Законы сохранения и решения первой краевой задачи для уравнений двумерной теории упругости

Полный текст

Введение

Линейные уравнения теории упругости с групповой точки зрения изучаются уже достаточно давно [1; 2]. Сначала была найдена группа точечных преобразований и перечислены все инвариантные решения [2]. Далее было выполнено групповое расслоение уравнений Ламе [3]. Хотя техника выполнения группового расслоения известна уже давно [1], не для многих систем уравнений оно выполнено. В этом смысле уравнения теории упругости составляют приятное исключение. Групповое расслоение позволило лучше понять, почему методы комплексного переменного так широко используются в двумерной теории упругости. Это происходит потому, что разрешающая система для двумерных уравнений теории упругости есть система уравнений Коши – Римана. В [4; 5] законы сохранения впервые использованы для решения краевых задач, в частности, уравнений пластичности. В [6] построены законы сохранения для плоской теории упругости, но они не были использованы для решения краевых задач. В предлагаемой работе построены новые законы сохранения для разрешающей и автоморфной систем. На их основе решена первая краевая задача для двумерных уравнений упругости.

Постановка задачи

Пусть предлагается следующая связь тензоров напряжений и тензора деформаций:

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\sigma }_{11}=(\lambda +2\mu ){\epsilon }_{11}+\lambda {\epsilon }_{22},{\sigma }_{12}=2\mu {\epsilon }_{12}\\ {\sigma }_{22}=(\lambda +2\mu ){\epsilon }_{22}+\lambda {\epsilon }_{11},\end{array}\end{array}$                                                 (1)

где ${\sigma }_{ij}$ – компоненты тензора напряжений; ${\epsilon }_{ij}$ – компоненты тензора деформаций; $\lambda >\mathrm{0,}\mu >0$ – постоянные Ламе, т. е. (1) есть классический закон Гука для изотропного однородного случая.

Подставляя (1) в уравнения равновесия, в случае отсутствия массовых сил получаем

$\begin{array}{c}(\lambda +2\mu )u_{xx}+\lambda v_{xy}+\mu (u_{yy}+v_{xy})=\mathrm{0,}\\ \mu (u_{xy}+v_{xy})+(\lambda +2\mu )v_{yy}+\lambda u_{xy}=\mathrm{0,}\end{array}$                                                   (2)

где $u,v$ – компоненты вектора деформаций, индексы внизу, если не указано иное, означают производные по соответствующим переменным.

Известно, что система уравнений (2) эллиптического типа. Это определяет вид законов сохранения и решение краевых задач. Групповые свойства дифференциальных уравнений описаны в работе [1]. Групповые свойства уравнений упругости изучены в работе [2]. В работах [7; 8] изучались групповые свойства трехмерных уравнений линейной теории упругости и асимметричных уравнений упругости в динамическом случае. Там, в частности, показано, что система (2) допускает бесконечную группу точечных преобразований, порождаемую операторами:

$X=h^1{\partial }_u+h^2{\partial }_v,$                                                                               (3)

где – произвольное решение уравнений Коши – Римана:

$h_x^1+h_y^2=\mathrm{0,} h_y^1-h_x^2=0.$                                                                       (4)

Сделаем групповое расслоение системы уравнений (2) по методу [1] на подалгебре, порождаемой (3). Для этого продолжим операторы (3) на первые производные. Имеем

$\underset{1}{X}=X+h_x^1{\partial }_{u_x}+h_y^2{\partial }_{v_y}+h_y^1{\partial }_{u_y}+h_x^2{\partial }_{v_x},$                                              (5)

Дифференциальные инварианты для (5), с учетом (4), имеют вид

$\begin{array}{c}{I}_1=x,\\ I_2=y,I_3=u_x+v_y,I_4=u_y-v_x.\end{array}$                                                           (6)

Тогда автоморфная система уравнений имеет вид

$u_x+v_y=\theta (x,y), u_y-v_x=\omega (x,y).$                                                       (7)

Напомним некоторые свойства автоморфных систем. Любое решение автоморфной системы может быть получено из одного решения этой системы с помощью преобразований, порождаемых оператором (3).

Подставляя (7) в (2) получаем разрешающую систему

$\begin{array}{c}{F}_1=(\lambda +2\mu ){\theta }_x-\mu {\omega }_y=\mathrm{0,}\\ F_2=(\lambda +2\mu ){\theta }_y+\mu {\omega }_x=\mathrm{0,}\end{array}$                                                                 (8)

Повторяя почти дословно рассуждения из [7], можно утверждать, что система (8) равносильна системе уравнений (2).

Поэтому построив решение системы (8) мы получим решение системы (2).

Пусть для системы (8) поставлена следующая краевая задача:

$\begin{array}{c}\theta {|}_L={\theta }_0(x,y),\\ \omega {|}_L={\omega }_0(x,y),\end{array}$                                                                                 (9)

где L – некоторая гладкая замкнутая кривая, ${\theta }_0(x,y), {\omega }_0(x,y)$ – известные гладкие функции.

Для решения этой задачи построим законы сохранения для системы уравнений (8).

Законы сохранения

В силу линейности системы (8) она будет иметь бесконечное число законов сохранения. В работе будут найдены только те законы сохранения, которые позволят решить краевуюзадачу (9).

Определение. Законом сохранения для системы уравнений (8) назовем выражение вида

$A_x(x,y,\theta ,\omega )+B_y(x,y,\theta ,\omega )=\alpha F_1+\beta F_2=\mathrm{0,}$                                            (10)

где $\alpha ,\mathrm{\beta }$ – некоторые функции, которые не равны тождественно нулю одновременно. A, B называются компонентами сохраняющегося тока.

Более подробная информация по построению законов сохранения для произвольных систем дифференциальных уравнений может быть найдена в [8–10]. Заметим, что впервые законы сохранения для уравнений линейной теории упругости были найдены в работах [11; 12], но их невозможно было использовать для решения конкретных краевых задач.

Предположим, что компоненты сохраняющегося тока имеют вид

$\begin{array}{c}A=a^1\theta +a^2\omega ,\\ B=b^1\theta +b^2\omega ,\end{array}$                                                                                   (11)

где a¹, a², b¹, b² – некоторые функции от x,y.

Подставляя (11) в (10), после несложных преобразований получаем

$a^1=\alpha (\lambda +2\mu ), a^2=\beta \mu , b^1=\beta (\lambda +2\mu ), a^2=-\alpha \mu ,$

$a_x^1+b_y^1=\mathrm{0,} a_x^2+b_y^2=0.$                                                                           (12)

Отсюда имеем

$\begin{array}{c}{\alpha }_x+{\beta }_y=\mathrm{0,}\\ {\alpha }_y-{\beta }_x=0.\end{array}$                                                                                  (13)

Из (10) следует

$\underset{S}{\iint }(A_x+B_y)dxdy=\underset{L}{\oint }-Ady+Bdx.$                                                          (14)

Решение первой краевой задачи

Пусть (x⁰, y⁰) ∈ S, такая точка, в которой компоненты сохраняющегося тока имеют особенности, тогда из (14) следует

$\underset{L}{\oint }-Ady+Bdx=-\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx.$                                                            (15)

где $\epsilon :{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2={\epsilon }^2$ – окружность радиуса ε вокруг точки (x⁰, y⁰) ∈ S. Вычислим интеграл в правой части (15) для разных решений уравнений Коши – Римана. В качестве решений выберем такие, которые имеют особенность в точке (x⁰, y⁰) ∈ S. Пусть

$\alpha =\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}, \beta =\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},$                                          (16)

тогда из правой части (15) имеем

$\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx=\underset{\epsilon }{\oint }-\left(\alpha \right(\lambda +2\mu )\theta +\beta \mu \omega )dy+(\alpha \mu \omega +\beta (\lambda +2\mu \left)\theta \right)dx.$                 (17)

Подставим (16) в (17) и сделаем замену переменных по формулам $x-x_0=\epsilon \cos \phi , y-y_0=\epsilon \sin \phi ,$  получаем

$\begin{array}{c}\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}[-((\lambda +2\mu )\theta +\mu \omega )+2\sin \phi \cos \phi \mu \omega )]d\phi =\\ =-2\pi \left[\right(\lambda +2\mu \left)\theta \right(x_0,y_0)-\mu \omega (x_0,y_0\left)\right]\end{array}$                        (18)

В формуле (18) устремили ε → 0 и использовали теорему о среднем.

Теперь сделаем аналогичные вычисления, положив

$\alpha =-\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},\beta =\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}.$

В результате получим

$\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx=-2\pi \mu \omega (x_0,y_0).$                                                                  (19)

Формулы (18) и (19) позволяют, с учетом граничных условий (9) и равенства (15), определить значения функций  в произвольной точке (x⁰, y⁰) ∈ S. Они имеют следующий вид:

$2\pi \left[\right(\lambda +2\mu \left)\theta \right(x_0,y_0)-\mu \omega (x_0,y_0\left)\right]=\underset{L}{\oint }-\frac{(\lambda +2\mu )(x-x_0){\theta }_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}dy+\frac{\mu (y-y_0){\omega }_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}dx,$

$2\pi \mu \omega (x_0,y_0)]=\underset{L}{\oint }\frac{(\lambda +2\mu )(y-y_0){\theta }_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}dy+\frac{\mu (x-x_0){\omega }_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}dx.$

Теперь, после восстановления решений разрешающей системы, найдем решения автоморфной системы, т. е. решения исходной системы уравнений (2). Имеем

$F_3=u_x+v_y-\theta (x,y)=\mathrm{0,} F_4=u_y-v_x-\omega (x,y)=0.$                                           (20)

Здесь в правой части стоят известные функции, которые найдены в предыдущем пункте. Найдем законы сохранения уравнений (20) в следующем виде:

$A=a^3\theta +a^4\omega +c^1, B=b^3\theta +b^4\omega +c^2,$                                                         (21)

где a³, a⁴, b³, b⁴, c¹, c²– некоторые функции от x, y.

Имеем

$A_x(x,y,u,v)+B_y(x,y,u,v)=\alpha F_3+\beta F_4=\mathrm{0,}$                                                      (22)

Расщепляя систему уравнений (22), получаем

$a^3=\alpha , a^4=-\beta , b^3=\beta , b^4=\alpha ,$

$a_x^3+b_y^3=\mathrm{0,} a_x^4+b_y^4=\mathrm{0,}{c}_x^1+c_y^2=-\alpha \theta -\beta \omega .$                                                    (23)

Отсюда получаем

     ${\alpha }_x+{\beta }_y=\mathrm{0,} {\alpha }_y-{\beta }_x=0.$                                                                                     (24)

Пусть для системы (2) поставлена следующая краевая задача:

    $u{|}_L=u_0(x,y), v{|}_L=v_0(x,y),$                                                                                (25)

Рассмотрим закон сохранения в виде

    $\underset{L}{\oint }-Ady+Bdx=-\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx.$                                                                     (26)

Пусть решение уравнений (24) имеет вид

$\alpha =\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}, \beta =\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},$                                             (27)

Подставляем (27) в правую часть (26), получаем

      $\begin{array}{c}\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx=\underset{\epsilon }{\oint }-(\alpha u-\beta v+c^1)dy+(\beta u+\alpha v+c^2)dx=\\ =\underset{\epsilon }{\oint }-(\alpha \cos \varphi -\beta \sin \varphi +c^1)dy-(\beta \sin \varphi +\alpha \cos \varphi +c^2)dx=-2\pi u(x_0,y_0)\end{array}$               (28)

Пусть решение уравнений (24) имеет вид

$\alpha =-\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}, \beta =\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},$                                         (29)

Подставляем (29) в правую часть (26), получаем

$\begin{array}{c}\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx=\underset{\epsilon }{\oint }-(\alpha u-\beta v+c^1)dy+(\beta u+\alpha v+c^2)dx=\\ =\underset{\epsilon }{\oint }-(-u\sin \varphi -v\cos \varphi +c^1)dy-(u\cos \varphi -v\sin \varphi +c^2)dx=-2\pi v(x_0,y_0)\end{array}$                    (30)

В результате получаем формулы для вычисления компонент вектора деформации

$2\pi u(x_0,y_0)=\underset{L}{\oint }-Ady+Bdx, 2\pi v(x_0,y_0)=\underset{L}{\oint }-Ady+Bdx,$

где $c^1=\int \alpha \theta dx, c^2=\int \beta \omega dx.$                                                                                 (31)                                                              

Заключение

В статье получены новые бесконечные серии законов сохранения для разрешающей системы уравнений, а также для автоморфной системы, построенные для двумерных уравнений упругости. Эти законы позволили построить аналитическое решение краевой задачи для уравнений двумерной теории упругости в стационарном случае. В статье продолжено решение краевых задач с помощью законов сохранения, начатое в работах [13–15].

Об авторах

Сергей Иванович Сенашов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Автор, ответственный за переписку.
Email: Sen@sibsau.ru

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой ИЭС

Россия, 660037, Красноярск, проспект имени газеты «Красноярский Рабочий», 31

Ирина Леонидовна Савостьянова

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: savostyanova@sibsau.ru

кандидат педагогических наук, доцент кафедры ИЭС

Россия, 660037, Красноярск, проспект имени газеты «Красноярский Рабочий», 31

Список литературы

Дополнительные файлы