Локальные параметры теплоотдачи на участках развивающегося температурного пограничного слоя в полостях газовых турбин

Полный текст

Введение

Повышение термических характеристик, проектируемых узлов и агрегатов ТНА напрямую зависит от проведения исследований на предмет локализации температурного воздействия газовых потоков. С целью повышения точности и совершенствования расчетных методик необходимо более точно определять численные значения характерных величин газового потока, влияющих как на потери в элементах проточного тракта, так и на энергетические и рабочие параметры турбин [1].

Одним из методологических подходов к решению задачи проектирования элементов газоводов и моделирования энергетических параметров является аналитический вывод зависимостей путем преобразований уравнений динамики [2].

Рассмотрим вывод уравнений законов теплообмена и локальных коэффициентов теплоотдачи с использованием аффинноподобной модели температурного пограничного слоя для случая Pr < 1 [3].

1. Взаимосвязь интегральных уравнений энергии турбулентного потока для прямолинейного равномерного и вращательного движений

Пусть температурный пограничный слой имеет конечную толщину . Распределение профиля скорости аппроксимируем степенной функцией:

$\frac{u}{U}={\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}$.                                                                                         (1)

При Pr = 1 профиль распределения скорости в динамическом пограничном слое должен иметь производную на стенке, т. е. удовлетворять условию, требуемому дифференциальным уравнениям движения пограничного слоя. Поэтому будем использовать двухслойную модель распространения профиля скорости с ламинарным подслоем и турбулентным профилем в основной части.

Условия, требуемые дифференциальными уравнениями движения пограничного слоя, должны выполняться и для дифференциального уравнения энергии [4–7]. В работе аппроксимируется профиль скорости в пограничном слое кубической параболой:

$\frac{u}{U}=\frac{3}{2}\left(\frac{y}{\delta }\right)-\frac{1}{2}{\left(\frac{y}{\delta }\right)}^3.$                                                                          (2)

Кубическую параболу используют также для аппроксимации температурного пограничного слоя:

$\frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}=\frac{3}{2}\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)-\frac{1}{2}{\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)}^3$                                                                (3)

Отношение толщины температурного и динамического пограничных слоев в произвольном сечении обозначим как у В. М. Кейса:

$r=\frac{{\delta }_t}{\delta }, \mathrm{или} {\mathrm{\delta }}_{\mathrm{t}}=\mathrm{r}\cdot \mathrm{\delta }$.                                                                            (4)

Отметим, что использование уравнения кубической параболы возможно только для ламинарного пограничного слоя. Принимается, что распространение профиля скорости и распределение профиля температур в пограничном слое аппроксимируется следующими полиномами:

$\frac{u}{U}=(2\eta -2{\eta }^3+{\eta }^4), \frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}=(1-2{\eta }_t+2{\eta }_t^3-{\eta }_t^4)$.                                (5)

В соответствии с работой В. М. Кейса, используем отношение температурного пограничного слоя к динамическому:

$\Delta =\frac{{\delta }_t}{\delta }$.                                                                                             (6)

В соответствии с работой Ю. А. Кошмарова, профили скорости и температуры в турбулентном пограничном слое аппроксимируем степенными функциями:

$\frac{u}{U}={\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}, \frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}={\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)}^{\frac{1}{m}}.$                                                         (7)

Рассмотрим толщину потери энергии:

${\delta }_{t\phi }^{**}=\underset{0}{\overset{{\delta }_t}{\int }}\frac{u}{U}\left(1-\frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}\right)dy.$                                                                (8)

Профили распределения пограничных слоев показаны на рис. 1.

 

Рис. 1. Профили распределения температурного и динамического пограничных слоев при Pr < 1

Fig. 1. Distribution profiles of temperature and dynamic boundary layers for Pr < 1

 

Разобьём границы уравнения (8) на два самостоятельных участка интегрирования:

Отсюда уравнение (8) преобразуется к виду

${\delta }_{t\phi }^{**}=\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}\frac{u}{U}\left(1-\frac{Т-{Т}_0}{{Т}_{\delta }-{Т}_0}\right)dy+\underset{\delta }{\overset{{\delta }_t}{\int }}\frac{u}{U}\left(1-\frac{Т-{Т}_0}{{Т}_{\delta }-{Т}_0}\right)dy$.                             (9)

Выражение для толщины потери энергии при известных профилях аппроксимации пограничных слоев принимает следующий вид:

${\delta }_{t\phi }^{**}=\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}{\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}\left(1-{\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)}^{\frac{1}{m}}\right)dy+\underset{\delta }{\overset{{\delta }_t}{\int }}{\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}\left(1-{\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)}^{\frac{1}{m}}\right)dy$.                   (10)

Произведём замену переменных:

$A=\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}{\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}\left(1-{\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)}^{\frac{1}{m}}\right)dy$, $B=\underset{\delta }{\overset{{\delta }_t}{\int }}{\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}\left(1-{\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)}^{\frac{1}{m}}\right)dy$.

В первом члене введем замену через отношение толщины температурного и динамического пограничных слоев в произвольных сечениях $r=\frac{{\delta }_t}{\delta }$, тогда

$\begin{array}{c}A=\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}{\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}\cdot \left(1-{\left(\frac{y}{r\cdot \delta }\right)}^{\frac{1}{m}}\right)dy=\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}\frac{y^{\frac{1}{m}}}{{\delta }^{\frac{1}{m}}}\cdot \left(1-\frac{y^{\frac{1}{m}}}{r^{\frac{1}{m}}\cdot {\delta }^{\frac{1}{m}}}\right)dy=\\ =\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}\left(\frac{y^{\frac{1}{m}}}{{\delta }^{\frac{1}{m}}}-\frac{y^{\frac{2}{m}}}{{\delta }^{\frac{2}{m}}\cdot r^{\frac{1}{m}}}\right)dy=\frac{m\cdot y\cdot y^{\frac{1}{m}}}{{\delta }^{\frac{1}{m}}\left(m+1\right)}-{\left.\frac{m\cdot y\cdot y^{\frac{2}{m}}}{{\delta }^{\frac{2}{m}}\cdot r^{\frac{1}{m}}\cdot (m+2)}\right|}_0^{\delta }=\\ =\frac{\delta \cdot m}{(m+1)}-\frac{\delta \cdot m}{r^{\frac{1}{m}}\cdot (m+2)}=\frac{m\cdot \delta \cdot \left(m\cdot r^{\frac{1}{m}}+2\cdot r^{\frac{1}{m}}-m-1\right)}{r^{\frac{1}{m}}\cdot (m+1)\cdot (m+2)},\end{array}$        (11)

где r – отношение толщины температурного и динамического пограничных слоев.

Границы интегрирования второго члена уравнения (10) находятся от толщины динамического пограничного слоя $\mathrm{\delta }$ до толщины температурного пограничного слоя ${\mathrm{\delta }}_t$. При этом изменения эпюры скорости вдоль оси Y  не происходит, а скорость равна скорости потока в ядре течения. В этом случае

$\frac{u}{U}={\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}=1$.

Тогда

$\begin{array}{c}B=\underset{\delta }{\overset{{\delta }_t}{\int }}\left(1-{\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)}^{\frac{1}{m}}\right)dy=y-{\left.\frac{m\cdot y\cdot y^{\frac{1}{m}}}{{\delta }_t^{\frac{1}{m}}\left(m+1\right)}\right|}_{\delta }^{{\delta }_t}=-\left(\delta -\frac{\delta \cdot {\delta }^{\frac{1}{m}}\cdot m}{m\cdot {\delta }_t^{\frac{1}{m}}+{\delta }_t^{\frac{1}{m}}}\right)+\\ +\left({\delta }_t-\frac{m\cdot {\delta }_t}{m+1}\right)=-\frac{\delta \cdot {\delta }_t^{\frac{1}{m}}-{\delta }_t\cdot {\delta }_t^{\frac{1}{m}}-\delta \cdot {\delta }_{}^{\frac{1}{m}}\cdot m+\delta m{\delta }_t^{\frac{1}{m}}}{{\delta }_t^{\frac{1}{m}}\left(m+1\right)}.\end{array}$         (12)

С учетом выражения (12), толщина потерь энергии температурного пограничного слоя определится как

$\begin{array}{c}{\delta }_{t\phi }^{**}=A+B=\frac{m\cdot \delta \cdot \left(m\cdot r^{\frac{1}{m}}+2\cdot r^{\frac{1}{m}}-m-1\right)}{r^{\frac{1}{m}}\cdot \left(m+1\right)\left(m+2\right)} - \\ - \frac{\delta \cdot {\delta }_t^{\frac{1}{m}}-{\delta }_t\cdot {\delta }_t^{\frac{1}{m}}-\delta \cdot {\delta }_{}^{\frac{1}{m}}\cdot m+\delta m{\delta }_t^{\frac{1}{m}}}{{\delta }_t^{\frac{1}{m}}\left(m+1\right)}.\end{array}$                                       (13)

Учитывая отношение толщины температурного и динамического пограничных слоев в произвольном сечении, второй член уравнения толщины потери энергии (12) преобразуется к виду

$B=-\frac{\delta {\left(\delta r\right)}^{\frac{1}{m}}+\delta m{\left(\delta r\right)}^{\frac{1}{m}}-\delta r{\left(\delta r\right)}^{\frac{1}{m}}-\delta \cdot {\delta }^{\frac{1}{m}}m}{\left(m+1\right){\left(\delta r\right)}^{\frac{1}{m}}}$.                                   (14)

Отметим, что при r = 0, что характерно для Pr = 1, первый член уравнения (13) запишется как $A={\delta }_{t\phi }^{**}$, а второй член уравнения обнуляется, т. е. B = 0.

Учитывая выражение (14), перепишем выражение для толщины потери энергии (13):

$\begin{array}{c}{\delta }_{t\phi }^{**}=\frac{m\delta \left(m{r}^{\frac{1}{m}}+2r^{\frac{1}{m}}-m-1\right)}{r^{\frac{1}{m}}\left(m+1\right)\cdot \left(m+2\right)}-\frac{\delta {\left(\delta r\right)}^{\frac{1}{m}}+\delta m{\left(\delta r\right)}^{\frac{1}{m}}-\delta {\delta }_m}{\left(m+1\right){\left(\delta r\right)}^{\frac{1}{m}}}=\\ =\frac{m\delta \left(m{r}^{\frac{1}{m}}+2r^{\frac{1}{m}}-m-1\right)}{r^{\frac{1}{m}}\left(m+1\right)\cdot \left(m+2\right)}+\left(\frac{\delta \left(m-m{r}^{\frac{1}{m}}+r{r}^{\frac{1}{m}}-r^{\frac{1}{m}}\right)}{r^{\frac{1}{m}}\left(m+1\right)}\right)=\frac{\delta \left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}.\end{array}$(15)  

Запишем уравнение закона теплоотдачи в виде критерия Стантона:

$\text{St}=\frac{q_0}{\rho \cdot C_p\cdot U\cdot \left(T_{\delta }-T_0\right)}=\frac{\lambda \cdot {\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)}_{y=0}}{\rho \cdot C_p\cdot U\cdot \left(T_{\delta }-T_0\right)}=\frac{\lambda }{\rho \cdot C_p\cdot U}{\left[\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}\right)\right]}_{y=0}.$    (16)

Для дальнейших вычислений найдем производную температурного пограничного слоя на стенке. Используем двухслойную модель турбулентности с ламинарным подслоем при коэффициенте Прандтля Pr = 1. Тогда толщина температурного пограничного слоя и динамического пограничного слоя будут равны, т. е. δ = δ_t [8; 9].

В данном случае при Pr < 1 приняли δ_t = rδ. Проведя аналогию между температурным и динамическим пограничными слоями с учетом коэффициента отношения толщины и выполнив соответствующие преобразования, получим производную температурного пограничного слоя на стенке:

$\frac{\partial }{\partial y}{\left(\frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}\right)}_{y=0}=\frac{U}{{\alpha }_{\text{л}}^2\cdot \nu }\cdot {\left(\frac{{\alpha }_{\text{л}}\cdot \nu }{{\delta }_t\cdot U}\right)}^{\frac{2}{m+1}}=\frac{U}{{\alpha }_{\text{л}}^2\cdot \nu }\cdot {\left(\frac{{\alpha }_{\text{л}}\cdot \nu }{r\cdot \delta \cdot U}\right)}^{\frac{2}{m+1}}$.                          (17)

Из уравнения (15) выразим толщину динамического пограничного слоя:

$\delta =\frac{{\delta }_{t\phi }^{**}(m+1)(m+2)}{2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2}$.                                                                                     (18)

Полученное выражение для толщины динамического пограничного слоя (18) подставим в выражение производной температурного пограничного слоя на стенке (поверхности теплообмена) (17):

$\frac{\partial }{\partial y}{\left(\frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}\right)}_{y=0}=\frac{U}{{\alpha }_{\text{л}}^2\cdot \nu }\cdot {\left(\frac{{\alpha }_{\text{л}}\cdot \nu }{U\cdot {\delta }_{t\phi }^{**}r}\cdot \frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}\right)}^{\frac{2}{m+1}}$                       (19)

или

$\frac{\partial }{\partial y}{\left(\frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}\right)}_{y=0}=U^{\frac{m-1}{m+1}}\cdot {\left(\frac{1}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}r}\cdot \frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\times \frac{1}{{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}.$   (20)

Определив производную температурного пограничного слоя на стенке (поверхности теплообмена) (20), а также закон теплообмена в виде критерия Стантона (16), получим

$\text{St}=\frac{\lambda }{\rho \cdot C_p\cdot U^{\frac{2}{m+1}}}\cdot {\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\cdot \frac{1}{{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}$.                                               (21)

Для использования уравнения (21) в проектных расчетах требуется определить коэффициент ламинарного подслоя α_л, который, исходя из двухслойной модели турбулентности, определяем из условия смыкания ламинарного подслоя и турбулентного профиля [10–11]. Определяем коэффициент ламинарного подслоя α_л аналогично, как и при Pr = 1, с использованием закона трения и производной на поверхности теплообмена для функции распределения температурного пограничного слоя [12]. Исходя из выражения для толщины потери энергии температурного пограничного слоя (15), запишем

${\alpha }_{\text{л}}=\sqrt[\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}]{\frac{{\left(\frac{2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2}{\left(m+1\right)\left(m+2\right)r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\cdot {\left({\delta }_{\phi }^{**}\right)}^{\mathrm{0,25}}}{\mathrm{0,012}56{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}}=$                                                    (22)

При m = 7 выражение (22) преобразуется к виду

${\alpha }_{\text{л}}=\frac{\mathrm{12,5496}}{r^{\mathrm{0,167}}}.$

Учитывая, что при Pr < 1 $r=\frac{{\delta }_t}{\delta }=\frac{1}{{\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{3}}}$, получим ${\alpha }_{\text{л}}=\mathrm{12,5496}{\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{18}}$.

С использованием выражения (21) запишем интегральное соотношение уравнения энергии температурного пространственного пограничного слоя:

$\begin{array}{c}\frac{1}{H_{\phi }}\frac{\partial }{\partial \phi }\cdot {\delta }_{t\phi }^{**}+\frac{J}{H_{\psi }}\frac{\partial }{\partial \psi }\left(\epsilon {\delta }_{t\phi }^{**}\right)+\frac{1}{H_{\phi }\cdot H_{\psi }}\frac{\partial H_{\psi }}{\partial \phi }\cdot {\delta }_{t\phi }^{**}+\frac{J}{H_{\phi }\cdot H_{\psi }}\frac{\partial H_{\phi }}{\partial \psi }\cdot \epsilon {\delta }_{t\phi }^{**}=\\ =\frac{\lambda }{\rho \cdot C_p\cdot U^{\frac{2}{m+1}}}{\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\times \frac{1}{{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}-\frac{{\tau }_{{\phi }_0}\left(1+{\epsilon }^{\text{2}}\right)}{\rho \cdot C_p\left(T_{\delta }-T_0\right)}.\end{array}$         (23)

Рассмотрим случай реализации вращательного течения, когда направление потока определяется кольцевой линией [13]. Выразим уравнение энергии (23) в цилиндрических координатах, учитывая, что для осесимметричного течения при ε = const выполняются соотношения: 

$\phi = \alpha , \psi = R, \frac{\partial H_{\phi }}{\partial \psi }=\frac{\partial R}{\partial R}=\mathrm{1,} \frac{\partial H_{\psi }}{\partial \phi }=\mathrm{0,}\frac{\partial }{\partial \phi }=0:$ 

$\begin{array}{c}J\cdot \epsilon \cdot \frac{\partial }{\partial R}\cdot {\delta }_{t\phi }^{**}+\frac{J\cdot \epsilon }{R}\cdot {\delta }_{t\phi }^{**}={\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\times \\ \times \frac{1}{{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}-\frac{{\tau }_{{\phi }_0}\left(1+{\epsilon }^2\right)}{\rho \cdot C_p\cdot \left(T_{\delta }-T_0\right)}.\end{array}$                                     (24)

С использованием аффинноподобной модели температурного пограничного слоя, определение вида закона теплообмена становится тривиальной задачей. Использование уравнения (24) происходит после интегрирования с учетом принятых законов распределения.

2. Локальная теплоотдача турбулентного потока при вращательном течении

Представим течение в турбине ТНА и соответствующее ему вращательное движение по закону твердого тела. Пренебрегаем диссипативным членом в интегральном соотношении уравнения энергии (24) при реализации вращательного течения:

$\begin{array}{l}J\cdot \epsilon \cdot \frac{\partial }{\partial R}{\delta }_{t\phi }^{**}+\frac{J\cdot \epsilon }{R}{\delta }_{t\phi }^{**}=\\ =\frac{\lambda }{\rho \cdot C_p\cdot U^{\frac{2}{m+1}}}{\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\cdot \frac{1}{{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}.\end{array}$                                (25)

Для вращательного течения по закону «твердого тела» распределение окружной составляющей скорости по радиусу $\frac{U}{R}=\omega =\text{const}$ [14], уравнение (25) преобразуется следующим образом:

$\frac{\partial }{\partial R}{\delta }_{t\phi }^{**}+\frac{{\delta }_{t\phi }^{**}}{R}-\frac{\lambda }{J\cdot \epsilon \cdot \rho \cdot C_p\cdot {\omega }^{\frac{2}{m+1}}}\times {\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\cdot \frac{1}{R^{\frac{2}{m+1}}{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}.$     (26)

Введем промежуточные обозначения: ${\delta }_{t\phi }^{**}=y$,

$A=\frac{\lambda }{J\cdot \epsilon \cdot \rho \cdot C_p\cdot {\omega }^{\frac{2}{m+1}}}{\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}$,

тогда

$\frac{dy}{dR}+\frac{y}{R}-\frac{A}{R^{\frac{2}{m+1}}\cdot y^{\frac{2}{m+1}}}=0$.                                                                              (27)

Уравнение решается методом подстановки y = u · v:

$\begin{array}{c}\frac{du}{dR}\cdot v+\frac{dv}{dR}\cdot u+u\frac{v}{R}=\frac{A}{u^{\frac{2}{m+1}}\cdot v^{\frac{2}{m+1}}\cdot R^{\frac{2}{m+1}}},\\ u\cdot \left(\frac{dv}{dR}+\frac{v}{R}\right)+v\cdot \frac{du}{dR}=\frac{A}{u^{\frac{2}{m+1}}\cdot v^{\frac{2}{m+1}}\cdot R^{\frac{2}{m+1}}}.\end{array}$

Функция v должна удовлетворять условию $\frac{dv}{dR}+\frac{v}{R}=0$, тогда $v=\frac{1}{R}$, откуда находим

$\begin{array}{c}u=\sqrt[\frac{m+3}{m+1}]{\frac{A\cdot R^2\cdot \left(m+3\right)}{2\cdot \left(m+1\right)}},\end{array}$                                                               (28)

$y={\delta }_{t\phi }^{**}=\frac{1}{R}\sqrt[\frac{m+3}{m+1}]{\frac{A\cdot R^2\cdot \left(m+3\right)}{2\cdot \left(m+1\right)}}=\sqrt[\frac{m+3}{m+1}]{\frac{A\cdot R^2\cdot \left(m+3\right)}{2\cdot \left(m+1\right)}\cdot R^{\left(\frac{m-1}{m+1}\right)}}$,                   (29)

(30)

Выведем критерий Стантона для вращательного течения по закону твердого тела для турбулентного режима с учетом выражений (21) и (30).

Задав $\left(\mathrm{Pr}=\frac{\mu C_p}{\lambda }\right)$ и $\left(\mathrm{Re}=\frac{\rho U\phi }{\mu }\right),$ выразим критерия Стантона для вращательного течения по закону твердого тела для случая Pr  < 1:

${\delta }_{t\phi }^{**}=\sqrt[\frac{m+3}{m+1}]{\frac{\frac{\lambda }{J\cdot \epsilon \cdot \rho \cdot C_p\cdot {\omega }^{\frac{2}{m+1}}}\times {\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\cdot \left(m+3\right)}{2\cdot \left(m+1\right)}\cdot R^{\left(\frac{m-1}{m+1}\right)}}$            31)

Рассмотри течение газового потока в магистралях подвода ТНА, которое осуществляется по закону свободного вихря (U · R = C = const) [15], тогда уравнение энергии (25) запишется как

$\begin{array}{l}\frac{d{\delta }_{t\phi }^{**}}{dR}+\frac{{\delta }_{t\phi }^{**}}{R}-\frac{\lambda }{J\cdot \epsilon \cdot \rho \cdot C_p\cdot C^{\frac{2}{m+1}}}\times \\ \times {\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\cdot \frac{R^{\frac{2}{m+1}}}{{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}=0.\end{array}$                                              (32)

Проведем замену: ${\delta }_{t\phi }^{**}=y\mathit{,}$

$B=\frac{\lambda }{J\cdot \epsilon \cdot \rho \cdot C_p\cdot C^{\frac{2}{m+1}}}{\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{л}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}.$                                         (33)

Решение уравнения (27) ведем аналогично случаю вращательного течения по закону твердого тела при Pr < 1 методом подстановки y = u · v, причем

 $v=\frac{1}{R}, U=\frac{B^{\frac{m+1}{m+3}}\cdot R^2}{2^{\frac{m+1}{m+3}}}$.

Тогда толщина потери энергии определится в виде

${\delta }_{t\phi }^{**}={\left(\frac{B}{2}\right)}^{\frac{m+1}{m+3}}\cdot R$.                                                                               (34)

С учетом полученного ранее выражения В запишем:

${\delta }_{t\phi }^{**}={\left[\frac{\lambda }{J\cdot \epsilon \cdot \rho \cdot C_p\cdot C^{\frac{2}{m+1}}}{\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}/2\right]}^{\frac{m+1}{m+3}}\cdot R.$                    (35)

Тогда критерий Стантона для вращательного течения по закону свободного вихря для случая Pr < 1 определится, как

$\text{St}=\frac{1}{{\mathrm{Pr}}^{\frac{m+1}{m+3}}}{\left(\frac{2J\epsilon \left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}r(m+1)(m+2){\mathrm{Re}}_{\omega }}\right)}^{\frac{2}{m+3}}.$                                       (36)

Таким образом, выражены все переменные для определения локальных коэффициентов теплоотдачи в виде критерия Стантона при различных законах течения по аффинноподобной модели температурного пограничного слоя [16].

На рис. 2 представлены значения безразмерного коэффициента теплоотдачи в виде критерия Нуссельта для турбулентного вращательного течения по закону «твердого тела» [17; 18].

 

Рис. 2. Коэффициента теплоотдачи при Pr = 0,7

Fig. 2. Heat transfer coefficient at Pr = 0.7

 

Заключение

Для сопоставления полученных в исследовании результатов с работами других авторов, используем данные эксперимента для случая турбулентного вращательного движения воздуха по закону «твердого тела» с диапазоном изменения критерия Рейнольдса Re = 5 · 10⁵ - 1,4 · 10⁶, критерия Прандтля Pr = 1,7 [17]. При сравнении со значениями модели с конвективной составляющей аффинноподобная модель показывает схождение результатов на уровне 1,5 %. 

Теоретические зависимости, полученные по моделям распределения температурного и динамического пограничных слоев с конвективной составляющей и аффинноподобными профилями при Pr = 0,7, дают достаточно близкие результаты в связи с близким подобием распределения температурного и динамического слоев и близки к случаю Pr = 1.

Полученные результаты исследования и их соотношение с результатами других авторов показали, что они пригодны для инженерных расчетов и анализа воздействия локальных коэффициентов теплоотдачи на высокотемпературные узлы ТНА. Необходимо отметить, что на безразмерный коэффициент теплоотдачи в виде критерия Нуссельта существенно влияют граничные условия течения и теплообмена, такие как скорость, вязкость, плотность и градиент температур рабочего тела и поверхности теплообмена.

Об авторах

Александр Александрович Зуев

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Автор, ответственный за переписку.
Email: dla2011@inbox.ru

доктор технических наук, доцент

Россия, 660037, Красноярск, проспект имени газеты «Красноярский Рабочий», 31

Анна Анатольевна Арнгольд

АО «Красноярский машиностроительный завод»

Email: arngoldanna@mail.ru

начальник бюро спецсоединителей, приборов и пультов аппаратуры

Россия, 660123, проспект имени газеты «Красноярский Рабочий», 29

Екатерина Владимировна Фалькова

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: dankaty@mail.ru

старший преподаватель кафедры технической механики

Россия, 660037, Красноярск, проспект имени газеты «Красноярский Рабочий», 31

Михаил Игоревич Толстопятов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: 89130399999@mail.ru

кандидат технических наук, доцент

Россия, 660037, Красноярск, проспект имени газеты «Красноярский Рабочий», 31

Павел Алексеевич Дубынин

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: pavel.dubynin@mail.ru

аспирант кафедры двигателей летательных аппаратов

Россия, 660037, Красноярск, проспект имени газеты «Красноярский Рабочий», 31

Список литературы

Дополнительные файлы