Local heat transfer parameters in the areas of the developing temperature boundary layer in the cavities of gas turbines local heat transfer parameters in the areas of the developing temperature boundary layer in the cavities of gas turbines

全文:

Введение

Повышение термических характеристик, проектируемых узлов и агрегатов ТНА напрямую зависит от проведения исследований на предмет локализации температурного воздействия газовых потоков. С целью повышения точности и совершенствования расчетных методик необходимо более точно определять численные значения характерных величин газового потока, влияющих как на потери в элементах проточного тракта, так и на энергетические и рабочие параметры турбин [1].

Одним из методологических подходов к решению задачи проектирования элементов газоводов и моделирования энергетических параметров является аналитический вывод зависимостей путем преобразований уравнений динамики [2].

Рассмотрим вывод уравнений законов теплообмена и локальных коэффициентов теплоотдачи с использованием аффинноподобной модели температурного пограничного слоя для случая Pr < 1 [3].

1. Взаимосвязь интегральных уравнений энергии турбулентного потока для прямолинейного равномерного и вращательного движений

Пусть температурный пограничный слой имеет конечную толщину . Распределение профиля скорости аппроксимируем степенной функцией:

$\frac{u}{U}={\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}$.                                                                                         (1)

При Pr = 1 профиль распределения скорости в динамическом пограничном слое должен иметь производную на стенке, т. е. удовлетворять условию, требуемому дифференциальным уравнениям движения пограничного слоя. Поэтому будем использовать двухслойную модель распространения профиля скорости с ламинарным подслоем и турбулентным профилем в основной части.

Условия, требуемые дифференциальными уравнениями движения пограничного слоя, должны выполняться и для дифференциального уравнения энергии [4–7]. В работе аппроксимируется профиль скорости в пограничном слое кубической параболой:

$\frac{u}{U}=\frac{3}{2}\left(\frac{y}{\delta }\right)-\frac{1}{2}{\left(\frac{y}{\delta }\right)}^3.$                                                                          (2)

Кубическую параболу используют также для аппроксимации температурного пограничного слоя:

$\frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}=\frac{3}{2}\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)-\frac{1}{2}{\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)}^3$                                                                (3)

Отношение толщины температурного и динамического пограничных слоев в произвольном сечении обозначим как у В. М. Кейса:

$r=\frac{{\delta }_t}{\delta }, \mathrm{или} {\mathrm{\delta }}_{\mathrm{t}}=\mathrm{r}\cdot \mathrm{\delta }$.                                                                            (4)

Отметим, что использование уравнения кубической параболы возможно только для ламинарного пограничного слоя. Принимается, что распространение профиля скорости и распределение профиля температур в пограничном слое аппроксимируется следующими полиномами:

$\frac{u}{U}=(2\eta -2{\eta }^3+{\eta }^4), \frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}=(1-2{\eta }_t+2{\eta }_t^3-{\eta }_t^4)$.                                (5)

В соответствии с работой В. М. Кейса, используем отношение температурного пограничного слоя к динамическому:

$\Delta =\frac{{\delta }_t}{\delta }$.                                                                                             (6)

В соответствии с работой Ю. А. Кошмарова, профили скорости и температуры в турбулентном пограничном слое аппроксимируем степенными функциями:

$\frac{u}{U}={\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}, \frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}={\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)}^{\frac{1}{m}}.$                                                         (7)

Рассмотрим толщину потери энергии:

${\delta }_{t\phi }^{**}=\underset{0}{\overset{{\delta }_t}{\int }}\frac{u}{U}\left(1-\frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}\right)dy.$                                                                (8)

Профили распределения пограничных слоев показаны на рис. 1.

 

Рис. 1. Профили распределения температурного и динамического пограничных слоев при Pr < 1

Fig. 1. Distribution profiles of temperature and dynamic boundary layers for Pr < 1

 

Разобьём границы уравнения (8) на два самостоятельных участка интегрирования:

Отсюда уравнение (8) преобразуется к виду

${\delta }_{t\phi }^{**}=\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}\frac{u}{U}\left(1-\frac{Т-{Т}_0}{{Т}_{\delta }-{Т}_0}\right)dy+\underset{\delta }{\overset{{\delta }_t}{\int }}\frac{u}{U}\left(1-\frac{Т-{Т}_0}{{Т}_{\delta }-{Т}_0}\right)dy$.                             (9)

Выражение для толщины потери энергии при известных профилях аппроксимации пограничных слоев принимает следующий вид:

${\delta }_{t\phi }^{**}=\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}{\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}\left(1-{\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)}^{\frac{1}{m}}\right)dy+\underset{\delta }{\overset{{\delta }_t}{\int }}{\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}\left(1-{\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)}^{\frac{1}{m}}\right)dy$.                   (10)

Произведём замену переменных:

$A=\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}{\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}\left(1-{\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)}^{\frac{1}{m}}\right)dy$, $B=\underset{\delta }{\overset{{\delta }_t}{\int }}{\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}\left(1-{\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)}^{\frac{1}{m}}\right)dy$.

В первом члене введем замену через отношение толщины температурного и динамического пограничных слоев в произвольных сечениях $r=\frac{{\delta }_t}{\delta }$, тогда

$\begin{array}{c}A=\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}{\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}\cdot \left(1-{\left(\frac{y}{r\cdot \delta }\right)}^{\frac{1}{m}}\right)dy=\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}\frac{y^{\frac{1}{m}}}{{\delta }^{\frac{1}{m}}}\cdot \left(1-\frac{y^{\frac{1}{m}}}{r^{\frac{1}{m}}\cdot {\delta }^{\frac{1}{m}}}\right)dy=\\ =\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}\left(\frac{y^{\frac{1}{m}}}{{\delta }^{\frac{1}{m}}}-\frac{y^{\frac{2}{m}}}{{\delta }^{\frac{2}{m}}\cdot r^{\frac{1}{m}}}\right)dy=\frac{m\cdot y\cdot y^{\frac{1}{m}}}{{\delta }^{\frac{1}{m}}\left(m+1\right)}-{\left.\frac{m\cdot y\cdot y^{\frac{2}{m}}}{{\delta }^{\frac{2}{m}}\cdot r^{\frac{1}{m}}\cdot (m+2)}\right|}_0^{\delta }=\\ =\frac{\delta \cdot m}{(m+1)}-\frac{\delta \cdot m}{r^{\frac{1}{m}}\cdot (m+2)}=\frac{m\cdot \delta \cdot \left(m\cdot r^{\frac{1}{m}}+2\cdot r^{\frac{1}{m}}-m-1\right)}{r^{\frac{1}{m}}\cdot (m+1)\cdot (m+2)},\end{array}$        (11)

где r – отношение толщины температурного и динамического пограничных слоев.

Границы интегрирования второго члена уравнения (10) находятся от толщины динамического пограничного слоя $\mathrm{\delta }$ до толщины температурного пограничного слоя ${\mathrm{\delta }}_t$. При этом изменения эпюры скорости вдоль оси Y  не происходит, а скорость равна скорости потока в ядре течения. В этом случае

$\frac{u}{U}={\left(\frac{y}{\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}=1$.

Тогда

$\begin{array}{c}B=\underset{\delta }{\overset{{\delta }_t}{\int }}\left(1-{\left(\frac{y}{{\delta }_t}\right)}^{\frac{1}{m}}\right)dy=y-{\left.\frac{m\cdot y\cdot y^{\frac{1}{m}}}{{\delta }_t^{\frac{1}{m}}\left(m+1\right)}\right|}_{\delta }^{{\delta }_t}=-\left(\delta -\frac{\delta \cdot {\delta }^{\frac{1}{m}}\cdot m}{m\cdot {\delta }_t^{\frac{1}{m}}+{\delta }_t^{\frac{1}{m}}}\right)+\\ +\left({\delta }_t-\frac{m\cdot {\delta }_t}{m+1}\right)=-\frac{\delta \cdot {\delta }_t^{\frac{1}{m}}-{\delta }_t\cdot {\delta }_t^{\frac{1}{m}}-\delta \cdot {\delta }_{}^{\frac{1}{m}}\cdot m+\delta m{\delta }_t^{\frac{1}{m}}}{{\delta }_t^{\frac{1}{m}}\left(m+1\right)}.\end{array}$         (12)

С учетом выражения (12), толщина потерь энергии температурного пограничного слоя определится как

$\begin{array}{c}{\delta }_{t\phi }^{**}=A+B=\frac{m\cdot \delta \cdot \left(m\cdot r^{\frac{1}{m}}+2\cdot r^{\frac{1}{m}}-m-1\right)}{r^{\frac{1}{m}}\cdot \left(m+1\right)\left(m+2\right)} - \\ - \frac{\delta \cdot {\delta }_t^{\frac{1}{m}}-{\delta }_t\cdot {\delta }_t^{\frac{1}{m}}-\delta \cdot {\delta }_{}^{\frac{1}{m}}\cdot m+\delta m{\delta }_t^{\frac{1}{m}}}{{\delta }_t^{\frac{1}{m}}\left(m+1\right)}.\end{array}$                                       (13)

Учитывая отношение толщины температурного и динамического пограничных слоев в произвольном сечении, второй член уравнения толщины потери энергии (12) преобразуется к виду

$B=-\frac{\delta {\left(\delta r\right)}^{\frac{1}{m}}+\delta m{\left(\delta r\right)}^{\frac{1}{m}}-\delta r{\left(\delta r\right)}^{\frac{1}{m}}-\delta \cdot {\delta }^{\frac{1}{m}}m}{\left(m+1\right){\left(\delta r\right)}^{\frac{1}{m}}}$.                                   (14)

Отметим, что при r = 0, что характерно для Pr = 1, первый член уравнения (13) запишется как $A={\delta }_{t\phi }^{**}$, а второй член уравнения обнуляется, т. е. B = 0.

Учитывая выражение (14), перепишем выражение для толщины потери энергии (13):

$\begin{array}{c}{\delta }_{t\phi }^{**}=\frac{m\delta \left(m{r}^{\frac{1}{m}}+2r^{\frac{1}{m}}-m-1\right)}{r^{\frac{1}{m}}\left(m+1\right)\cdot \left(m+2\right)}-\frac{\delta {\left(\delta r\right)}^{\frac{1}{m}}+\delta m{\left(\delta r\right)}^{\frac{1}{m}}-\delta {\delta }_m}{\left(m+1\right){\left(\delta r\right)}^{\frac{1}{m}}}=\\ =\frac{m\delta \left(m{r}^{\frac{1}{m}}+2r^{\frac{1}{m}}-m-1\right)}{r^{\frac{1}{m}}\left(m+1\right)\cdot \left(m+2\right)}+\left(\frac{\delta \left(m-m{r}^{\frac{1}{m}}+r{r}^{\frac{1}{m}}-r^{\frac{1}{m}}\right)}{r^{\frac{1}{m}}\left(m+1\right)}\right)=\frac{\delta \left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}.\end{array}$(15)  

Запишем уравнение закона теплоотдачи в виде критерия Стантона:

$\text{St}=\frac{q_0}{\rho \cdot C_p\cdot U\cdot \left(T_{\delta }-T_0\right)}=\frac{\lambda \cdot {\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)}_{y=0}}{\rho \cdot C_p\cdot U\cdot \left(T_{\delta }-T_0\right)}=\frac{\lambda }{\rho \cdot C_p\cdot U}{\left[\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}\right)\right]}_{y=0}.$    (16)

Для дальнейших вычислений найдем производную температурного пограничного слоя на стенке. Используем двухслойную модель турбулентности с ламинарным подслоем при коэффициенте Прандтля Pr = 1. Тогда толщина температурного пограничного слоя и динамического пограничного слоя будут равны, т. е. δ = δ_t [8; 9].

В данном случае при Pr < 1 приняли δ_t = rδ. Проведя аналогию между температурным и динамическим пограничными слоями с учетом коэффициента отношения толщины и выполнив соответствующие преобразования, получим производную температурного пограничного слоя на стенке:

$\frac{\partial }{\partial y}{\left(\frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}\right)}_{y=0}=\frac{U}{{\alpha }_{\text{л}}^2\cdot \nu }\cdot {\left(\frac{{\alpha }_{\text{л}}\cdot \nu }{{\delta }_t\cdot U}\right)}^{\frac{2}{m+1}}=\frac{U}{{\alpha }_{\text{л}}^2\cdot \nu }\cdot {\left(\frac{{\alpha }_{\text{л}}\cdot \nu }{r\cdot \delta \cdot U}\right)}^{\frac{2}{m+1}}$.                          (17)

Из уравнения (15) выразим толщину динамического пограничного слоя:

$\delta =\frac{{\delta }_{t\phi }^{**}(m+1)(m+2)}{2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2}$.                                                                                     (18)

Полученное выражение для толщины динамического пограничного слоя (18) подставим в выражение производной температурного пограничного слоя на стенке (поверхности теплообмена) (17):

$\frac{\partial }{\partial y}{\left(\frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}\right)}_{y=0}=\frac{U}{{\alpha }_{\text{л}}^2\cdot \nu }\cdot {\left(\frac{{\alpha }_{\text{л}}\cdot \nu }{U\cdot {\delta }_{t\phi }^{**}r}\cdot \frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}\right)}^{\frac{2}{m+1}}$                       (19)

или

$\frac{\partial }{\partial y}{\left(\frac{T-T_0}{T_{\delta }-T_0}\right)}_{y=0}=U^{\frac{m-1}{m+1}}\cdot {\left(\frac{1}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}r}\cdot \frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\times \frac{1}{{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}.$   (20)

Определив производную температурного пограничного слоя на стенке (поверхности теплообмена) (20), а также закон теплообмена в виде критерия Стантона (16), получим

$\text{St}=\frac{\lambda }{\rho \cdot C_p\cdot U^{\frac{2}{m+1}}}\cdot {\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\cdot \frac{1}{{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}$.                                               (21)

Для использования уравнения (21) в проектных расчетах требуется определить коэффициент ламинарного подслоя α_л, который, исходя из двухслойной модели турбулентности, определяем из условия смыкания ламинарного подслоя и турбулентного профиля [10–11]. Определяем коэффициент ламинарного подслоя α_л аналогично, как и при Pr = 1, с использованием закона трения и производной на поверхности теплообмена для функции распределения температурного пограничного слоя [12]. Исходя из выражения для толщины потери энергии температурного пограничного слоя (15), запишем

${\alpha }_{\text{л}}=\sqrt[\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}]{\frac{{\left(\frac{2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2}{\left(m+1\right)\left(m+2\right)r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\cdot {\left({\delta }_{\phi }^{**}\right)}^{\mathrm{0,25}}}{\mathrm{0,012}56{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}}=$                                                    (22)

При m = 7 выражение (22) преобразуется к виду

${\alpha }_{\text{л}}=\frac{\mathrm{12,5496}}{r^{\mathrm{0,167}}}.$

Учитывая, что при Pr < 1 $r=\frac{{\delta }_t}{\delta }=\frac{1}{{\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{3}}}$, получим ${\alpha }_{\text{л}}=\mathrm{12,5496}{\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{18}}$.

С использованием выражения (21) запишем интегральное соотношение уравнения энергии температурного пространственного пограничного слоя:

$\begin{array}{c}\frac{1}{H_{\phi }}\frac{\partial }{\partial \phi }\cdot {\delta }_{t\phi }^{**}+\frac{J}{H_{\psi }}\frac{\partial }{\partial \psi }\left(\epsilon {\delta }_{t\phi }^{**}\right)+\frac{1}{H_{\phi }\cdot H_{\psi }}\frac{\partial H_{\psi }}{\partial \phi }\cdot {\delta }_{t\phi }^{**}+\frac{J}{H_{\phi }\cdot H_{\psi }}\frac{\partial H_{\phi }}{\partial \psi }\cdot \epsilon {\delta }_{t\phi }^{**}=\\ =\frac{\lambda }{\rho \cdot C_p\cdot U^{\frac{2}{m+1}}}{\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\times \frac{1}{{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}-\frac{{\tau }_{{\phi }_0}\left(1+{\epsilon }^{\text{2}}\right)}{\rho \cdot C_p\left(T_{\delta }-T_0\right)}.\end{array}$         (23)

Рассмотрим случай реализации вращательного течения, когда направление потока определяется кольцевой линией [13]. Выразим уравнение энергии (23) в цилиндрических координатах, учитывая, что для осесимметричного течения при ε = const выполняются соотношения: 

$\phi = \alpha , \psi = R, \frac{\partial H_{\phi }}{\partial \psi }=\frac{\partial R}{\partial R}=\mathrm{1,} \frac{\partial H_{\psi }}{\partial \phi }=\mathrm{0,}\frac{\partial }{\partial \phi }=0:$ 

$\begin{array}{c}J\cdot \epsilon \cdot \frac{\partial }{\partial R}\cdot {\delta }_{t\phi }^{**}+\frac{J\cdot \epsilon }{R}\cdot {\delta }_{t\phi }^{**}={\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\times \\ \times \frac{1}{{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}-\frac{{\tau }_{{\phi }_0}\left(1+{\epsilon }^2\right)}{\rho \cdot C_p\cdot \left(T_{\delta }-T_0\right)}.\end{array}$                                     (24)

С использованием аффинноподобной модели температурного пограничного слоя, определение вида закона теплообмена становится тривиальной задачей. Использование уравнения (24) происходит после интегрирования с учетом принятых законов распределения.

2. Локальная теплоотдача турбулентного потока при вращательном течении

Представим течение в турбине ТНА и соответствующее ему вращательное движение по закону твердого тела. Пренебрегаем диссипативным членом в интегральном соотношении уравнения энергии (24) при реализации вращательного течения:

$\begin{array}{l}J\cdot \epsilon \cdot \frac{\partial }{\partial R}{\delta }_{t\phi }^{**}+\frac{J\cdot \epsilon }{R}{\delta }_{t\phi }^{**}=\\ =\frac{\lambda }{\rho \cdot C_p\cdot U^{\frac{2}{m+1}}}{\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\cdot \frac{1}{{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}.\end{array}$                                (25)

Для вращательного течения по закону «твердого тела» распределение окружной составляющей скорости по радиусу $\frac{U}{R}=\omega =\text{const}$ [14], уравнение (25) преобразуется следующим образом:

$\frac{\partial }{\partial R}{\delta }_{t\phi }^{**}+\frac{{\delta }_{t\phi }^{**}}{R}-\frac{\lambda }{J\cdot \epsilon \cdot \rho \cdot C_p\cdot {\omega }^{\frac{2}{m+1}}}\times {\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\cdot \frac{1}{R^{\frac{2}{m+1}}{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}.$     (26)

Введем промежуточные обозначения: ${\delta }_{t\phi }^{**}=y$,

$A=\frac{\lambda }{J\cdot \epsilon \cdot \rho \cdot C_p\cdot {\omega }^{\frac{2}{m+1}}}{\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}$,

тогда

$\frac{dy}{dR}+\frac{y}{R}-\frac{A}{R^{\frac{2}{m+1}}\cdot y^{\frac{2}{m+1}}}=0$.                                                                              (27)

Уравнение решается методом подстановки y = u · v:

$\begin{array}{c}\frac{du}{dR}\cdot v+\frac{dv}{dR}\cdot u+u\frac{v}{R}=\frac{A}{u^{\frac{2}{m+1}}\cdot v^{\frac{2}{m+1}}\cdot R^{\frac{2}{m+1}}},\\ u\cdot \left(\frac{dv}{dR}+\frac{v}{R}\right)+v\cdot \frac{du}{dR}=\frac{A}{u^{\frac{2}{m+1}}\cdot v^{\frac{2}{m+1}}\cdot R^{\frac{2}{m+1}}}.\end{array}$

Функция v должна удовлетворять условию $\frac{dv}{dR}+\frac{v}{R}=0$, тогда $v=\frac{1}{R}$, откуда находим

$\begin{array}{c}u=\sqrt[\frac{m+3}{m+1}]{\frac{A\cdot R^2\cdot \left(m+3\right)}{2\cdot \left(m+1\right)}},\end{array}$                                                               (28)

$y={\delta }_{t\phi }^{**}=\frac{1}{R}\sqrt[\frac{m+3}{m+1}]{\frac{A\cdot R^2\cdot \left(m+3\right)}{2\cdot \left(m+1\right)}}=\sqrt[\frac{m+3}{m+1}]{\frac{A\cdot R^2\cdot \left(m+3\right)}{2\cdot \left(m+1\right)}\cdot R^{\left(\frac{m-1}{m+1}\right)}}$,                   (29)

(30)

Выведем критерий Стантона для вращательного течения по закону твердого тела для турбулентного режима с учетом выражений (21) и (30).

Задав $\left(\mathrm{Pr}=\frac{\mu C_p}{\lambda }\right)$ и $\left(\mathrm{Re}=\frac{\rho U\phi }{\mu }\right),$ выразим критерия Стантона для вращательного течения по закону твердого тела для случая Pr  < 1:

${\delta }_{t\phi }^{**}=\sqrt[\frac{m+3}{m+1}]{\frac{\frac{\lambda }{J\cdot \epsilon \cdot \rho \cdot C_p\cdot {\omega }^{\frac{2}{m+1}}}\times {\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\cdot \left(m+3\right)}{2\cdot \left(m+1\right)}\cdot R^{\left(\frac{m-1}{m+1}\right)}}$            31)

Рассмотри течение газового потока в магистралях подвода ТНА, которое осуществляется по закону свободного вихря (U · R = C = const) [15], тогда уравнение энергии (25) запишется как

$\begin{array}{l}\frac{d{\delta }_{t\phi }^{**}}{dR}+\frac{{\delta }_{t\phi }^{**}}{R}-\frac{\lambda }{J\cdot \epsilon \cdot \rho \cdot C_p\cdot C^{\frac{2}{m+1}}}\times \\ \times {\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}\cdot \frac{R^{\frac{2}{m+1}}}{{\left({\delta }_{t\phi }^{**}\right)}^{\frac{2}{m+1}}}=0.\end{array}$                                              (32)

Проведем замену: ${\delta }_{t\phi }^{**}=y\mathit{,}$

$B=\frac{\lambda }{J\cdot \epsilon \cdot \rho \cdot C_p\cdot C^{\frac{2}{m+1}}}{\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{л}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}.$                                         (33)

Решение уравнения (27) ведем аналогично случаю вращательного течения по закону твердого тела при Pr < 1 методом подстановки y = u · v, причем

 $v=\frac{1}{R}, U=\frac{B^{\frac{m+1}{m+3}}\cdot R^2}{2^{\frac{m+1}{m+3}}}$.

Тогда толщина потери энергии определится в виде

${\delta }_{t\phi }^{**}={\left(\frac{B}{2}\right)}^{\frac{m+1}{m+3}}\cdot R$.                                                                               (34)

С учетом полученного ранее выражения В запишем:

${\delta }_{t\phi }^{**}={\left[\frac{\lambda }{J\cdot \epsilon \cdot \rho \cdot C_p\cdot C^{\frac{2}{m+1}}}{\left(\frac{\frac{\left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{(m+1)(m+2)}}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}\cdot {\nu }^{\frac{m-1}{2}}\cdot r}\right)}^{\frac{2}{m+1}}/2\right]}^{\frac{m+1}{m+3}}\cdot R.$                    (35)

Тогда критерий Стантона для вращательного течения по закону свободного вихря для случая Pr < 1 определится, как

$\text{St}=\frac{1}{{\mathrm{Pr}}^{\frac{m+1}{m+3}}}{\left(\frac{2J\epsilon \left(2r-m+\frac{m}{r^{\frac{1}{m}}}+mr-2\right)}{{\alpha }_{\text{л}}^{m-1}r(m+1)(m+2){\mathrm{Re}}_{\omega }}\right)}^{\frac{2}{m+3}}.$                                       (36)

Таким образом, выражены все переменные для определения локальных коэффициентов теплоотдачи в виде критерия Стантона при различных законах течения по аффинноподобной модели температурного пограничного слоя [16].

На рис. 2 представлены значения безразмерного коэффициента теплоотдачи в виде критерия Нуссельта для турбулентного вращательного течения по закону «твердого тела» [17; 18].

 

Рис. 2. Коэффициента теплоотдачи при Pr = 0,7

Fig. 2. Heat transfer coefficient at Pr = 0.7

 

Заключение

Для сопоставления полученных в исследовании результатов с работами других авторов, используем данные эксперимента для случая турбулентного вращательного движения воздуха по закону «твердого тела» с диапазоном изменения критерия Рейнольдса Re = 5 · 10⁵ - 1,4 · 10⁶, критерия Прандтля Pr = 1,7 [17]. При сравнении со значениями модели с конвективной составляющей аффинноподобная модель показывает схождение результатов на уровне 1,5 %. 

Теоретические зависимости, полученные по моделям распределения температурного и динамического пограничных слоев с конвективной составляющей и аффинноподобными профилями при Pr = 0,7, дают достаточно близкие результаты в связи с близким подобием распределения температурного и динамического слоев и близки к случаю Pr = 1.

Полученные результаты исследования и их соотношение с результатами других авторов показали, что они пригодны для инженерных расчетов и анализа воздействия локальных коэффициентов теплоотдачи на высокотемпературные узлы ТНА. Необходимо отметить, что на безразмерный коэффициент теплоотдачи в виде критерия Нуссельта существенно влияют граничные условия течения и теплообмена, такие как скорость, вязкость, плотность и градиент температур рабочего тела и поверхности теплообмена.

作者简介

Aleksandr Zuev

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

编辑信件的主要联系方式.
Email: dla2011@inbox.ru

Dr. Sc., associate professor; Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

俄罗斯联邦, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

Anna Arngol'd

JSC “Krasnoyarsk Machine-Building Plant”

Email: arngoldanna@mail.ru

Head of the bureau of special connectors, devices and equipment consoles

俄罗斯联邦, 29, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

Ekaterina Falkova

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Email: dankaty@mail.ru

Senior Reverend of the Department of Technical Mechanics

俄罗斯联邦, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

Mikhail Tolstopyatov

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Email: 89130399999@mail.ru

Cand. Sc., Associate Professor

俄罗斯联邦, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

Pavel Dubynin

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Email: pavel.dubynin@mail.ru

post-graduate student of the Department Aircraft Engines

俄罗斯联邦, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

参考

补充文件