К расчету пластин в условиях плоского напряженного состояния на температурные нагрузки вариационно-разностным методом в функциях напряжений

Полный текст

Одной из причин появления напряжений в теле является неравномерное его нагревание. Температура как в земных условиях, так и в космическом пространстве изменяется ежесекундно. Опасные напряженные состояния возникают необязательно при высоких или низких температурах; опасными должны быть неравномерные изменения температурных воздействий как по области конструкций, так и по времени. Важным случаем температурного воздействия являются моменты входа аппарата и пластин солнечных батарей в тень Земли и выхода из тени. Также в период эксплуатации системы конструкций действует постоянное многоцикловое неравномерное нагревание и охлаждение. Возможны явления усталости материалов, приводящие к локальным разрушениям при сравнительно низком уровне напряжений. Казалось бы, изменения температуры действуют постоянно, а учету дополнительных температурных напряжений, с целью их добавления к напряжениям от силовых факторов, уделяется второстепенное значение (конечно, за исключением оригинальных конструкций). Подход к анализу конструкций односторонний, ограниченный, с пренебрежением к дополнительным факторам, дающим дополнительные напряжения от изменения температуры, а в какие-то моменты они могут проявиться и как основные напряжения, может привести к исключительным нештатным ситуациям. Поэтому работу, посвященную разработке метода расчета конструкций, в частности тонких пластинок, на температурные воздействия с целью исследования напряженного состояния, следует считать актуальной. Tаким образом, требуется разработать подход к решению задач оценки напряженного состояния свободных от закреплений прямоугольных пластин на нагрузки, возникающие при воздействии стационарного теплового потока (температура является функцией координат). Для решения задачи воспользуемся методом устранения деформаций [1; 2]. В этом методе для изотермического нагружения объемные и поверхностные силы определяются через температурное поле T(x,y,z) исходной температурной задачи. Известно, что модуль упругости стали при нагревании уменьшается [2], а модули упругости сплавов при нагревании как уменьшаются, так и увеличиваются (причем в 1,5-2 раза) [3]. Чтобы в разрешающие уравнения не входили упругие постоянные материала [1], краевую задачу формулируют в напряжениях. Определенное научное содержание работы заключается: - в полученном выражении функционала Касти-лиано в функциях напряжений, учитывающем изменение температуры; - алгоритме формирования разрешающей системы уравнений и ее правой части c использованием первой и второй вариаций функционала; - составленной программе расчета; - расчете напряженного состояния пластинки при неравномерном нагреве. Рассмотрим вариационную формулировку [4], для которой получим функционал Кастилиано с учетом изменения температуры. В первую очередь, из уравнений равновесия для плоской задачи теории упругости [5] получим вариационное уравнение "ЯК Se x + Txy Sy xy +CT ySe y ) dxdy +jj[ Su + Y Sv]drdv_ + j (Su +T y=0 xy Sv y=b = 0, (1) y=0 68 Математика, механика, информатика где ctx , тxy, ay - компоненты тензора напряжений; 8ex, 8у^, 8є - вариации компонент тензора деформаций; X, Y - объемные силы; Su , 5v - вариации век- ~ о * * тора перемещений; S - площадь пластинки; ax , тxy, a*,, T*yx - заданы на контуре напряжения. Добавив в (1) закон Гука [2], точнее, вариации деформаций, выраженные через вариации напряжений, 8ex = -1 (8ax - ^8ay ) + 8(aT) , Se y = -1( 8a y -|a8a x ) + S(aT ), 8 2(1 + ц) 8 SY xy =-8т E xy вынесем оператор 8 : 8{ -JJ2E\ax2 -2^axay +ay2 + +2(1 + ц) t^, + 2EaT (a x + a y )] dxdx + y=b l-JJ[Xu + Yv]xdy + I (axu + Txyv x=a y=b "i + I (ayv +Tyxu) | = °. x=0 y=0 J Тогда (5) примет вид 8Э = 0. l-JJ[Xu + Yv]xdy + I (axu + Txyv S y=0 = y=b + I (ayv +Tyxu)dx x=0 y=0 da дт --u +---u + Xu = 0 , dx dy дт xy da y ^v +-y v + Yv = 0. dx dy Из (8) и (9) перенесем в левую часть произведения объемных сил на перемещения, сложим их и проинтегрируем: [[(.& + Yv )<Ыу = -Я(% ~u + dx дт da у дт Л +^xu +-у-v + ^v Idxdy . (10) dy dy dx J Интегрирование по частям в правой части (10) по (2) типу (3) d da x du T-(axu) =-Г-u +axT" , dx dx dx (4) d dT yx + du - ( т yxu) =-- u + т yx-... dy dy dy член даёт равенство I (1) JJ(Xu + Yv)dxdy = JJ[ax |x + (11) du dv dv . +tdy+ay dy+txy dx[dxdy - (5) y=b -!(■ y=0 a~u + T xyv )dy -J (ayv +Tyxu ) x=0 x=0 y=b y=0 (12) (6) которое с учетом геометрических уравнений Коши приводит к [J (Xu + Yv )dxdy = E [J [ax2 - 2^ax aу + где Э - выраженный в напряжениях функционал Лагранжа: Э =-JJ 2E [a x'- 2^a xa y +a y2 + S 2E +2(1 + ц) t^ + 2EaT (a x +a y )] dxdx + y=b +ay + у=b, _ J ( y=0 2(1 + Ц)ту.] dxdy )dy a.u +t xyv (7) x=0 y=b y=0 (13) Рассмотрим вариант исключения из выражения (7) объемных сил X, Y и интегралов на контуре. Для этого формально умножим уравнения равновесия бесконечно малого элемента на перемещения u = u(x, у) и v = v(x, у): (8) (9) Подставив (13) в (7), получим искомое выражение энергии деформирования пластинки в напряжениях, называемое функционалом Кастилиано: ЭК (ax , aу , Тxy ) = JJ 2E [ax2 - 2Ц ax aу + aу2 + S 2E +2(1 + ц) т^, + 2EaT (a x +a y )] dxdx, (14) где E = E ( x, y ) - модуль упругости; ц = ц( x, y ) - коэффициент Пуассона; a = a( x, y ) - коэффициент линейного температурного расширения материала; T = T(x, y) - температурное поле. С приложением функционала Кастилиано краевая задача формулируется так, что из всех возможных напряженных состояний действительное напряженное состояние сообщает функционалу (14) максимальное значение [5]. x=0 x=0 x=0 69 Вестник СибГАУ. № 2(54). 2014 Введем в функционал (14) функцию напряжений ф(x, y) (функцию Эри [6]) без учета объемных сил: д2ф ст y = d 2ф т = yx д2ф dy2 y dx2 ’ yx dxdy ' определяющую искомый функционал эк «=fl 2E fd 2фА dx 2 „ д2ф д2ф - 2ц-2--- + dx dy fd 2фА V-2/ +2(1 + ц) f d2 A2 d ф dxdy + 2E aT fd 2ф d 2фА dx2 + dy2 SЭк (ф( x, y)) = jj E d2ф d2Sф dx 2 dx 2 -2 ц fd^ф d2ф ö^ö^A dx2 dy2 + dx2 dy2 d2ф d^ф + %? "dÿ^+ +2(1 + ц) d ф d Sф+ EaT dxdy dxdy fd 2 Sф d 2SkA dx2 + ~ dy2 dxdy ; (16) адад=Jj E dx2 dx2 -2ц dx2 dy2 dy2 dy2 д^52ф д2S1ф 0 f d2S^p д2S1ф + д2S1ф д2S2ф " +ixr іу2dxdy , (17) +д252ф5251ф+ 2(1 + ц) д2s2Ф d 2slФ dxdy dxdy аппроксимации которых легли в основу предлагаемого алгоритма решения задачи. Применим вариационно-разностную постановку. Выберем на области пластинки (рис. 1) прямоугольную равномерную сетку юі]- ={(xi = iXx, yj = jXy ), i = 0, 1,...,m, j = 0, 1, ..., n} на отрезках [0,lx] и [0, l ]. Здесь x = xi и y = ys- - узлы сетки; X x = lx / m и X y = ly / и - шаг сетки, а lx и ly - размеры пластинки по направлениям осей координат x и y . Введем сетку с узлами п: Ю4П = {(x4 = Xx / 2 +iXx, у] = Xy / 2 + jXy X i = 0, 1, ..., m -1, j = 0, 1, ..., n -1}. Континуальную область в (16) и (17) заменим дискретной. Тогда: 1 S2(S:\ ))=Х£i=1 j=1 Ei,j д^2ф д^ф dx2 dx2 - 2ц д^2ф д2S1ф ~dy2~1ÿ~ д^2ф д^ф д2S1ф д^2ф dx2 ду2 + dx2 дУ2 ду 2 dxdy, (15) j n m-2 +zz j=1 4=1 s-,j +ZZ i=1 n=1 (1+ц) У д2S2ф д2S1ф dxdy dxdy (18) Si,T| + (1+ц) д^2ф д2S1ф и сформулируем для краевой задачи с учетом температурного члена, что из всех возможных напряженных состояний находящейся в равновесии пластинки действительное напряженное состояние сообщает (15) стационарное значение. Чтобы найти напряженное состояние пластинки для формирования разрешающей системы уравнений и ее правой части, предлагается прием использования первой и второй вариаций (15): Юк (SM x, y)) = ХХ i=1 j=1 dxdy dxdy aT УД’ f д2S1ф + d2S^A Sx 2 dy2 S, . (19) Здесь площадки интегрирования Saß равны: X xX - во внутренних узлах области; XxX y /2 -в узлах, расположенных на контуре; XxX /4 - в узлах, расположенных в углах пластинки. Дифференциальные операторы в (18) и (19) заменяются конечноразностными аналогами: f d 2Sk фА v dx2 v yi,J f я2я Skфі+1, j - 2Skфі,j + Skфі-1„ xx d2Skф j = Skфі,j+1 - 2Skфі,j + Skфі,j-1 dy 2 x 2 (20) fdVA dxdy f d 2Sk ф A dxdy y Skфi+1, J+1 +Sk фі-1, J+1 -Sk фі-1, j +Sk фі+1, j M,n J j,4 J +1 П . j n-1 j -1 Sk фі+1, J+1 + (k = 3 Xx , 2X xX y Sk фі, J+1 -Sk ф 2X xX y 1, 2). ; 1 Xx i, j-1 + Sk фі+1, i 1 i i i i i i 1 1 1 1 1 1 - ly i i i _ “I i i -i- 1 1 1 ~f 1 1 -1- Xy -1 4-1 i i +1 Рис. 1. Конечно-разностная сетка, нанесенная на область пластинки Для задания функции ф на контуре пластинки используем «рамную аналогию» [5; 6]. Построим алгоритм формирования системы уравнений и правой части. Пусть функционал (15) в дискретной форме содержит вектор p переменных 70 Математика, механика, информатика ф = (ф1, ф2, ..., ф^ ). Тогда (18) содержит вариации вект°ра ^ф= (8lф1,8lф2, ...,81фр) и 82ф = (82фl,^ ...,82фр). Элемент матрицы aj системы линейных алгебраических уравнений вычисляется как av = 8 Эк (8ф, 82ф) = 82(81 Эк (8іф, 82ф)) = p | = Z- k=1 дфk 82Фk = ( ^ 1ЭК ( 81ф, 82ф) 8 8 Z К | 8іфі 82фи, V l=1 іфі (21) 1, при k = i 8іфі = 0, при k Ф і i = 1, 2, ..., p; j = 1, 2 1, при l = j 0, при l Ф j ’ p. (22) Цикл (22) из равенства (21) формирует квадратную симметричную относительно главной диагонали матрицу. Соответственно, вектор правой части определяется из (19) циклом и _я ^ (я ф) = Z 1ЭЛ (81ф) S . bi = 81ЭЛ (81ф) = Z я.. 81ф ; l=1 і = 1, 2, , p ; 8іфі = іфі 1, при l = і (23) Эпюры напряжений приведены на рис. 3. Для удобства анализа напряженного состояния разделим значения напряжений, приведенных в эпюрах, на введенный в расчет модуль Юнга. Наибольшие нормальные напряжения ax = -(2 / 5)EaT действуют в облас-а растягивающие напряжения возникают в окрестности у = 0 . В более нагретых местах возникают сжимающие температурные напряжения ax. Условия равновесия элементов пластинки диктуют проявление и растягивающих напряжений ax. На свободных кромках x = lx и x = 0 напряжения a x = 0 . ти у = ± ly /2 a x = (1/10)E aT {0, при l Ф i В контурных узлах значения функций Эри известны. В законтурных узлах ф вычисляется по формуле dф / dv = N, где v - нормаль к контуру рамы, окаймляющей собственно пластинку; N - продольное усилие в раме. Для расчета пластинки на температурные нагрузки составлена программа расчета на основе пакета Maple. Приведем пример тестового расчета пластинки на изменение температуры по закону T(x, у) = T(2у / ly )2 такое распределение температуры рассматривается для балок в [1; 2; 7]. Пластинка квадратная в плане размерами lx = 0,2 м и ly = 0,2 м. Конечноразностную сетку примем с шагом 40 х 40 . Модуль Юнга E = 2 • 1011 Па; коэффициент Пуассона 0,5. График распределения установившейся температуры в пластинке по заданному закону приведен на рис. 2. Рис. 2. Эпюра температурного воздействия -график установившейся температуры в пластинке. Множитель T Нормальные напряжения су, наоборот, достигают наибольших сжимающих значений на кромках x = lx и x = 0, а растягивающих значений - в средней зоне области пластинки. Условия неразрывности деформаций требуют возникновения этих напряжений. Порядок напряжений a такой же, как порядок напряжений ax . Касательные напряжения достигают значений Txy = ±(3 / 40)EaT; наибольшие значения приобретают в областях у = ±ly /4, x = ±lx / 4. б Рис. 3. Эпюры нормальных и касательных напряжений в пластинке: а - ax; б - a; в - тxy (здесь размерность кГ/см2; множитель aT ) а в 71 Вестник СибГАУ. № 2(54). 2014 aET /3 2aET /3 Рис. 4. Эпюра напряжения сx в поперечном сечении стержня, полученная методом сопротивления материалов Характер распределения напряжений ax согласуется с характером распределения аналогичного напряжения в стержне температурной задачи, рассмотренной в [7]. Распределение напряжений показано на рис. 4 для стержня шириной b = l . Эпюра нормальных напряжений в стержне во всех поперечных сечениях, включая и контур, постоянная. В стержне действие напряжений a у и касательных напряжений т xy не учитывается. Таким образом, применение подхода к решению краевой задачи с использованием первой и второй вариаций функционала Кастилиано с конечноразностной аппроксимацией позволили создать универсальный алгоритм расчета напряженного состояния пластинок на температурные воздействия; расчеты напряженного состояния пластинки были выполнены на различных сетках; исследования сходимости решений в напряжениях от сгущения сетки показали достаточность редкой сетки 6 х 6 (т. е. наблюдается достаточно хорошая сходимость напряжений в зависимости от сгущения сетки к напряжениям напряженного состояния, обеспечивающего неразрывность деформаций в дискретной задаче); характер распределения напряжений ax согласуется с характером распределения аналогичного напряжения в балках; скромность требуемых ресурсов для реализации позволяет внедрить методику решения рассмотренной плоской задачи в учебный курс теории упругости как добавление к традиционно используемой дифференциальной формулировке краевой задачи в виде бигармониче-ского уравнения неразрывности деформаций.

Об авторах

Рашид Альтавович Сабиров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева

Email: rashidsab@mail.ru
кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры технической механики

Список литературы

Дополнительные файлы