Изгиб композитного бруса

Полный текст

Введение

В настоящее время большое внимание уделяется всестороннему исследованию композитных материалов. Так, в [1] разработана многослойная броня – алюмооксидная керамика (тканый материал), армированная эпоксидной смолой и алюминиевым сплавом. В [2] исследованы колебания композитной балки из функционально-градиентного в двух направлениях материала, армированного углеродными нанотрубками. В работе [3] определена и сопоставлена эффективность различных схем облицовки пластины композитными покрытиями. В [4] исследована устойчивость подкрепленного отсека фюзеляжа самолета, выполненного из композиционного материала, при чистом изгибе и нагружении внутренним давлением. В [5] проведены исследования стойкости формируемого композитного материала при высокоскоростном соударении. В [6] приводится математическая постановка задачи о вынужденных установившихся и собственных колебаниях рассматриваемых смарт-систем, а также результаты численных расчетов, из которых следует, что графеновые композиты могут быть использованы для дополнительного демпфирования колебаний смарт-структур на основе пьезоэлементов. В работе [7] на основе метода конечных элементов разработан вычислительный алгоритм для решения ограниченного класса задач об изгибе композитных пластин, армированных системами однонаправленных высокопрочных волокон. Разработана модель динамического деформирования и разрушения композитных материалов, в которой учитывается нелинейность диаграмм ударного нагружения с упрочнением, зависящего от скорости деформирования [8].

В [9] Ю. Н. Работнов предложил модель композитного материала с упруго-пластическим связующим и упругими волокнами. При этом между волокнами и связующим, при нагружении, действует постоянное касательное напряжение. На основе этой модели в предлагаемой статье рассмотрено напряженное состояние бруса, изготовленного из композиционных материалов. Задача решена с помощью законов сохранения, построенных для системы дифференциальных уравнений, описывающих напряженное состояние бруса. Методику построения законов сохранения можно найти в [10; 11]. Законы сохранения позволяют эффективно решать краевые задачи для ряда уравнений механики деформируемого твердого тела. Примеры решения таких задач можно найти в [12–15].

Постановка задачи

Рассмотрим брус, изготовленный из упруго-пластического материала, армированный n упругими волокнами. Один конец бруса закреплен в точке z=0, на втором конце бруса при z=1 подвешен груз весом Р в начале координат, который совпадает с центром тяжести сечения (рис. 1).

Матрица бруса имеет модуль упругости G и предел текучести при чистом сдвиге k_s. Волокна расположены вдоль оси бруса в произвольном порядке параллельно оси z. Каждое волокно имеет круглое сечение, центр волокна располагается в точке с координатами $(x_i, y_i)$, радиус волокна равен R, модуль упругости G_i. Пределы текучести волокон превосходят предел текучести матрицы. Касательное напряжение между волокном и матрицей равно $\tau <k_s$.

 

Рис. 1. Брус с волокнами с подвешенным грузом

Fig. 1. A fiber beam with a suspended load

 

Заданный процесс описывается уравнением равновесия и уравнениями совместности деформаций [13]:

$\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial y}=-\frac{Px}{I},\frac{{\partial }^2{\tau }_{xz}^{}}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{\tau }_{xz}}{\partial y^2}=-\frac{P}{(1+\nu )I}, \frac{{\partial }^2{\tau }_{yz}^{}}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{\tau }_{yz}}{\partial y^2}=0$. (1)

Из двух последних уравнений (1), с учетом первого получаем

$\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial y}-\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial x}=\frac{P\nu }{I(1+\nu )}y-2K$, (2)

где K – постоянная, являющаяся углом поворота объемного элемента бруса относительно оси z; ${\tau }_{xz}, {\tau }_{yz}, {\sigma }_z$ – компоненты тензора напряжений; S – поперечное сечение бруса; I – момент инерции относительно оси y; $\nu$ – коэффициент Пуассона.

Граничные условия на боковой поверхности бруса, свободной от напряжений и находящейся в пластическом состоянии, имеют вид

${\tau }_{xz}{n}_0^{}+{\tau }_{yz}{m}_0=\mathrm{0,}{\tau }_{xz}^2+{\tau }_{yz}^2=k^2=k_s^2-1/3{\sigma }_z^2$,

где $n_0^{}, m_0$ – компоненты вектора нормали к боковой поверхности, которые можно записать в виде

${\tau }_{xz}=\mp mk,{\tau }_{yz}=\pm nk$. (3)

На границе между волокном и матрицей выполняются условия

${\tau }_{xz}{m}_i^{}-{\tau }_{yz}{n}_i=\tau ,{\tau }_{xz}^2+{\tau }_{yz}^2=k^2$,

где $n_i, m_i^{}$ – компоненты вектора нормали к боковой поверхности i-го волокна, которые запишем в виде

${\tau }_{xz}=m_i\tau \pm n_i\sqrt{k^2-{\tau }^2},{\tau }_{yz}=n_i\tau \mp m_i\sqrt{k^2-{\tau }^2}$. (4)

Далее в формулах (3)–(4) выбирается верхний знак.

Законы сохранения уравнений (1)–(2)

Для удобства дальнейших вычислений введем следующие обозначения:

Тогда задача (1)–(4) запишется так:

$$\begin{gathered} F_1=u_x-v_y+Px/I=\mathrm{0,} \\ {F}_2=u_y-v_x-\frac{P\nu }{(1+\nu )}y+2K=\mathrm{0,} \end{gathered}$$(5)

на боковой поверхности:

$u=-mk, v=nk$,

на границе волокна и матрицы:

$u=m_i\tau +n_i\sqrt{k^2-{\tau }^2},v=n_i\tau -m_i\sqrt{k^2-{\tau }^2}$.

Определение. Законом сохранения для системы уравнений (5) назовем выражение вида

$A_x(x,y,u,v)+B_y(x,y,u,v)={\omega }_1{F}_1+{\omega }_2{F}_2$, (6)

где ${\omega }_1, {\omega }_2$ – некоторые линейные операторы, одновременно не равные тождественно нулю.

Более подробно с техникой вычисления законов сохранения и их использования можно ознакомиться в [3–5].

Пусть

$A={\alpha }^{1}u+{\beta }^{1}v+{\gamma }^1, B={\alpha }^{2}u+{\beta }^{2}v+{\gamma }^2$, (7)

где ${\alpha }^i,{\beta }^i,{\gamma }^i$ – функции только от x, y.

Подставляя (7) в (6) получаем

$$\begin{gathered} {\alpha }_x^1+{\alpha }_y^2=\mathrm{0,} {\beta }_x^1+{\beta }_y^2=\mathrm{0,} {\alpha }_{}^1={\omega }_1^{}, {\beta }_{}^1=-{\omega }_2^{}, {\alpha }_{}^2={\omega }_2^{}, {\beta }_{}^2={\omega }_1^{}, \\ {\gamma }_x^1+{\gamma }_y^2=-{\alpha }^{1}Px/I+{\beta }^1[2K-P\nu y/(I(1+\nu )\left)\right]. \end{gathered}$$

Отсюда следует

$$\begin{gathered} {\alpha }_x^1-{\beta }_y^1=\mathrm{0,} {\beta }_x^1+{\alpha }_y^1=\mathrm{0,} \\ {\gamma }_x^1+{\gamma }_y^2=-{\alpha }^{1}Px/I+{\beta }^1[2K-P\nu y/(I(1+\nu )\left)\right]. \end{gathered}$$ (8)

Рассмотрим для системы уравнений (8) два решения, имеющие особенности в произвольной точке  сечения:

1) ${\alpha }^1=\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}, {\beta }^1=-\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},$

$\begin{array}{l}{\gamma }_{}^1=\mathrm{0,}{\gamma }_{}^2=-\frac{Px}{I}\text{arctg}\frac{y-y_0}{x-x_0}+\frac{P\nu }{I(1+\nu )}(y-y_0+(\frac{y_0}{x-x_0}+x-x_0)\text{arctg}\frac{y-y_0}{x-x_0}+\\ +\frac{1}{2}\ln ({(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2)-K\ln ({(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2),\end{array}$ (9)

2) ${\alpha }_{*}^1=\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}, {\beta }_{*}^1=\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},$

$$\begin{gathered} {\gamma }_{*}^1=\mathrm{0,}{\gamma }_{*}^2=2K\text{arctg}\frac{y-y_0}{x-x_0}-\frac{P\nu }{I(1+\nu )}[y_0\text{arctg}\frac{y-y_0}{x-x_0}+\frac{x-x_0}{2}\ln ({(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2\left)\right]- \\ -\frac{P{x}^2}{2I}\ln ({(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2), \end{gathered}$$ (10)

где $x_0, y_0$ – постоянные.

Вычисление напряженного состояния в точке

Пусть $(x_0, y_0)$ – произвольная точка, принадлежащая связующему, и пусть в этой точке сохраняющийся ток имеет особенность вида (9) или (10). Тогда из (6) следует

$\underset{S}{\iint }(A_x+B_y)dxdy=\underset{{Г}_0}{\oint }Аdy-Bdx-\sum _{i=1}^n\underset{{Г}_i}{\oint }Ady-Bdx-\underset{\epsilon }{\oint }Ady-Bdx=0$, (11)

где $\epsilon$ окружность ${(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2={\epsilon }^2$ (рис. 2).

 

Рис. 2. Вычисление напряженного состояния в точке

Fig. 2. Calculation of the stress state at a point

 

Рассмотрим решение (9), полагая , тогда из (11) с учетом (9), при , получаем

$2\pi {\tau }_{xz}(x_0,y_0)=\underset{{Г}_0}{\oint }(m_{0}k\frac{x-x_0}{{(x-x{}_0)}^2+{(y-y_0)}^2}-n_{0}k\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2})dy-$

$-(m_{0}k\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}+n_{0}k\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y)}^2}+{\gamma }^2)dx+$

$+\sum _{i=1}^n\underset{{Г}_i}{\oint }(\frac{(m_i\tau +n_i\sqrt{k^2-{\tau }^2})(x-x_0)}{{(x-x{}_0)}^2+{(y-y_0)}^2}-\frac{(-n_i\tau +m_i\sqrt{k^2-{\tau }^2})(y-y_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2})dy-$

$\begin{array}{l}-\left(\right(m_i\tau +n_i\sqrt{k^2-{\tau }^2})\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}+\\ +(n_i\tau +m_i^{}\sqrt{k^2-{\tau }^2})\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y)}^2}+{\gamma }^2)dx\end{array}$. (12)

Рассмотрим другое решение уравнений (8) вида (9).

Почти дословно повторяя предыдущие рассуждения с решением (12), получаем

$2\pi {\tau }_{23}(x_0,y_0)=\underset{{Г}_0}{\oint }(m_{0}k\frac{y-y_0}{{(x-x{}_0)}^2+{(y-y_0)}^2}+n_{0}k\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2})dy-$

$-(-m_{0}k\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}+n_{0}k\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y)}^2}+{\gamma }_{*}^2))dx+$

$+\sum _{i=1}^n\underset{{Г}_i}{\oint }(\frac{(m_i\tau +n_i\sqrt{k^2-{\tau }^2})(y-y_0)}{{(x-x{}_0)}^2+{(y-y_0)}^2}+\frac{(-n_i\tau +m_i\sqrt{k^2-{\tau }^2})(x-x_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2})dy-$

$-(-(m_i\tau +n_i\sqrt{k^2-{\tau }^2})\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}+(n_i\tau +m_i^{}\sqrt{k^2-{\tau }^2})\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y)}^2}+{\gamma }_{*}^2)dx.$. (13)

Заключение

Полученные формулы позволяют вычислить напряженное состояние в любой точке связующего материала. Те точки, где , будут находиться в пластическом состоянии, остальные точки среды, а также волокна, будут оставаться упругими. Предложенный метод решения позволяет построить упруго-пластическую границу в изгибаемом композитном брусе и тем самым оценить его несущую способность. Многообразие композитов [14 – 16] и их огромная практическая важность позволяют надеяться, что предложенная авторами методика позволит оценивать прочность конструкций изготовленных из композитов.

Об авторах

Сергей Иванович Сенашов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: sen@sibsau.ru

доктор физико-математических наук, профессор кафедры информационно-управляющих систем

Россия, Красноярск

Ирина Леонидовна Савостьянова

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Автор, ответственный за переписку.
Email: ruppa@inbox.ru

кандидат педагогических наук, доцент кафедры информационно-управляющих систем

Россия, Красноярск

Александр Николаевич Яхно

Университетский центр CUCEI Университета Гвадалахары

Email: alexander.yakhno@cucei.udg.mx

кандидат физико-математических наук, профессор математического факультета

Мексика, Гвадалахара

Список литературы

Дополнительные файлы