Turn of an elastic-plastic rod under pressure that varies linearly along the forming

全文:

Введение

В предлагаемой работе используются законы сохранений дифференциальных уравнений. Их использование позволяет свести нахождение компонент тензора напряжений в каждой точке к контурному интегралу по границе рассматриваемой области, а это дает возможность построить упругопластическую границу. При этом предполагается, что граница является кусочно-гладкой.

Упругопластические задачи, в силу их практической важности, уже давно изучаются механиками. Основной проблемой, которая возникает при решении таких задач, является определение упругопластической границы. Условие пластичности накладывает дополнительную связь, и это, по словам Г. П. Черепанова [1], упрощает задачу. С другой стороны, возникает новый неизвестный элемент: упругопластическая граница, затрудняющая решение.

В настоящее время решение упругопластических задач продолжает оставаться в центре внимания исследователей. Появляются новые аналитические подходы к их решению, совершенствуются численные методы. Проведем краткий обзор таких работ. В [2] с помощью законов сохранения решена задача о кручении упругопластического стержня, армированного упругими волокнами. Для решения задачи используются законы сохранения. В [3] рассмотрен упругопластический коробчатый брус, который изгибается поперечной силой. Предполагается, что деформации в стержне упругопластические и боковая поверхность его свободна от напряжений. Центр тяжести поперечного сечения не совпадает с точкой приложения силы. С помощью законов сохранения построено точное решение, описывающее напряженное состояние этой конструкции, которое вычисляется в каждой точке рассмотренной фигуры с помощью интегралов по внешним контурам поперечного сечения. В [4] исследуется упругопластическое кручение многослойного стержня, который состоит из нескольких слоев. Упругие свойства слоев различны, но коэффициент пластичности у всех слоев одинаков. В статье построены законы сохранения, позволившие вычислить компоненты тензора напряжений с помощью контурных интегралов по границе слоев. В [5] рассматривается упругопластическое кручение анизотропного трехслойного цилиндрического стержня некругового поперечного сечения. Внутренний слой стержня находится в упругопластическом состоянии, два внешних слоя полностью пластические. Предполагается пластическая анизотропия. Параметры анизотропии каждого слоя различны. В [6] рассмотрено решение задачи определения упругопластического состояния тяжелого пространства, ослабленного отверстием эллиптической формы. Материал среды обладает свойствами анизотропии. Решение задачи выполнялось методом малого параметра. Кручение двухслойного стержня коробчатого сечения рассмотрено в [7]. В [8] численными методами рассчитывается напряженно-деформированное состояние связующего композитных материалов. Расслоения стальных труб при сложном нагружении моделируются в [9]. Упругопластический анализ круговой трубы, вывернутой наизнанку, проведен в [10]. В [11] изучается влияние типа плоской задачи для упругопластического адгезионного слоя на значение
J-интегралов. В [12] в рамках одной модели больших упругопластических деформаций рассматривается нестационарная динамика среды, не связанная с дополнительным накоплением пластических деформаций к уже имеющимся. Показано, что в общем случае каждая из упругих волн может сопровождаться скачкообразным поворотом пластических деформаций. В [13] изучен процесс производства необратимых деформаций во вращающемся цилиндре, изготовленном из материала с упругими вязкими и пластическими свойствами.

Постановка задачи

Имеется упругопластический стержень постоянного поперечного сечения, который находится под действием линейного гидростатического давления и пары сил, которые скручивают его вокруг центральной оси, совпадающей с осью oz.

Предполагаем, что выполнены следующие условия

${\sigma }_x=-\lambda z+C,{\sigma }_y=-\lambda z+C,{\sigma }_z=-\lambda z+C,{\tau }_{xy}=\mathrm{0,}$

${\tau }_{xz}=u(x,y),{\tau }_{xz}=u(x,y),{\tau }_{yz}=v(x,y).$ (1)

В этом случае уравнения, описывающие упругую деформацию в стационарном случае, имеют вид

$u_x+v_y=\lambda ,v_x-u_y=-2\alpha .$ (2)

Система (2) состоит из уравнения равновесия и уравнения совместности упругих деформаций.

В пластической области система имеет вид

$u_x+v_y=\lambda ,u^2+v^2=k^2.$ (3)

Здесь ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z,{\tau }_{xy},{\tau }_{xz},{\tau }_{yz}$ – компоненты тензора напряжений; $\lambda ,\alpha =G\theta ,k$ – постоянные; G – модуль упругости; $\theta$ – угол кручения; k – постоянная пластичности, равная пределу текучести при чистом сдвиге.

Предполагается, что боковая поверхность стержня свободна от напряжений и находится в пластическом состоянии, поэтому систему (1) следует решать со следующими граничными условиями

$u{n}_1+v{n}_2{|}_L=\mathrm{0,}$$u^2+v^2=k_{}^2.$ (4)

Здесь $n_1,n_2$ – компоненты вектора внешней нормали к кусочно-гладкому внешнему контуру L, ограничивающему конечную область $S.$ 

Замечание 1. Если $\alpha =\mathrm{0,}$ задача (4) для системы уравнений (2) с точностью до обозначений совпадает с задачей [1]. В [1] показано, что в этом случае для задачи (2)–(4) решение существует и единственно, если стержень имеет овальное сечение и $-1/\lambda >k/G{R}_{\min }$, где $R_{\min }$ – минимальный радиус кривизны кривой L.

Замечание 2. Случай, когда $\lambda =\mathrm{0,}\alpha \ne 0$ соответствует классическому случаю упруго-пластического кручения, рассматриваться не будет. Рассмотрению его посвящена работа [1].

Для удобства запишем уравнения (2) в виде

$F_1=u_x+v_y-\lambda =\mathrm{0,}{F}_2=-u_y+v_x+2\alpha =\mathrm{0,}$ (5)

решим краевую задачу (2), (4) с помощью законов сохранения.

Законы сохранения системы уравнений (2)

Определение. Законом сохранения для системы уравнений (2) назовем выражение вида

$A_x+B_y={\omega }_1{F}_1+{\omega }_2{F}_2,$ (6)

• где ${\omega }_1,{\omega }_2$ – линейные дифференциальные операторы, одновременно не равные нулю тождественно.

$A={\alpha }^{1}u+{\beta }^{1}v+{\gamma }^1,B={\alpha }^{2}u+{\beta }^{2}v+{\gamma }^2,$ (7)

•  – некоторые гладкие функции, зависящие только от $x,y.$

Замечание 3. Более общее определение закона сохранения, подходящее для произвольных систем уравнений, можно найти в [14].

Из (6) c учетом (7) получаем

${\alpha }_x^{1}u+{\alpha }^1{u}_x+{{\beta }^1}_{x}v+{\beta }^1{v}_x+{{\gamma }^1}_x+{\alpha }_y^{2}u+{\alpha }^2{u}_y+{\beta }_y^{2}v+{\beta }^2{v}_y+{\gamma }_y^2=$

$={\omega }_1(u_x+v_y-\lambda )+{\omega }_2(-u_y+v_x+2\alpha ).$ (8)

Из (8) следует

${\alpha }_x^1+{\alpha }_y^2=\mathrm{0,}{\beta }_x^1+{\beta }_y^2=\mathrm{0,}{\alpha }^1={\omega }_1,{\beta }^1={\omega }_2,{\alpha }^2=-{\omega }_2,{\beta }^2={\omega }_1,{\gamma }_x^1+{\gamma }_y^2=-\lambda {\omega }_1+2\alpha {\omega }_2.$

Отсюда получаем

${\alpha }^1={\beta }^2,{\alpha }^2=-{\beta }^1.$ (9)

Поэтому

${\alpha }_x^1-{\beta }_y^1=\mathrm{0,}{\alpha }_y^1+{\beta }_x^1=\mathrm{0,}{\gamma }_x^1+{\gamma }_y^2=-\lambda {\alpha }^1+2\alpha {\beta }^1.$ (10)

Из приведённых формул следует, что система уравнений (2) допускает бесконечно много законов сохранения; далее будут приведены только те, которые позволяют решить поставленную задачу.

Сохраняющийся ток имеет вид

$A={\alpha }^{1}u+{\beta }^{1}v+{\gamma }^1,B=-{\beta }^{1}u+{\alpha }^{1}v+{\gamma }^2.$

Из (6) по формуле Грина получаем

$\underset{S}{\iint }(A_x+B_y)dxdy=\underset{L}{\oint }-Ady+Bdx=\mathrm{0,}$ (11)

где S – область, ограниченная кривой L.

Решение задачи (2), (4)

Для нахождения значений $u,v$ внутри области S необходимо построить решения системы (10), имеющие особенности в произвольной точке $(x_0,y_0)\in S$.

Первое из таких решений имеет вид

$\begin{array}{c}{\alpha }^1=\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},{\beta }^1=\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},\\ {\gamma }^1=2\alpha \int \frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}dx=2\alpha arctg\frac{x-x_0}{y-y_0},\\ {\gamma }^2=-\lambda \int \frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}dy=-\lambda arctg\frac{y-y_0}{x-x_0}.\end{array}$ (12)

В точке $(x_0,y_0)\in S$ функции ${\alpha }^1,{\beta }^1$ имеют особенности, поэтому окружим эту точку окружностью

$\epsilon :{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2={\epsilon }^2.$

Тогда из формулы (11) получаем

$\underset{L}{\oint }-Ady+Bdx+\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx=\mathrm{0,}$ (13)

вычислим последний интеграл в формуле (13). Имеем

$\begin{array}{l}\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx=\underset{\epsilon }{\oint }-(\frac{u(x-x_0)}{{(x-x_0)}^2+{(x-x_0)}^2}-\frac{v(y-y_0)}{{(x-x_0)}^2+{(x-x_0)}^2}+{\gamma }^1)dy+\\ \end{array}$

$+\left(-\frac{u(y-y_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}-\frac{v(x-x_0)}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}+{\gamma }^2\right)dx.$

Введем новые координаты $x-x_0=\epsilon \cos \phi ,y-y_0=\epsilon \sin \phi$. Получаем

$\underset{\epsilon }{\oint }-Ady+Bdx=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}[-(u\cos \phi +v\sin \phi )\cos \phi -(u\sin \phi +v\cos \phi \left)\sin \phi \right]d\phi =$

$=-\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}ud\phi =-2\pi u(x_0,y_0).$ (14)

Последнее равенство получено по теореме о среднем при $\epsilon \to 0$.

Для окончательного построения решения найдем значения $u,v$ на границе L. Из формулы (13) получаем

$2\pi u(x_0,y_0)=\underset{L}{\oint }-(-{\alpha }^1{n}_2+{\beta }^1{n}_1+{\gamma }^1)dy+({\beta }^1{n}_2+{\alpha }^1{n}_1+{\gamma }^2)dx.$ (15)

Второе решение системы уравнений (10) возьмем в виде

$\begin{array}{c}{\alpha }^1=\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},{\beta }^1=-\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2},\\ {\gamma }^1=-\lambda \int \frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}dx=-\lambda arctg\frac{x-x_0}{y-y_0},\\ {\gamma }^2=-2\alpha \int \frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}dy=-2\alpha arctg\frac{y-y_0}{x-x_0}.\end{array}$ (16)

Проделав выкладки, аналогичные выкладкам, проделанным с решением (12), получаем

$2\pi v(x_0,y_0)=\underset{L}{\oint }-(-{\alpha }^1{n}_2+{\beta }^1{n}_1+{\gamma }^1)dy+({\beta }^1{n}_2+{\alpha }^1{n}_1+{\gamma }^2)dx.$ (17)

Заключение

В работе построены законы сохранения для системы уравнений (2), описывающие кручение упругопластического стержня, находящегося под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей. Используя построенные законы сохранения, найдены компоненты тензора напряжений ${\sigma }_{xz},{\sigma }_{yz}$ по формулам (15) и (17), которые позволяют определить упругопластическую границу в рассматриваемом стержне.

作者简介

Sergey Senashov

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

编辑信件的主要联系方式.
Email: sen@sibsau.ru
ORCID iD: 0000-0001-5542-4781

Dr. Sc., professor, leader researcher of Institute of Computational Modelling

俄罗斯联邦, 31, Krasnoyarskii Rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

Irina Savostyanova

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Email: ruppa@inbox.ru
ORCID iD: 0000-0002-9675-7109

Dr. Sc., Deputy Director of the Research and Education Center “Institute of Space Research and High Technologies”

俄罗斯联邦, 31, Krasnoyarskii Rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

参考

补充文件