Equation of motion magnetic levitation rolling stock

Full Text

Введение

Одним из этапов проектирования систем управления движением магнитолевитационного транспорта является решение задачи оптимального управления исполнительными подсистемами левитации, боковой стабилизации и тяги [1, 2, 3]. В работе рассматривается задача синтеза программной траектории для централизованного управления взаимосвязанными исполнительными подсистемами магнитолевитационного экипажа (МЛЭ).

Множество траекторий движения МЛЭ определяется внешней средой и профилем путевой структуры между станцией отправления и станцией назначения. В том случае, если известны характеристики профиля дискретной путевой структуры, то комфортные программные траектории движения можно задать вдоль всего пути следования на этапе проектирования системы управления.

Однако на траекторию движения МЛЭ, наряду с действием неконтролируемых внешних факторов, ощутимо влияют кривые участки пути, уклоны и другие особенности путевой инфраструктуры, которые возбуждают собственные и вынужденные колебания экипажа в шести степенях подвижности. Среди наиболее опасных для устойчивости движения МЛЭ являются сложные формы колебаний «виляния», «галопирования» и «боковой качки» [4, 5].

В общем случае задача планирования и разделения траекторий движения по степеням подвижности МЛЭ при синтезе законов управления исполнительными подсистемами может не иметь аналитических решений, или иметь множество неоднозначных решений, среди которых есть единственное оптимальное решение.

В настоящей работе рассматривается аналитическое решение задачи управления магнитолевитационным экипажем. Для синтеза законов автоматического управления исполнительными подсистемами разработан общий алгоритм вычисления траекторий движения МЛЭ в поле потенциальных сил.

Общая модель динамики магнитолевитационного экипажа

Для составления расчетных уравнений динамики представим МЛЭ как систему твердых тел, движение которых подчиняется гравитационным и электромагнитным силам.

Выберем в качестве инерциальных координат центров масс твердых тел $m_i$ пространственные перемещения $q_{ix},q_{iy},q_{iz}$, ограниченные силами левитации относительно дискретной путевой структуры и силами боковой стабилизации с коэффициентами жесткости $p_{ij}(i,j=1,...,n)$ и $p_k$. На массы действуют внешние силы тяготения, управляющие силы $u_i$ и силы трения. Движение МЛЭ также зависит от внутренних процессов диссипации и сил инерции.

Кинетическая энергия механической системы определяется в виде квадратичной формы проекций скоростей на оси неподвижной системы координат $x,y,z$:

$K\left(\dot{q}\right)=0,5\sum _{i=1}^n{m}_i({\dot{q}}_{ix}^2+{\dot{q}}_{iy}^2+{\dot{q}}_{iz}^2)=0,5{\dot{q}}^{\text{T}}A\dot{q}$, (1)

где $q={[q_{1x},q_{1y},q_{1z},...,q_{ix},q_{iy},q_{iz},...,q_{nz}]}^T$ – $3n$ -мерный вектор проекций перемещений  масс на инерциальные оси;

$A=diag\{m_1,m_1,m_1,...,m_i,m_i,m_i,...,m_n\}>0$ – матрица инерции соответствующей размерности (диагональная, положительно определенная).

Потенциальная энергия связей

При деформации объекта массы $m_i$, $m_j$ смещаются в трехмерном пространстве из состояний равновесия $A_0$, $B_0$ вдоль векторов $q_i$, $q_j$, занимая положения А, В, соответственно. При этом изменение потенциальной энергии магнитной левитации и боковой стабилизации, линеаризованное по приращениям $(x_i^0-x_j^0)\text{,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}(x_i-x_j)$, $(y_i^0-y_j^0)\text{,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}(y_i-y_j)$, $(z_i^0-z_j^0)\text{,}$ $(z_i-z_j)$, может быть определено следующим образом:

$П\left(q\right)=\text{0,5}\sum _{}^h\left\{{П}_{ij}^{\text{лин}}\right(q_i\text{,\hspace{0.33em}}{q}_j){\}}_l+\text{0,5}\sum _{k=1}^{\text{s}}{П}_k^{\text{лин}}\left(q_k\right)=\text{0,5}{q}^{T}Cq$, (2)

где $C=\left\{C_{ij}\right\}\text{,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{C}_{ij}=C_{ji}=-P_{ij},C_{ii}=P_i+\sum _{j=\text{\hspace{0.33em}1,\hspace{0.33em}}i\ne j}^n{P}_{ij}$, $i,j=1,...,n$;

$C\ge 0$ – ($3n\times 3n$)-мерная матрица коэффициентов электромагнитной упругости;

$h$ – число катушек дискретной путевой структуры подвеса; s – число катушек боковых стабилизаторов;

${П}_{ij}^{\text{лин}}\left(q_i\text{,\hspace{0.33em}}{q}_j\right)=\text{0,5}{(q_i-q_j)}^T{P}_{ij}(q_i-q_j)$ – потенциальная энергия -го магнитного подвеса;

${П}_k^{\text{лин}}\left(q_k\right)=0,5{q_k}^{\text{T}}P{q}_k$ – потенциальная энергия k-го магнитного стабилизатора;

$P_{ij}=\left[\begin{array}{ccc}{p}_{ij}^{xx}& p_{ij}^{xy}& p_{ij}^{xz}\\ p_{ij}^{xy}& p_{ij}^{yy}& p_{ij}^{yz}\\ p_{ij}^{xz}& p_{ij}^{yz}& p_{ij}^{zz}\end{array}\right]$, $P_k=\left[\begin{array}{ccc}{p}_k^{xx}& p_k^{xy}& p_k^{xz}\\ p_k^{xy}& p_k^{yy}& p_k^{yz}\\ p_k^{xz}& p_k^{yz}& p_k^{zz}\end{array}\right]$,

 – (3n´3n)-мерные симметричные матрицы приведенных параметров ij-х магнитных подвесов и k-х боковых стабилизаторов.

Силы сопротивления движению

Диссипативная функция внешних сил с коэффициентами $d_{ix},d_{iy},$ $d_{iz}\ge 0$ при проекциях скоростей ${\dot{q}}_{ix},{\dot{q}}_{iy},{\dot{q}}_{iz}$ масс $m_i$ $(i=1,...,n)$, равна:

$R_d\left(\dot{q}\right)=0,5\sum _{}^{}(d_{ix}{\dot{q}}_{ix}^2+d_{iy}{\dot{q}}_{iy}^2+d_{iz}{\dot{q}}_{iz}^2)=0,5{\dot{q}}^T{R}_d\dot{q}$, (3)

где $R_d=\text{diag}\{d_{1x},d_{1y},d_{1z},...,d_{ix},d_{iy},d_{iz},...,d_{nz}\}$, $R_d\ge 0$ – диагональная матрица коэффициентов внешних сил сопротивления движению, а $d_{ix},d_{iy},d_{iz}$ не обязательно различные.

Диссипативная функция внутренних сил в пространственных связях с коэффициентами $b_{ij}\ge 0$ при скоростях деформаций левитационных зазоров $({\dot{q}}_i-{\dot{q}}_j)$ и с коэффициентами $b_k\ge 0$ при скоростях деформаций зазоров стабилизаторов $({\dot{q}}_k-{\dot{q}}_0)$ представляется в виде суммы:

$R_b\left(\dot{q}\right)=0,5\sum _{l=1}^h\left\{{({\dot{q}}_i-{\dot{q}}_j)}^T{R}_{ij}\right({\dot{q}}_i-{\dot{q}}_j){\}}_l+0,5\sum _{k=1}^s{\dot{q}}_k^T{R}_k{\dot{q}}_k=0,5{\dot{q}}^T{R}_b\dot{q}$, (4)

где $R_b\ge 0,R_{ij},R_k$ – ($3n\times 3n$)-мерные матрицы приведенных коэффициентов диссипации $ij$-й пространственной связи и k-го стабилизатора. Структура матриц диссипации аналогична расчетным структурам матриц С, $P_{ij}$, $P_k$.

Вектор обобщенных сил $U$ составляется из проекций на инерциальные оси приложенных к массам $m_i$ внешних сил $u_i(i=1,...,n)$, включая управления:

$U={[u_{1x},u_{1y},u_{1z},...,u_{ix},u_{iy},u_{iz},...,u_{nz}]}^T$. (5)

Линейная модель динамики МЛЭ

Уравнение Лагранжа-Максвелла для механического объекта с кинетической и потенциальной энергиями (1), (2), диссипативными функциями (3), (4) и обобщенными силами (5) имеет векторно-матричный вид [6]:

$\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial 0,5\left({\dot{q}}^{T}A\dot{q}\right)}{\partial \dot{q}}\right]=U-\frac{\partial 0,5\left(q^{T}Cq\right)}{\partial q}-\frac{\partial 0,5\left[{\dot{q}}^T\right(R_d+R_b\left)\dot{q}\right]}{\partial \dot{q}}$. (6)

Это уравнение движения МЛЭ относительно переменных задачи, приводится к -мерной системе линейных дифференциальных уравнений второго порядка с интервально неопределенными элементами матриц A, R, C:

$A\ddot{q}+R\dot{q}+Cq=U$, (7)

где $A,\begin{array}{c}\end{array}R,\begin{array}{c}\end{array}C$ – $(3n\times 3n)$ - мерные симметричные матрицы;

$A>0$ – матрица масс;

$R=R_d+R_b\ge 0$ – матрица параметров диссипации;

$C\ge 0$ – матрица коэффициентов магнитоупругости.

Выбор локальных систем координат

Для приведения точек приложения внешних сил к центру инерции МЛЭ, необходимы преобразования координат произвольной точки на МЛЭ в локальной системе координат в систему координат, связанную с центром инерции МЛЭ. Закрепим в центрах масс $m_i$ МЛЭ правые декартовые системы координат $O_i{x}_i{y}_i{z}_i$ следующим образом: начало координат $O_i$ совместим с центром инерции массы $m_i$, оси $z_i$ направим параллельно оси $z_0$ инерциальной системы координат. Оси $x_i$ направим перпендикулярно к осям $z_{i-1}$ и $z_i$ (вдоль продольной оси симметрии массы МЛЭ) с положительным направлением от массы $i-1$ к массе $i$, ось $y_i$ дополняет систему координат $O_i{x}_i{y}_i{z}_i$ до правой декартовой системы координат.

При помощи такого ортогонального преобразования движение твердого тела $m_i$ разделяется на поступательное и вращательное. Перемещение $i$-й системы относительно $i-1$-й характеризует движение $i$-й массы относительно $i-1$-й. Это движение массы $m_i$ состоит из поступательного перемещения $s_{xi},s_{yi},s_{zi}$ вдоль осей $x_i{y}_i{z}_i$ и вращательного относительно центра массы . Матрицы вращения вокруг осей декартовой системы координат на углы $a_{xi},a_{yi},a_{zi}$ в трехмерном пространстве известны [7]:

 ${\tau }_{xi}=\left[\begin{array}{l}100\\ 0\cos a_{xi}-\sin a_{xi}\\ 0\sin a_{xi}\cos a_{xi}\end{array}\right],$

$\begin{array}{l}{\tau }_{yi}=\left[\begin{array}{l}\cos a_{yi}0\sin a_{yi}\\ 010\\ -\sin a_{yi}0\cos a_{yi}\end{array}\right],\\ {\tau }_{zi}=\left[\begin{array}{l}\cos a_{zi}-\sin a_{zi}0\\ \sin a_{zi}\cos a_{zi}0\\ 001\end{array}\right].\end{array}$

Итоговая матрица поворотов осей $i$-й системы координат относительно $i-1$-й определится произведением матриц вращения:

${\tau }_i={\tau }_{xi}{\tau }_{yi}{\tau }_{zi}$.

Таким образом, связь между локальными координатами $x_i={\left[x_i{y}_i{z}_i\right]}^{\text{T}}$ некоторой точки в $i$-й и $i-1$ системах координат определится преобразованием:

$x_{i-1}={\tau }_{i-1,i}{x}_i+s_{i-1,i}$,

где $x_i$ – координаты точки в $i$-й системе координат;

$x_{i-1}$ – координаты точки в $i-1$-й системе координат;

${\tau }_{i-1,i}$ – матрицы поворотов осей $i$–1-й системы координат относительно $i$-й;

$s_{i-1,i}$ – вектор переноса.

Координаты точек приложения внешних сил в основной системе координат $O,x_0,y_0,x_0$ определяются по формулам:

$x_0={\tau }_{0,i}{x}_i+{\sum }_{j=1}^i{S}_{j-1,j}$, ${\tau }_{0,i}={\prod }_{j=1}^i{\tau }_{j-1,j},i=1,2,...,$

где ${\tau }_{0,i}$ – матрица поворотов $i$-й системы координат относительно основной;

${\sum }_{j=1}^i{S}_{j-1,j}$ – вектор переноса начала координат $i$-й системы относительно основной.

Однородные координаты точки x_i в инерциальной системе координат $O,x_0,y_0,z_0$, связанной с основанием МЛЭ, определяются по формуле:

$x_i=T_{0i}\cdot q_i$,

где $T_{0i}$ – матрица перехода от $i$-й системы координат к $O,x_0,y_0,z_0$;

$T_{i-1,i}=T_{ii-1}^{-1}$ – матрицы обратного перехода из $i$ в $i-1$ систему координат.

В однородных координатах матрицы переходов имеют блочную структуру:

 $T_{ii-}=\left[\begin{array}{cc}{}_{ii-}& {}_{ii-}\\ & 1\end{array}\right]$.

Оптимальная траектория движения МЛЭ

Для комфортного движения МЛЭ, имеющего шесть степеней подвижности, необходимо задать желаемую пространственную траекторию движения с учетом особенностей дискретной путевой структуры. В качестве обобщенных координат выберем фазовые координаты $x$ пространства состояний МЛЭ. Для определения управляющих сил, исходя из желаемой траектории движения МЛЭ с помощью матриц ортогонального преобразования $T_{0i}$, необходимо решить обратную задачу динамики.

Решение обратной задачи состоит в решении системы трансцендентных уравнений, относительно вектора фазовых координат , по заданным инерциальным координатам пространственных перемещений $q$ центра масс МЛЭ с помощью системы трансцендентных уравнений:

$q=F\left(\theta \right)$, (8)

где $F\left(\theta \right)$ – вектор функций нелинейных связей физических переменных $\theta$ с пространственными перемещениями $q$.

Общего метода аналитического решения систем трансцендентных уравнений нет. В этой связи множество решений обратной задачи динамики найдем из линеаризованной системы уравнений относительно приращений вектора пространственных перемещений $q$ и физических переменных :

$q=J\left(\theta \right)\cdot \theta$, (9)

где $J\left(\theta \right)=\frac{\partial F\left(\theta \right)}{\partial {\theta }^T}$ – матрица Якоби. Эта система уравнений всегда разрешима в силу избыточности уравнений (9) и независимости обобщенных координат $\theta$.

Из уравнений (9) по заданной в инерционных координатах траектории движения МЛЭ $q\left(t\right)$:

$J^{-1}\left(\theta \right)\cdot q\left(t\right)=\theta \left(t\right),\begin{array}{c}\end{array}t\in {\Delta }_t=[t_0,t_i]$, (10)

можно определить законы управления физическими переменными.

Уравнение движения МЛЭ в пространстве состояний

Важным свойством уравнения (7) является положительная определенность матрицы $A$. Это свойство гарантирует существование единственной обратной матрицы $A^{-1}$, с помощью которой уравнение (7) можно разрешить относительно старшей производной и записать его в виде:

$\ddot{q}=A^{-1}\left[U-(R\dot{q}+Cq)\right]$. (11)

Уравнения модели динамики МЛЭ (11) в обобщенных координатах $\theta$ с учетом (9) преобразуются к системе дифференциальных уравнений:

$\frac{d^2}{d{t}^2}\left[J\right(\theta )\cdot \theta ]=A^{-1}\left[-\left(R\frac{d}{dt}\left[J\right(\theta )\cdot \theta ]+CJ\left(\theta \right)\cdot \theta \right)\right]$. (12)

Введем обозначения для переменных состояния $x_{\text{1}}=\theta$, $x_{\text{2}}=\dot{\theta }$ и, полагая значения элементов матрицы $J\left(\theta \right)$ в точке линеаризации постоянными, преобразуем уравнения (12) к нормальной форме Коши:

$\left[\begin{array}{c}{x}_{\text{1}}\\ x_{\text{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ J^{-1}\left(\theta \right)A^{-1}CJ\left(\theta \right)& J^{-1}\left(\theta \right)A^{-1}RJ\left(\theta \right)\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{}_{\text{1}}\\ {}_{\text{2}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}B\\ J^{-1}\left(\theta \right)A^{-1}\end{array}\right]\cdot U$. (13)

где $B$ – оператор динамической модели тягового линейного электропривода [8].

Заключение

Из структуры уравнений (13) следует, что систему управления переменными состояния МЛЭ $x_{\text{2}}=\dot{\theta }$ целесообразно строить адаптивными методами [9]. Цель автоматического адаптивного управления в этом случае достигается непрерывной настройкой параметров матрицы управления $J^{-1}\left(\theta \right)A^{-1}$ модели (13) вдоль траектории $\theta \left(t\right)$, или подавлением возмущений траектории движения МЛЭ относительно программной траектории оптимальными управляющими силами.

About the authors

Nikolai N. Pashkov

Author for correspondence.
Email: pashkovnn@gmail.com

Ph. D., professor of «Logistic transport systems and technologies», Institute of Management and Information Technology (IUIT)

References

Supplementary files