INVESTIGATION OF HYBRID MODELS CHARACTERISTICS OF STATIC OBJECTS

Abstract

The models of static objects allowing in the fullest volume to consider aprioristic data on a kind of restored depen-dence and the information of statistical sample of supervision of its variables are considered. Asimptotic properties of some updatings of offered models are investigated, conditions of their advantage are defined in comparison with non-parametric regress and at mutual comparison.

Full Text

При восстановлении зависимости y = y(x) в зада- D D че идентификации статического объекта различают два типа априорной информации: структурные данные D Д , которые отражают априорные представления F (x, a) о виде преобразования ш(×), и статистические image yS = jS (x) = F (x, a) + gS (x), D D image yП = jП (x) = F (x, a)gП (x) . (1) Оценивание параметров a в параметрической мо- дели F (x, a) осуществляется по выборке Д% , а для Д% , содержащие сведения о наблюдениях ( xi , yi ), оценивания функции невязки g(x) используется непа- image i = 1, n. Известные стохастические аппроксимации раметрическая регрессия параметрического и непараметрического вида ориен- n i i n i тированы в основном на определенный тип исходных g (x) = S g(x )Q(x , x)/ S Q(x , x), (2) данных, что при отличающихся априорных условиях приводит к снижению их эффективности. Так, если в i=1 k æ x - xi ö i=1 параметрических моделях за основу принимаются где Q(xi , x) = ÕФ ç image j j ÷, восстанавливаемая по сведения F (x, a) виде y(x), то для непараметриче- j=1 ç c j ÷ image è ø ских моделей достаточно знания лишь ее качествен- ных характеристик и информации обучающей выбор- значениям (xi , g(xi )), i = 1, n. Ядерные функции Ф( ×) ки. В первом случае за счет «сжатия» обучающей вы- борки в вектор оценок параметров модели теряется удовлетворяют условиям Н: полезная информация о ее локальном поведении. Во Ф(u) ³ 0, ò Ф(u)du = 1, Ф(u) = Ф(-u), втором - не учитываются априорные сведения о виде восстанавливаемой зависимости. Для решения про- ò unФ(u)du < ¥, n³ 2 , блемы эффективного использования априорной ин- формации в работе [1] предложены гибридные модели Ф(u2) ³ Ф(u1) " imageu2 image £ imageu1 image , k стохастических зависимостей, основанные на управ- c = c(n) ³ 0, lim nÕc j = ¥. ляемом сочетании преимуществ параметрических и локальных методов аппроксимации. n®¥ j=1 Структуру гибридной модели составляют парамет- Здесь и далее бесконечные пределы интегрирова- рическая аппроксимация F (x, a) искомой зависимо- ния опускаются. сти и корректирующая ее функция. Вид этой коррек- тирующей функции порождает семейство гибридных Заметим, что при синтезе алгоритма (2) формиро- image image вание значений g(xi), i = 1, n проводится на основании моделей. Их эффективность зависит от параметров структуры, объема и размерности обучающей выбор- ки, априорных сведений об искомой зависимости, а выборки (xi , yi ), i = 1, n по формулам также вида корректирующей функции. Ближайшим аналогом гибридных моделей являются частично ли- либо gS (xi ) = yi - F (xi , a) нейные модели [2]. Остановимся на исследовании асимптотических свойств гибридных моделей и оценке условий их ком- gП (xi ) = yi /F (xi , a) при F (xi , a) ¹ 0 . Принимая условное математическое ожидание петентности. y = j(x) за оптимальное решающее правило при вос- При восстановлении однозначной функции становлении зависимости y = y(x) в смысле миниму- y = y(x)"x Î Rk кроме выборочных значений ма среднеквадратического критерия, исследуем асим- image Д% = (xi , yi , i = 1, n ) известны частичные сведения D птотические свойства гибридных моделей (1) и опре- делим условия их компетентности по сравнению с Д = {F (x, a)} виде зависимости y(×) с точностью непараметрической регрессией и взаимном сравнении путем анализа отношений соответствующих им сред- до набора параметров aÎ Rm . В зависимости от вида неквадратических критериев точности аппроксимации. функции невязок gS (x) = y(x) - F (x, a) либо Асимптотические свойства гибридных моделей. gП (x) = y(x)/F(x, a) при F (x, a) ¹ 0, гибридный ал- Без потери общности рассмотрим задачу оценивания горитм принимает следующий вид [1]: y = y(x) по выборке независимых, идентично рас- пределенных случайных величин (xi, yi), image i = 1, n при Подставляем выражения (3), (5) в (4) и, переходя к известной плотности вероятности p(x) и частичных пределу последнего при D n ® ¥ , устанавливаем со- сведениях F (x, a) виде y(x). стоятельность оценки jS (x) . Будем считать, что x и y - одномерные случайные величины. Теорема 2. Пусть функции y(x), gП (x), р(х) ¹ 0 Полагаем, что функция h(x) удовлетворяет услови- удовлетворяют условиям V2 и выполняются утвер- ждения 2, 3 теоремы 1. Тогда гибридная модель ям V2 , если она ограничена и непрерывна вместе со D D всеми своими производными до порядка 2 включи- image yП = jП (x) = F (x, a)gП (x) является асимптотически тельно. несмещенной и состоятельной оценкой оптимального Тогда справедлива теорема 1. решающего правила y = j(x). Теорема 1. Пусть 1) y(x), F(x, a) и р(х) ¹ 0 в об- Методика доказательства теоремы 2 аналогична ласти определения y = y(x) удовлетворяют условиям предыдущей, поэтому, опуская промежуточные вы- V2; 2) функция Ф(u)Î H ; последовательность кладки, приведем конечные результаты: с = с(n) ® 0 при n ®¥ , а nc ® ¥. Тогда гибридная D F (x, a)c2 ç П ÷ П D M æ j(x) - j (x) ö ~ (g (x) p(x)) (2) + о(c4 ), (6) модель yS = F (x, a) + gS (x) является асимптотически è ø 2 p(x) несмещенной и состоятельной оценкой оптимального æ D ö image j2 (x) Ф(u) 2 решающего правила y = j(x). M ç (j(x) - jП (x))2 ÷ ~ + Доказательство. è ø ncp(x) . (7) 2 4 2 По определению имеем 2 П + F ( x, a)c ((g (x) p(x))(2) ) + о(c6 ) image æ D ö 4 p (x) image М ç j(x) - jS (x) ÷ = j(x) - F (x, a) - M (gS (x)) = è ø Сравнение аппроксимационных свойств гиб- = gS (x) - (c × p(x))-1 ò gS (t)Ф((x - t)/c) p(t )dt. ридных моделей и непараметрической регрессии. D Проведем в интеграле замену переменных си = х - t и, Сравнение свойств гибридной модели yS и непара- разлагая функции gå (x - cи), p(х - си) в ряд Тейлора метрической регрессии y% p . В качестве критерия срав- в точке x с учетом условий H, получим нения принимаем отношение среднеквадратических D æ D ö отклонений yS и y% p от оптимального решающего lim M ç j(u) - jS (x) ÷ = n®¥ è ø (3) правила (условного математического ожидания): = lim ëé(g (x) p(x))( 2) c2 /(2np(х)) + о(с4 )ûù = 0, 2 2 D æ ö n®¥ S RS = M æ j(x) -j (x) ö /M j(x) - j% (x) . (8) P ç S ÷ ç Р ÷ где (gS (x) p(x))(2) - вторая производная по x произ- è ø è ø D ведения функций в скобках. Для доказательства утверждения 2 теоремы 1 Условия преимущества yS над y% p при конкрет- D ных значениях x определяются соотношением представим дисперсию yS в следующем виде: D D D 2 P RS < 1. Вычислив P RS (x) при оптимальных значениях D æ j (x) ö = M (j(x) - j (x))2 - æ M (j(x) -j (x) ö . (4) co и o ç S ÷ S ç S ÷ S cP , минимизирующих соответственно выраже- è ø è ø ние (5) и среднеквадратическое отклонение для непа- Вычислим среднеквадратическое отклонение: æ D 2 ö 2 æ D ö M (j(x) - j (x)) = j (x) - 2j(x)M j (x) + раметрической регрессии y% p [1], получим 4 2 /5 ç S ÷ ç S ÷ ( 2) è ø è ø éæ g ( x) ö P RS (x) ~ êç S ÷ ú ( gS( x) p( x)) ù . (9) = n-1 (cp(x))-2 (g (t)F((x - t)/c) p(t))2 dt + êè y(x) ø (y(x) p(x))(2) ú ò S ë û image ò + (n -1) (cp(x))-2 ( n S g (t)F((x - t)/c) p(t)dt)2 + Из анализа соотношения D Р R S (x) < 1 следует, что S +F 2 (x, a) + 2F (x, a)M (g (x)). гибридная модель yS имеет более высокие аппрокси- Следуя преобразованиям, выполненным при выводе мационные свойства по сравнению с непараметричесоотношения (3), нетрудно показать, что ской регрессией y% p в некоторой точке х, если выimage image æ D 2 ö 2 2 M (j(x) - j (x)) ~ g (x) F(u) /(ncp(x)) + полняются условия ç S ÷ S -4 " -4 è ø (5) 1 - (1 - r) < r1 < 1 + (1 - r) для p(x) = const, S +c4 éë(g 2 (x) p(x))(2) ùû /(4 p2 (x)) + o(c6 ), где " = (2) a y(2) при y(2) ¹ , r1 F image 2 2 (x, ) / (x) (x) 0 здесь Fimage = ò F (u)du . r = F (x, a) / y(x) при y(x) ¹ 0. (10) В области, ограниченной кривыми гиперболиче- D Соотношение P RП (x) < 1 выполняется, если ского типа (рис. 1), гибридная модель yS обладает -1 " -1 " (2) -r3 < r2 < r3 для p(x) = const, где r2 = gП (x), более высокими аппроксимационными свойствами по r = y(2) (x) / F (x, a) при F (x, a) ¹ 0. (11) сравнению с непараметрической регрессией y% p . Вне 3 этой области лучшие результаты дает непараметриче- В области, ограниченной кривыми гиперболиче- D ская регрессия y% p . В точках, принадлежащих граничского типа, гибридная модель yП обладает более выным кривым, аппроксимационные свойства гибридной D сокими аппроксимационными свойствами по сравнемодели yS и непараметрической регрессии y% p не отнию с непараметрической регрессией y% p . image личаются. y ~ Р 4 r1¢ y 3 ~ Р 2 Сравнение аппроксимационных свойств гиб- ридных моделей. Сравнение аппроксимационных D свойств гибридной модели yS и гибридной модели D yП . S D 1 y S При анализе отношения D RП (x) < 1 среднеквадрати- D ческих отклонений для y r S и yП нетрудно получить 4 3 2 1 0 1 2 3 4 D условия преимущества гибридной модели yS D над yП : 1 ~ ~ -(1- r5 ) 4 -1 < r " -1 < (1 - r5 ) для p(x) = const, yР 2 yР где " (2) (2) r4 = gS (x) /(gП (2) (x)F (x, a)), r5 = gS (x) / gП (x) при gП (x) ¹ 0, В области gП (x)F (x, a) ¹ 0. 5 4 5 -(1- r )-1 < r " < (1 - r )-1 , ограниченной Рис. 1. Области компетентности гибридной D кривыми гиперболического типа, гибридная модель D модели yS и непараметрической регрессии y%Р . yS обладает более высокими аппроксимационными Оси соответствуют значениям r и r1¢¢ , определяемым по выражениям (10) D свойствами по сравнению с гибридной моделью yП , D Сравнение гибридной модели D yП и непараметрио вне этой области преимущество имеет модель yП (рис. 3). ческой регрессии y%P (рис. 2). При оптимальных сП и image " 4 r4 o cp в некоторой точке х отношение RП (x) асимпто- Р тических выражений среднеквадратических критери- ев (7) и соответствующего критерия для непараметри- ческой регрессии соответствует D 3 D y yП 2 D yП П 1 D æ F (x, a)(g RП (x) ~ ç П 2 /5 (x) p(x))(2) ö image ÷ . r yS 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 P è (y(x) p(x))(2) ø " 1 D 2 D D image 4 r2 3 П П y y y 3 П 4 Рис. 3. Области компетентности гибридных y y ~ 2 ~ Р Р 1 D y П D моделей yS D и yП r3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 1 ~ В точках, принадлежащих граничным кривым, ап- D проксимационные свойства гибридных моделей yS и D y ~ 2 yР Р 3 4 Рис. 2. Области компетентности гибридной D yП не отличаются. Гибридные алгоритмы идентификации представ- ляют собой комплекс различных по назначению и ме- тодам синтеза решающих правил, состав и порядок функционирования которых в процессе восстановле- ния однозначных зависимостей определяется уровнем модели yП и непараметрической регрессии y%Р априорной информации. Предложены две модификации гибридных моделей, определены области их ком- петентности. Показано, что неопределенность выбора функции невязки порождает проблемы в обоснованном приме- нении той или иной модификации гибридных моде- лей. Следует ожидать, что гибридная модель с функ- цией невязки типа разности обладает преимуществом в случае аддитивных помех, накладываемых на пере- менные изучаемой зависимости. При мультиплика- тивных помехах целесообразно использование функ- ции невязки типа отношения. Таким образом, отсутствие априорных сведений о характере случайных воздействий делает необходимым применение методов коллективного оценива- ния, что может повысить эффективность гибридных моделей.