SYNTHESIS OF TIME OPTIMAL SYSTEMS OF HIGH ORDER

Texto integral

При решении задачи создания системы высокого порядка, оптимальной по быстродействию, и наличии ограничений на управляющее воздействие |U| < Umax структурная схема системы в соответствии с принципом максимума Понтрягина [1-4] представлена на рисунке, где Wa,y(p) - передаточная функция объекта управления; РЭ - релейный элемент, обеспечивающий ступенчатое изменение управляющего воздействия U от -Umax до +Umax и наоборот; УП - устройство переключения, реализующее определенную функцию переключения релейного элемента S(e) в функции ошибки системы. Необходимо определить вид и параметры функции S(e), при которой система переходит из одного устойчивого состояния в другое за минимальное время. В дальнейшем под системами высокого порядка будем понимать системы третьего и четвертого порядка. Методика синтеза оптимальных по быстродействию систем второго порядка хорошо изучена и не представляет сложностей [1]. Но для систем высокого порядка не существует простой и четко сформулированной методики синтеза несмотря на то, что различные разработки в этой области ведутся уже давно. Имеющиеся разработки сводятся к получению либо частных решений, либо сложных математических выражений, практически нереализуемых. В общем случае закон оптимального управления формируется в виде нелинейной зависимости управляющего воздействия от вектора состояния системы или, в данном случае, вектора ошибки системы, определяемого выражением ^.у = Umaxsign[S(e)]. (1) Задача нахождения оптимального управления U^ сводится к отысканию функции переключения S(e). Релейный элемент переключается тогда, когда функция переключения меняет знак, отсюда уравнение переключения имеет вид S(e) = 0. (2) Данное уравнение для систем второго порядка определяет линию в фазовом плоскости, для систем третьего порядка - поверхность, а для систем порядка выше третьего - гиперповерхность в координатах «ошибка и ее производные». Для систем второго порядка это, как правило, линии второго порядка типа параболы, эллипса или скручивающейся спирали. Аналитически получить уравнение подобной линии переключения в большинстве практических случаев не удается. Приходится прибегать к аппроксимации, т. е. сначала, используя информацию о математическом описании объекта управления, рассчитывать фазовые траектории системы относительно ошибки и ее производной для U = +Umax и U = - Umax, а затем по полученным данным осуществлять аппроксимацию, задаваясь видом аппроксимирующего уравнения, и таким образом получать уравнение переключения S(e). Если в этом случае аппроксимирующее выражение представлено в виде прямой линии, то полученный закон управления и систему называют квазиоптимальной, т. е. для одного задающего воздействия система оптимальна, для остальных - близка к оптимальной [1-4]. Квази-оптимальная система практически легко реализуема. Y. e УП S . РЭ U Wa.jCp) S(e) Y Структурная схема Если подобную методику распространить на системы третьего и четвертого порядков, то в первом случае необходимо аппроксимировать поверхность переключения плоскостью, во втором - аппроксимировать гиперповерхность гиперплоскостью. В общем случае уравнение переключения должно иметь вид S (е) = t a е(г), (3) i=0 где at - параметры; e(l) - i-я производная ошибки системы; n - порядок системы. Однако если для систем второго порядка задача определения уравнения линии переключения достаточно проста и описана в ряде источников, то для систем более высокого порядка она существенно усложняется. И для систем третьего и четвертого порядка практически невозможно представить, как гиперплоскость должна пересекать гиперповерхность. В данной статье приведены результаты исследования возможностей построения оптимальной по быстродействию системы, когда объект управления описывается дифференциальным уравнением третьего и четвертого порядка, и приводятся рекомендации по проектированию подобных систем при различных параметрах уравнений объекта управления. Предлагаемая методика синтеза систем высокого порядка, оптимальных по быстродействию [5], состоит из следующих этапов. При проведении исследований предполагалось, что объект управления описывается дифференциальным уравнением ±cty(4t) = ku(t), (4) i=0 где y(l)(t) - i-я производная выходной координаты; n -порядок уравнения. Поскольку гиперповерхность рассматривается в координатах «ошибка и n - 1 производные ошибки», то точки на подобной гиперповерхности находятся в результате решения дифференциального уравнения относительно ошибки: it cieW (t) = c0Уззд - ku(t). (5) i=0 Описание поверхности переключения следует находить в виде набора точек в n-мерном фазовом пространстве. В этом случае необходимо решать систему дифференциальных уравнений с применением принципа «обратного времени» на определенном интервале времени t0 - tk. Сложность решения последующей задачи аппроксимации при удовлетворении требования квазиоптимальности определяется значением tk. Чтобы получить наилучший результат, выбираем границу интервала времени tk исходя из порядка системы и вида корней характеристического уравнения объекта управления. Проведенные исследования выявили следующие результаты: 1) для системы третьего порядка: а) три отрицательных действительных корня: tk ~ (1.. ,1,5т), где т - коэффициент, вычисляемый как т=Фп , (6) здесь cn - коэффициент при старшей производной дифференциального уравнения системы; n - порядок системы; б) один отрицательный действительный корень и два отрицательных мнимых: tk ~ (3 .4т); 2) для системы четвертого порядка: а) четыре отрицательных действительных корня: tk~ (2,5.4т); б) четыре отрицательных мнимых корня: tk ~ (3.4,5т). в) два отрицательных действительных корня и два отрицательных мнимых корня: в системе происходят автоколебания. Если определены границы интервала решения системы дифференциальных уравнений, то встает вопрос о разбиении этого интервала. От количества точек на интервале зависит точность решения системы дифференциальных уравнений и время вычисления. Малое количество точек приведет к тому, что синтезируемая система будет не оптимальна по быстродействию, а большое - к чрезмерному времени вычисления решения. В результате многократного решения различных вариантов систем дифференциальных уравнений можно сформулировать следующую рекомендацию: достаточное количество точек на интервале решения равно 100, что позволяет получить точность решения на втором этапе до сотых долей значения коэффициентов: увеличение количества точек до 1 000 приводит к повышению точности решения до тысячных долей значений коэффициентов. Порядок и типы характеристических уравнений Порядок системы уравнений Варианты корней характеристического уравнения Область применения разработанной методики синтеза (разность порядков корней) Третий Три действительных Не более трех Один действительный и два мнимых Не более трех Четвертый Четыре действительных Не более трех Четыре мнимых Не более трех Два действительны и два мнимых Порядки действительных относительно мнимых не более четырех, порядки действительных относительно друг друга не более одного Далее рассмотрим возможные значения корней характеристического уравнения объекта управления Woy, применительно к разработанной методике, т. е. если применять данную методику, то какими могут быть значения корней характеристического уравнения объекта управления, чтобы гарантированно получить систему, оптимальную по быстродействию. Очевидно, что применимость разработанной методики не может зависеть от конкретных значений корней характеристического уравнения, поэтому в первую очередь следует обратить внимание на применимость в зависимости от порядка корней. Все результаты данных исследований сведены в таблицу. На втором этапе методики проводится аппроксимация поверхности переключения некоторым аналитическим выражением с использованием уже имеющихся точек поверхности. Остановимся на выборе выражения для аппроксимации. Выбор выражения для аппроксимации влияет на сложность реализации коррекции в системе. Поэтому выражение должно быть простым и по возможности близким к реальной поверхности. В литературе предлагается множество различных способов аппроксимации. Рассмотрим основные из них. В качестве первого способа предлагается способ аппроксимации, основанный на разложении в ряд по функциям одной переменной [3]. Аппроксимация ведется с помощью суммы функций одной переменной: n tVk 0( xk X (7) k=1 где 9k0 (xk) - некоторые функции. Второй способ основан на представлении поверхности переключения отрезком степенного ряда. При этом способе аппроксимации уравнение аппроксимированной поверхности ищется в виде 2 xn = c10x1 + ... + cn0xn + cnx! + ... + + c12x1x2 + ... + c„1xx + ., (8) где x1, x2, ., xn - переменные; c10, ., cdh c11, c12, ., c1n -коэффициенты. Третий способ - аппроксимация поверхности переключения с помощью полиномов. А. М. Летовым [4] предложен полином в виде квадратичной формы: Z AiJxixJ, ^ j=1 (9) где xi, Xj - переменные; Aj - коэффициенты. Самый простой способ - это аппроксимация полиномом первой степени: Передаточная функция звена коррекции (15) лишь теоретически заставляет систему работать нужным образом. На практике реализация передаточной функции, у которой порядок числителя больше порядка знаменателя, не применяется из-за того, что в реальной системе всегда присутствуют различные сигналы шума и применение дифференцирования ведет к потере полезного сигнала. Поэтому реализуем звено коррекции с передаточной функцией n-1 Z aip (10) Z aixi Wk (p)=n0i =1 (16) где xi - переменные; ai - коэффициенты. Применение выражения (10) для аппроксимации поверхности переключения означает аппроксимацию гиперповерхности гиперплоскостью. Несмотря на серьезное упрощение аналитического выражения поверхности переключения, полином первом степени является наиболее подходящим для систем оптимальных по быстродействию, третьего и четвертого порядка, так как позволяет получить высокие результаты при простом корректирующем устройстве. Выбор метода аппроксимации не оказывает значительного влияния на точность результатов. Для получения аналитического выражения поверхности переключения можно использовать метод наименьших квадратов. Рассмотрим использование этого метода подробнее. Выражение (10) при использовании сигнала ошибки примет вид Z ЬгР' i=0 Это интегро-дифференциальное звено. Для реализации коррекции необходимо подобрать коэффициенты bi в знаменателе таким образом, чтобы на каком-то участке частотной характеристики звено вело себя как дифференцирующее, обеспечивая оптимальность по быстродействию, а на высоких частотах - как обыкновенное усилительное. Предлагается следующая последовательность действий: 1. Вычислим вспомогательный коэффициент aTn _ 1 aTn-1 = n^1an~1 . (17) 2. Вычислим вспомогательный коэффициент aTn - 1: aTn-1 kp bTn-1 = (18) n-1 Z ‘ ,(i) (11) где kp - коэффициент, зависящий от порядка уравнения и его корней. Проведенные исследования соотношения (18) дали следующие результаты по определению значения kp: для системы второго порядка kp = 10.20; для системы третьего порядка kp = 20.60; для системы четвертого порядка kp = 30.100. 3. Знаменатель передаточной функции (16) сформируем как произведение n - 1 звеньев i=0 где e(i) - i-я производная ошибки системы; n - порядок системы. Значения всех производных ошибки известны и требуется найти коэффициенты ai. Поэтому формируем нормальную систему метода наименьших квадратов, используя зависимость е° от остальных производных: n f n Z [z j=0 V i=0 (12) j+k =Z^ Z bip =П (bTn-1 p+1). (19) где k = 1, 2, ., n. Полученная система (12) - это система алгебраических уравнений относительно неизвестных a0, a1, ., a„. Решение нормальной системы найдем методом Гаусса: a = A4B, (13) где a - вектор коэффициентов уравнения гиперповерхности переключения; A - матрица левой части системы уравнений частных производных; B - вектор правой части системы уравнений частных произ-водных. Сформировав поверхность переключения в виде i=0 i =1 Как показывают исследования, формирование знаменателя передаточной функции коррекции (16) в форме (19) облегчает в дальнейшем ее практическую реализацию. В итоге сформирована передаточная функция корректирующего устройства, обеспечивающего системе квазиоптимальность по быстродействию, которое может быть построено на операционных усилителях. Таким образом, предложена методика синтеза систем, оптимальных по быстродействию, высокого порядка. Рассмотрено применение разработанной методики для систем, оптимальных по быстродействию, третьего и четвертого порядка. Данная методика достаточно проста и проектирование систем высокого порядка может быть легко автоматизировано с помощью распространенных информационных систем, таких как MathCAD и MicroCap. ,(i) = Z = 0, (14) i=0 переходим к третьему этапу методики. Поверхности переключения (14) соответствует звено коррекции с передаточной функцией

Sobre autores

D. Zamjatin

Siberian Federal University

Email: zamyatin@mail.ru

A. Lovchikov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

Email: ivt_anlovch@sibsau.ru

Bibliografia

Arquivos suplementares