МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСФОРМИРУЕМЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Полный текст

Введение. При создании изделий ракетно- Инерциальную систему координат r r r x1,0 , x2,0 , x3,0 космической техники, робототехнических и меха- тронных устройств широко применяются различные трансформируемые механические системы (антенны, рефлекторы, манипуляторы и т. п.). Подобные систесвязываем с основанием (звено 0). Переход от i-й к (i - 1)-й системе координат описывается однородной матрицей перехода [12] мы можно рассматривать как многозвенные механиз- écos qi -sin qi 0 dx1,i-1 × cos qi ù мы с размещенными на звеньях или основании при- водами. Из-за сложности проектирования, изготовле- êsin q cos q 0 d Ai-1 = ê i i x2,i-1 × sin q ú i ú , ния и отладки, а также с учетом высокой стоимости подобных устройств возникает необходимость построения их математических моделей и определения динамических характеристик. В статье рассмотрено где qi i ê 0 0 1 0 ú ë û ê 0 0 0 1 ú - обобщенные координаты, определяемые как построение математической модели на примере четыуглы между векторами r и x1,i-1 r x1,i ; dx1,i-1 и dx2,i-1 - рехзвенного механизма раскрытия штанги панелей солнечных батарей [1-11]. Кинематическая модель. Четырехзвенный меха- низм, расчетная схема которого приведена на рис. 1, состоит из основания (звено 0) и трех шарнирно соединенных звеньев 1, 2 и 3. Шарниры расположены в точках A, B, F, оси шарниров параллельны между сдвиг начала (i - 1)-й системы координат до совмеще- ния с началом i-й системы координат соответственно x1,i-1 x2,i-1 по направлению векторов r и r . ri 0 1 i -1 ri i ri В инерциальной системе координат векторное уравнение кинематики четырехзвенного механизма имеет вид собой. Перемещения звеньев кинематически связаны 1 2 i при помощи тросовых передач. Привод звеньев раз- мещен на основании. r0 = A1 × A2 ××× Ai × r = B × ri , Для описания указанного плоского многозвенного где Bi = A0 × A1 ××× Ai-1 , i = 1, 2, 3 . механизма, построенного по разомкнутой кинемати- ческой схеме с тремя вращательными (В) парами пя- того класса, оси которых параллельны между собой, воспользуемся матричным методом, который приме- ним для описания как замкнутых, так и разомкнутых кинематических цепей [12]. x1,i , x , x2,i 3,i С каждой В парой связываем i-ю систему коорди- нат r r r , где i = 0-2. Разметка осей приведена Механическая модель. Составим уравнение дви- жения для четырехзвенного механизма. Для этого воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода, которые справедливы для описания как замкнутых, так и разомкнутых кинематических цепей. Уравнения Лагранжа второго рода [2; 3] для плос- кого многозвенного механизма имеют вид на расчетной схеме (рис. 1). Каждую ось r направd ¶L - ¶L = M , Подпись: k x3,i ляем вдоль оси соответствующего шарнира перпенdt ¶q& k ¶qk дикулярно плоскости чертежа, ось r x1,i направляем где k = 1, ..., n ; n - число степеней подвижности; вдоль или параллельно продольной оси i-го звена, ось L = K - P - функция Лагранжа; K - кинетическая x2,i r направляем так, чтобы система координат была энергия; P - потенциальная энергия; q&k - обобщенправой. ные скорости; Mk - обобщенные силы или моменты. Рис. 1. Расчетная схема Fig. 1. The design scheme Полная кинетическая энергия i-го звена опреде- ляется [13; 14] выражением Матрица r r r 2 преобразования системы координат A 3E r r r i = 1 åi å Подпись: K Подпись: i ( j × × pT )× & × & x1,3E , x2,3E , x3,3E к системе координат x1,2 , x2,2 , x3,2 2 j =1 p=1 Tr Bi Ii Bi q j qp , имеет вид A2 = Aq × A3 . j j ¶Bi 3E 3 3E где матрица Bi = ¶q описывает изменение матрицы Определим [13; 14] матрицы Bijk , описывающие Bi при изменении обобщенной координаты q j ; Ii - изменение матриц Bij при изменении координаты qk : матрица инерции i-го звена; Т - знак операции транс- 11 ¶B1 ¶ 0 2 0 2 q d понирования матриц. Для сборки уравнений движения необходимо вы- B1 = 1 = ¶q1 ¶q1 (D × A1C ) = D × A1C = D × A1 × A2C , числить производные кинетической энергии по обоб- щенным скоростям и времени. Для звеньев механизма ¶B1 B 1 12 = 2 = ¶q2 ¶ ¶q2 (D × A0 × A1 ) = D × A0 × D × A1 , 1 2 D 1 2D ¶K1 1 1T 22 ¶B2 ¶ 0 1 0 2 1 ¶q&1 = Tr (B1 × I1 × B1 )× q&1, B2 = 2 = ¶q2 ¶q2 ( A1 × D × A2D ) = A1 × D × A2D , ¶K2 = Tr (B1 × I × B2T )× q& + Tr (B2 × I × B2T )× q& , 13 ¶B1 ¶ 0 1 2 0 1 2 ¶q&2 2 2 2 1 2 2 2 2 B3 = 3 = ¶q2 ¶q3 (D × A1 × A2 × A3E ) = D × A1 × A2 × D × A3E , ¶K3 ¶q&3 = Tr (B1 × I × B3T )× q&1 + ¶ 2 23 B B = 3 = ¶ ( A0 × D × A1 × A2 ) = A0 × D × A1 × D × A2 , 3 3 3 3 ¶q ¶q 1 2 3E 1 2 3E + Tr (B2 × I × B3T )× q& + Tr (B3 × I × B3T )× q& . 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 33 ¶B3 ¶ 0 1 2 0 1 2 2 Матрица A 1C r r r 0 преобразования системы координат B3 = 3 = ¶q2 ¶q3 ( A1 × A2 × D × A3E ) = A1 × A2 × D × A3E , x C , x C , x C к инерциальной системе координат 1,1 2,1 3,1 r r r где для вращательных пар матрица D имеет вид x1,0 , x2,0 , x3,0 имеет вид é0 -1 0 0ù A0 = Aq × Ad . ê1 0 0 0ú 1C 1 2C D = ê ú . A 2D Матрица 1 преобразования системы координат r r r ê0 0 0 0ú ê ú x2,2 x3,2 x1,2D , x2,2D , x3,2D , связанной с центром масс звена 2 ë0 0 0 0û (точка D), к системе координат r x1,2 , r , r , начало Уравнение движения для k-го звена имеет вид которой располагается на оси шарнира В, имеет вид i=k j × × kT ×&& + A1 = Aq × A2 , åTr (Bi j =1 Ii Bi ) q j 2D 2 2D где Aq - матрица поворота. i=k + jp × × kT ×& × & = 2 Определим необходимые матрицы преобразований å Tr (Bi j, p=1 Ii Bi ) q j qp Mk . A 3 для звена 3 механизма. Механизм работает в горизонтальной плоскости, Матрица r q элементарного поворота на угол q3 моменты сил тяжести, приложенные к звеньям, вос- принимаются устройствами обезвешивания. Моменвокруг оси x3,3 имеет вид écos q3 Подпись: q Подпись: 3 êsin q -sin q3 cos q3 0 0ù 0 0ú тами сил трения в шарнирах на первом этапе исследо- вания можно пренебречь. Следовательно, в качестве обобщенной силы принимаем момент сил М1, прило- 3 A = ê ú . ê 0 0 1 0ú ê 0 0 0 1ú женный к звену 1. Звенья кинематически связаны и для полного рас- Матрица A3 ë û элементарных сдвигов от системы крытия q = -2 × q , q = 2 × q . r 3E 2 1 3 1 E , E , координат x1,3 r x2,3 r x3,3 E , связанной с центром масс зве- Моделирование проводилось в среде графического на 3 (точка E), к системе координат r r r x1,2 , x2,2 , x3,2 , начало программирования LabVIEW [15; 16]. которой располагается на оси шарнира F, имеет вид é1 0 0 a3 ù Задав диапазон изменения обобщенной координа- ты q1, решаем прямую задачу кинематики, график изменения координат центров масс звеньев приведен 2 1 0 -d 0 1 0 0 0 1 ê ú на рис. 2. Для решения прямой задачи динамики соз- A ê 3E 3 = ê0 ê0 ú 5 ú . ú даны виртуальные приборы (ВП), позволяющие вы- числять матрицы инерции звеньев, кинетическую ê ú энергию звеньев и необходимые усилия или моменты êë0 úû сил приводов (рис. 3). Рис. 2. Графики изменения координат центров масс звеньев механизма Fig. 2. Graphs of the change in the coordinates of the centers of mass of the links of the mechanism Рис. 3. Лицевая панель ВП вычисления кинетической энергии первого звена Fig. 3. Front panel of the VP of calculating the kinetic energy of the first link Заключение. В результате выполненной работы разработаны математическая модель и виртуальные приборы, позволяющие решать прямую задачу кине- матики и динамики трансформируемых механических систем, т. е. на основании заданных законов движения и массоинерционных характеристик звеньев опреде- лять необходимые обобщенные силы или моменты, развиваемые приводами звеньев. Результаты исследо- вания могут быть использованы при проектировании робототехнических и мехатронных систем, а также при разработке механических систем космических аппаратов.

Об авторах

Л. В. Ручкин

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: leonid-ruchkin@yandex.ru
Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Н. Л. Ручкина

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Список литературы

Дополнительные файлы