ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ И ПОСТРОЕНИЕ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ УДЕЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ТЯГИ ЖИДКОСТНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ ТЯГОЙ ОТ 10 ДО 420 Н

Полный текст

Описание двигателей S10 и S400. В EADS Astrium разработаны, прошли экспериментальную отработку и поставлены для летных испытаний двигатели S10 с тягой 10 Н и S400 с тягой 420 Н на компонентах топлива монометилгидразин (ММГ)+азотный тетраоксид (АТ). Для космических аппаратов (КА) AFRISTAR (1998), Stellat (2002), EUROSTAR 2015 (2008), Astra 1N (2011) и т. д. разработаны модификации двигателя S10-21 (рис. 1), S10-18 и S10-26 [1]. Для КА SYMPHONIE (1975), AMOS 1 (1996), ARTEMIS (2001), Venus Express (2005), W2A (2009), Yamal 402 (2013), W3D (2013) и т. д. разработаны модификации двигателя S400-12 (рис. 2) и S400-15 [2]. Двигатели работают при номинальных суммарных массовых расходах гігΣ» 3,4 г/с (S10), гігΣ» 125 г/с (S400) и соотношении компонентов топлива Km » 1,68 и Km » 1,61 соответственно. Матрица планирования испытаний двигателей S10 и S400. Испытания для построения регрессионной модели 2-го порядка для удельного импульса (n - количество опытов с учетом рандомизации, N - количество неповторных опытов строки матрицы планиро вания, i - номер опыта (строки) матрицы планирования, гігo - массовый расход окислителя, Wlz - массовый расход горючего) планируются по матрицам планирования испытаний ЖРДМТ S10 и S400, приведенных в табл. 1, 2. Методика обработки результатов испытаний. Оценка параметров регрессионной модели производится по результатам испытаний, проведенных в соответствии с заданной матрицей планирования факторного эксперимента, в следующей последовательности: 1) оценка воспроизводимости (ошибки опыта) и стационарности; 2) расчет коэффициентов регрессионной модели и проверка их на значимость; 3) проверка регрессионной модели на адекватность. Проверка воспроизводимости и стационарности опытов. Оценка воспроизводимости производится из условия однородности дисперсий выходного параметра, определенного в разных строчках матрицы планирования: 177 Вестник СибГАУ. № 4(50). 2013 1 mi 2 Dw——г Σ[θί >, - л.,' ]· С1) mi 1j—1 где mi - число параллельных опытов в i -й строчке 1 mi матрицы; (y ) ——Σ Уі , - средняя величина выр mi j—1 ходного параметра для совокупности проведенных опытов при данном сочетании факторов; yi, - результат j -го опыта в i -й строке матрицы. Проверка однородности дисперсий производится с помощью F-критерия. В соответствии с F-критерием дисперсии двух результатов считаются отличающи мися статистически незначимо, если выполнено условие F — D{y)_ max < f (a f f ) (2) эксп _ ч табл v> J max’ J min \ ) D( У )min где Fra6jl - табличное значение F-критерия, т. е. предельное отношение дисперсий; α - уровень значимости, т. е. вероятность ошибочного вывода, которая в технических задачах принимается равной 0,05; f — mi -1 - степень свободы; D(y)max и D(y)min -максимальное и минимальное значения дисперсий, определенных по соотношению (1). Рис. 1. Общий вид двигателя S10-21 Рис. 2. Общий вид двигателя S400-12 Матрица планирования испытаний двигателя S10 Таблица 1 N Случайный порядок опытов, n m o m г код г/с код г/с 1 1 + 2,41 + 1,42 6 2 8 + 2,41 - 1,09 15 3 3 - 1,86 + 1,42 9 4 4 - 1,86 - 1,09 13 5 2 0 2,135 + 1,42 12 6 10 + 2,41 0 1,255 16 7 5 - 1,86 0 1,255 7 8 11 0 2,135 - 1,09 17 9 14 0 2,135 0 1,255 18 178 Авиационная и ракетно-космическая техника Таблица 2 Матрица планирования испытаний двигателя S400 N Случайный порядок опытов, n m o rh г код г/с код г/с 1 1 + 82,3 + 51,4 6 2 8 + 82,3 - 44,7 15 3 3 - 71,5 + 51,4 9 4 4 - 71,5 - 44,7 13 5 2 0 76,9 + 51,4 12 6 10 + 82,3 0 48,05 16 7 5 - 71,5 0 48,05 7 8 11 0 76,9 - 44,7 17 9 14 0 76,9 0 48,05 18 Оценка стационарности также производится с ис пользованием F-критерия: D( УСр ) F — эксп D воспр < ^табл (α fУср , ^оспр ), (3) 1 N где Уср— n Σ (Уі )ср - среднее значение выходного параметра i—1 во всех проведенных опытах; 1 N 2 Σ fDy ) D(y ) —-ΣΓy -(y.) ] ; D — —ср / лг , [^ ср ср J > воспр N N-1' Σ f i—1 дисперсия воспроизводимости. Расчет коэффициентов регрессии и проверка их на значимость. Расчет коэффициентов регрессии производится по методу наименьших квадратов: (5)— (X}T (X} “ (χ}Т (7} (4) где (например, для линейных моделей, числа входных факторов k и числа опытов n): bO 1 x11 - x1k Уо (5} — b1 ; (x } — 1 x21 " ' x2k ; (7} — У1 bk 1 xN1 " ' xNk yN Матрица (X} - транспонированная матрица по отношению к (X}. Проверка коэффициентов регрессионной модели на значимость проводится по критерию Стьюдента t при заданном уровне значимости α . Значимые коэффициенты регрессии должны быть больше доверительного интервала Ab : bi > Ab — ta Sb, (5) где ta - критерий Стьюдента; Sb — D„ N среднеквадратическое отклонение коэффициентов регрессии. Если коэффициенты взаимно коррелированы, то после исключения незначимых, остальные коэффициенты регрессии пересчитываются. Проверка адекватности регрессионной модели. Под проверкой адекватности понимают проверку соответствия модели экспериментальным данным. Считается, что регрессионная модель адекватна исследуемому процессу, если квадраты отклонений экспериментальных точек от рассчитанных по уравнению регрессии лежат в пределах ошибки воспроизводимости. Проверка адекватности возможна, если количество опытов хотя бы на единицу больше числа значимых коэффициентов регрессии, т. е. число степеней свободы Лд — N + nk - Nb, где N - число опытов в матрице планирования; nk -число контрольных опытов; Nb - число значимых коэффициентов регрессии. Оценка квадрата отклонения экспериментальных точек от модели называется дисперсией адекватности: 1 fad г н2 Ад ^Σ[(Уі) эксп (Уі )теор ] , J ад /ад i— где ( y. ) эксп и (Уі )т опытное и расчетное значения выходного параметра. Дисперсию адекватности сравнивают с дисперсией воспроизводимости с использованием критерия Фишера. Для адекватных регрессионных моделей f^ — -^ < F^ Лд , fвоспр ), (6) D„ воспр где fвоспр - степень свободы для дисперсии воспровоспр изводимости. 179 Вестник СибГАУ. № 4(50). 2013 При неадекватности модели возможны следующие варианты решения: 1) уменьшение интервалов варьирования факторов; 2) перенос центра планирования эксперимента; 3) использование моделей более высокого порядка. Для планирования и обработки эксперимента было создано программное обеспечение [3]. Программа предназначена для построения планов (полного и дробного факторных экспериментов, планов Хартли и Бокса-Вилсона) для испытаний жидкостных ракетных двигателей малых тяг и построения регрессионных моделей (линейной, квазинелинейной, 2-го порядка) по результатам испытаний. Входными данными являются: количество входных факторов, число повторных опытов, вид уравнения регрессии, число опытов в центре плана, матрица значений выходного параметра, число контрольных опытов, доверительная вероятность, кодовые значения входных факторов в контрольных опытах. Программа позволяет проводить статистическую обработку результатов испытаний, т. е. определять число неповторных опытов плана, число коэффициентов регрессии, матрицу планирования в кодовом виде, матрицу планирования со значениями, столбец рандомизации с учетом числа повторных опытов, воспроизводимость и стационарность опытов, вектор коэффициентов регрессии, доверительный интервал для коэффициентов регрессии, адекватность регрессионной модели, расчетные значения выходного параметра в контрольных опытах. Программа написана в математической среде Mathcad 15.0 (M020 [MC15_M020_20121127]). Программа разделена на 2 связанных модуля: планирования испытаний и статистической обработки результатов испытаний. Алгоритм 1 модуля планирования эксперимента в общем виде выглядит следующим образом: - выбор выходного параметра; - выбор количества входных факторов; - назначение интервалов варьирования; - выбор вида уравнения регрессии (линейная, квазинелинейная, 2-го порядка); - выбор типа плана (ПФЭ, ДФЭ, план Хартли, план Бокса-Вилсона); - подсчет количества коэффициентов регрессии и опытов; - рандомизация; - построение матрицы планирования в кодовом и размерном виде. Алгоритм 2 модуля программы статистической обработки результатов: - ввод численных значений выходного параметра; - проверка опытов на воспроизводимость и стационарность; - расчет коэффициентов регрессии; - проверка коэффициентов регрессии на значимость; - проверка модели на адекватность. Программа имеет открытый код и может меняться в зависимости от требований: например, адаптация под другие виды двигателей или добавление других видов планов эксперимента. Работоспособность программы проверена на нескольких испытаниях ЖРДМТ [1; 2]. Статистическая обработка результатов испытаний двигателей S10 и S400. Заполненные матрицы планирования для двигателей S10 и S400 приведены в табл. 3, 4. После статистической обработки результатов испытаний регрессионная модель удельного импульса тяги для двигателя S10 выглядит следующим образом: Iy = 291,222 + 3,25^ + 6,875m>г -5,333п~02, (7) где mг и m0 - массовые расходы горючего и окислителя в безразмерном (кодовом) виде. Таблица 3 ель S10 N Случайный порядок опытов, n mo m г IУі , с Ii , с Л,ср код г/с код г/с 1 1 + 2,41 + 1,42 290 292 6 294 2 8 + 2,41 - 1,09 274 275.5 15 277 3 3 - 1,86 + 1,42 280 282 9 284 4 4 - 1,86 - 1,09 291 293 13 295 5 2 0 2,135 + 1,42 298 300 12 302 6 10 + 2,41 0 1,255 294 295 16 296 7 5 - 1,86 0 1,255 280 279.5 7 279 8 11 0 2,135 - 1,09 285 286 17 287 9 14 0 2,135 0 1,255 289 288.5 18 288 180 Авиационная и ракетно-космическая техника Таблица 4 Двигатель S400 N Случайный порядок опытов m0 m г />,, с /у , с Л,ср код г/с код г/с 1 1 + 82,3 + 51,4 321 319 6 317 2 8 + 82,3 - 44,7 322 321,5 15 321 3 3 - 71,5 + 51,4 313 312 9 311 4 4 - 71,5 - 44,7 315 314 13 313 5 2 0 76,9 + 51,4 318 317 12 316 6 10 + 82,3 0 48,05 319 318,5 16 318 7 5 - 71,5 0 48,05 314 313,5 7 313 8 11 0 76,9 - 44,7 315 314,5 17 314 9 14 0 76,9 0 48,05 317 316,5 18 316 1012 Массовые расход горючего в кодовом виде Массовый рaCXOj <жзслятеля в кодовом виде Рис. 3. Удельный импульс тяги двигателей S10 и S400 в зависимости от расхода горючего при постоянном расходе окислителя 2,41 и 76,9 г/с соответственно: _ - расчетная модель; х - экспериментальные точки Рис. 4. Удельный импульс тяги двигателей S10 и S400 в зависимости от расхода окислителя при постоянном расходе горючего 1,42 и 51,4 г/с соответственно: _ - расчетная модель; х - экспериментальные точки После статистической обработки результатов испытаний регрессионная модель удельного импульса тяги для двигателя S400 выглядит следующим образом: /у = 315,89 + 3,325^0. (8) На рис. 3, 4 представлены графики удельного импульса тяги в зависимости от расхода горючего и окислителя для двух двигателей. Как видно из рис. 3, 4, с увеличением тяги влияние горючего на регрессионную модель уменьшается при одинаковом соотношении компонентов. Проведенная апробация разработанного программного обеспечения для планирования экспери мента и статистической обработки результатов испытаний ЖРДМТ показала его работоспособность и хорошее согласование с экспериментальными данными.

Об авторах

Александр Иванович Коломенцев

Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет)

Email: a.i.kolomentsev@yandex.ru
кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры ракетных двигателей Российская Федерация, 125993, Москва, Волоколамское шоссе, 4

Алексей Николаевич Хохлов

Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет)

Email: alexey.hohlov.86@gmail.com
аспирант кафедры ракетных двигателей; младший научный сотрудник Российская Федерация, 125993, Москва, Волоколамское шоссе, 4

Список литературы

Дополнительные файлы