Особенности задания функции демпфирования в конечно-элементных моделях космических аппаратов

Полный текст

Введение

Доступное программное обеспечение для расчёта часто пишется с закрытым исходным кодом. Пользователь определяет некоторые входные данные для системы, но представленный ему результат не будет содержать информации о том, как этот результат был получен. Программное обеспечение действует как “черный ящик”. Именно поэтому важно понимать механизм расчёта, заложенный в каждом конкретном ПО. Это предоставит возможность пользователю корректно интерпретировать результаты проведённых расчётов.

Постановка задачи

В реальных механических системах, в том числе и в конструкциях космических аппаратов (КА), всегда присутствуют диссипативные процессы, которые часто имеют природу сил трения [1–6]. Ввиду этого выведенная из состояния равновесия механическая система будет совершать колебательное движение с некоторым затуханием. Степень затухания при этом будет определяться коэффициентом затухания и для механической колеблющейся системы будет выражаться через демпфирование.

Отклик конструкции на динамическое воздействие существенно зависит от ее демпфирующих свойств. В связи с этим важно знать демпфирующие свойства рассматриваемой конструкции. Механизмы, которые являются причиной демпфирования в конструкциях КА, достаточно сложны и представляют практический интерес. Наиболее значимые из них: демпфирование в материалах и стыках и соединениях. Существуют различные теории, лежащие в основе применяемых математических моделей демпфирования: вязкое, вязкоупругое, конструкционное, нелинейное и др. [7].

Для системы с одной степенью свободы с учётом демпфирования дифференциальное уравнение движения будет иметь вид:

$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$.

Для космической техники обычно применяется модель, которая предполагает демпфирование пропорциональным скорости [8]

$F_d=c\dot{x}\left(t\right)$.

Решение дифференциального уравнения движения, приведенного выше, будет зависеть от того, какое значение будет принимать коэффициент демпфирования с по сравнению с критическим коэффициентом демпфирования c_c

$c_c=2\sqrt{km}, c=2\zeta c_c=2\zeta \sqrt{km}$,

где $\zeta$ – доли критического демпфирования.

Итак, демпфирование пропорционально скорости и обычно описывается коэффициентом критического демпфирования, хотя существует ряд других коэффициентов, связанных с критическим демпфированием, например, добротность.

Добротность, Q – это величина, обратная удвоенному отношению коэффициента демпфирования системы к её критическому коэффициенту демпфирования $\zeta$ [9],

$Q=\frac{1}{2\zeta }$ .

Добротность определяет ширину резонансного пика.

Так, для КА Q, равное 100, соответствует низкому демпфированию, в то время, как при Q, равном 10, демпфирование можно считать высоким [10].

В источниках по исследуемому вопросу [8; 11] существуют рекомендации по выбору значения демпфирования для КА на этапе предварительного анализа. В случае, когда испытания уже проведены и коэффициенты модального демпфирования известны, появляется возможность уточнить расчётную модель демпфирования [12–14]. Функцию демпфирования в этом случае уже следует задавать непостоянной.

Добротность может быть выражена как функция частоты, и такое представление дает возможность учесть различное демпфирование на разных собственных частотах исследуемой конструкции. Таким образом, возникает потребность в корректном определении функции демпфирования, которая используется для нахождения частотного отклика конструкции на внешнее воздействие.

Исследование зависимости уровня частотного отклика от способа задания функции демпфирования удобно проводить, используя простую модель.

 

Рис. 1. Сечение балки

Fig. 1. Beam cross section

 

Рассмотрим конечно-элементную модель консольной балки, имеющей сечение прямоугольного бруса 0,08×0,06 м (рис. 1). С одного конца балка жестко заделана, с другого – на нее действует поперечная единичная сила (рис. 2). Модель построена в программном комплексе Femap with Nastran. Модель содержит пять линейных элементов типа BEAM [15].

 

Рис. 2. Расчётная схема

Fig. 2. Model of structure

 

В результате модального анализа описанной конструкции была получена так называемая таблица частот (рис. 3), которая впоследствии использовалась для проведения анализа частотного отклика в зависимости от способа задания функции демпфирования.

 

Рис. 3. Таблица частот

Fig. 3. Modal frequency table

 

Для исследования зависимости уровня отклика от способа задания функции демпфирования в Femap, рассмотрим вторую собственную частоту балки в направлении Y. Варьируемым параметром выступала связь значения добротности с шириной резонанса.

 

Рис. 4. Частотный отклик в зависимости от способа задания демпфирования

Fig. 4. Frequency response depending on the damping setting method

 

Рассмотренные случаи (рис. 4):

• постоянное значение Q, равное 10 на всем диапазоне частот (приведено для сравнения с постоянным Q, равное 100);
• «узкий пик» – Q, равное 100 с шириной 0,2 Гц вокруг резонансной частоты (рис. 5);
• «пик» – Q, равное 100 с шириной равной ширине резонанса (рис. 5);
• постоянное значение Q, равное 100 на всем диапазоне частот;
• «полка» – Q, равное 100 на 62,5–76,5 Гц, и Q, равное 10 на 0–62,5 и 76,5–600 Гц. Диапазон частот для задания полки выбирался по ширине резонансного пика (рис. 5).

 

Рис. 5. Ширина резонанса на второй собственной частоте в направлении Y

Fig. 5. Resonance width at the second natural frequency in the direction of Y

 

Анализ результатов

Во втором случае значение отклика ниже на 7,15 % относительно четвертого случая. В третьем случае – ниже на 0,078 %. В пятом случае – выше на 0,024 % (см. таблицу, рис. 6).

 

Рис. 6. Уровень частотного отклика на второй собственной частоте в направлении Y

Fig. 6. The frequency response level at the second natural frequency in the direction of Y

 

Анализ результатов

Номер случая	2	3	4	5
2	100 %  (10,687 м/с2)	–	–7,15 %	–
3	–	100 % (11,501 м/с2)	–0,078 %	–
4	+7,15 %	+0,078 %	100 % (11,510 м/с2)	–0,024 %
5	–	–	+0,024 %	100 % (11,513 м/с2)

Примечание. Номера расчётных случаев сравнивать в порядке: строка – столбец.

 

Заключение

В рамках настоящей работы определен наиболее корректный способ задания функции демпфирования в программном комплексе Femap на примере модели консольной балки. Было выявлено, что способ задания демпфирования ступенчатой функцией с шириной ступени, равной ширине резонанса, предпочтительнее остальных, поскольку приближает значение отклика на собственной частоте к соответствующему значению, полученному в случае постоянного демпфирования Q, равному 100. Предположение о линейности конечно-элементных моделей, которое является необходимым условием для проведения модального анализа, позволяет распространить полученные результаты на более сложные модели.

Об авторах

Антон Павлович Кравчуновский

Акционерное общество «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнева»

Автор, ответственный за переписку.
Email: anton.kravchunovsky@yandex.ru

начальник группы

Россия, 662972, Железногорск Красноярского края, ул. Ленина, 52

Список литературы

Дополнительные файлы