ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ГИБРИДНЫХ МОДЕЛЕЙ СТАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Аннотация

Рассмотрены модели статических объектов, позволяющие в наиболее полном объеме учитывать априор-ные сведения о виде восстанавливаемой зависимости и информацию статистической выборки наблюдений ее переменных. Исследованы асимптотические свойства ряда модификаций предлагаемых моделей,определены условия их преимущества по сравнению с непараметрической регрессией и при взаимном сравнении.

Полный текст

При восстановлении зависимости y = y(x) в зада- D D че идентификации статического объекта различают два типа априорной информации: структурные данные D Д , которые отражают априорные представления F (x, a) о виде преобразования ш(×), и статистические image yS = jS (x) = F (x, a) + gS (x), D D image yП = jП (x) = F (x, a)gП (x) . (1) Оценивание параметров a в параметрической мо- дели F (x, a) осуществляется по выборке Д% , а для Д% , содержащие сведения о наблюдениях ( xi , yi ), оценивания функции невязки g(x) используется непа- image i = 1, n. Известные стохастические аппроксимации раметрическая регрессия параметрического и непараметрического вида ориен- n i i n i тированы в основном на определенный тип исходных g (x) = S g(x )Q(x , x)/ S Q(x , x), (2) данных, что при отличающихся априорных условиях приводит к снижению их эффективности. Так, если в i=1 k æ x - xi ö i=1 параметрических моделях за основу принимаются где Q(xi , x) = ÕФ ç image j j ÷, восстанавливаемая по сведения F (x, a) виде y(x), то для непараметриче- j=1 ç c j ÷ image è ø ских моделей достаточно знания лишь ее качествен- ных характеристик и информации обучающей выбор- значениям (xi , g(xi )), i = 1, n. Ядерные функции Ф( ×) ки. В первом случае за счет «сжатия» обучающей вы- борки в вектор оценок параметров модели теряется удовлетворяют условиям Н: полезная информация о ее локальном поведении. Во Ф(u) ³ 0, ò Ф(u)du = 1, Ф(u) = Ф(-u), втором - не учитываются априорные сведения о виде восстанавливаемой зависимости. Для решения про- ò unФ(u)du < ¥, n³ 2 , блемы эффективного использования априорной ин- формации в работе [1] предложены гибридные модели Ф(u2) ³ Ф(u1) " imageu2 image £ imageu1 image , k стохастических зависимостей, основанные на управ- c = c(n) ³ 0, lim nÕc j = ¥. ляемом сочетании преимуществ параметрических и локальных методов аппроксимации. n®¥ j=1 Структуру гибридной модели составляют парамет- Здесь и далее бесконечные пределы интегрирова- рическая аппроксимация F (x, a) искомой зависимо- ния опускаются. сти и корректирующая ее функция. Вид этой коррек- тирующей функции порождает семейство гибридных Заметим, что при синтезе алгоритма (2) формиро- image image вание значений g(xi), i = 1, n проводится на основании моделей. Их эффективность зависит от параметров структуры, объема и размерности обучающей выбор- ки, априорных сведений об искомой зависимости, а выборки (xi , yi ), i = 1, n по формулам также вида корректирующей функции. Ближайшим аналогом гибридных моделей являются частично ли- либо gS (xi ) = yi - F (xi , a) нейные модели [2]. Остановимся на исследовании асимптотических свойств гибридных моделей и оценке условий их ком- gП (xi ) = yi /F (xi , a) при F (xi , a) ¹ 0 . Принимая условное математическое ожидание петентности. y = j(x) за оптимальное решающее правило при вос- При восстановлении однозначной функции становлении зависимости y = y(x) в смысле миниму- y = y(x)"x Î Rk кроме выборочных значений ма среднеквадратического критерия, исследуем асим- image Д% = (xi , yi , i = 1, n ) известны частичные сведения D птотические свойства гибридных моделей (1) и опре- делим условия их компетентности по сравнению с Д = {F (x, a)} виде зависимости y(×) с точностью непараметрической регрессией и взаимном сравнении путем анализа отношений соответствующих им сред- до набора параметров aÎ Rm . В зависимости от вида неквадратических критериев точности аппроксимации. функции невязок gS (x) = y(x) - F (x, a) либо Асимптотические свойства гибридных моделей. gП (x) = y(x)/F(x, a) при F (x, a) ¹ 0, гибридный ал- Без потери общности рассмотрим задачу оценивания горитм принимает следующий вид [1]: y = y(x) по выборке независимых, идентично рас- пределенных случайных величин (xi, yi), image i = 1, n при Подставляем выражения (3), (5) в (4) и, переходя к известной плотности вероятности p(x) и частичных пределу последнего при D n ® ¥ , устанавливаем со- сведениях F (x, a) виде y(x). стоятельность оценки jS (x) . Будем считать, что x и y - одномерные случайные величины. Теорема 2. Пусть функции y(x), gП (x), р(х) ¹ 0 Полагаем, что функция h(x) удовлетворяет услови- удовлетворяют условиям V2 и выполняются утвер- ждения 2, 3 теоремы 1. Тогда гибридная модель ям V2 , если она ограничена и непрерывна вместе со D D всеми своими производными до порядка 2 включи- image yП = jП (x) = F (x, a)gП (x) является асимптотически тельно. несмещенной и состоятельной оценкой оптимального Тогда справедлива теорема 1. решающего правила y = j(x). Теорема 1. Пусть 1) y(x), F(x, a) и р(х) ¹ 0 в об- Методика доказательства теоремы 2 аналогична ласти определения y = y(x) удовлетворяют условиям предыдущей, поэтому, опуская промежуточные вы- V2; 2) функция Ф(u)Î H ; последовательность кладки, приведем конечные результаты: с = с(n) ® 0 при n ®¥ , а nc ® ¥. Тогда гибридная D F (x, a)c2 ç П ÷ П D M æ j(x) - j (x) ö ~ (g (x) p(x)) (2) + о(c4 ), (6) модель yS = F (x, a) + gS (x) является асимптотически è ø 2 p(x) несмещенной и состоятельной оценкой оптимального æ D ö image j2 (x) Ф(u) 2 решающего правила y = j(x). M ç (j(x) - jП (x))2 ÷ ~ + Доказательство. è ø ncp(x) . (7) 2 4 2 По определению имеем 2 П + F ( x, a)c ((g (x) p(x))(2) ) + о(c6 ) image æ D ö 4 p (x) image М ç j(x) - jS (x) ÷ = j(x) - F (x, a) - M (gS (x)) = è ø Сравнение аппроксимационных свойств гиб- = gS (x) - (c × p(x))-1 ò gS (t)Ф((x - t)/c) p(t )dt. ридных моделей и непараметрической регрессии. D Проведем в интеграле замену переменных си = х - t и, Сравнение свойств гибридной модели yS и непара- разлагая функции gå (x - cи), p(х - си) в ряд Тейлора метрической регрессии y% p . В качестве критерия срав- в точке x с учетом условий H, получим нения принимаем отношение среднеквадратических D æ D ö отклонений yS и y% p от оптимального решающего lim M ç j(u) - jS (x) ÷ = n®¥ è ø (3) правила (условного математического ожидания): = lim ëé(g (x) p(x))( 2) c2 /(2np(х)) + о(с4 )ûù = 0, 2 2 D æ ö n®¥ S RS = M æ j(x) -j (x) ö /M j(x) - j% (x) . (8) P ç S ÷ ç Р ÷ где (gS (x) p(x))(2) - вторая производная по x произ- è ø è ø D ведения функций в скобках. Для доказательства утверждения 2 теоремы 1 Условия преимущества yS над y% p при конкрет- D ных значениях x определяются соотношением представим дисперсию yS в следующем виде: D D D 2 P RS < 1. Вычислив P RS (x) при оптимальных значениях D æ j (x) ö = M (j(x) - j (x))2 - æ M (j(x) -j (x) ö . (4) co и o ç S ÷ S ç S ÷ S cP , минимизирующих соответственно выраже- è ø è ø ние (5) и среднеквадратическое отклонение для непа- Вычислим среднеквадратическое отклонение: æ D 2 ö 2 æ D ö M (j(x) - j (x)) = j (x) - 2j(x)M j (x) + раметрической регрессии y% p [1], получим 4 2 /5 ç S ÷ ç S ÷ ( 2) è ø è ø éæ g ( x) ö P RS (x) ~ êç S ÷ ú ( gS( x) p( x)) ù . (9) = n-1 (cp(x))-2 (g (t)F((x - t)/c) p(t))2 dt + êè y(x) ø (y(x) p(x))(2) ú ò S ë û image ò + (n -1) (cp(x))-2 ( n S g (t)F((x - t)/c) p(t)dt)2 + Из анализа соотношения D Р R S (x) < 1 следует, что S +F 2 (x, a) + 2F (x, a)M (g (x)). гибридная модель yS имеет более высокие аппрокси- Следуя преобразованиям, выполненным при выводе мационные свойства по сравнению с непараметричесоотношения (3), нетрудно показать, что ской регрессией y% p в некоторой точке х, если выimage image æ D 2 ö 2 2 M (j(x) - j (x)) ~ g (x) F(u) /(ncp(x)) + полняются условия ç S ÷ S -4 " -4 è ø (5) 1 - (1 - r) < r1 < 1 + (1 - r) для p(x) = const, S +c4 éë(g 2 (x) p(x))(2) ùû /(4 p2 (x)) + o(c6 ), где " = (2) a y(2) при y(2) ¹ , r1 F image 2 2 (x, ) / (x) (x) 0 здесь Fimage = ò F (u)du . r = F (x, a) / y(x) при y(x) ¹ 0. (10) В области, ограниченной кривыми гиперболиче- D Соотношение P RП (x) < 1 выполняется, если ского типа (рис. 1), гибридная модель yS обладает -1 " -1 " (2) -r3 < r2 < r3 для p(x) = const, где r2 = gП (x), более высокими аппроксимационными свойствами по r = y(2) (x) / F (x, a) при F (x, a) ¹ 0. (11) сравнению с непараметрической регрессией y% p . Вне 3 этой области лучшие результаты дает непараметриче- В области, ограниченной кривыми гиперболиче- D ская регрессия y% p . В точках, принадлежащих граничского типа, гибридная модель yП обладает более выным кривым, аппроксимационные свойства гибридной D сокими аппроксимационными свойствами по сравнемодели yS и непараметрической регрессии y% p не отнию с непараметрической регрессией y% p . image личаются. y ~ Р 4 r1¢ y 3 ~ Р 2 Сравнение аппроксимационных свойств гиб- ридных моделей. Сравнение аппроксимационных D свойств гибридной модели yS и гибридной модели D yП . S D 1 y S При анализе отношения D RП (x) < 1 среднеквадрати- D ческих отклонений для y r S и yП нетрудно получить 4 3 2 1 0 1 2 3 4 D условия преимущества гибридной модели yS D над yП : 1 ~ ~ -(1- r5 ) 4 -1 < r " -1 < (1 - r5 ) для p(x) = const, yР 2 yР где " (2) (2) r4 = gS (x) /(gП (2) (x)F (x, a)), r5 = gS (x) / gП (x) при gП (x) ¹ 0, В области gП (x)F (x, a) ¹ 0. 5 4 5 -(1- r )-1 < r " < (1 - r )-1 , ограниченной Рис. 1. Области компетентности гибридной D кривыми гиперболического типа, гибридная модель D модели yS и непараметрической регрессии y%Р . yS обладает более высокими аппроксимационными Оси соответствуют значениям r и r1¢¢ , определяемым по выражениям (10) D свойствами по сравнению с гибридной моделью yП , D Сравнение гибридной модели D yП и непараметрио вне этой области преимущество имеет модель yП (рис. 3). ческой регрессии y%P (рис. 2). При оптимальных сП и image " 4 r4 o cp в некоторой точке х отношение RП (x) асимпто- Р тических выражений среднеквадратических критери- ев (7) и соответствующего критерия для непараметри- ческой регрессии соответствует D 3 D y yП 2 D yП П 1 D æ F (x, a)(g RП (x) ~ ç П 2 /5 (x) p(x))(2) ö image ÷ . r yS 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 P è (y(x) p(x))(2) ø " 1 D 2 D D image 4 r2 3 П П y y y 3 П 4 Рис. 3. Области компетентности гибридных y y ~ 2 ~ Р Р 1 D y П D моделей yS D и yП r3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 1 ~ В точках, принадлежащих граничным кривым, ап- D проксимационные свойства гибридных моделей yS и D y ~ 2 yР Р 3 4 Рис. 2. Области компетентности гибридной D yП не отличаются. Гибридные алгоритмы идентификации представ- ляют собой комплекс различных по назначению и ме- тодам синтеза решающих правил, состав и порядок функционирования которых в процессе восстановле- ния однозначных зависимостей определяется уровнем модели yП и непараметрической регрессии y%Р априорной информации. Предложены две модификации гибридных моделей, определены области их ком- петентности. Показано, что неопределенность выбора функции невязки порождает проблемы в обоснованном приме- нении той или иной модификации гибридных моде- лей. Следует ожидать, что гибридная модель с функ- цией невязки типа разности обладает преимуществом в случае аддитивных помех, накладываемых на пере- менные изучаемой зависимости. При мультиплика- тивных помехах целесообразно использование функ- ции невязки типа отношения. Таким образом, отсутствие априорных сведений о характере случайных воздействий делает необходимым применение методов коллективного оценива- ния, что может повысить эффективность гибридных моделей.