеются и другие стратегии восстановления. Например, стратегия восстановления блоками, когда в заранее заданные моменты времени после начала эксплуатации проводятся профилактические восстановления. Величина τ задается в [11]. Заранее определенное время проведения профилактик может приводить к замене дорогостоящего элемента, если перед этим произошло близкое по времени его аварийное восстановление. Таким недостатком рассматриваемая в работе стратегия не обладает. Недостатком этой стратегии является заранее неизвестное время проведения профилактических восстановлений, если для их проведения требуется значительное время или средства. В связи с этим следует исследовать различные стратегии и затем выбрать из них оптимальные. В работе решена задача о выборе оптимальной стратегии из двух стратегий: стратегии Со, определенной авторами, и стратегии Са только аварийных восстановлений, по критериям минимума интенсивности затрат и коэффициента готовности для законов распределений, часто встречающихся в теории надежности, таких как экспоненциальное, Эрланга порядка , Вейбулла-Гнеденко и др.

Об авторах

И. И. Вайнштейн

Сибирский федеральный университет, Институт космических и информационных технологий

Email: isvain@mail.ru
Российская Федерация, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26

Г. Е. Михальченко

Сибирский федеральный университет, Институт космических и информационных технологий

Российская Федерация, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26

Ю. В. Вайнштейн

Сибирский федеральный университет, Институт космических и информационных технологий

Российская Федерация, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26

К. В. Сафонов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Список литературы

Дополнительные файлы