On the algebraic perturbations in atmospheric boundary layer

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Наряду с организованными крупномасштабными структурами, в пограничном слое постоянно существуют вихревые структуры меньшего, как пространственного — от десятков до сотен метров, так и временного масштабов — десятки секунд–минуты, ориентированные примерно на 30 градусов относительно направления геострофического ветра [1–10]. Несмотря на давнюю регистрацию в численных моделях [11] и достаточно уверенную и детальную экспериментальную регистрацию [8], условия и механизмы генерации и поддержания таких структур остаются не до конца проясненными.

В данной работе предложена простая модель развития субмезомасштабных структур (стриков), основанная на идее развития алгебраических немодальных возмущений вблизи земной поверхности в экмановском слое.

Немодальные возмущения, испытывающие интенсивный алгебраический рост за конечные промежутки времени, связаны с несамосопряженностью оператора линеаризованной задачи на возмущения. Такие условия, как выяснилось, относятся к значительной части встречаемых в природе и технике течений [12]. Они играют заметную роль в развитии турбулентности и структур в сдвиговых течениях и течениях пограничного слоя [12–15]. Подобные возмущения играют важную роль и в динамике атмосферной циркуляции [16–18]. С ними связаны также неопределенности в атмосферных прогнозах [19]. В атмосферном пограничном слое впервые их анализ был выполнен Фостером [20]. Также можно отметить исследование немодальных возмущений в стратифицированном экмановском слое [21]. В пограничном слое их называют стриками, как и в сдвиговых течениях. С ними связаны наблюдаемые в низкочастотной части спектры флуктуаций скорости с показателем –1 [8, 22–25]. Физика такой формы спектра относительно проста. При сильном сдвиге характерное обратное время τ^–1 для флуктуаций поля скорости определяетcя градиентом поля скорости  [26], и оно оказывается много больше времени оборота вихря с волновым числом k — τ(k)~(kv(k))^–1. Тогда спектр энергии оказывается обратно пропорционален волновому числу E(k)~ (ε — диссипация энергии). В [26, 27] на основе анализа размерностей подобный спектр связывается с суперпозицией прямых каскадов без привлечения предположений о наличии организованных структур. В качестве основного масштабного параметра используется динамическая скорость трения u_*.

Предложенная ниже модель развития алгебраических немодальных возмущений позволяет оценить характерные масштабы стриков в АПС. Близкие к ним значения были получены по данным акустического зондирования содаром высокого разрешения.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ РОСТ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЭКМАНОВСКОМ СЛОЕ

Рассмотрим безразмерные уравнения для двумерных (y, z) возмущений поля скорости (u, v, w) и температуры θ в экмановском пограничном слое [29–31], полученных в результате линеаризации уравнений движения:

 (1)

 (2)

 (3)

Здесь  двумерный оператор Лапласа, ψ — функция тока (векторный потенциал Стокса), так что поперечная и вертикальная скорости имеют вид

 

В качестве пространственного масштаба обезразмеривания выбирается толщина экмановского слоя  где  — турбулентная вязкость,  — частота вращения Земли. Число Рейнольдса — Re определено по турбулентной вязкости. Здесь:  — скорость геострофического ветра,  — безразмерный градиент температуры. Pr — турбулентное число Прандтля (~1–1.2), Ri — число Ричардсона.

Время обезразмерено на Соответственно при разных числах Рейнольдса мы будем иметь следующие масштабы временной шкалы:

 

Здесь U, V — компоненты экмановского профиля, φ — угол, на который осуществлен поворот системы координат, для рассмотрения возмущений, повернутых по отношению к скорости геострофического ветра [30, 31]

 (4)

 (5)

Стрики возникают в нижней чаcти пограничного слоя. Тогда из разложения профиля скорости вблизи z = 0 получаем:

 

 

 

То есть можно полагать

 

Уравнения для возмущений принимают вид:

 (6)

 (7)

 (8)

Рассматривая далее в нижней части пограничного слоя ¹ (при малых z) возмущения в виде волны:

 (9)

 (10)

выпишем уравнения

 (11)

 (12)

 (13)

Волновой вектор  определяется уравнением

 (14)

и линейно зависит от времения как   Соответственно, при развитии таких возмущений их вертикальный масштаб возрастает, формально захватывая всю область течения, а затем уменьшается. Подобные решения относятся к так называемым немодальным и представляют собой суперпозицию фурье-мод линейной задачи на устойчивость [32]. Впервые такие моды рассматривались лордом Кельвином [33]. Они непосредственно связаны с оптимальными возмущениями, что было показано, в частности Фаррелом [16, 17, 32].

Представление (14) позволяет исключить неоднородность по вертикальной координате из уравнений. В настоящем исследовании мы сознательно не интересуемся границами, а рассматриваем физические причины возможности развития возмущений в нижней части АПС, обусловленные совместным действием сдвига скорости и влиянием силы Кориолиса. Подобный «локальный» анализ позволяет выявить основные динамические процессы и факторы, оценить тенденции и зависимости роста возмущений от основных параметров течения. Здесь можно отметить приближенный анализ устойчивости экмановского слоя, выполненный в [30], давший неплохие оценки для масштаба возмущений и сильно завышенные для критического числа Рейнольдса. Подобный подход использовался также и в [14].

Соответственно, уравнения для возмущений будут иметь вид

 (15)

 

(16)

 (17)

Аналитическое решение вышеприведенной системы имеет весьма громоздкий вид и в дальнейшем для конечных чисел Рейнольдса мы будем использовать численные решения.

Рассмотрим отдельно случай больших чисел Рейнольдса. Тогда:

 (18)

 (19)

 (20)

Отметим, что хотя кориолисовы члены в системе (18)–(20) опущены вследствие нашего приближения, их влияние тем не менее осталось, поскольку в (19) присутствует градиент компоненты агеострофической скорости, обусловленный как раз поворотом ветра в АПС.

Рассмотрим далее случай нейтральной стратификации (Ri = 0). В этом случае аналитическое решение (18), (19), как оказалось, имеет достаточно простой вид:

 

(21)

Для энергии возмущения   получаем

 (22)

Решение (22) для энергии (деленной на ее начальное значение) показано на рис. 1 пунктирной линией. Также на рис. 1 сплошными линиями показана энергия для конечных чисел Рейнольдса (10, 20, 30, 100) в соответствии с численным решением уравнений (15), (16). Как видно, энергия возмущения нарастает за конечное время до заметных величин. Амплитуда растет с числом Рейнольдса. Также можно отметить увеличение амплитуды при неустойчивой стратификации и уменьшение при устойчивой (рис. 2). В дальнейшем будем рассматривать нейтральную стратификацию.

 

Рис. 1. Энергия возмущения. Числа Рейнольдса: 10, 20, 30, 100, ∞ (пунктир). α = 1. β(0) = 3, φ = 0, u(0) = ψ(0) = 1.

 

Рис. 2. Энергия возмущения при Re = 100, α = 1. β(0) = 3, φ = 0, u(0) = ψ(0) = 1. Ri = 0 — сплошная линия. Ri = 0.1,  — пунктир.  – точечный пунктир.

 

При увеличении числа Рейнольдса максимальное значение энергии меняется уже слабо — ее амплитуда при Re = 1000 приближается к 19, по сравнению с 14 при Re = 100 и практически не изменяется при Re = 10000 и выше. Соответственно, решение (22) может рассматриваться как верхняя оценка для решений системы (15), (16) с конечными числами Рейнольдса.

Максимальная амплитуда энергии зависит и от угла ориентации возмущений по отношению к направлению геострофического ветра (коэффициенты γ, δ₁, δ₂. К анализу этой зависимости мы вернемся чуть ниже.

Особый интерес представляет другая характеристика алгебраических немодальных возмущений, представляющая собой более общую, чем энергия и часто используемую при анализе [12, 13]. Она формулируется так — для фиксированного момента времени t найти начальное возмущение, для которого функционал  принимает максимальное значение (рис. 3). Фактически, это решение задачи на оптимизацию, которое позволит нам определить характерные масштабы таких возмущений. Такие возмущения принято называть оптимальными.

 

Рис. 3. Функция F. α = 1, 2, 3; φ = 0, u(0) = ψ(0) = 1, T = 3.

 

Здесь мы используем аналитическое выражение для энергии, полученное выше.

Начальное значение энергии имеет вид 

Как мы видим из рис. 3 максимум F сдвигается по волновым числам с ростом α. Однако, для определения примерного масштаба стрика в нашей модели необхолимо рассмотреть еще зависимость от угла.

Для определения оптимальных масштабов стриков имеет смысл рассматривать решения системы (18)–(21) при конечных числах Рейнольдса. Построим далее линии уровня функции F на плоскости (β₀, φ) при различных волновых числах α, числах Рейнольдса и временах t.

Как видно из рис. 4 рост возмущения наблюдается уже при малых подпороговых числах Рейнольдса (10–30). Растут возмущения, повернутые на отрицательный угол относительно направления геострофического ветра. Здесь и далее решения приведены в широком диапазоне безразмерных волновых чисел (от 0 до 5), при этом экстремумы роста оптимальных возмущений расположены на мелких масштабах (3–5).

 

Рис. 4. Функция F. Re =30; α = 1; u(0) = ψ(0) = 1, T = 2.

 

При увеличении числа Рейнольдса наблюдается уже рост оптимальных возмущений повернутых на положительный угол относительно направления ветра. Ниже приведены линии уровня при числах Рейнольдса Re = 75 (рис. 5).

 

Рис. 5. Функция F. Re =75; α = 3; u(0) = ψ(0) = 1, T = 3.

 

На рис. 6 и 7 приведены линии уровня функции F на плоскости (β₀, ε) при различных волновых числах α и временах t уже при бесконечных числах Рейнольдса: α = 1, t = 3; α = 2, t = 1; α = 3, t = 3.

 

Рис. 6. Функция F. α = 1; u(0) = ψ(0) = 1, T = 3.

 

Рис. 7. Функция F. α = 3; u(0) = ψ(0) = 1, T = 3.

 

Как мы видим из рис. 6 и 7 при α = 1,2 максимум роста соответствует возмущениям, повернутым под углом –20 ÷ –30 по отношению к ветру с вертикальным волновым числом, близким к 4. При дальнейшем увеличении поперечного волнового числа α = 3 максимум ориентирован уже под положительным углом по направлению к ветру и с вертикальным волновым числом 5. При значениях турбулентной вязкости 5 м²/с имеем оценки масштабов оптимальных возмущений в нижней части АПС 100–200 по вертикали и 300–600 по горизонтали. Это может рассматриваться как верхняя оценка масштабов стриков.

Выполним более детальное исследование масштабов оптимальных возмущений. Для этого решаем следующую задачу: найти, при каких значениях волновых чисел α, β₀ = β(0) и угла φ оптимальная функция F принимает максимальное значение при заданных значениях числа Рейнольдса Re и времени T. Время T выбиралось при значениях 1–5. Актуальность имеют значения 1–3, поскольку стрики формируются в АПС за времена порядка характерного экмановского времени, определяющего время перестройки АПС при изменениях внешних параметров. Числа Рейнольдса менялись от 10, при котором начинается рост оптимальных возмущений до 10 000. Получена таблица (табл. 1) со значениями всех параметров, наглядное представление которой приводится на рис. 8–10.

 

Таблица 1. Значение параметров T, F_opt, α, β₀, φ при различных числах Рейнольдса Re

Re	T	Fopt	α	β0	φ
10	1	2.06	0.91	1.50	–13.81
25	1	2.68	1.47	1.79	5.11
50	1	2.81	1.61	1.82	14.49
75	1	3.16	2.01	1.89	17.68
100	1	3.42	2.33	1.95	19.36
125	1	3.59	2.57	2.01	20.43
150	1	3.71	2.76	2.06	21.18
175	1	3.81	2.91	2.10	21.74
200	1	3.89	3.05	2.14	22.17
500	1	3.95	3.17	2.18	24.28
1000	1	4.32	4.1	2.53	25.20
10 000	1	4.52	4.94	2.88	26.51
10	2	4.18	0.46	1.421	–47.844
25	2	5.89	0.58	1.804	–43.352
50	2	6.90	0.71	2.211	–37.502
75	2	8.00	2.07	3.295	12.199
100	2	8.98	2.33	3.473	13.795
125	2	9.73	2.53	3.630	14.536
150	2	10.33	2.68	3.769	14.968
175	2	10.83	2.82	3.894	15.252
200	2	11.25	2.94	4.008	15.453
500	2	13.81	3.82	4.932	16.226
1000	2	15.33	4.60	5.809	16.477
10 000	2	18.24	8.31	10.187	16.760
10	3	6.97	0.31	1.32	–55.29
25	3	10.77	0.38	1.70	–49.15
50	3	13.04	0.46	2.04	–46.89
75	3	14.12	0.51	2.26	–46.14
100	3	14.80	0.55	2.44	–45.77
125	3	14.16	2.38	4.75	16.14
150	3	15.81	2.57	4.96	16.44
175	3	15.92	0.63	2.82	–45.04
200	3	18.50	2.84	5.33	16.52
500	3	27.00	3.70	6.73	16.07
1000	3	32.70	4.44	8.02	15.72
10 000	3	44.87	7.94	14.32	15.06

 

Рис. 8. Волновые числа оптимальных возмущений α, β₀, при которых достигается максимальное значение F при изменении числа Рейнольдса. T = 1 — кружки; T = 2 — звезды; T = 3 — кресты. Цифрами над символами приведены значения числа Рейнольдса.

 

Рис. 9. Горизонтальное волновое число оптимальных возмущений α и угол φ, при которых достигается максимальное значение F при изменении числа Рейнольдса. T = 1 — кружки; T = 2 — звезды; T = 3 — кресты. Цифрами над символами приведены значения числа Рейнольдса.

 

Рис. 10. Вертикальное волновое число оптимальных возмущений β₀ и угол φ, при которых достигается максимальное значение F при изменении числа Рейнольдса. T = 1 — кружки; T = 2 — звезды; T = 3 — кресты. Цифрами над символами приведены значения числа Рейнольдса.

 

Мы не показываем точки, где значения волновых чисел α < 1, попадающие уже в область крупных масштабов. Этим возмущениям соответствует медленный рост, и максимальные значения достигаются при больших значениях T. Подобные точки отброшены и на рис. 8–11. На них представлены координаты оптимальных возмущений в плоскостях (α, φ) и (β₀, φ).

 

Рис. 11. Горизонтальные и вертикальные масштабы оптимальных возмущений λ_y ~ hπ/α, λ_z ~ hπ/β₀ (в метрах), при которых достигается максимальное значение F. T = 1 — кружки; T = 2 — звезды; T = 3 — кресты. Цифрами над символами приведены значения числа Рейнольдса.

 

На основании результатов, представленных в табл. 1 и на рис. 7–9 можно получить оценку масштабов оптимальных возмущений.

В самом деле, из определения числа Рейнольдса Re  имеем для экмановского масштаба, используемый для обезразмеривания  В свою очередь можно оценить из ее представления  [32]. l — длина перемешивания. Ее явное представление и зависимость от z не принципиально для наших оценок. Ниже мы будем использовать ее значение порядка ~30 м [34]. Для экмановского профиля для среднего значения турбулентной вязкости, получим:

 

Из этой оценки турбулентной вязкости также нетрудно дать оценку и для связи эффективного числа Рейнольдса в экмановском слое со значением геострофической скорости:

 

При l ≈ 30 м, Ω ~ 7 × 10^–4 с^–1, получим (для скорости в м/c)  Такая оценка справедлива в условиях, близких к нейтральным и может рассматриваться как нижняя. При неустойчивой стратификации необходимо учитывать возрастание эффективной длины перемешивания и связь ее с отклонением градиента температуры в АПС от адиабатического.

Для экмановского масштаба получаем оценку:

 

Используя эту зависимость пересчитываем масштабы в табл. 1 как λ_y ~ hπ/α, λ_z ~ hπ/β₀ и представляем их на рис. 11. Как видно, горизонтальные масштабы в лежат в диапазоне 400–800 м, с основным распределением в области 500–600 м, вертикальные масштабы сосредоточены в области 45–65 м. Интересно отметить, что эти значения оказываются близкими к недавним данным полученным при лидарном зондировании атмосферы [35] и данным микросодара, полученным в летнее время в Цимлянске 2017, 2018 гг. (вертикальное разрешение 1 м (от 2 до 50 м), временное 1 с) [36].

ХАРАКТЕРНЫЕ МАСШТАБЫ СТРИКОВ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ РАСЧЕТА В КВАЗИДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ

Квазидвумерные численные модели являются полезной основой для гидродинамических исследований. Подробное описание таких моделей приведено, например, в [37, 38]. В настоящем исследовании мы рассматриваем случай нейтральной стратификации, результаты представлены в безразмерном виде. Ось x направлена вдоль оси валика, ось y — перпендикулярно ей. Средние профили характеристик когерентных структур предполагаются независимыми от продольной координаты x.

Размер расчетной области в безразмерных величинах по координате y, выбирается таким, чтобы в него уложилось целое число (6) волн начального возмущения. По координате z — 12, что превышает высоту АПС, которая в среднем равна 5. Код программы написан на языке Fortran. Количество шагов сетки по горизонтали (координате y) бралось равным 361, по вертикали (координате z) — 121.

Масштабы начальных возмущений брались порядка значений масштабов оптимальных возмущений из табл. 1. В качестве иллюстрации на рис. 12 представлен временной ход для максимального значения энергии валиков в безразмерном виде, полученный при Re = 100, 150. С увеличением числа Рейнольдса амплитуда пика максимального значения энергии валиков возрастает. Рост возмущений носит транзиентный характер, как и для линеаризованной задачи. В первые моменты времени энергия уменьшается, а затем возрастает от минимального значения почти в 3 раза при Re = 150 и в 2 раза при Re = 100. К этому моменту времени (примерно 6.5 мин при Re = 150 и около 8 мин при Re = 100) развиваются стрики — валики малого пространственного и временного масштабов. Далее возмущения затухают. На рис. 13 показано пространственное распределение продольной компоненты скорости при Re = 150 для момента времени, соответствующего максимальному значению безразмерной энергии. Отметим, что на горизонтальном масштабе валика мезомасштабной циркуляции в экмановском слое «укладывается» до 5–7 субмезомасштабных валиков-стриков [36, 37]. Это отражено на рис. 13, где на заднем плане серым цветом показаны линии уровня в установившемся режиме для продольной скорости мезомасштабных возмущений при том же числе Рейнольдаса и угле по отношению к геострофическому ветру. Амплитуда мезомасштабных возмущений в 2–3 раза выше чем для алгебраических возмущений. Горизонтальный масштаб стриков в безразмерном виде примерно равен 1, что согласуется с результатами, полученными с использованием анализа оптимальных возмущений, и данными наблюдений. Схожие картины для поля скорости приводятся в [20].

 

Рис. 12. Максимальное значение энергии при Re = 100 (пунктир) α = 2.33, β(0) = 1.95, φ = 19.36; Re = 150 (сплошная линия) α = 2.76, β(0) = 2.06, φ = 21.18.

 

Рис. 13. Пространственное распределение продольной компоненты скорости u по осям y, z, отражающее масштабы стриков, для момента времени, соответствующего максимальному значению безразмерной энергии (см. рис. 12. Re = 150, α = 2.76, β(0) = 2.06, φ = 21.18. Интервал между линиями равен 0.002. Отрицательные значения показаны пунктирной линией. Серые контурные линии — продольная компонента скорости установившейся мезомасштабной циркуляции при Re = 150, φ = 21.18.

 

ХАРАКТЕРНЫЕ МАСШТАБЫ СТРИКОВ ПО ДАННЫМ АКУСТИЧЕСКОГО ЗОНДИРОВАНИЯ

В 2016–2018 гг. на Цимлянской научной станции ИФА им. А.М. Обухова РАН (ЦНС) проводились испытания доплеровского трех-компонентного минисодара высокого разрешения, получившего название ВРМС — Высокого Разрешения Мини Содар (английская аббревиатура — HRMS) [35]. Оригинальная конструкция ВРМС, использующая раздельные акустические антенны для излучения и приема звука, позволила уменьшить мертвую зону локатора и охватить измерениями диапазон высот от 3 до 45 м при разрешающей способности около одного метра по высоте и одной секунды по времени. Сопоставления с измерениями скорости ветра акустическим анемометром показали достоверность и хорошую точность данных ВРМС.

Для детектирования структур при обработке полей скорости, полученных методом акустического зондирования, необходимо использовать последовательную фильтрацию. В случае субмезомасштабных структур, наблюдаемых в нижней части АПС, исходя из их пространственно-временных характеристик выбираются соответственно 3–5-минутное и 9–12-минутные осреднения. На рис. 14 — поле скорости для часовой записи от 23 июля 2018 г. со слабым ветром (11.00–12.00) на ЦНС с 5-минутным осреднением. Хорошо фиксируется основной крупный временной масштаб 6–8 минут.

 

Рис. 14. Вертикальное поле скорости для часовой записи, выполненной минисодаром приземного слоя от 23 июля 2018 г. (Цимлянская научная станция (ЦНС), 11.00–12.00) с 5-минутным осреднением.

 

На рис. 15 (для 26.07.2017) хорошо фиксируется основной крупный временной масштаб 5–7 мин, наблюдаемый во всех 3 компонентах поля скорости, соответствующий масштабу 300–500 м, определяемому через среднюю скорость ветра, переносящего структуры. Измерения проводились с разрешающей способностью по высоте 1 м на высотах 3–45 м с временным интервалом 1 с.

 

Рис. 15. Компоненты скорости (U, V, W) от 26.07.2017 г. (ЦНС, 12.00–13.30) по данным минисодара. Горизонтальные компоненты с 4-минутным осреднением за вычетом 12-минутного среднего. Вертикальная компонента (нижний график) — 4-минутное осреднение.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Несмотря на давнюю регистрацию стриков в численных моделях [11], уверенная и детальная их экспериментальная регистрация в АПС появилась относительно недавно [8]. Физические механизмы усиления и поддержания таких структур связывают со сдвиговыми неустойчивостями [39] или конвективной аналогией [40], где роль температурного поля играют турбулентные напряжения Рейнольдса. Турбулентная спиральность, присутствующая в АПС [35, 41], может быть одним из источников интенсификации завихренности в таких структурах [42, 43].

Предложенная выше простая модель, учитывающая основной механизм роста возмущений, связанный как со сдвигом, так и с агеострофической компонентой скорости ветра в АПС, позволяет оценить их характерные масштабы и ориентацию. Максимум энергии таких возмущений сдвигается по волновым числам с ростом безразмерного горизонтального волнового числа α. Так при α = 1.2 максимум роста соответствует возмущениям повернутым под углом –20^o ÷ –30 ° по отношению к ветру с вертикальным волновым числом, близким к 4. При дальнейшем увеличении поперечного волнового числа α = 3 возмущения ориентированы уже под положительным углом (~15 °) по направлению к ветру и с вертикальным волновым числом 5. Соответственно, для масштабов возмущений (стриков) в нижней части АПС получаются оценки их размеров – порядка 100–200 м по вертикали и 300–600 м по горизонтали. Подобные масштабы отмечаются и для экспериментальных данных о структуре поля ветра в нижней части АПС, полученных в 2017, 2018 гг. в летнее время на Цимлянской научной станции ИФА им. А.М. Обухова РАН при акустическом зондировании атмосферы доплеровским трехкомпонентным минисодаром высокого разрешения [36]. Схожие пространственные распределения получались в [44].

Авторы выражают признательность М.В. Калашнику, В.Ф. Крамару и М.А. Каллистратовой за интерес к работе и полезные обсуждения. Авторы также благодарны рецензенту за высказанные критические и конструктивные замечания, позволившие улучшить изложение результатов настоящего исследования.

Источник финансирования. Исследования выполнены при поддержке РФФИ: проекты 17-05-01116, 18-35-00600, а также крупных проектов Президиума Российской Академии наук, КП19-259/П1, КП19-278/П20.

Примечание:

¹ Мы рассматриваем пограничный слой выше «прандтлевского» логарифмического слоя.

About the authors

O. G. Chkhetiani

Obukhov Institute of Atmospheric Physics, Russian Academy of Science

Author for correspondence.
Email: lgg@ifaran.ru
Russian Federation, Pyzhevsky Avenue, 3, Moscow, 119017

N. V. Vazaeva

Obukhov Institute of Atmospheric Physics, Russian Academy of Science; Bauman Moscow State Technical University

Email: lgg@ifaran.ru
Russian Federation, Pyzhevsky Avenue, 3, Moscow, 119017; 2-nd Baumanskaya str., 5, Moscow, 105005

References

Supplementary files