Алгоритм идентификации систем класса Винера

Полный текст

Введение. Современные производственные системы являются сложными техническими объектами, часто имеющими нелинейную динамическую структуру. Для их исследования необходимо создание математических моделей и алгоритмов, ориентированных на применение современных средств вычислительной техники [1-4]. В связи с этим актуальными являются вопросы, связанные с разработкой методов идентификации нелинейных динамических объектов. При этом необходимо рассмотрение всей имеющейся априорной информации при построении моделей процесса, что достигается за счет применения современных методов параметрической и непараметрической идентификации. Наиболее важным с точки зрения приложений классом динамических процессов являются системы типа «вход-выход», представимые в виде «черного ящика», допускающие активный эксперимент при отсутствии полной априорной информации о моделируемом объекте. Настоящая работа посвящена рассмотрению задачи идентификации динамических систем в широком смысле, т. е. в условиях, когда параметризация невозможна или удается частично параметризовать модель исследуемого процесса на основании имеющейся априорной информации. Рассматривается задача идентификации нелинейных динамических систем, представленных в виде последовательно соединения линейного динамического и нелинейного статического блоков (модель Винера), линейная динамическая часть которых находится в условиях непараметрической неопределенности. Целью работы является повышение эффективности моделирования нелинейных динамических объектов в условиях малой априорной информации. Таким образом, исследуется задача моделирования нелинейных динамических процессов, находящихся в условиях частичной параметризации. Следует отметить, что системы рассматриваемого класса распространены при создании компьютерных систем технической диагностики при виброиспытании космических аппаратов (КА) по каналу «вибросигнал - сигнал датчика, установленный на КА». Постановка задачи. Задача идентификации нелинейной динамической системы поясняется на рис. 1 [5], где Объект - система, состоящая из линейной динамической (ЛЭ) и нелинейной статической (НЭ) частей, ИУ - измерительное устройство, u(t) - входная переменная объекта, x(t) - выходная переменная, u}, x} или {ui,xi, t = 1,s} - наблюдения переменных процесса в дискретный момент времени, §(t) - ненаблюдаемое случайное воздействие, 8 (t), єx (t) - случайные факторы, действующие в каналах измерения переменных в дискретные моменты времени t, x (t) - выход модели объекта. Рис. 1. Общая схема идентификации системы класса Винера Рис. 2. Модель Винера: ЛЭ и НЭ - линейная динамическая и нелинейная части системы соответственно; u(t) - входное воздействие; w(t) - выход промежуточного звена объекта (неизмеряемый); x(t) - выход объекта X(t) = f (3) (5) t -1.' h(t) Исходные данные о состоянии исследуемого объекта представляют собой выборку измерений реакции объекта на входное воздействие u(t): {ui, {, i = 1,s} [6]. Параметры и порядок дифференциального уравнения, которым может быть описана линейная динамическая часть системы, неизвестны. Пусть нелинейность в объекте описывается функцией, вид которой предполагается известным с точностью до набора параметров. Рассмотрим системы, в которых нелинейный элемент представляет собой квадратор: fw) = = aw2, или звено насыщения (с порогом насыщения b1): {w,\w\ < b 1 . a ■ sign(w), w > b1 Требуется на основании имеющейся информации построить модель данной системы, адекватно описывающую ее поведение при подаче на ее вход воздействий различного вида. Непараметрическая модель системы типа Винера. Объектом исследования являются системы, которые могут быть представлены в виде последовательного соединения линейного динамического и безынерционного нелинейного блоков, называемые моделью Винера [6; 7]. Таким образом, общая схема объекта рассматриваемого типа имеет вид, изображенный на рис. 2, где ЛЭ - линейный элемент (динамический), НЭ - нелинейная функция (статический элемент), u(t) - входная переменная объекта, w(t) - выход линейной части объекта (не измеряемый), x(t) - выходная переменная объекта. Пусть порядок и параметры линейной динамической части модели Винера неизвестны, а структура нелинейного элемента задана с точностью до набора параметров а. Основная идея алгоритма, предлагаемого для построения моделей таких систем, заключается в использовании непараметрических оценок для описания связей системы, информация о которых по каким-то причинам неизвестна (в данном случае измерению недоступна линейная динамическая часть системы), а также в применении непараметрического подхода к оцениванию функций. Как видно из рис. 2, значение выхода исследуемого объекта вычисляется как некоторая функция от значения w(t): X (t) = f {w (t), a}, (1) где x(t) - выходной сигнал системы; w(t) - выход линейной части системы (неизмеряемый); u(t) - входной сигнал системы; f{w(t),a} - нелинейный оператор. Предположим, что выход w(t) может быть измерен, тогда модель линейного динамического звена системы при входном воздействии u(t) может быть оценена как интеграл Дюамеля, т. е.: t w(t) = | h'(t - т)и (T)d T, (2) 0 где h(t) - переходная характеристика системы; т - переменная интегрирования. Тогда в соответствии с (1) модель исследуемого объекта находится как t I h'(t -T)u( T)d t, a V 0 Математическая модель нелинейного объекта может быть представлена в виде уравнения (3), где вместо переходной функции h(t) и параметров а используются их статистические оценки. Значение переходной функции h(t) представляет собой реакцию линейного динамического элемента системы на подачу на ее вход воздействия u(t) = 1, т. е. h(t) = w(t/u(t) = 1). При этом значение w(t) недоступно для измерения. После подачи на вход единичного воздействия возможно измерить только выход нелинейного объекта x(t), который будет иметь значение, равное x(t) = fh(t)). Тогда значения переходной функции линейного элемента системы в дискретные моменты времени могут быть оценены следующим образом: h = fx1t, a), (4) где hi - рассчитанное значение переходной характеристики линейного элемента системы; f -1(x) - функция, обратная к описанию нелинейного элемента; x1, - экспериментально полученные значения выхода исследуемого объекта при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия u(t) = 1(t); а - параметр нелинейности. Алгоритмы оценивания неизвестной функции f 4(x) и ее параметров а зависят от типа нелинейности в объекте и будут приведены далее. Далее на основании выборки дискретных значений можно оценить переходную функцию системы в виде стохастической аппроксимации регрессии непараметрического типа следующим образом [8]: 1 S д i=1 При этом колоколообразная функция H() и параметр размытости cs должны удовлетворять условиям сходимости [9]: cs > 0; lim cs = 0; lim scs = ж, (6) I H'(u)du = 0, cs I H'(u)udu = -1, (7) Q(u) Q(u) При произвольном входном воздействии и нулевых начальных условиях выход линейной части системы описывается интегралом Дюамеля (2). С учетом рассчитанного значения переходной функции (11) выход линейного элемента равен: lims^ cSlH fx-t Л = 5(x-t), u = T-t 1 s 7Ax lx1 . (t)=--X Xj-h' a i=1 j=1 u(x jx, (12) В этом случае непараметрическая оценка весовой функции, которая является производной по времени от переходной, примет следующий вид [10; 11]: ks (t) = h’s (t) - -XhiH' Г t - ti scs i=1 V cs V (8) где а - неизвестная константа (параметр нелинейного элемента системы). Таким образом, модель нелинейного динамического объекта типа Винера имеет вид: xs (t) = f (w(t), a) = aw2 (t) = Подставив оценку весовой функции в интеграл Дюамеля в соответствии с (2), получим непараметрическую модель, оценивающую выход линейного элемента [3]: = a i=1 j=1 s t/Ax XX f t-T -ti 'л u (t j )At V cs V 2 (13) 1 ji t/Ax (t) =-■Цк1н ' scS 1=, ,■= ft-Tj-ti Л u (x j )Ax , (9) s i=1 j=1 Расчетная формула для оценки выхода нелинейной системы при произвольном входном воздействии примет следующий вид: где T - переменная интегрирования; Дт - шаг дискретизации. Тогда непараметрическая модель нелинейного объекта примет вид [12]: xs (t) -T -f.\ i=1 j=1 -2 u(x j )At (14) (t x(t) = f I h'(t -x)u (x)d x, a V 0 = f 1 s 11 Ax ------- TThtH ’ f t-Tj-ti Л (10) V Scs i= 1 j=1 u (t j )At, a где f(w(t), a) - оценка нелинейной функции; h(t) - оценка переходной функции линейного элемента системы; x(t) - выходной сигнал системы; u(t) - входной сигнал системы; a - оценки параметров нелинейного элемента системы. Идентификация нелинейной системы с квадратором. Пусть имеем систему, представленную в виде модели Винера (рис. 2). Причем нелинейная часть системы представляет собой квадратор, описываемый функцией вида f (w) = aw2, где a = const. Выход объекта вычисляется следующим образом: x(t) = f (w, a) = aw2 . При единичном входном воздействии u(t) = 1(t), выход нелинейной системы равен x1(t) = x(t / u (t) = 1) = aw(t )2. То есть оценку значений переходной характеристики линейного элемента h(t) = w(t) можно рассчитать через выход исследуемого процесса следующим образом: hi =^x\~[a , где х1і - выход исследуемой системы при единичном входном воздействии в момент времени t [13]. Далее оцениваем переходную характеристику системы с применением непараметрического метода следующим образом: где x1 i - реакция нелинейной системы на единичное входное воздействие; u(t) - входное воздействие. Таким образом, получается методика, для реализации которой не требуется точное численное значение параметра квадратора. Пример 1. Рассмотрим нелинейную динамическую систему, состоящую из квадратора (параметр а = 2) и разностного аналога дифференциального уравнения (имитирующего объект): 3 - x "(t) +1,3 - x'(t) +1- x (t ) = = u (t). Предполагаем, что вид и параметры реального уравнения, описывающего процесс, неизвестны. Результат моделирования такого процесса представлен на рис. 3. Анализируя результаты моделирования, можно сказать, что предлагаемые алгоритмы позволяют достаточно точно оценивать значения выхода исследуемой системы при различных значениях параметров нелинейной части объекта, в условиях зашумленности каналов связи, при различных входных воздействиях. Идентификация нелинейной системы с насыщением. Рассмотрим нелинейную динамическую систему, нелинейность в которой представлена звеном насыщения, т. е. описывается функцией вида f (w) w,|w| < b, a-sign(w), |w| > b, (15) 1 s~ f t _ t Л і s hs(t)=-Y,h,H ІЛ =-L.£ -Jxii H f t -1, Л (11) °s i=1 us i=1 где a, b - некоторые неизвестные параметры нелинейной функции (15). В данном случае при w(t) < b выход объекта совпадает с выходом его линейной динамической части. В остальных случаях, выход объекта представляет собой некоторую константу a, которую возможно определить опытным путем в результате нескольких экспериментов над исследуемой системой [14]. Рис. 3. Результат оценки выхода x(t): xmodel(t) - модель нелинейной системы; x - выход системы; объем выборки s = 250; h = 0,16; помеха 5 %; входное воздействие u(t) = 3cos(0,5t) + sin(0,2t); относительная ошибка моделирования 3,7 % (16) f (w) Для построения модели предлагается алгоритм, включающий следующую последовательность действий. Проводится ряд статических экспериментов, т. е. на вход системы последовательно подаются некоторые постоянные воздействия, в результате чего может быть сделан вывод о значениях параметров функции, описывающей нелинейную часть системы. Параметры нелинейной функции оцениваются согласно следующему алгоритму: 1. Проводится серия экспериментов над исследуемой системой, в ходе которых на ее вход подаются воздействия различной амплитуды ut j = , ej = const в результате получим выборку, состоящую из значений входного воздействия и установившегося значения выхода: {Uj, xуст j }, j = 1, m. 2. В результате по данной выборке может быть получена оценка нелинейного элемента системы, параметры которого определяются следующим образом: - находится расстояние между двумя соседними измерениями следующим образом: dj = |xj - x^JAt, где At - шаг дискретизации выборки; - оценка порога нелинейности b = x^ , если dj <є, є> 0; - a = M{bj } , где xj = b , и xj = xусті-1, j, xустг-1, j установившееся значение выхода нелинейной системы; - оценка нелинейного элемента системы может быть получена в виде w, w < b a ■ sign (w), |w| > b 3. На вход объекта подается ступенчатая функция, амплитуда которой не превышает значение порога b. В результате получается переходная характеристика и строится модель линейной части объекта в виде интеграла Дюамеля. 4. Строится модель объекта, выход которой вычисляется как значение функции, описывающей нелинейное звено, аргументом которой является выход модели линейной части объекта [15]. x(t) = /(w(t)), < „ \ (17) w(t) = I h(t -x)u(x)dT, 0 где x(t) - оценка выхода исследуемой системы; f (■) - оценка функции (15), описывающей нелинейность системы; w(t) - оценка выхода линейного элемента системы; h(t) - переходная функция системы. Пример 2. Рассмотрим нелинейную динамическую систему, состоящую из звена насыщения вида (15) (параметры b = 0,75, b1 = 1) и разностного аналога дифференциального уравнения (имитирующего объект): 3 ■ x "(t) + 0,57 ■ x'(t) + 1- x (t) = u (t). Помехи в каналах измерения имитировались следующим образом: xi,sh = xi + C <г, где xi - выход объекта (без учета влияния помехи); £ - нормально распределенная аддитивная помеха с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Константа с определяет интенсивность помехи, она рассчитывается по заданной величине р, определяющей отношение сигнала к шуму (при р = 10, шум 10 %, при р = 1, шум 100 %): Качество полученных моделей оценивается с помощью относительной средней ошибки моделирования: 1 s xi - xi W = - i----------------------------------------------- i -100 %, S i=1 Ixmin - xmax| где xi - значение выхода исследуемого объекта, xi - значение выхода модели. Результат моделирования такого процесса представлен на рис. 4. Делая анализ работы модели нелинейного динамического объекта с видом нелинейности типа звена насыщения и квадратора, можно сделать выводы о том, что непараметрическая модель достаточно точно описывает нелинейные динамические системы класса Винера. Результаты численных исследований. Далее приведем результаты нескольких численных экспериментов, включающих построение непараметрических моделей систем класса Винера, находящихся в различных условиях. То есть рассматривались случаи, когда исходная выборка измерений входных- выходных переменных системы имела различный объем (s), система находилась в условиях зашумления каналов связи, а также на вход подавались различные воздействия. Пример 3. Рассмотрим некоторый нелинейный динамический объект, поведение которого имитируется следующим образом: линейная часть описывается дифференциальным уравнением второго порядка: 2,9 • y" (t) +1,27 • y'(t) +1 • y (t) = u (t) . (18) Таким образом, выход нелинейного процесса равен x(t) = fy(t)), где f() - функция, описывающая нелинейный элемент системы. Нелинейный элемент представляет собой звено насыщения с параметрами b = 5, b1 = 2. Результат моделирования данного объекта представлен на рис. 5. Пусть в каналах измерения переменных рассматриваемой системы действует помеха в размере 5 % от исходного значения выходного сигнала. Тогда непараметрическая модель такой системы примет вид, представленный на рис. 6. Пример 4. Далее рассмотрим систему, линейная динамическая часть которой описана формулой (18), но нелинейный элемент представляет собой квадратор с параметрами а = 1, b = 1,6, c = -2, т. е. f(z) = = z2 +1,6 z - 2. Оценка данных параметров: а1 = 1,001, Ь1 = 1,601, c1 = -2. Таким образом, нелинейный элемент системы описывается выражением: /(z) = 1,001z2 + 1,601z - 2. Результат моделирования такого процесса представлен на рис. 7. Рис. 4. Результаты оценки выхода x(t): xmodel(t) - модель нелинейной системы; x(t) - выход системы; объем выборки s = 200; шаг дискретизации h = 0,15; помеха 5 %; входное воздействие u(t) = 0,35sin(t); средняя ошибка моделирования 2 % t Рис. 5. Результат оценки выхода системы: x2(t) - модель нелинейной системы; yy - выход системы; тип нелинейности - звено насыщения, объем выборки s = 250, шаг дискретизации h = 0,12; помеха 0 %; относительная средняя ошибка моделирования 2,3 %; входное воздействие u(t) = 5sin(t) Результат моделирования исследуемого процесса в случае, если в каналах измерения действует помеха 5 %, представлен на рис. 8. t Рис. 6. Результат оценки выхода системы: x2(t) - модель нелинейной системы; yy, - выход системы; тип нелинейности - звено насыщения; объем выборки s = 250; шаг дискретизации h = 0,12; помеха 5 %; относительная средняя ошибка моделирования 5,8 %; u(t) = 5sin(t) t Рис. 7. Результат оценки выхода системы: x2(t) - модель нелинейной системы; yy, - выход системы; тип нелинейности - квадратор; объем выборки s = 150; шаг дискретизации h = 0,2; помеха 0 %; относительная средняя ошибка моделирования 1,1 %; u(t) = 2cos(0,4t) t Рис. 8. Результат оценки выхода системы: x2(t) - модель нелинейной системы; yy, - выход системы; тип нелинейности - квадратор; объем выборки s = 150; шаг дискретизации h = 0,2; помеха 5 %; относительная средняя ошибка моделирования 2,5 %; u(t) = 2cos(0,4t) Пример 5. Рассмотрим нелинейный динамический объект, поведение которого имитируется следующим образом: 1,5 • y" (t) + 0,7 • y'(t) + 2 • y (t) = u (t) . Нелинейный элемент f (z) = z2 - 2,6z + 3 (а = 1, b = -2,6, c = 3). Оценка параметров нелинейного элемента: а1 = 0,25, b1 = -1,3, c1 = 3, при этом нелинейная часть системы описывается как /(z) = 0,25 z2 - 1,3z + 3. Результат моделирования такого процесса представлен на рис. 9. Пусть в каналах измерения переменных системы действует помеха в размере 5 %. Тогда непараметрическая модель такой системы примет вид, представленный на рис. 10. Проанализировав результаты работы модели нелинейного динамического объекта с известным видом нелинейности (звено насыщения, квадратор), можно сделать следующие выводы: непараметрическая модель достаточно точно описывает данную систему при различных значениях параметров нелинейной части объекта, в условиях зашумленности каналов связи в пределах 1-6 %, при различном объеме выборки и различных входных воздействиях. Далее приведены обобщенные результаты численных исследований, представленные в виде графической зависимости величины ошибки моделирования систем класса Винера, рассматриваемых в различных условиях. 1. Зависимость ошибки идентификации от различных объемов выборок измерений переменных процесса. На рис. 11 представлена расчетная зависимость ошибки моделирования от объема выборки. По оси абсцисс отложен объем выборки, а по оси ординат - ошибка идентификации моделей. Из приведенных результатов видно, что алгоритмы обеспечивают качество моделирования, улучшающееся с увеличением объема выборки. 2. Зависимость ошибки идентификации алгоритма от различных значений интервала дискретизации. На рис. 12 представлена расчетная зависимость ошибки моделирования от величины интервала дискретизации. По оси абсцисс отложена величина интервала дискретизации (А/), а по оси ординат - ошибка идентификации алгоритма. Из приведенных графических зависимостей видно, что ошибка идентификации растет с увеличением интервала дискретизации. 3. На рис. 13 показана зависимость ошибки идентификации алгоритма от различных уровней помехи. По оси абсцисс отложен уровень помех в процентах, а по оси ординат - ошибка идентификации алгоритма. Рис. 9. Результат оценки выхода системы: x2(t) - модель нелинейной системы; yyt - выход системы; тип нелинейности - квадратор; объем выборки s = 150; шаг дискретизации h = 0,2; помеха 0 %; относительная средняя ошибка моделирования 1 %; входное воздействие u(t) = 2cos(0,4t) Рис. 10. Результат оценки выхода системы: x2(t) - модель нелинейной системы; yyt - выход системы; тип нелинейности - квадратор; объем выборки s = 150; шаг дискретизации h = 0,2; помеха 5 %; относительная средняя ошибка моделирования 5,3 %; входное воздействие u(t) = = 2cos(0,4t) Проанализировав результаты численных исследований, можно сделать выводы, что непараметрические алгоритмы построения нелинейных динамических систем являются помехоустойчивыми при уровне помех в пределах 5 % от абсолютного значения выхода объекта. Для всех серий экспериментов характерна следующая зависимость: с увеличением объема выборки качество моделирования увеличивается, а с уменьшением объема выборки уменьшается, а также с увеличением уровня помех качество прогноза значительно ухудшается. S Рис. 11. Расчетная зависимость ошибки идентификации от объема выборки: w1, w2 - относительная средняя ошибка моделирования систем из примеров 3 и 4 соответственно Рис. 12. Расчетная зависимость ошибки идентификации от величины интервала дискретизации Рис. 13. Расчетная зависимость ошибки идентификации от уровня помех Проводя анализ работы непараметрической модели динамического объекта с неизвестным типом нелинейности, можно сделать вывод о том, что полученная модель адекватно описывает нелинейную динамическую систему, находящуюся в условиях непараметрической неопределенности. Заключение. В статье рассмотрена задача идентификации нелинейных динамических систем, представимых в виде моделей Винера. Исследуются системы, находящиеся в условиях частичной параметризации. В данном случае структура линейного динамического блока неизвестна, а вид нелинейности предполагается известным с точностью до параметров. Задача идентификации нелинейной системы рассмотренного типа может быть разделена на две части. Сначала рассматривается непараметрическая идентификация линейного элемента, алгоритм которой связан с тем, что реакция линейной системы на входное воздействие описывается интегралом Дюамеля. Суть метода заключается в построении моделей и получении прогноза выхода нелинейных динамических систем посредством сочетания моделей линейного динамического и нелинейного статического процессов в общей модели системы. Данный метод не предусматривает наличия полной априорной информации о структуре объекта. Показана работоспособность предлагаемого алгоритма и применимость к задаче построения нелинейных динамических систем типа Винера в различных условиях, что расширяет область применения непараметрических методов к новым объектам исследования, а также закладывает теоретическую основу для дальнейшего проектирования. Описанные методы построения и исследования моделей позволяют производить моделирование технологических процессов и систем, имеющих нелинейную структуру.

Об авторах

Надежда Владимировна Коплярова

Сибирский федеральный университет

Email: koplyarovanv@mail.ru
ассистент кафедры информационных систем, Институт информационных и космических технологий Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79

Список литературы

Дополнительные файлы