Определение коэффициентов энергетической связи балок, соединенных под углом

Полный текст

Введение

В современной практике для анализа сложных конструкций наравне с широко известным методом конечных элементов (МКЭ) также используются и чуть менее распространенный статистический энергетический метод (СЭМ) или как чаще его можно встретить в зарубежной литературе SEA – Statistical Energy Analysis. Статистический – поскольку предполагается, что исследуемые системы принадлежат статистическим совокупностям с известным распределением динамических параметров [1–4].

Анализ системы с помощью СЭМ, как и с помощью МКЭ, предполагает разбиение системы на более простые подсистемы. Однако СЭМ допускает значительно более крупное разбиение, что экономит временные и вычислительные ресурсы, т. е. достаточно получить такую составную единицу системы, чтобы в ней распространялись колебательные волны одного типа. В то время, как для анализа сложной системы с помощью МКЭ (особенно на высоких частотах), требуется сильно уменьшать размер конечного элемента, и тем самым увеличивать размерность всей системы с целью получения достоверного результата [5].

В основу СЭМ положен закон сохранения энергии, согласно которому полная энергия замкнутой системы сохраняется [6]. Для решения составляется баланс энергий, вводимых в систему и поглощенных ею, а также переходящих из одной подсистемы в другую [7].

Процесс перетекания энергии между подсистемами математически описывается так называемыми коэффициентами энергетической связи подсистем. Они могут быть найдены аналитически, экспериментально или численно. Аналитические зависимости далеко не всегда применимы в силу сложности моделируемых реальных конструкций, экспериментальные – зачастую слишком трудоемки. Наиболее перспективными для этих целей являются численные методы.

Постановка задачи

В СЭМ система разделяется на несколько связанных подсистем, объединяющих моды одного типа (изгибные, крутильные или продольные). Метод является статистическим в том смысле, что рассматриваемые подсистемы условно должны объединять группы идентичных объектов, которые должны обладать аналогичными динамическими свойствами [1]. Метод основан на вычислении энергии, передающейся от одной подсистемы к другой. Энергия каждой подсистемы может рассеиваться посредством демпфирования, которое выражается величиной коэффициента потерь, или переходить в смежные подсистемы [8]. Коэффициент энергетической связи показывает, какая часть энергии переходит из одной подсистемы в другую. Таким образом, переменной в анализе выступает энергия. Предполагается, что энергия сконцентрирована только на резонансных модах. При этом полная энергия каждой подсистемы представляет собой сумму энергий каждой моды.

Основу СЭМ составляет система уравнений энергетического баланса (СУЭБ), которая имеет вид

$\left[\begin{array}{ccccc}{\eta }_1+\sum _{i=2}^n{\eta }_{1i}& -{\eta }_{21}& -{\eta }_{31}& \cdots & -{\eta }_{n1}\\ -{\eta }_{12}& {\eta }_2+\sum _{\begin{array}{l}i=1\\ i\ne 2\end{array}}^n{\eta }_{2i}& -{\eta }_{32}& \cdots & -{\eta }_{n2}\\ -{\eta }_{13}& -{\eta }_{23}& {\eta }_3+\sum _{\begin{array}{l}i=1\\ i\ne 3\end{array}}^n{\eta }_{3i}& \cdots & -{\eta }_{n3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -{\eta }_{1n}& -{\eta }_{2n}& -{\eta }_{3n}& \cdots & {\eta }_n+\sum _{\begin{array}{l}i=1\\ i\ne n\end{array}}^n{\eta }_{ni}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{E}_1\\ E_2\\ E_3\\ ⋮\\ E_n\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\raisebox{1ex}{${\text{П}}_1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.\\ \raisebox{1ex}{${\text{П}}_2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.\\ \raisebox{1ex}{${\text{П}}_3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.\\ ⋮\\ \raisebox{1ex}{${\text{П}}_n$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.\end{array}\right\}$.

Здесь η_i – коэффициенты внутренних потерь подсистем; η_ij – коэффициенты энергетической связи подсистем; E_i – колебательные энергии подсистем; П_i – мощности, вводимые в подсистемы; ω – круговая частота; n – количество подсистем.

Правая часть СУЭБ определяет вводимые в подсистемы энергии, в то время как левая часть определяет колебательные энергии системы. Количество уравнений, входящих в СУЭБ, должно быть равно количеству подсистем. В вектор-столбце правой части СУЭБ не равны нулю только компоненты тех подсистем, в которые вводится энергия.

Колебательная энергия, используемая в расчете, – полная механическая энергия, которая представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий каждой подсистемы и является неизвестной в уравнениях. Предполагается, что вводимые мощности предварительно вычислены, а коэффициенты потерь и коэффициенты связи подсистем приняты по аналогии с уже проведенными расчетами идентичных конструкций и известны при составлении СУЭБ.

Как было отмечено выше, аналитические и экспериментальные способы определения коэффициентов энергетической связи не являются универсальными, и предпочтение в данном случае следует отдать численным методам. Использование для этих целей МКЭ является перспективным и удобным подходом [9–13].

Так, в статье [14] рассмотрено Г-образное соединение двух балок, на примере которого с помощью МКЭ были найдены коэффициенты энергетической связи при переходе энергии из первой балки во вторую.

Г-образное соединение частей конструкции действительно часто встречается в строительных сооружениях, однако в других отраслях, таких как разработка космической и авиационной техники, зачастую элементы конструкции соединяются под углом, отличным от прямого. А поскольку ЭМ может применяться и для аэрокосмической отрасли, при разработке подходов к анализу конструкций с помощью ЭМ будет полезным знание о том, как меняются энергетические параметры системы, в частности коэффициенты энергетической связи, в зависимости от того, под каким углом выполнено сопряжение их составных частей.

Так, например, ячейка сетчатой изогридной (или анизогридной) структуры силовой конструкции космического аппарата подразумевает соединение ребер под произвольными углами.

В настоящем исследовании для контроля расчетных параметров возьмем за основу балочную модель из статьи [14], но изменим некоторые условия под задачи анализа.

Рассмотрим систему, представленную двумя шарнирно опертыми балками, жестко соединенными между собой (рис. 1). Для удобства исследования граничные условия выбраны таким образом, чтобы в балках возникали только изгибные колебания. Длина первой балки 1,1 м, длина второй балки 0,9 м. Моделирование производилось двумерными конечными элементами одинаковой длины (1 см). Сечения балок 0,001×0,005 м. Балки соединены между собой вдоль длинной стороны сечения. Материал – сталь. Коэффициент внутренних потерь для обеих балок 0,01.

Проведем расчет коэффициентов энергетической связи для двух вариантов соединения балок (рис. 1). Для каждого варианта расчета гармоническая нагрузка 1 Н прикладывалась поочередно к каждой балке на расстоянии 0,1 м от края, всегда перпендикулярно к балке.

Рис. 1. Варианты соединения двух балок: а – угол равен 90°; б – угол равен 45°

Fig. 1. Variation of two beams coupling: a – 90° angle; b – 45° angle

Составим СУЭБ для этой системы. Для удобства при E введем второй индекс так, что запись E₁₂ будет означать энергию первой подсистемы при введении энергии во вторую [15]. Аналогично – для оставшихся E₁₁, E₂₁, E₂₂. После чего СУЭБ в матричном виде будет выглядеть так:

$\left[\begin{array}{cc}{\eta }_1+{\eta }_{12}& -{\eta }_{21}\\ -{\eta }_{12}& {\eta }_2+{\eta }_{21}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{E}_{11}& E_{12}\\ E_{21}& E_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\text{П}}_1& 0\\ 0& {\text{П}}_2\end{array}\right]$,

а уравнения системы примут вид

$\begin{array}{l}{\eta }_1{E}_{11}+{\eta }_{12}{E}_{11}-{\eta }_{21}{E}_{21}=\raisebox{1ex}{${\text{П}}_1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.,\\ {\eta }_2{E}_{21}+{\eta }_{21}{E}_{21}-{\eta }_{12}{E}_{11}=\mathrm{0,}\\ {\eta }_1{E}_{12}+{\eta }_{12}{E}_{12}-{\eta }_{21}{E}_{22}=\mathrm{0,}\\ {\eta }_2{E}_{22}+{\eta }_{21}{E}_{22}-{\eta }_{12}{E}_{12}=\raisebox{1ex}{${\text{П}}_2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega .$}\right.\end{array}$

Зная коэффициенты внутренних потерь балок, из расчета по МКЭ найдем полные энергии колебаний подсистем. Для этого необходимо провести два расчета, поочередно вводя энергию в каждую балку.

Таким образом, коэффициенты энергетической связи η₁₂ и η₂₁ могут быть вычислены из следующих выражений:

${\eta }_{12}=\frac{E_{21}\left({\eta }_2{E}_{22}+{\eta }_1{E}_{12}\right)}{E_{11}{E}_{22}-E_{12}{E}_{21}}$,

${\eta }_{21}=\frac{E_{12}\left({\eta }_1{E}_{11}+{\eta }_2{E}_{21}\right)}{E_{11}{E}_{22}-E_{12}{E}_{21}}$.

Результаты расчета коэффициентов энергетической связи для двух вариантов соединения балок представлены на рис. 2 и 3.

Рис. 2. Коэффициент энергетической связи в зависимости от частоты: а – η₁₂; б – η₂₁

Fig. 2. Coupling loss factor depending on the frequency: a – η₁₂; b – η₂₁

Рис. 3. Коэффициенты энергетической связи по третьоктавным частотным диапазонам: а – η₁₂; б – η₂₁

Fig. 3. Coupling loss factors in 1/3 octave frequency bands: a – η₁₂; b – η₂₁

Результаты

Из графиков, приведенных на рис. 2 видно, что значения коэффициентов энергетической связи двух балок при переходе энергии из первой во вторую η₁₂ и, наоборот, из второй в первую η₂₁, незначительно возрастают при уменьшении угла между балками. В то же время разница в значениях η₂₁ для случаев соединения балок под углами 90° и 45° более заметна на определенных собственных частотах.

Однако если просуммировать значения коэффициентов энергетической связи в третьоктавных полосах частот, то подобные выводы становится сделать сложнее. Это говорит о том, что к осреднению результатов следует подходить с осторожностью и не ограничиваться анализом осредненных значений.

Заключение

Получены значения коэффициентов энергетической связи двух балок по результатам двух вариантов расчета. В первом варианте балки соединялись под прямым углом, во втором – угол, образуемый двумя балками был равен 45°. Сравнительный анализ проведенных расчетов показал, что уменьшение угла между балками незначительно влияет на значения коэффициентов энергетической связи двух балок. Полученные результаты позволяют предположить, что для более сложных систем, таких как изогридные (или анизогридные) силовые конструкции космических аппаратов, образованные пересечением ребер под определенным углом, коэффициенты энергетической связи также будут меняться незначительно при изменении угла сопряжения ребер. Это позволило бы не проводить дополнительные расчеты и измерения за счет использования в расчетах уже известных коэффициентов энергетической связи. Данное предположение требует дальнейшего подтверждения на примере анализа более сложных систем.

Об авторах

Антон Павлович Кравчуновский

Автор, ответственный за переписку.
Email: anton.kravchunovsky@yandex.ru

начальник группы

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Варианты соединения двух балок: а – угол равен 90°; б – угол равен 45°

Скачать (59KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Коэффициент энергетической связи в зависимости от частоты: а – η12; б – η21

Скачать (289KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Коэффициенты энергетической связи по третьоктавным частотным диапазонам: а – η12; б – η21

Скачать (147KB)

Метаданные