О новых решениях уравнений пластичности, полученных с помощью высших симметрий
- Авторы: Сенашов С.И.1, Филюшина Е.В.2
-
Учреждения:
- Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева
- Сибирский государственный аэрокосмический университет
- Выпуск: Том 13, № 4 (2012)
- Страницы: 53-56
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.eco-vector.com/2712-8970/article/view/506121
- ID: 506121
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Ключевые слова
Полный текст
Основным свойством симметрий, допускаемым системой дифференциальных уравнений, является то, что под их действием любое решение системы уравнений переходит в решение этой же системы. Это свойство позволяет получать новые решения не интегрированием исходной системы, а применением групповых преобразований к уже известным решениям. Таким способом найдены многие интересные решения для различных дифференциальных уравнений. В данной статье представлено, как можно использовать высшие симметрии для построения точных решений из решения Прандтля. Рассмотрим дифференциальные уравнения теории идеальной пластичности в плоском случае [1]: дст 99 5x 9> lF = дп — Л д > д^ д n> 9цп д > д|3 д3 > 97. (5) f2 = f3 = fn = дх дх (6) является Рассмотрим бесконечномерное пространство J “ с координатами (х, >, ст, 9, pk), k = 1,2,..., и преобразование этого пространства вида х' = f1 (X, >, ст, 9, pk, а), >' = f 2( х, >, ст, 9, pk, а), ст' = g1( х, >, ст, 9, pk, а), (2) 9' = g 2( х, >, ст, 9, pk, а), (p. )' = hik(x, >, ст, 9 pi., а), k = i,2,..., i,. = i,2,..., где а - одномерный параметр из некоторой окрестности нуля. Пусть преобразования (2) составляют локальную однопараметрическую группу. Тогда (p.. у= ^ст (p2 V = д"Je ' iif д(х)1 д(>)J’ V ii! д(х)1 д(>)J' Система уравнений (1) определяет в пространстве J бесконечную систему уравнений Dv (Fj) = 0, Dv (F2) = 0. (3) Здесь оператор полной производной имеет вид г-. д v k д х = & + J,pi*l,-i іт ■ где стх = ct-ksin29, ст> =ct+ ksin29, x = kcos29 компоненты тензора напряжений; ст - гидростатичеж ское давление; 9 = (1;x) -~,(Uх) - угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью OX. Известно, что система уравнений (1) допускает бесконечную группу точечных симметрий, бесконечную алгебру высших симметрий и бесконечную систему законов сохранения [2]. Точечная группа, допускаемая системой (1), уже неплохо изучена. С ее помощью удалось построить новые серии точных решений уравнений (1) и изучить качественные свойства этих уравнений. Законы сохранения, допускаемые системой (1), позволили решить краевые задачи Коши и Римана в аналитическом виде. В данной статье впервые будет показано, как высшие симметрии могут быть использованы для построения новых точных решений уравнений (1). Приведем необходимые сведения о высших симметриях уравнения (1). Пусть 9+J ст 1 9+. 9 2 . . 1 2 - = p. , = p., l, J = i,2,.... 9х д>' (1) 9> F2 =--2k (sin 29--cos 29—) = 0 99. дст д9 д9 F =--2k (cos 29--+ sin 29 —) = 0, дх dx d> D> = д>+k,r/pii 1 9pI / v= (/, m), Dv= DI 0 Dm, где v - любое целое число. Будем говорить, что система уравнений (1) допускает группу преобразований (2), если бесконечная система (3) инвариантна при этих преобразованиях. Каждой однопараметрической группе (2) соответ- V Используем некоторые эти симметрии для построения новых решений пластичности согласно следующей методике. Пусть х0, y0 - некоторые известные решения уравнений пластичности, а fk возьмем из семейства симметрий (5). Серия новых решений, которые получаются из точного решения х0(Ъ, ц), >0(|, ц), определяется как решение системы уравнений которая определяется по системе уравнений ^ = 0, (4) где черта вверху означает, что в уравнениях (4) следует перейти на многообразие (1). Оператор lF из (4) для системы (1) будет следующим: ^ „j, ™ д9 „ д9 ^ Dx - 2k(-2 sin 29--+ 2cos 29--+ дх д> дх д^ дх дц со следующими начальными условиями: >(0,Ъц) = ^, хС0,Ъц) = х0. Тогда пара функций (> (х, Ъ, ц), х (х, Ъ, ц)) решением уравнений пластичности для каждого х. Единственное затруднение при использовании этой методики состоит в отсутствии формул для Подробности вычислений высших симметрий и многочисленные примеры можно найти в [2] и цитируемых там источниках. В [2] найдены все высшие симметрии, допускаемые уравнением пластичности (1). Простейшие из них имеют вид + cos 29Dx + sin 29D>) д9 д9 D> - 2k(2cos29--+ 2sin29--+ > дх д> + sin29Dx - cos29D>) ствует производящая функция симметрий ф = ( Ї.2-Л д > д^2 д2 > дц2 д>_ д k> Ф2 д решения задачи Коши для уравнений (6), которых нет, например, даже в [3]. По аналогии со случаем k = 2 запишем общее решение уравнений (6). Лемма. Решение задачи Коши д> дку _ — = , >| х=0 = >0 можно представить в виде х = (29 - sin 29 + c1) ch a - cos 29 sh a, > = cos29ch a-(-29-sin 29 + c1) sh a. Графики новых точных решений уравнений пластичности при а = 0, а = 1, а = 2 и а = 3 представлены ниже (рис. 1-4). >0 [Image] Рис. 1. Линии скольжения первого семейства решения Прандтля - нового решения при a = 0 >(х,Ъ, ц) = >0 +Х 77d(ikf. (7) i=1 i! аЪ Доказательство этой леммы осуществляется простой проверкой того, что (7) действительно есть решение уравнения (7) и удовлетворяет начальному условию. В качестве исходного решения возьмем решение Прандтля: х0 (Ъ, ц) = -sin 9 -(ц + ^cos 9, >0 (Ъ,ц) = cos9 + (ц + Ъ) sin 9. Подставляя это решение в (7) и сворачивая полученные ряды, имеем [Image] Рис. 2. Линии скольжения первого семейства нового решения при a = 1 х (х, Ъ, ц) = (-sin 9-^ + |)cos 9 + х sin 9)exp )- х > (х, Ъ, ц) = (cos 9 + (ц + Ъ)ш 9 + х cos 9)exp )-). Характеристики для этого решения и решения На-даи приведены в [4]. Теперь, используя решение Прандтля, рассмотрим случай k = 3. Согласно предыдущим рассуждениям получим х (х, Ъ, ц) = (-(ц + ^cos 9-sin 9)h )-8j + [Image] Рис. 3. Линии скольжения первого семейства нового решения при a = 2 + ((ц + Ъ)ш 9-cos 9) )-, у (х, Ъ, ц) = ((ц + Ъ) sin 9 + cos 9)ch )-8j + + ((ц + ^cos 9-sin 9)h )-. Возвращаясь к исходным координатам, по формулам x = x cos 9- > sin 9, > = x sin 9- > cos 9 имеем x = (-ct - sin 29) ch a - cos 29 sh a, [Image] Рис. 4. Линии скольжения первого семейства нового решения при a = 3 > = cos29 ch a + (ct-sin29)sh a, (■ где a = -I - Характеристики и соотношения на характеристиках для этого решения имеют вид Ъ = ct - 29 = c1, x = (-29 - sin 29- c ) ch a - cos 29 sh a, > = cos 29 ch a - (29 - sin 29 + c1) sh a, ц = ст + 29 = c1,Об авторах
С. И. Сенашов
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева
Email: sen@sibsau.ru
доктор физикоматематических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных экономических систем Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева. Окончил Красноярский государственный университет в 1975 г. Область научных интересов - механика деформируемого твердого тела.
Е. В. Филюшина
Сибирский государственный аэрокосмический университет
Email: filyushina@sibsau.ru
ассистент кафедры информационных экономических систем Сибирского государственного аэрокосмического университета. Окончила Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева в 2011 г. Область научных интересов - механика деформируемого твердого тела
Список литературы
- Хилл Р. Математическая теория пластичности. М. : Гостехиздат, 1954.
- Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. И. Приложение симметрии и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во Сиб. отд-ния Рос. акад. наук, 2001.
- Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М. : Физматлит, 2001.
- Сенашов С. И., Филюшина Е. В., Попов Е. А. Преобразование точных решений уравнений пластичности высшими симметриями // Вестник СибГАУ. 2011. Вып. 5 (38). C. 90-92.