Решение интегрального уравнения для средней стоимости восстановлений в теории надежности технических систем

Полный текст

Введение

В математической теории надежности при изучении процессов восстановления в первую очередь рассматриваются числовые характеристики, связанные со случайным числом отказов и случайной стоимостью восстановлений, например, среднее и дисперсия числа отказов и стоимости восстановлений, через которые определяются различные критерии оптимальности проведения стратегий восстановления.

В работе рассматриваются модели процесса восстановления $\left(X_i,c_i\right)$, $i=\mathrm{0,1,}\dots$ с учетом стоимости восстановлений. Здесь Х_i – случайные наработки с функциями распределения $F_i\left(t\right)$ элементов от $i-1$-го до $i$-го отказа; $c_i$ – стоимости $i$-х восстановлений; $c_0$ – стоимость элемента, установленного в начальный момент времени $t=0$, $F_0\left(t\right)=0$ при $t<\mathrm{0,}{F}_0\left(t\right)=1$ при $t\ge 0$ [1–4].

Пусть $N\left(t\right)$ – количество отказов (восстановлений); $C\left(t\right)$ – стоимость восстановлений за время от 0 до $t$:

$C\left(t\right)=\sum _{i=0}^{N\left(t\right)}{c}_i,$

$P\left(N\left(t\right)=n\right)=F^{\left(n\right)}\left(t\right)-F^{\left(n+1\right)}\left(t\right),$

$F^{\left(n\right)}\left(t\right)$ –$n$-кратная свертка функций распределения $F_i\left(t\right), i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots ,n,$

$F^{\left(n\right)}\left(t\right)=\left(F^{\left(n-1\right)}\text{*}{F}_n\right)\left(t\right)={\int }_0^t{F}^{\left(n-1\right)}\left(t-x\right)d{F}_n\left(x\right), F^{\left(1\right)}\left(t\right)=F_1\left(t\right).$

Для них [1; 2]: $H\left(t\right)-$ функция восстановления (среднее число отказов)

$H\left(t\right)=E\left(N\left(t\right)\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)$

$S\left(t\right)=E\left(C\left(t\right)\right)-$ функция затрат (среднее значение стоимости восстановлений)

$S\left(t\right))=E\left(C\left(t\right)\right)=c_0+\sum _{n=1}^{\infty }{c}_{n}F{ }^{\left(n\right)}\left(t\right).$

При эксплуатации качества $\left(F_i\left(t\right)\right)$ восстановленных элементов и стоимости $\left(c_i\right)$ восстановлений могут отличаться. Это приводит к различным моделям процесса восстановления [1; 3; 5–9].

В работе рассматривается процесс восстановления с учетом стоимости на восстановления  порядка $\left(k_1,k_2\right),$ у которого функции распределения и стоимости восстановлений удовлетворяют условию: $F_i\left(t\right)=F_j\left(t\right) \text{ и }{c}_i=c_j,$ если индексы $i,j\ge k_1$ при делении на $k_2$ дают одинаковые остатки [1; 3; 8; 9].

В рассматриваемом процессе после первых $k_1-1$ восстановлений начинается периодический процесс порядка $k_2$.

Отметим, что в случае $k_1=1$ имеем периодический процесс восстановления порядка $k_2$, а если $k_2=1$, процесс восстановления порядка $k_1$.

Если $F_i\left(t\right)$ совпадают $\left(F_i\left(t\right)=F_1\left(t\right), i\ge 1\right),$ или совпадают, начиная с номера $i=2$ $\left(F_i\left(t\right)=F_2\left(t\right), i\ge 2\right)$, имеем хорошо изученные в теории надежности простой (обычный) и общий (запаздывающий) процессы восстановления.

Отметим, что для рассматриваемой модели функция восстановления $H\left(t\right)$ хорошо изучена. Разработаны численные методы ее нахождения, и для многих законов распределения, характерных для теории надежности, имеются ее явные представления [1; 6].

Для нахождения функции затрат $S\left(t\right)$ имеются интегральные уравнения [1; 2; 10].

Целью работы является получение решения интегрального уравнения для функции затрат $S\left(t\right)$ в виде интегрального представления через функцию восстановления $H\left(t\right).$ Такое представление будет удобным для ее изучения и вычисления в различных теоретических и прикладных задачах теории надежности.

Представление функции затрат через функцию восстановления

Запишем интегральное уравнение для функции затрат  [1; 2]

$S\left(t\right)=G\left(t\right)+{\int }_0^{t}S\left(t-x\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right)$  (1)

при $k_1>\mathrm{1,}$ 

$G\left(t\right)=c_0\left(1-{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)\right)+\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)-\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n{\int }_0^t{F}^{\left(n\right)}\left(t-x\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right),$

при $k_1=1$,

$G\left(t\right)=c_0\left(1-{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)\right)+\sum _{n=1}^{k_2}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right),$

где ${\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)=\left({\text{Φ}}_1{\text{*Φ}}_2\text{*}\mathrm{...}{\text{*Φ}}_{k_2}\right)\left(t\right)$ – свертка всех функций распределения ${\text{Φ}}_i\left(t\right)=F_{k_1-1+i}\left(t\right),$ $i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots ,k_2.$ Функции ${\text{Φ}}_i\left(t\right)$ задают периодическую часть процесса восстановления.

Пусть $HF\left(t\right)$ – функция восстановления простого процесса, $HFG\left(t\right)$ – функция восстановления общего процесса, образованного первой функцией распределения $F\left(t\right)$ и следующими $G\left(t\right).$

Далее [1; 6]

$HFG\left(t\right)=F\left(t\right)+{\int }_0^{t}HFG\left(t-x\right)dG\left(x\right)$  (2)

В уравнении (1) сделаем замену

$S\left(t\right)=V\left(t\right)+c_0+\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)$  (3)

Получаем

$V\left(t\right)+c_0+\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)=c_0\left(1-{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)\right)+\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)+\sum _{n=k1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)-$

$-\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n{\int }_0^t{F}^{\left(n\right)}\left(t-x\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right)+{\int }_0^t\left(V\left(t-x\right)+c_0+\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t-x\right)\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right).$

$V\left(t\right)=\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)+{\int }_0^{t}V\left(t-x\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right).$   (4)

Сделаем замену

$V\left(t\right)=\left(\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\right)V_1\left(t\right)$   (5)

Уравнение (4) перепишется в виде

$V_1\left(t\right)=Q\left(t\right)+{\int }_0^t{V}_1\left(t-x\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right),$   (6)

$Q\left(t\right)=\frac{\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)}{\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n}$  (7)

Заметим, что ${\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)$и $Q\left(t\right)$ являются функциями распределения, ${\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)$ как свертка функций распределения наработок, а $Q\left(t\right)$ – смесь функций распределения.

Сравнивая уравнения (6) и (2), получаем, что уравнение (6) определяет функцию восстановления $HQ{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)$ общего процесса, задаваемого первой функцией распределения $Q\left(t\right),$ второй и последующими ${\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right).$

Таким образом,

$V_1\left(t\right)=HQ{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right),$  (8)

и с учетом (3), (5), (7), (8)

$S\left(t\right)=c_0+\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)+\left(\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\right)HQ{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)).$  (9)

Учитывая (2),

$HQ{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)=Q\left(t\right)+{\int }_0^{t}H{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t-x\right)dQ\left(x\right)$  (10)

формула (9) запишется в виде

$S\left(t\right)=c_0+\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)+\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\left(Q\left(t\right)+{\int }_0^{t}H{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t-x\right)dQ\left(x\right)\right),$

или с учетом (10)

$S\left(t\right)=c_0+\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)+\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{\int }_0^{t}H{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t-x\right)d{F}^{\left(n\right)}\left(x\right)).$

Получили, что вычисление функции затрат сводится к вычислению конечного числа сверток функций распределения и нахождению функции восстановления $H{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)$ простого процесса восстановления, образованного функцией распределения ${\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)$, или функции восстановления $HQ{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right).$

При практической реализации полученных формул (9), (10), (11) можно использовать численные и аналитические методы вычисления сверток и функций восстановления, рассмотренные в [1; 11]. Также отметим, что полученные формулы дают возможность изучать свойства функции затрат и рассматривать различные оптимизационные задачи по стратегиям проведения процесса восстановления в терминах «цена», «качество», «риск». Если, например, за качество принимать среднее число отказов, за цену – среднюю стоимость восстановлений, за риск – дисперсии числа отказов или стоимости восстановлений [1; 12–15].

Данная работа является продолжением работы [11]. Можно отметить, что теоремы об асимптотическом поведении функции затрат, полученные в [11], значительно проще получаются с использованием полученной формулы представления функции затрат (9).

Функция затрат при простом процессе восстановления с экспоненциальным распределением

Рассмотрим процесс восстановления, у которого изменяются только стоимости восстановлений $c_i$ по закону $c_i=c_j,$ если индексы $i,j\ge k_1$ при делении на $k_2$ дают одинаковые остатки. Это соответствует распространенному случаю, когда при отказах происходят полные восстановления, но стоимости восстановлений изменяются, например, изменяется только цена элемента.

Пусть наработки элементов распределены по экспоненциальному закону $F\left(t\right)=1-e^{-\alpha t }\text{,}$ $t\ge 0.$ Для этого случая получим расчетные формулы для вычисления функции затрат.

Учитывая, что n-кратная свертка функций распределения независимых случайных величин является функцией распределения их суммы и распределение Эрланга порядка n является распределением суммы n случайных величин, распределенных по экспоненциальному закону, заключаем, что для рассматриваемого случая

$F^{\left(n\right)}\left(t\right)=F_{e,n}\left(t\right)=1-e^{-\alpha t}\sum _{i=0}^{n-1}\frac{{\left(\alpha t\right)}^i}{i!}, d{F}^{\left(n\right)}\left(x\right)=d{F}_{e,n}\left(x\right)=e^{-\alpha x}\alpha \frac{{\left(\alpha x\right)}^{n-1}}{\left(n-1\right)!}dx,$

${\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)=F_{e,k_2}\left(t\right), H{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)=H{F}_{e,k_2}\left(t\right),$

$F_{e,n}\left(t\right)-$ распределение Эрланга порядка n и [1; 6]

$H{F}_{e,k_2}\left(t\right)=\frac{1}{k_2}(\alpha t+\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{c^k}{1-c^k}\left(1-e^{-\alpha t\left(1-c^k\right)}\right), c=e^{\frac{2\pi }{k_2}i}=\text{cos}\left(\frac{2\pi }{k_2}\right)+i\text{sin}\left(\frac{2\pi }{k_2}\right),$  (12)

$H{F}_{e,k_2}\left(t\right)=\frac{1}{k_2}\left(\alpha t-\frac{k_2-1}{2}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{e^{-\alpha t\left(1-\cos \left(\frac{2\pi }{k_2}k\right)\right)}\sin \left(\alpha t\text{sin}\left(\frac{2\pi }{k_2}k\right)+\frac{\pi }{k_2}k\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{k_2}k\right)}\right).$

Теперь, в соответствии с (11)

$S\left(t\right)=c_0+\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{F}_{e,n}\left(t\right)+\sum _{n=k1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\frac{{\alpha }^n}{\left(n-1\right)!}{\int }_0^{t}H{F}_{e,k_2}\left(t-x\right)e^{-\alpha x}{x}^{n-1}dx$.  (13)

Учитывая (12), интегралы, входящие в формулу (13) при вычислении $S\left(t\right),$ вычисляются в явном виде. Так [16]

$\int \text{ (}{e}^{\beta x}{x}^{n}dx=\frac{e^{\beta t}}{\beta }(t^n+\sum _{j=1}^n\left(-1{)}^j\frac{n\left(n-1\right)\mathrm{...}\left(n-j+1\right)}{{\beta }^j}{t}^{n-j}\right)+C.$

Подставляя

$I\left(\beta ,n\right)\left(t\right)={\int }_0^t{e}^{\beta x}{x}^{n}dx=\frac{e^{\beta t}}{\beta }(t^n+\sum _{j=1}^n\left(-1{)}^j\frac{n\left(n-1\right)\mathrm{...}\left(n-j+1\right)}{{\beta }^j}{t}^{n-j}\right)+{(-1)}^{n+1}\frac{n!}{{\beta }^{n+1}}$

в (13), получаем

$S\left(t\right)=c_0+\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{F}_{e,n}\left(t\right)+$

$+\frac{1}{k_2}\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}\text{ (}{c}_n\frac{{\alpha }^n}{\left(n-1\right)!}(\alpha tI\left(-\alpha ,n-1\right)\left(t\right)-\alpha I\left(-\alpha ,n\right)\left(t\right)+$

$+\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{c^k}{1-c^k}\left(I\left(-\alpha ,n-1\right)\left(t\right)-e^{-\alpha \left(1-c^k\right)t}I\left(-\alpha c^k,n-1\right)\left(t\right)\right))$   (14)

Выделяем действительную часть в (14):

$1-c^k=-2i{e}^{\frac{\pi k}{k_2}i}\text{sin}\left(\frac{\pi k}{k_2}\right),\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{c^k}{1-c^k}=\frac{i}{2}\sum _{k=1}^{k_2-1}ctg\left(\frac{\pi }{k_2}k\right)-\frac{k_2-1}{2},$

$Re\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{c^k}{1-c^k}=Re\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{e^{\frac{2\pi ki}{k_2}}{e}^{-\frac{\pi ki}{k_2}}}{-2i\text{sin}\frac{\pi k}{k_2}}=\frac{1-k_2}{2},$

$\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{c^k}{1-c^k}{e}^{-\alpha \left(1-c^k\right)t}I\left(-\alpha c^k,n-1\right)\left(t\right))=$

$=\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{c^k}{1-c^k}{e}^{-\alpha \left(1-c^k\right)t}\left(\frac{e^{-\alpha c^{k}t}}{-\alpha c^k}\right(t^{n-1}+$

$+\sum _{j=1}^{n-1}\left(-1{)}^j\frac{\left(n-1\right)\mathrm{...}\left(n-j\right)}{{(-\alpha )}^j{c}^{kj}}{t}^{n-1-j}\right)+\left(-1{)}^n\frac{\left(n-1\right)!}{{(-\alpha )}^n{c}^{kn}}\right)=$

$=-\frac{1}{\alpha }\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{e^{-\alpha t}}{1-c^k}\left(t^{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}\frac{\left(n-1\right)\dots \left(n-j\right)}{{\alpha }^j}{e}^{-\frac{2\pi i}{k_2}kj}{t}^{n-1-j}\right)+$

$\frac{\left(n-1\right)!}{{\alpha }^n}\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{c^{-k\left(n-1\right)}{e}^{-\alpha \left(1-c^k\right)t}}{1-c^k}=$

$=-\frac{i}{2\alpha }\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{e^{-\alpha t}{e}^{-\frac{\pi k}{k_2}i}}{sin\frac{\pi k}{k_2}}\left(t^{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}\frac{\left(n-1\right)\mathrm{...}\left(n-j\right)}{{\alpha }^j}{e}^{-\frac{2\pi i}{k_2}kj}{t}^{n-1-j}\right)+$

$+\frac{\left(n-1\right)!i}{2{\alpha }^n}\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{e^{-\frac{\pi k}{k_2}i}}{sin\frac{\pi k}{k_2}}{e}^{-\frac{2\pi k\left(n-1\right)}{k_2}i}{e}^{-\alpha t}{e}^{\alpha tcos\frac{2\pi k}{k_2}}{e}^{\alpha tsin\frac{2\pi k}{k_2}i}=$

$=-\frac{i}{2\alpha }\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{e^{-\alpha t}{e}^{-\frac{\pi k}{k_2}i}}{sin\frac{\pi k}{k_2}}\left(t^{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}\frac{\left(n-1\right)\mathrm{...}\left(n-j\right)}{{\alpha }^j}{e}^{-\frac{2\pi i}{k_2}kj}{t}^{n-1-j}\right)+$

$+\frac{\left(n-1\right)!i}{2{\alpha }^n}\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{e^{-\alpha t\left(1-\text{cos}\frac{2\pi k}{k_2}\right)}{e}^{\left(\alpha t\text{sin}\frac{2\pi k}{k_2}-\frac{\pi k\left(2n-1\right)}{k_2}\right)i}}{\text{sin}\frac{\pi k}{k_2}}.$

Отсюда

$Re\left(\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{c^k}{1-c^k}{e}^{-\alpha \left(1-c^k\right)t}I\left(-\alpha c^k,n-1\right)\left(t\right)\right)=$

$=-\frac{1}{2\alpha }\sum _{k=1}^{k_2-1}{e}^{-\alpha t}{t}^{n-1}-\frac{e^{-\alpha t}}{2\alpha }\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{1}{\text{sin}\left(\frac{\pi k}{k_2}\right)}\sum _{j=1}^{n-1}\frac{\left(n-1\right)\mathrm{...}\left(n-j\right)}{{\alpha }^j}\text{sin}\left(\frac{\pi k\left(2j+1\right)}{k_2}\right)t^{n-1-j}-$

$-\frac{\left(n-1\right)!}{2{\alpha }^n}\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{e^{-\alpha t\left(1-\cos \left(\frac{2\pi k}{k_2}\right)\right)}\sin \left(\alpha t\text{sin}\left(\frac{2\pi k}{k_2}\right)-\frac{\pi k\left(2n-1\right)}{k_2}\right)}{\sin \left(\frac{\pi k}{k_2}\right)}.$

Запишем формулу функции затрат

$S\left(t\right)=c_0+\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{F}_{e,n}\left(t\right)+$

$+\frac{1}{k_2}\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\frac{{\alpha }^n}{\left(n-1\right)!}(\left(\alpha t+\frac{1-k_2}{2}\right)I\left(-\alpha ,n-1\right)\left(t\right)-\alpha I\left(-\alpha ,n\right)\left(t\right)+$

$+\frac{1}{2\alpha }\sum _{k=1}^{k_2-1}{e}^{-\alpha t}{t}^{n-1}+\frac{e^{-\alpha t}}{2\alpha }\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi k}{k_2}\right)}\sum _{j=1}^{n-1}\frac{\left(n-1\right)\dots \left(n-j\right)}{{\alpha }^j}\text{ssin}\left(\frac{\pi k\left(2j+1\right)}{k_2}\right)t^{n-1-j}+$

$+\frac{\left(n-1\right)!}{2{\alpha }^n}\sum _{k=1}^{k_2-1}\frac{e^{-\alpha t\left(1-cos\left(\frac{2\pi k}{k_2}\right)\right)}\text{sin}\left(\alpha t\text{sin}\left(\frac{2\pi k}{k_2}\right)+\frac{\pi k\left(2n-1\right)}{k_2}\right)}{\text{sin}\left(\frac{\pi k}{k_2}\right)}).$

Рассмотрим еще функцию затрат при процессе восстановления порядка $\left(k_1,k_2\right)$, когда все наработки периодической части процесса распределены по закону Эрланга порядка $m$ с параметром $\alpha .$

Пусть ${\text{Φ}}_j\left(t\right)=F_{e,m,\alpha }\left(t\right).$ Найдем $H{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right).$ Запишем интегральные уравнения для $H{F}_{e,m,\alpha }\left(t\right),$ $H{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)$

$H{F}_{e,m,\alpha }\left(t\right)=F_{e,m,\alpha }\left(t\right)+{\int }_0^{t}H{F}_{e,m,\alpha }\left(t-x\right)d{F}_{e,m,\alpha }\left(x\right)$   (15)

 $H{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)={\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)+{\int }_0^{t}H{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t-x\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right).$   (16)

Пусть

$F^{\text{*}}\left(s\right)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}dF\left(x\right)$

Преобразование Лапласа – Стилтьеса функции $F\left(x\right)$ [1; 6]. Учитывая $F_{e,m,\alpha }^{\text{*}}\left(s\right)={\left(\frac{\alpha }{s+\alpha }\right)}^m,$ ${\left(F_i\text{*}{F}_j\right)}^{\text{*}}\left(s\right)=F_i^{\text{*}}\left(s\right)F_j^{\text{*}}\left(s\right),$ из (15), (16) получаем

$H^{\text{*}}{F}_{e,m,\alpha }\left(s\right)={\left(\frac{\alpha }{s+\alpha }\right)}^m+H^{\text{*}}{F}_{e,m,\alpha }\left(s\right){\left(\frac{\alpha }{s+\alpha }\right)}^m,$  (17)

$H^{\text{*}}{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(s\right)={\left(\frac{\alpha }{s+\alpha }\right)}^{m{k}_2}+H^{\text{*}}{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(s\right){\left(\frac{\alpha }{s+\alpha }\right)}^{m{k}_2}.$  (18)

Сравнивая (17), (18), заключаем, что

$H{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)=H{F}_{e,m{k}_2,\alpha }\left(t\right).$

Получили, что функция восстановления простого процесса восстановления, образованного  кратной сверткой распределений Эрланга порядка $m$ с параметром $\alpha$, является функцией восстановления простого процесса восстановления, образованного распределением Эрланга порядка $m{k}_2$ с тем же параметром $\alpha$.

Имеем

$H{F}_{e,m{k}_2,\alpha }\left(t\right)=\frac{1}{m{k}_2}(\alpha t+\sum _{k=1}^{m{k}_2-1}\frac{c^k}{1-c^k}\left(1-e^{-\alpha t\left(1-c^k\right)}\right),$

$c=e^{\frac{2\pi }{m{k}_2}i}=\text{cos}\left(\frac{2\pi }{m{k}_2}\right)+i\text{sin}\left(\frac{2\pi }{m{k}_2}\right),$

$H{F}_{e,m{k}_2,\alpha }\left(t\right)=\frac{1}{m{k}_2}\left(\alpha t-\frac{m{k}_2-1}{2}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{m{k}_2-1}\frac{e^{-\alpha t\left(1-cos\left(\frac{2\pi }{m{k}_2}k\right)\right)}\text{sin}\left(\alpha t\text{sin}\left(\frac{2\pi }{m{k}_2}k\right)+\frac{\pi }{m{k}_2}k\right)}{\text{sin}\left(\frac{\pi }{m{k}_2}k\right)}\right).$

Теперь в соответствии с (11)

$S\left(t\right)=c_0+\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)+\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{\int }_0^t{F}^{\left(k_1-1\right)}\left(t-x\right)d{F}_{e,mn,\alpha }\left(x\right)+$

$+\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{\int }_0^{t}H{F}_{e,m{k}_2,\alpha }\left(t-x\right)e^{-\alpha x}\alpha \frac{{\left(\alpha x\right)}^{mn-1}}{\left(mn-1\right)!}dx$  (19)

Интеграл

${\int }_0^{t}H{F}_{e,m{k}_2,\alpha }\left(t-x\right)e^{-\alpha x}\alpha \frac{{\left(\alpha x\right)}^{mn-1}}{\left(mn-1\right)!}dx$

в (19) вычисляется аналогично предыдущему примеру с заменой $k_2$ на $m{k}_2$ и $n$ на $mn.$

Еще отметим, если дополнительно $F_i\left(t\right)$ = $F_{e,l,\text{β}}\left(t\right)$, i = 1, 2, …,$k_1-1$, то $F^{\left(n\right)}\left(t\right)$ = $F_{e,\text{n}l,\text{β}}\left(t\right)$,  n = 1, 2, …, $k_1- \mathrm{1,}$и в соответствии с (19)

$S\left(t\right)=c_0+\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n{F}_{e,\text{n}l,\text{β}}\left(t\right)+\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{\int }_0^t{F}_{e,\left(k_1-1\right)l,\text{β}}\left(t-x\right)d{F}_{e,mn,\alpha }\left(x\right)+$

$+\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{\int }_0^{t}H{F}_{e,m{k}_2,\alpha }\left(t-x\right)e^{-\alpha x}\alpha \frac{{\left(\alpha x\right)}^{mn-1}}{\left(mn-1\right)!}dx.$

Заключение

Важнейшие показатели работы технических и многих других систем являются случайными величинами [17]. Это, например, время работы восстановленных элементов до отказа, число отказов и стоимость восстановления в процессе восстановления. В математической теории надежности при изучении процессов восстановления в первую очередь рассматриваются числовые характеристики этих величин, например, среднее и дисперсия числа отказов и стоимости восстановлений, через которые определяются различные критерии оптимальности стратегий восстановления.

Учитывая, что функция восстановления для рассматриваемой модели хорошо изучена, в работе получено решение интегрального уравнения для функции затрат через функцию восстановления простого процесса, задаваемого сверткой всех функций распределения периодической части. В качестве практического примера получены явные формулы функции затрат при процессе восстановления, у которого периодическая часть распределена по экспоненциальному закону или закону Эрланга порядка  с одним и тем же показателем

Отметим, что полученные формулы дают возможность изучать свойства функции затрат и рассматривать различные оптимизационные задачи в стратегиях проведения процесса восстановления в терминах «цена», «качество», «риск». Если, например, за качество принимать среднее число отказов, за цену – среднюю стоимость восстановлений, за риск – дисперсии числа отказов или стоимости восстановлений.

Еще отметим, что наряду с полученными формулами для вычисления функции затрат будут важны и предельные теоремы для стоимости восстановлений (как случайной величины), аналогичные для числа отказов [3], а также нахождение дисперсии стоимости восстановлений в рассматриваемых моделях.

Об авторах

Виталий Исаакович Вайнштейн

Сибирский федеральный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: vvaynshtyayn@sfu-kras.ru

кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой информационной безопасности

Россия, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79

Исаак Иосифович Вайнштейн

Сибирский федеральный университет

Email: isvain@mail.ru

кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры ПМиКБ

Россия, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79

Константин Владимирович Сафонов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: safonovkv@rambler.ru

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский Рабочий», 31

Список литературы

Дополнительные файлы