Метод фиктивных дискретных моделей в расчетах тел с неоднородной регулярной структурой

В расчетах на прочность упругих композитных конструкций (пластины, балки, оболочки), которые широко применяются в авиационной и ракетно-космической технике, с помощью метода конечных элементов (МКЭ) важно знать погрешность решения. Для анализа погрешности решения необходимо использовать последовательность приближенных решений, построенных по МКЭ с применением процедуры измельчения для базовых дискретных моделей (БМ), которые учитывают в рамках микроподхода неоднородную, микронеоднородную структуру конструкций (тел). Дискретные модели, полученные путем измельчения БМ, имеют высокую размерность, что затрудняет для них применение МКЭ. Кроме того, существуют БМ композитных тел (КТ), например, БМ тел с микронеоднородной структурой, которые имеют такую высокую размерность, что реализация МКЭ для таких БМ, в силу ограниченности ресурсов ЭВМ, практически невозможна. Для решения данных проблем здесь предлагается в расчетах КТ по МКЭ использовать фиктивные дискретные модели.

В данной работе предлагается метод фиктивных дискретных моделей (МФДМ) для расчета на прочность упругих тел с неоднородной, микронеоднородной регулярной структурой. МФДМ реализуется с помощью МКЭ с применением скорректированных условий прочности, которые учитывают погрешность приближенных решений. В основе метода лежит следующее положение. Считаем, что БМ КТ порождают решения, которые мало отличаются от точных. В силу сходимости МКЭ такие БМ для КТ всегда существуют. Расчет КТ по МФДМ сводится к построению и расчету на прочность фиктивных дискретных моделей (ФМ), размерности которых меньше размерности БМ. ФМ отражают: форму, характерные размеры, крепление, нагружение и вид неоднородной структуры КТ и распределение модулей упругости, отвечающее БМ КТ. Последовательность, состоящая из ФМ, сходится к БМ, т. е. предельная ФМ совпадает с БМ. Сходимость такой последовательности обеспечивает равномерную сходимость напряжений ФМ к соответствующим напряжениям БМ. Реализация МКЭ для ФМ с применением многосеточных конечных элементов приводит к большой экономии ресурсов ЭВМ, что позволяет использовать МФДМ для расчетов на прочность тел с микронеоднородной регулярной структурой. Расчет на прочность КТ по МФДМ требует в 10³ ÷ 10⁶ раз меньше объема памяти ЭВМ, чем аналогичный расчет с использованием БМ КТ, и не содержит процедуру измельчения БМ. Приведенный пример расчета на прочность балки с неоднородной регулярной волокнистой структурой по МФДМ показывает его высокую эффективность. Применение скорректированных условий прочности позволяет использовать в расчетах КТ на прочность приближенные решения с большой погрешностью, что приводит к повышению эффективности МФДМ.