Линии тока для решения Прандтля

Аннотация

Рассмотрены уравнения пластичности в стационарном двумерном случае. Для решения Прандтля описывающее сжатие пластического слоя жесткими плитами рассмотрено два поля скоростей. Одно из них решение Надаи, второе новое решение. Показано что линии тока у этих решений совпадают. Исходя из принципа максимума диссипации, указаны области использования этих полей скоростей.

Полный текст

Рассмотрим уравнение идеальной пластичности в форме Сен-Венана-Леви. Они имеют вид дст f d0 d9 . , --21 — cos29 +--sin29 | = 0, dx ^ dx dy дст f d9 . d0 , --21 — sin29--cos29 | = 0, dx (1) dy dvy Л ■ + —dy dx dy dv dvy tg 29+-----y = 0, dx dy (2) ds.=0, dx dy ст = - x --у/1 - y2 , y = cos 29. (3) Подставляя (3) в систему (2) получаем систему линейных уравнений для определения полей скоростей совместных с этим решением. ( dvx dy dx y dv y- + 2 ^ = 0, dx (4) dvx y n —- + —- = 0. dx dy Наиболее известное решение системы (4) - решение Надаи, которое имеет вид = x + 2^/1y , vy = -y. (5) В [3; 4] приведены другие решения системы (4). Там же показано, что решение (5) не дает максимум диссипации энергии во всей области |y| < 1. Поэтому для описания деформируемого состояния следует использовать и другие поля скоростей. Приведем наиболее простое новое решение системы (4) 1 + y 1 - y где ст - гидростатическое давление; 9 - угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью OX; vx, vy - компоненты вектора скорости, постоянная пластичности для простоты положена равной единице. Уравнения (1), (2) описывают напряженно-деформированное состояние пластической среды. Система уравнений (1)-(2) уже достаточно подробно изучена. Для нее известны группы симметрий, законы сохранения, точные решения. Обзор этих и других результатов можно найти в [1; 2]. Наиболее известное решение уравнений (1) - это решение Прандтля, которое можно использовать для описания напряженного состояния пластического слоя, сжимаемого жесткими плитами: exp exp - x--у/іy (6) - x --у/їy Для более полного анализа напряженно-деформированного состояния, кроме формул (4)-(6), необходимо использовать линии скольжения и линии тока. В данном случае нельзя использовать траектории движения точек среды, поскольку время явно не входит в уравнения (1)-(2). Использование временно-подобных параметров [5], по нашему мнению, спорно. Линии скольжения для решения Прандтля известны и являются частями циклоид (рис. 1). Для построения линий тока следует решить систему уравнений dx dy Для решения Надаи эта система сводится к квадратуре d (xy) = V 1 - y2 dy, поэтому линии тока имеют вид x = { 0\A - y2 )/ydy = = -V 1 - y2 - ln 1 + >/jy2 + C. (7) Эти линии тока приведены на рис. 2. = vy 80 Математика, механика, информатика Рис. 2. Линии скольжения для решения Надаи Найдем линии тока для поля скоростей (6). После несложных преобразований получаем dx dy Vі+y -J1 - y л/1+y W1 - У Вычисляя квадратуры, получаем поле линий тока, совпадающее с (7). Для дальнейшего анализа построенных решений вычислим диссипацию энергии для полей скоростей (5) и (6) и сравним полученные результаты. Известно, что согласно модифицированному принципу максимума Мизеса [6], на действительном поле скоростей диссипация должна быть максимальна: j , где величины без звездочек - действительные компоненты тензора напряжений и тензора скоростей деформации, а со звездочкой - возможные. Вычислим диссипацию: D = °xex +°yey +2Texy = el +el + 2eXy •\/e2 + e2 + 2ey -Je = ,!el + e2y + 2e%. Поскольку el = e2, 2e = e ^cxy x y то y D = KIV2 + H2 (y). Для решения Надаи диссипация равна Di =72 + H2 (y). Для решения (6) аналогично получаем D2 =- 1+y 1 - y D1 exp - x-V1 - y Из сравнения D1 и D2 следует, что при x > 0 есть области, где предпочтительнее поле скоростей Надаи, а при x < 0 есть области, где предпочтительнее поле скоростей (6). Из полученных результатов следует, что известное поле скоростей Надаи не всегда является предпочтительным перед другими полями скоростей. А поскольку система уравнений (4) имеет бесконечно много решений, то задачу по построению полей скоростей, соответствующих решению Прандтля, нельзя считать окончательно решенной.