ON THE SOLVABILITY OF ONE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR POLYNOMIAL DIFFERENTIAL OPERATOR IN THE CLASS OF FUNCTIONS OF EXPONENTIAL TYPE

全文:

Различным вариантам Коши-Ковалевской посвящено много работ. В классической ситуации данные Коши задаются на нехарактеристической гиперповерхности и речь идет, как правило, о существовании локальных аналитических решений. О глобальных аналитических решениях известно значительно меньше. Например, в монографии [1] рассматривается задача Коши в комплексной области, в частности вопрос о существовании глобальных решений. В некоторых обобщениях задачи Коши дополнительные условия на решения ставятся на нескольких гиперповерхностях [2-4] и их называют начально-краевыми условиями типа Рикье. В данной статье рассматривается обобщенная задача Коши для полиномиального дифференциального оператора с постоянными коэффициентами с начальнокраевыми условиями типа Рикье, заданными на координатных гиперплоскостях. Доказываются существование и единственность глобального решения этой задачи в классе целых функций экспоненциального типа, указывается связь характеристик роста решения с ростом входных данных задачи (теорема 1). Для доказательства использованы как классические методы комплексного анализа (преобразование Бореля степенных рядов, интегральные представления), так и сравнительно новые методы теории амеб алгебраических гиперповерхностей. 1. Введем следующие обозначения z = (z1,..., zn) -точки n-мерного комплексного пространства Cn; a = (a1,...,an) - мультииндексы, || a ||=a1 +... + an , a! = a1 !...an !), za = z1“1 • ...• zna", Dj - оператор дифференцирования поj-й переменной, Da = D1“1 • ...• Dna” . В главе 5, посвященной задаче Коши, монографии Л. Хермандера [5] доказывается следующая теорема (теорема 5.1.1). Теорема. Рассмотрим дифференциальное уравнение DeF =Е ca (z)DaF + G , (1) ||a||<m где коэффициенты ca (z) суть аналитические функции от z = (z1,...,zn) в окрестности нуля в пространстве Cn; || р ||= m. Зададим краевые условия: Dk [F -Ф]| = 0, если 0 < k < В ■, =0 yjj n ap = j = 1, ..., n. (2) Если Е са (0) меньше некоторого положитель- МНРИ ного числа, зависящего только от || р ||, то тогда для любых функций G и, Ф аналитических в окрестности нуля, краевая задача (1)-(2) имеет, и притом единственное, аналитическое в окрестности нуля решение F. Отметим, что в (2) содержится || р || граничных условий и || р || есть порядок дифференциального уравнения (1). Частными случаями данной теоремы являются классическая теорема Коши-Ковалевской (если | р = (m,0,...,0) и cp(z) Ф 0) и теорема Гурса-Бодо [5]. Замечание. Краевую задачу (1)-(2) можно назвать обобщенной задачей Коши с начально-краевыми условиями типа Рикье (см. [2-4]). В данном случае значения искомой функции и ее производных задаются на координатных плоскостях. Для формулировки глобального варианта теоремы Хермандера о разрешимости задачи (1)-(2) и его доказательства используем некоторые понятия и факты теории амеб алгебраических гиперповерхностей (см. [6]). Обозначим через Z множество целых чисел и через Zn = Z х —х Z - n-мерную целочисленную решетку. Пусть A = {a} с Zn - некоторое фиксированное ко- (3) нечное множество и P(z) = Е caza полином, aeA а V = {z е Cn : P(z) = 0} - множество его нулей. Многогранником Ньютона Np многочлена P называется выпуклая оболочка в Rn элементов множества А. Амебой алгебраической гиперповерхности называется образ множества нулей V многочлена P(z) при отображении L°g: z = О^..^ zn ) — (log| z1 |,...,log| zn |) = Log| z |. Заметим, что отображение Log является композицией двух: Abs : z = (zl,..., zn ) — (|z1 |,...,| zn |) и log:(| z1 |,...,| zn |) — (log| z1 |,...,log| zn |). Множество V, а значит и Log(V), замкнуто, поэтому его дополнение открыто. Пусть {E} - набор непустых связанных компонент дополнения Rn \ Log (V). Для любой непустой компоненты E* функция 1/ P(z) голоморфна в Log-1E с Cn \ V и разлагается там в ряд Лорана (см., например, [6]): 1 =е ap Р?)~Е , коэффициенты которого можно определить следующим образом: ze dz (2ni)n Jr P(z) z где Г = Log u,u = (u1,..., un) е E- остов полицилиндра Г = {z е Cn :| zj |= eu, j = 1,..., n}. Известно, что область сходимости ряда Лорана логарифмически выпукла, т. е. связная компонента Е дополнения амебы Log(V) является выпуклым множеством. Для v е Np n Zn двойственным конусом называется множество CV = {s е Rn As, v) = max (s, a)}. ' ' aеNp ' ' Существует инъективная функция v из множества компонент связности v :{E} — Zn n Np такая, что w w /"iV ^ двойственный конус Cv(E) есть асимптотический конус для выпуклой компоненты Е. Приведем некоторые сведения из теории целых функций (см., например, [7]). Целая функция F(z) называется функцией экспоненциального типа, если она удовлетворяет неравенству | F(z) |< M exp(a,| z ^ для некоторых M > 0, где a е R+, x е Rn, xj > 0, | z |= (| z1 |,...,| zn |), ^,| z ^ = a1 | z1 | + ... + an | zn |. Множество тех точек a е R+, для которых при фиксированной целой функции F (z) справедливо неравенство (3), будем обозначать ctf и называть тип-множеством функции F(z). Отметим, что открытое ядро стF множества ctf является выпуклым множеством и R+ является асимптотическим конусом для стF . Будем рассматривать полиномиальные дифференциальные операторы P(D) с постоянными коэффициентами со следующим условием на многогранник Ньютона Np характеристического многочлена P(z) =Е ca za : существует вершина m е Np такая, a-е A что a < m для всех >хе Np. Здесь неравенство a < m означает, что a j < mj для всех j = 1,..., n . При выполнении данного условия соответствующая компонента Em дополнения амебы Rn \ Ap не пуста и двойственный конус C^ содержит R+. Теорема 1. Если функция Ф(z), задающая краевые условия (2), и правая часть G(z) уравнения (1) являются функциями экспоненциального типа с тип-множествами стФ и <jg соответственно, то решение F(z) также является функцией экспоненциального типа, тип-множество которой <jf удовлетворяет условию ст F Э(5фП(Г G n Abs(Log-1Em). 2. Для доказательства теоремы 1 нам потребуется несколько вспомогательных утверждений. Преобразованием Бореля функции экспоненциального типа F(z) = Е, x! = x1!^ xn ! x>0 x! называется функция f (x) F( z) = Е z Ф<2>=ЕаX;lгx, x>0 x! то коэффициенты f (x) ряда для F (z) удовлетворяют разностному уравнению Е aa f (x + a) = g(x), x > 0 (4) 0<a<m и краевым условиям f (x) = ф(x), 0 < x, x > m . (5) Здесь x > m означает, что для некоторого j0 aj0 < mj0. Доказательство. Подставляя в (1)-(2) разложения функций F, G, Ф в степенные ряды и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях zx , поле стандартных выкладок получим (4)-(5). Разрешимость задачи (4)-(5) и формулы для решения приведены в [8]. С точки зрения теории разностных уравнений ассоциированная по Борелю функция F(z) является производящей функцией решения f (x) разностного уравнения. Соответственно ассоциированные по Борелю функции G(z) и Ф(z) - производящие функции соответственно правой части g (x) уравнения (4) и функции ф(x), задающей краевые условия (4). Лемма 2. Для производящей функции F^(z) решения f (x) разностной задачи (4)-(5) справедлива формула 1 1 + G( z) F(z) = P( z) P( z) f (x + a) g (x) _*+1 = Е = G( z). „x+1 F( z) -Е +1 где Фa (z) = Е x! x! Ф( z). x>0 где I = (1,...,1). Взаимосвязь между ростом целой функции F(z) и сопряженными радиусами сходимости ассоциированной по Борелю функции FXz) устанавливает теорема Бореля. Необходимые понятия и доказательство приведены в монографии Л. И. Ронкина [7]. Теорема Бореля. Гиперповерхность сопряженных типов при сопряженных порядках (1,..., 1) целой функции F(z) совпадает с гиперповерхностью сопряженных радиусов сходимости ряда, определяющего ее преобразования по Борелю FXz). В частности, теорема Бореля означает, что открытое ядро тип-множества стF совпадает с областью сходимости ряда функции F(z). Лемма 1. Если решение F(z), правая часть G(z) и функция Ф(z), задающая краевые условия в задаче (1)-(2), являются функциями экспоненциального типа: F (z) = Е ^, G( z) =Е ^, x>0 Меняя в левой части равенства порядок суммирования, получим: Доказательство. Поделим равенства (4) на zx и просуммируем по всем x > 0: = P(z)F(z) -Е caz“(<Фa (z)), где <Ъa (z) =ЕФ<+;Г. Е ca z а<Ф a ( z ) V0<a<m - частичная сумма ряда Е[ Е ca x>0 V 0<a<m = Е ca za 0<a<m f (x + a) f (x + a) ф( x) V x>0 x>a * Таким образом, P(z)Az) - Е caz“(<Фa(z)) = G(z) 0<a<m или G( z) P( z) P( z)' F(z) = Е caz“®a (z^^^ + 0<a<m Известны также интегральные представления, связывающие функции F и F, ассоциированные по Борелю (см., например, [7]): F w^J/ M)exp< z, 5 d5, где Г - остов полицилиндра, Г := {5 е Cn : |5j | = Rj, j = 1,..., n} ; R = (R1,..., Rn ) е ст F , 5) = zn51 + ... + zn5n ; d5 = d51 л... л d5n . Учитывая лемму 2, в случае экспоненциальных входных данных получаем следующее интегральное представление для решения задачи (1)-(2): Е ^“Ф*©exp(z,0d5 ||a||>0 J F (z) = (2ni)n Г P(5) G(5)exp( z, 5) d 5 (6) - J" P(5) n (2ni) где Г = {J z j | = Rjj = 1,..., n}; R = (R1,..., Rn) еСTфnстG и Log^ е Em . Доказательство теоремы 1. Тип-множества стФ и <jg выпуклы и октантообразны (см. [7]), т. е. положительный октант R+ является дли них асимптотическим конусом. Этим же свойством обладает и компонента Em амебы характеристического многочлена P(z). Поэтому пересечение СTфnстGnAbsLog lEm ^0. Возьмем R = (R1,...,Rn) из этого пересечения, тогда остов Г = { 5 е Cn;|5j = Rjj = 1,...,n} лежит в области, где голоморфны функции Фa, G и 1/ P(5) (здесь используется тот факт, что ряды Ф(5), G(5) сходятся о о в стФ и i^G ), поэтому для F(z) справедливо интегральное представление (6), которое означает, что F(z) - функция экспоненциального типа. Стандартная оценка интеграла показывает, что R = (R1,...,Rn) есоF , таким образом <СTфn<СTGn nAbsLog-1Em с ctf

作者简介

E. Leinartas

Siberian Federal University

Email: lein@mail.ru

E. Yakovlev

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

Email: yei@nm.ru

参考

补充文件